BÁO CÁO LỊCH SỬ TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

1Lịch sử tổng quát của hình học sơ cấp Theo nghĩa ban đầu Hình học (HH) là một bộ phận toán học nghiên cứu các hình, vị trí tương đối và kích thước các bộ phận của các hình cũng như các phép biến đổi hình (trong không gian xung quanh chúng ta). Theo nghĩa hiện đại, HH bao gồm nhiều lí thuyết toán học khác nhau nghiên cứu những khái niệm, quan hệ tương tự hoặc tổng quát hoá các khái niệm và quan hệ của các hình không gian. Do vậy HH có liên quan chặt chẽ tới nhiều ngành toán học khác và nhiều khi không có ranh giới rạch ròi giữa chúng. Từ HH (geometry) có nguồn gốc từ “Geometria” của Hy Lạp (có nghĩa là đo đất đai). HH phát sinh từ rất lâu, có lẽ trước thế kỉ XVII trước công nguyên (TCN). Từ thời cổ đại, HH có nguồn gốc từ thực tế, nó là khoa học về đo đất. Nhiều nền văn minh cổ đại như: Babylon, Ấn Độ giáo, Trung Quốc và Ai Cập đã sở hữu các thông tin về HH. Những yếu tố HH đầu tiên có nguồn gốc trong các quan sát đơn giản, xuất phát từ khả năng của con người để nhận ra và so sánh các hình dạng và kích thước của sự vật. Có rất nhiều trường hợp, người nguyên thủy đã phải đưa ra các chủ đề về HH, mặc dù nó có thể không được công nhận là như vậy. Chẳng hạn, người đàn ông phải học với các tình huống liên quan đến khoảng cách, ranh giới đất đai của họ, xây dựng các bức tường và nhà cửa. Các tình huống có liên quan trực tiếp đến các khái niệm HH về thẳng đứng, song song, vuông góc. Ngoài ra, sự xuất hiện của hình dạng với tư cách là nghệ thuật nguyên sơ qua các kiểu cách đan tết, các mẫu mã dệt thêu và các hình trang trí trên đồ gốm, các công trình kiến trúc,… cũng đã dần dần cho con người các nhận thức về các hình HH. Tuy nhiên, hình học trong thời kì này chỉ được tìm thấy thông qua thử nghiệm, quan sát sự tương tự, dự đoán, và thậm chí là trực giác. Về cơ bản, hình học trong giai đoạn này chỉ cho phép câu trả lời gần đúng, thường phục vụ cho các mục đích thực tế. Chẳng hạn, người Babylon cho rằng số có giá trị là ; người Ai Cập cho rằng công thức tính diện tích của một hình chữ nhật có thể được áp dụng cho một tứ giác bất kì. Cùng với những kinh nghiệm về đo đạc đất đai ở Ai Cập, Babylon, Hy Lạp. Bắt đầu khoảng từ thế kỉ VII TCN - V TCN. Những hiểu biết của con người về các hình dần dần được trình bày một cách hệ thống như là một khoa học, trong đó xuất hiện các khái niệm, mệnh đề, chứng minh. Khoảng thế kỉ III TCN, Euclide đã hệ thống hoá toàn bộ các kiến thức HH đương thời trong bộ sách "Cơ bản" nổi tiếng gồm 13 tập. Về cơ bản, HH trong bộ sách đó của Euclide cũng là HH sơ cấp ngày nay. Bằng việc đưa vào phương pháp toạ độ ở nửa đầu thế kỉ XVII, R. Descartes đã tạo ra một bước tiến quan trọng trong HH. Nhờ đó có thể dùng công cụ đại số và giải tích để nghiên cứu HH. Trên cơ sở đó đã xuất hiện hình học giải tích, hình học vi phân, hình học xạ ảnh và hình học hoạ hình. Sự ra đời của HH Lobachevsky (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) ở thế kỉ XIX đã tạo ra một bước ngoặt mới trong sự phát triển của HH. Nó phá vỡ quan niệm cũ về HH (hay gắn với trực giác thông thường) và chứng tỏ khả năng tồn tại các loại HH (phi Euclide) khác nhau. Trong phần này, chúng tôi chỉ nghiên cứu lịch sử của hình học sơ cấp từ thời nguyên thủy đến khoảng đầu thế kỉ XVII, tức là chỉ gồm giai đoạn phát sinh và giai đoạn toán học sơ cấp.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SAU ĐẠI HỌC —{– BÁO CÁO NGHIÊN CỨU LỊCH SỬ TOÁN HỌC CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC SƠ CẤP Người hướng dẫn khoa học P.GS-TS NGUYỄN PHÚ LỘC NHÓM 01 MỤC LỤC Lịch sử tổng quát hình học sơ cấp .4 1.1 Giai đoạn phát sinh 1.1.1 Hình học Ai Cập (3000 TCN - 500 TCN) 1.1.2 Hình học Babylon (2000 TCN - 500 TCN) 1.2 Giai đoạn toán học sơ cấp 1.2.1 Hình học cổ Hy Lạp .6 1.2.2 Hình học Ấn Độ 1.2.3 Hình học Trung Quốc 1.2.4 Hình học Ả Rập Các nhà hình học tiêu biểu .10 2.1 THALES (624 TCN- 548 TCN) 10 2.1.1 Tiểu sử 10 2.1.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp 10 2.2 PYTHAGORAS (khoảng 560 TCN - 480 TCN) .11 2.2.1 Tiểu sử 11 2.2.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp 12 2.2.2.1 Định lý Pythagoras 12 2.2.2.2 Định lý đảo Pythagoras 13 2.3 EUDOXUS (khoảng 408 TCN - 355 TCN) 13 2.4 PLATON (427 TCN 428 TCN - 347 TCN) 14 2.5 EUCLID (?-? khoảng năm 300 TCN) .15 2.5.1 Tiểu sử 15 2.5.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp 15 2.6 ARCHIMEDES (287 TCN - 212 TCN) 19 2.6.1 Tiểu sử 19 2.6.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp 19 2.6.2.1 Archimedes - nhà hình học lỗi lạc 19 2.6.2.2 Tính diện tích parabol phân 20 2.6.2.3 Thể tích hình cầu .21 2.6.2.4 Những nghiên cứu khác hình học 22 2.6.2.5 Những tiên đề Archimedes 23 2.6.2.6 Đường xoắn ốc 23 2.6.2.7 Hình “Con dao người thợ giầy” 24 2.6.2.8 Các khối đa diện nửa 24 2.6.3 Archimedes – công trình sáng tạo giai thoại 25 2.6.3.1 Archimedes nhà thiên văn tiếng 25 2.6.3.2 Archimedes phát minh đòn bẩy, bánh xe cưa, ròng rọc, đinh vít, 25 2.6.3.3 Archimedes - vật .26 2.6.3.4 Archimedes - súng bắn đá 27 2.6.3.5 Archimedes gương quay 28 2.6.3.6 Đừng làm hỏng hình vẽ – chết Archimedes 28 2.6.3.7 Những công trình khác Archimedes tìm 29 2.6.3.8 Tác phẩm Archimedes 29 2.6.4 Một số câu nói Archimedes .30 2.6.5 Một số toán cổ Archimedes 30 2.7 APOLLONIUS (262 TCN - 180 TCN) 30 2.7.1 Tiểu sử 31 2.7.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp 31 2.8 HERON (10 - 75 sau công nguyên) 32 2.9 MENELAUS (70 - 130 sau công nguyên) .33 2.10 AL KASHI (1380 – 22/06/1429) 35 2.10.1 Tiểu sử 36 2.10.2 Các công trình giai thoại 36 2.10.2.1 Về thiên văn học: .36 2.10.2.2 Về toán học .36 2.10.2.3 Giai thoại châm ngôn 37 Ứng dụng 38 3.1 Ứng dụng 1: Tổ chức buổi sinh hoạt ngoại khóa .38 3.2 Ứng dụng 2: Một số ứng dụng vào dạy học kiến thức đại số 40 3.3 Ứng dụng 3: Một số ứng dụng vào dạy học kiến thức hình học .41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Lịch sử tổng quát hình học sơ cấp Theo nghĩa ban đầu Hình học (HH) phận toán học nghiên cứu hình, vị trí tương đối kích thước phận phép biến đổi hình (trong không gian xung quanh chúng ta) Theo nghĩa đại, HH bao gồm nhiều lí thuyết toán học khác nghiên cứu khái niệm, quan hệ tương tự tổng quát hoá khái niệm quan hệ hình không gian Do HH có liên quan chặt chẽ tới nhiều ngành toán học khác nhiều ranh giới rạch ròi chúng Từ HH (geometry) có nguồn gốc từ “Geometria” Hy Lạp (có nghĩa đo đất đai) HH phát sinh từ lâu, có lẽ trước kỉ XVII trước công nguyên (TCN) Từ thời cổ đại, HH có nguồn gốc từ thực tế, khoa học đo đất Nhiều văn minh cổ đại như: Babylon, Ấn Độ giáo, Trung Quốc Ai Cập sở hữu thông tin HH Những yếu tố HH có nguồn gốc quan sát đơn giản, xuất phát từ khả người để nhận so sánh hình dạng kích thước vật Có nhiều trường hợp, người nguyên thủy phải đưa chủ đề HH, không công nhận Chẳng hạn, người đàn ông phải học với tình liên quan đến khoảng cách, ranh giới đất đai họ, xây dựng tường nhà cửa Các tình có liên quan trực tiếp đến khái niệm HH thẳng đứng, song song, vuông góc Ngoài ra, xuất hình dạng với tư cách nghệ thuật nguyên sơ qua kiểu cách đan tết, mẫu mã dệt thêu hình trang trí đồ gốm, công trình kiến trúc,… cho người nhận thức hình HH Tuy nhiên, hình học thời kì tìm thấy thông qua thử nghiệm, quan sát tương tự, dự đoán, chí trực giác Về bản, hình học giai đoạn cho phép câu trả lời gần đúng, thường phục vụ cho mục đích thực tế Chẳng hạn, người Babylon cho số π có giá trị ; người Ai Cập cho công thức tính diện tích hình chữ nhật áp dụng cho tứ giác Cùng với kinh nghiệm đo đạc đất đai Ai Cập, Babylon, Hy Lạp Bắt đầu khoảng từ kỉ VII TCN - V TCN Những hiểu biết người hình trình bày cách hệ thống khoa học, xuất khái niệm, mệnh đề, chứng minh Khoảng kỉ III TCN, Euclide hệ thống hoá toàn kiến thức HH đương thời sách "Cơ bản" tiếng gồm 13 tập Về bản, HH sách Euclide HH sơ cấp ngày Bằng việc đưa vào phương pháp toạ độ nửa đầu kỉ XVII, R Descartes tạo bước tiến quan trọng HH Nhờ dùng công cụ đại số giải tích để nghiên cứu HH Trên sở xuất hình học giải tích, hình học vi phân, hình học xạ ảnh hình học hoạ hình Sự đời HH Lobachevsky (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) kỉ XIX tạo bước ngoặt phát triển HH Nó phá vỡ quan niệm cũ HH (hay gắn với trực giác thông thường) chứng tỏ khả tồn loại HH (phi Euclide) khác Trong phần này, nghiên cứu lịch sử hình học sơ cấp từ thời nguyên thủy đến khoảng đầu kỉ XVII, tức gồm giai đoạn phát sinh giai đoạn toán học sơ cấp 1.1 Giai đoạn phát sinh Thời gian: từ thời nguyên thủy đến kỉ thứ VII, thứ VI trước công nguyên Các toán học tiêu biểu: cổ Ai Cập cổ Babylon 1.1.1 Hình học Ai Cập (3000 TCN - 500 TCN) Người Ai cập sử dụng hình học để xác định thể tích kho thóc, tìm diện tích ruộng, tính toán công trình xây dựng Người Ai cập canh tác cánh đồng giàu phù sa sông Nile mang lại, họ thường xuyên phải đối phó với nạn lũ lụt xảy bên bờ sông Vì vậy, họ phải tính toán để đoán trước lũ đến đo đạc lại đất đai, xây dựng lại hệ thống tưới tiêu sau lũ qua Chính lí mà hình học người Ai Cập phát triển cao Hình học Ai Cập chủ yếu quy tắc thực nghiệm Họ phát triển quy tắc để ước lượng phân chia diện tích đất, họ sử dụng quy tắc để xây dựng tòa nhà, đặc biệt kim tự tháp Họ có phương pháp (sử dụng dây thừng để đo độ dài) để tính toán diện tích thể tích hình tam giác, tứ giác, hình tròn, hình chóp cụt 8  Họ tính diện tích hình tròn công thức  d ÷ với d đường kính đường tròn, 9  π π tức họ biết đến số xấp xỉ gần 3,1605 Họ tính diện tích tứ giác có cạnh a , b , c , d với a b ; c d hai cặp cạnh  a+b c+d  đối theo công thức:  ÷  ÷    Thể tích hình lăng trụ đứng đáy nhân với chiều cao Trong bảng Rhind Papyrus (còn gọi "Ahmes Papyrus") chứa quy tắc phân chia, có 87 toán bao gồm cách giải phương trình, chuỗi, diện tích miền hình học, thể tích kho thóc,… Trong bảng Moscow Papyrus có 25 toán với cách giải, số hình học Bài toán 14, mô tả cách tính thể tích hình chóp cụt đáy hình vuông mà theo cách ghi ngày h V = ( a + ab + b ) Bảng Rhind Papyrus Ngoài họ biết tính diện tích mặt cong, chẳng hạn toán: Tính diện tích xung quanh hình bán trụ có đường cao đường kính đáy 1.1.2 Hình học Babylon (2000 TCN - 500 TCN) Hình học Babylon thường có liên quan đến xây dựng đất đai, chẳng hạn: diện tích thể tích vật thể hình chữ nhật Từ nhiều hình mẫu cụ thể, thấy người Babylon (từ năm 2000 đến 1600 TCN) quen thuộc với qui tắc chung về: + Diện tích tam giác vuông, tam giác cầu, diện tích hình chữ nhật, hình thang vuông + Thể tích hình hộp chữ nhật, lăng trụ đứng có đáy hình thang đặc biệt + Chu vi đường tròn ba lần đường kính diện tích hình tròn bình 12 phương chu vi + Số π họ cho Trong số phiên bản, họ gắn π = 25 + Hai cạnh tương ứng hai tam giác vuông đồng dạng tỉ lệ với nhau, đường thẳng góc vẽ từ đỉnh tam giác cân chia cạnh đáy, góc nội tiếp nửa đường tròn góc vuông + Định lí Pythagoras + Chia chu vi đường tròn thành 360 phần Người ta tìm thấy bốn bảng đặc biệt có niên đại khoảng năm 1900 TCN 1600 TCN chứng tỏ kiến thức hình học người Babylon: Yale table YBC 7289 - cho thấy cách tính đường chéo hình vuông Plimpton 322 - cho thấy ba Pythagoras Susa table - cách tìm bán kính đường tròn qua ba đỉnh tam giác cân Tell Dhibayi table - cách tìm cạnh hình chữ nhật với diện tích đường chéo cho 1.2 Giai đoạn toán học sơ cấp Thời gian: khoảng từ kỉ thứ VI TCN đến khoảng đầu kỉ thứ XVII Các toán học tiêu biểu: cổ Hy Lạp, Ấn Độ Trung Hoa, Ả Rập, Tây Âu,… 1.2.1 Hình học cổ Hy Lạp Người Hy Lạp nhấn mạnh rằng: “hình học thực thành lập cách lý luận suy diễn" Họ tin hình học tìm thấy cách nghiên cứu thử nghiệm Họ chuyển đổi kiến thức hình học có từ quan sát, thử nghiệm, qui tắc sử dụng trường hợp đặc biệt,…thành kiến thức hình học có hệ thống Theo thảo, từ kỉ thứ VII - VI TCN, người Hy Lạp, Thales, có ý niệm chứng minh mệnh đề toán học, từ khía cạnh suy diễn toán học xuất Các nhà toán học Hy Lạp đưa phương pháp tiên đề trình bày lí thuyết toán học, điển hình “Cơ bản” Euclide Phương pháp tiên đề Euclide phát đưa toán học trở thành khoa học độc lập Trong thời kì xuất nhiều nhà toán học tài Thales, Pythagoras, Eudoxus, Euclide, Archimedes, Apollonius, … hệ thống kiến thức hình học sơ cấp, chẳng hạn: Thales phát số kết như: đường tròn phân đôi đường kính bất kì; “Hai đường thẳng cắt tạo cặp góc đối đỉnh nhau”; “Các cạnh tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ lệ với nhau”; góc đáy tam giác cân nhau; góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vuông; Pythagoras đưa cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương, tứ diện đều, thập nhị diện đều; thành viên trường phái Pythagore phát triển tính chất song song để chứng minh tổng góc tam giác hai góc vuông,… Archimedes tìm thấy công thức tính diện tích thể tích nhiều vật thể Trên mộ ông kết ông nhận thấy thể tích hình cầu hai phần ba thể tích hình trụ ngoại tiếp hình cầu đó,… Một số thuật ngữ như: "hình elip", "parabol," "hyperbol" mà sử dụng ngày có nguồn gốc từ hình học cổ Hy Lạp, chúng xuất tác phẩm “ Các thiết diện conic” Apollonius Đối với toán học cổ Hy Lạp, hình học đóng vai trò quan trọng việc giải toán đại số Chẳng hạn, phép toán cộng, trừ, nhân, chia định nghĩa nhờ đoạn thẳng: Phép cộng hiểu đặt liền đoạn thẳng Phép trừ diễn tả cách bớt đoạn thẳng từ đoạn thẳng Phép nhân đoạn thẳng dẫn đến phép dựng hình hai chiều, tích hai đoạn thẳng a đoạn thẳng b xem hình chữ nhật với hai cạnh a, b Trong hình học Hy Lạp có mệnh đề hình học diễn tả đẳng thức đại số Chẳng hạn: hình sau cho ta cách biểu diễn đẳng thức: ( a + b ) = a + 2ab + b a2 ab ab b2 Từ kỉ thứ V TCN, người Hy Lạp đặt ba toán dựng hình cổ tiếng giải thước compa Đó là: Tăng đôi khối lập phương, chia ba góc cầu phương hình tròn Việc giải toán làm nảy sinh lí thuyết toán học cổ Hy Lạp: lí thuyết thiết diện côníc, lí thuyết đường cong bậc 3, bậc 4, phát đường cong siêu việt 1.2.2 Hình học Ấn Độ Hình học Ấn Độ hoàn toàn mang tính chất thực dụng (trực giác nghiệm đúng) Thường có vẽ hình, có nêu không nêu định lí, quy tắc, không chứng minh mà ghi hình vẽ “Hãy xem đây!” Brahmagupta dùng số π với hai giá trị gần π = , π = 10 Ông mở rộng công thức Hêrông trường hợp tứ giác nội tiếp công thức: A= Đối ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) với a, b, c, d cạnh với tứ giác a+b+c+d mở rộng công thức Hêrông cho ta: A = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d )  − abcd cos α , với α tổng hai góc đối tứ giác Manava nêu cách dựng hình tròn xấp xỉ với hình chữ nhật, cách dựng hình tròn 25 = 3,125 xấp xỉ với hình vuông lấy giá trị xấp xỉ π = Apastamba xem xét toán cầu phương hình tròn, chia đoạn thành 577 = 1, 414215686 xác đến chữ số thập phần lấy giá trị xấp xỉ = 408 phân Katyayana phát biểu trường hợp tổng quát định lý Pythagore cho đường chéo hình chữ nhật Một phận đặc biệt quan trọng toán học Cổ Ấn Độ tam giác lượng, xem công thức tính toán để nghiên cứu thiên văn Điều đáng ý toán học Ấn Độ độc đáo không mang dấu ấn Trung Quốc, Hy Lạp hay Babylon Lượng giác Hylap Ptôlêmê vào quan hệ hàm dây cung đường tròn với góc tâm tương ứng Người Ấn Độ cấu tạo bảng lượng giác dây cung thay dây Nhìn chung, ta thấy Ấn Độ, phương pháp tính toán thuật toán có ưu Việc xây dựng hệ thống lí luận suy diễn thấy, hình học có tính chất nghiệm Những đặc điểm bắt nguồn từ điều kiện kinh tế đời sống xã hội p= 1.2.3 Hình học Trung Quốc Nền toán học Trung Quốc đạt thành tựu cao Khoảng 3000 năm trước công nguyên, người Trung Hoa biết dùng compa eke để vẽ hình hình học Vào thề kỉ thứ IV trước công nguyên, Mặc Địch (tức Mặc Tử) định nghĩa đường tròn hình mà từ Vào khoảng năm 152 trước công nguyên, Trần Sanh viết “Cửu chương toán thuật” Trong kỉ VII- X, “Cửu chương toán thuật” dùng làm sách giáo khoa trở thành tác phẩm kinh điển nhà toán học Trung Quốc Tác phẩm có chương, đó, chương I có tên phương điền, nêu lên quy tắc tính diện tích hình vuông, hình chữ nhật Khi tính diện tích hình tròn, hình vành khăn người ta lấy π = Chương V có nội dung “ước tính công trình” đo thể tích, kích thước cần thiết xây dựng tường thành, đào hào hố, đắp đê đập, xây pháo đài,… với nhiều hình thù khác nhau, có công thức tính thể tích khối khác Chương IX gồm toán xác định khoảng cách chiều cao không tới nhờ định lý Cao Thương (định lý Pythagoras) tính chất tam giác đồng dạng Thế kỉ thứ I trước công nguyên, Lưu Hâm tính π gần 3,1547 Vào kỉ thứ II sau công nguyên, Trương Hoành tìm π gần 10 ông dùng giá trị để tích thể tích hình cầu 1.2.4 Hình học Ả Rập Hình học Ả Rập có số đặc điểm: + Lưu giữ nhiều khám phá, bền bỉ nổ lực dịch thuật thỏa đáng kinh điển lớn Hy Lạp + Abul Wefa có công trình nghiên cứu, ông cho biết cách đặt đỉnh đa diện lên hình cầu ngoại tiếp chúng mà dùng compa có độ mở cố định + Omar Khayyam nói tới phép giải tích hình học cho phương trình bậc + Nasired-din nghiên cứu định đề song song Eucid đưa phép chứng minh độc đáo định lý Pythagoras + Al-Haitam vào khoảng 965-1039, có toán hình học dẫn tới phương trình bậc 4, giải phương pháp Hy Lap cho Hypebol đường tròn giao Các nhà hình học tiêu biểu 2.1 THALES (624 TCN- 548 TCN) Thales thành Miletos (tiếng Hy Lạp: Θαλῆς ὁ Μιλήσιος; khoảng 624 TCN – khoảng 548 TCN), triết gia, nhà toán học người Hy Lạp sống trước Socrates, người đứng đầu bảy nhà hiền triết Hy Lạp Ông xem nhà triết gia triết học Hy Lạp cổ đại, "cha đẻ khoa học" Tên ông dùng để đặt cho định lý toán học ông phát 2.1.1 Tiểu sử Thales sống khoảng thời gian từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh thành phố Miletos, thành phố cổ bờ biển gần cửa sông Maeander (của Thổ Nhĩ Kỳ) Tuổi thọ ông cách xác Có hai nguồn: nguồn cho ông sống khoảng 90 tuổi, nguồn khác cho ông sống khoảng 80 tuổi 2.1.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp Định lý Thales: DE AE AD = = BC AC AB Định lý Thales: Hai đường thẳng song song định hai đường thẳng giao đoạn thẳng tỷ lệ Góc chắn nửa đường tròn vuông Đường kính chia đôi đường tròn thành hai phần Hai góc đáy tam giác cân Hai tam giác có hai cặp góc đối cặp cạnh tương ứng Hai góc đối đỉnh 10 2.7.1 Tiểu sử Apollonius sinh Perga, miền nam tiểu Á Thuở nhỏ ông sang Alexandria học toán với học trò Euclide Một ý ta không nên nhầm lẫn nhà toán học Apollonius sinh Perga với học giả khác Hy lạp có tên gọi Apollonius cho tên chung Chẳng hạn : Apollonius Rhodes , sinh khoảng 295 TCN, nhà thơ nhà văn phạm học người Hy lạp, ông học trò Callimachus thầy Eratosthenes Apollonius Tralles, sống khoảng kỷ thứ hai TCN, nhà điêu khắc Hy lạp Apollonius Athena, sống khoảng kỷ thứ TCN, nhà điêu khắc Hy lạp, … Apollonius nhà thiên văn tiếng , ông lập nên lý thuyết chuyển động mặt trăng để lại bảng tính toán giúp tính vị trí mặt trời mặt trăng thời gian nhật thực nguyệt thực Ngoài thiên văn học ông có nhiều công trình lớn toán học Nhưng công trình danh tiếng ông tác phẩm “các thiết diện conic” công trình mà người đương thời gọi ông nhà “hình học vĩ đại” Các công trình tiêu biểu ông là: Tác phẩm “ Các thiết diện conic”; Đường tròn Apollonius; Định lý Apollonius 2.7.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp Tác phẩm “ thiết diện conic” gồm , khoảng 400 mệnh đề , công trình nghiên cứu chuyên đường conic hoàn toàn vượt trội công trình trước nghiên cứu Trong I, Apollonius nghiên cứu tất hình conic ngày từ hình nón tròn kép thẳng xiên Tên gọi ellip, parabol, hyperbol ông đưa dựa vào thuật ngữ Pythagoras áp dụng vào diện tích Ông tìm phương trình y2 = px parabol , ngày ta gọi phương trình tắc parabol, p tham số tiêu Trong công trình thiết diện conic, ông sử dụng đại số hình học nghiên cứu tính chất thiết diện conic, đường kính, tiêu cự, pháp tuyến tiếp tuyến chúng 31 Chính kết ông mà nhiều nhà nghiên cứu cho rằng, hình học giải tích xuất cổ Hy Lạp Đường tròn Apollonius: cho hai điểm A B cố định mặt phẳng số thực k > , k ≠ Khi quỹ tích điểm P cho AP =k đường tròn BP Định lý Apollonius : ( định lý đường trung tuyến) Trong tam giác D trung điểm BC AB + AC =2( BD + AD ) Ông sử dụng phương pháp hình học xạ ảnh Ông xem người có ảnh hưởng lớn đến phát triển hình học, thiên văn học học Ngoài công trình để lại ông có đóng góp khác tầm ảnh hưởng tích cực ông việc phát triển hình học, thiên văn học học Ông nhà toán học lớn phương châm sống hay giai thoại ông không nghe kể đến 2.8 32 HERON (10 - 75 sau công nguyên) Heron nhà toán học vật lý vùng Alexandria, ngày sinh ngày Các công trình ông chủ đề toán học vật lý học phong phú nội dung nhiều số lượng tới mức mà người ta thường xem ông tác gia bách khoa lĩnh vực Có lý giả định ông người Ai Cập huấn luyện theo kiểu Hy Lạp Trong luận văn ông thường nhắm đến tính hữu dụng thực tiễn tính hoàn chỉnh lý thuyết, điều cho thấy có pha trộn Hy Lạp phương Đông Ông quan tâm đến việc xây dựng móng khoa học cho kỹ thuật cho trắc địa Các công trình Heron chia thành hai lớp: hình học (công trình Metrica) học Các công trình hình học nói đến vấn đề đo lường công trình học mô tả thiết bị học khéo léo (công trình Pneumatica, Dioptra Catotrica) Công trình quan trọng Heron "Metrica" hình học gồm ba tìm thấy Constantinple R Schone vào năm 1896 Quyển I nói việc đo diện tích hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, tứ giác đặc biệt khác nhau, đa giác đều, vòng tròn cung tròn, ellip, diện tích hình trụ, hình nón, hình cầu đới cầu Trong tác phẩm này, Heron rút công thức tiếng để tính diện tích tam giác theo ba cạnh: S= đó: p = p( p − a )( p − b)( p − c) a+b+c Quyển II Metrica nói cách tính thể tích hình nón, trụ, hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp, hình nón cụt, hình cầu, đới cầu Quyển III nói cách chia số diện tích thể tích thành phần theo tỉ số cho trước 2.9 MENELAUS (70 - 130 sau công nguyên) 33 Menelaus sống thời đại đế chế Alexandria Tương truyền ông sinh vào khoảng năm 70 thời đại Alexandria, Ai Cập vào khoảng năm 130 Mặc dù biết đời Menelaus, qua Ptolemy, biết quan sát thiên văn Menelaus Roma vào ngày 14 tháng năm 98 Những quan sát bao gồm tượng mặt trăng che khuất Beta Scorpii Ông ta nói Plutarch, người mô tả nói chuyện Menelaus Luccius, Lucius xin lỗi Menelaus nghi ngờ kiện ánh sáng phản xạ, tuân theo luật góc tới góc phản xạ Lucius nói: "Thưa ngài Menelaus, lấy làm xấu hổ nghi ngờ mệnh đề toán học, sở phản xạ học Chưa có mệnh đề vậy." Cuộc đàm thoại cho diễn Roma vào thời gian sau năm 75 sau công nguyên, thế, đoán Menelaus sinh vào năm 70 sau công nguyên gần diễn vào nhiều năm sau năm 75 Ngoài ra, biết đời Menelaus ít, ngoại trừ ông Pappus Proclus gọi Menelaus thời Alexandria Tất viết đoán dựa vào khoảng thời gian ông ta sống Roma Alexandria, điều suy đoán hợp lý ông ta sinh Alexandria sống thời trẻ, sau đó, chuyển đến Roma Một toán Ả rập viết vào khoảng kỷ X ghi lại Menelaus sau: Ông ta sinh trước Ptolemy Ông viết "Sách mệnh đề khối cầu", "Kiến thức lực phân phối vật thể", sách "Hình học bản" Thabit Ibn Qurra chỉnh sửa, "Sách tam giác" Một số dịch sang tiếng Ả rập Các sách Menelaus lại Sphaerica Nó liên quan tới tam giác cầu ứng dụng tam giác cầu thiên văn Đầu tiên, ông ta định nghĩa tam giác cầu để định nghĩa 1: "Một tam giác cầu phần không gian bị giới hạn cung đường tròn lớn mặt cầu, cung nhỏ nửa đường tròn." Trong Sphaerica, ông thiết lập tương quan cho tam giác cầu giống Euclid thiết lập cho tam giác phẳng Ông dùng cung đường tròn lớn thay dùng cung đường tròn song song mặt cầu Đây bước ngoặc phát triển môn lượng giác cầu Tuy nhiên, Menelaus không vừa ý với phương pháp chứng minh quy nạp thông thường mà Euclid hay dùng Menelaus không dùng cách để chứng minh định lý, ông ta chứng minh số định lý hình học Euclid tương ứng cho trường hợp tam giác cầu cách dễ dàng phương pháp khác Trong số trường hợp, tương quan Menelaus hoàn thiện tương quan tương tự hình học Euclid 34 Quyển áp dụng hình học cầu vào nghiên cứu thiên văn Những kết áp dụng rộng rãi mệnh đề Theodosius tác phẩm Sphaerica, Menelaus đưa phương pháp chứng minh tốt Quyển liên quan tới lượng giác cầu bao gồm định lý Menelaus Các định lý đến tam giác phẳng "Nếu đường thẳng cắt cạnh bên tam giác (một cạnh bên kéo dài từ cạnh tam giác), tích đoạn thẳng tạo thành tích cạnh tam giác" Menelaus giải thích định lý tam giác cầu (ngày gọi định lý Menelaus) đưa vào mệnh đề Các đường thẳng hiểu giao đường tròn lớn mặt cầu Những lời giải, bình luận tác phẩm Sphaerica dịch sang tiếng Ả rập Một số tác phẩm việc xây dựng lại tác phẩm gốc khó khăn Mặt khác, phải biết có việc tìm kiến thức trước tác phẩm để giải thích, dễ thấy hiểu rõ gốc Những dịch tiếng Ả rập [6], [9] [10] đem thảo luận Có nhiều công trình khác Menelaus tác giả Ả rập đề cập bị tiếng Hy Lạp lẫn tiếng Ả rập Chúng đưa trích dẫn từ sách Ả rập vào kỷ X, ghi lại sách gọi "Hình học bản", gồm Thabit Ibn Qurra dịch sang tiếng Ả rập Nó ghi lại công trình khác Menelaus có tên "Sách viết tam giác" công trình bị nhiều mảnh dịch tiếng Ả rập tìm thấy Proclus nói đến hình học Menelaus, công trình sót lại Người ta nghĩ loại hình học đề cập nguyên Sau chứng minh định lý tác phẩm "cơ bản" Euclide Menelaus chứng minh lại, không dùng phương pháp quy nạp thông thường, chứng minh nằm công trình sót lại, ông ta, định lý hiển nhiên Chứng minh mà Proclus cho Menelaus chứng minh dịch dịch tác phẩm Euclide "Nếu tam giác có cặp cạnh tương ứng tam giác có đáy lớn đáy tam giác kia, góc xen cạnh tam giác lớn góc xen cạnh tam giác kia." Bản mục tiếng Ả rập khác gợi tác phẩm "Hình học bản" chứa giải Archytas toán "phân đôi khối lập phương" Paul Tarinery phát biểu kết tương tự cho đường cong bất kỳ, vấn đề Pappus đưa Menelaus xét đến đường cong Viviani Bulmer-Thomas [1] giải thích: đoán hấp dẫn chưa thể chứng minh Một số tác giả Ả rập tác phẩm học, tin giả thuyết Menelaus Nó dùng để nghiên cứu cân Archimedes Menelaus nghĩ Đặc biệt, Menelaus thích nghiên cứu trọng lực phân tích hợp kim 2.10 AL KASHI (1380 – 22/06/1429) 35 2.10.1 Tiểu sử Al Kashi nhà toán học trung Á, nhà toán học lớn nhà toán học hồi giáo, ông sinh 1380 Kashan miền trung Iran Một khu vực mà thời kỳ chịu cai trị Tamurlane hay gọi Timur, người mà có tư tưởng xâm chiếm khu vực khác chăm sóc người dân vùng Do suốt thời thơ ấu năm đầu tuổi trưởng thành Al Kashi sống nghèo đói Hoàn cảnh trở nên tốt Timur qua đời 1405 trai ông Shah Rokh lên nắm quyền Shah Rokh vợ ông ta Goharshad, công chúa Ba Tư người quan tâm khoa học, họ khuyến khích người triều đình họ nghiên cứu sâu rộng lĩnh vực khác khoa học.Trong trai Shah Rokh Goharshad Ulugh Beg người say mê khoa học có đóng góp lớn toán học thiên văn học Do đó, thời gian trị gia đình họ trở thành thành tựu nghiên cứu khoa học uyên bác Đây môi trường hoàn hảo cho Al-Kashi để bắt đầu nghiệp nhà toán học vĩ đại giới Tám năm sau Goharshad lên nắm quyền trai ông Ulugh Beg thành lập viện nghiên cứu Samarkand nhanh chóng trở thành trường đại học tiếng Trường đại học thu hút sinh viên từ khắp Trung Đông, khu vực khác đến học.Năm 1414, Al-Kashi đến học viên để dạy học ông trở nên tiếng Ở học viện Al-Kashi làm việc sách mình, gọi "Risala alwatar wa'l-jaib" có nghĩa "Những nghiên cứu dây cung Sin", ông qua đời năm 1429 Về chết ông tranh cãi , só người cho mâu thuẫn nên Ulugh Beg lệnh giết Al Kashi, số người khác nói ông chết bệnh tật 2.10.2 Các công trình giai thoại 2.10.2.1 Về thiên văn học: Gồm công trình lớn Khaqani Zij Astronomical Treatise on the size and distance of heavenly bodies (luận kích cỡ khoảng cách thiên thể) Treatise on Astronomical Observational Instruments (luận dụng cụ quan sát thiên văn) Plate of Conjunctions Planetary computer 2.10.2.2 Về toán học Gồm công trình lớn : Law of cosines (còn gọi Định lý cosin) 36 Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c Ta có: a =b + c - 2bc.cos A b =a + c - 2ac.cos B c =a +b - 2ab.cos C The Treatise on the Chord and Sine (bài luận dây cung sin) The Key to Arithmetic (chìa khóa số học) + Computation of π ( ước tính số π) + Decimal fractions( phân số thập phân) + Khayyam's triangle ( Tam giác Khayyam) tam giác Pascal Đóng góp cho khoa học, toán học Với công trình khoa học cho ta thấy đóng góp ông cho khoa học, toán học lớn Một đóng góp mà phổ biến định lý cosin hình học lớp 10 2.10.2.3 Giai thoại châm ngôn Ngoài công trình khoa học tìm thấy người ta biết đời sống ông nên châm ngôn giai thoại ông không tìm thấy Ông người tính số Pi tới 10 chữ số, phá kỷ lục nhà toán học Trung Quốc Tổ Xung Chi Với số Pi chứa 17 chữ số, nhà toán học người Ba Tư lập nên kỷ lục mới, phá vỡ độc tôn số Pi Tổ Xung Chi tồn suốt 1000 lịch sử toán học Để làm điều này, al-Kāshī xét đa giác có 3×1028 cạnh nối tiếp ngoại tiếp đường tròn Đây cách mà Archimedes sử dụng khác hoàn toàn với phương pháp tô điểm Tổ Xung Chi Ngoài al-Kāshī dự báo số Pi số vô tỉ, tức biểu diễn dạng tỉ lệ nào, điều nhà toán học người Thụy Sỹ Johann Heinrich Lambert chứng minh vào 200 năm sau 37 Ứng dụng 3.1 Ứng dụng 1: Tổ chức buổi sinh hoạt ngoại khóa Chủ đề: Tìm hiểu lịch sử toán Mục đích: Giúp học sinh hiểu thêm lịch sử toán, số nhà toán học tiêu biểu môn hình học, đồng thời giúp em có dịp vui chơi, thư giãn vào cuối tuần, rèn luyện tinh thần đoàn kết, ý thức tập thể, để em gần Đối tượng tham gia: Tập thể học sinh lớp Hình thức tổ chức: Gồm vòng thi Vòng 1: Vòng loại (có câu hỏi) Chuẩn bị: Mỗi học sinh chuẩn bị bảng nhỏ, viết phấn bút lông để trả lời Thể lệ tham gia: Giáo viên đưa câu hỏi, em trả lời câu hỏi vào bảng, trả lời hết câu vào chơi tiếp vòng 2, trả lời sai câu bị loại trở thành khán giả cổ vũ cho bạn lại Câu 1: Nhà toán học xây dựng hình học phương pháp tiên đề? a Euclid b Pythagoras c Thales d Archimedes Câu 2: Ai nghĩ phương pháp đo chiều cao kim tự tháp Ai Cập dựa vào bóng chúng? a Pythagoras b Thales c Apollonius d Eudoxus Câu 3: Bảng Rhind Papyrus Moscow Papyrus giúp hiểu biết toán học nào? Đáp án: Ai Cập Câu 4: Bộ sách “Cơ bản” Euclide gồm cuốn? a 10 b 11 c 12 d 13 Câu 5: Euclide mệnh danh “cha đẻ hình học” hay sai? Đáp án: Đúng Vòng 2: Thách đố (có câu hỏi) Thể lệ: Những thí sinh vượt qua vòng 1, bốc thăm để chia thành đội tham gia vòng Mỗi câu hỏi có kiện liên quan, hai đội thách đấu xem đội trả lời vòng kiện, đội kiện ưu tiên trả lời trả lời kiện 50 điểm, trả lời kiện thứ hai 40 điểm, kiện thứ ba 30 điểm, kiện thứ tư 20 điểm, kiện cuối 10 điểm Nếu trả lời sai bị trừ 38 điểm đội lại quyền trả lời, trả lời số điểm tương ứng với kiện, trả lời sai không bị trừ điểm Câu 1: Ông ai? Dữ kiện 1: Ông nhà toán học Hy Lạp Dữ kiện 2: Ông cha đẻ khoa học Dữ kiện 3: Ông coi người sáng lập toán học Hy Lạp Dữ kiện 4: Ông người ý thức việc chứng minh tính đắn mệnh đề toán học Dữ kiện 5: Định lí mang tên ông: hai đường thẳng song song định hai đường thẳng giao đoạn thẳng tỉ lệ Đáp án: Thales Câu 2: Ông ai? Dữ kiện 1: Ông nhà bác học vĩ đại Hy Lạp cổ Dữ kiện 2: Ông học sinh nhà toán học tiếng Euclide Dữ kiện 3: Ông bị binh sĩ La Mã giết hại trận công vào Syracuse ông làm toán Dữ kiện 4: Ông nói: “tôi đếm tất hạt cát vũ trụ” Dữ kiện 5: Ông coi nhà toán học vĩ đại thời cổ đại người vĩ đại thời đại Đáp án: Archimedes Câu 3: Ông ai? Dữ kiện 1: Ông sinh sau Thales khoảng 50 năm Dữ kiện 2: Ông có lập trường phái mang tên ông Dữ kiện 3: Ông có định lí khởi nguồn cho Fermat kỉ XVII tạo toán khó bất hủ Dữ kiện 4: Ông người chứng minh hệ thức độ dài cạnh tam giác vuông Dữ kiện 5: Hệ thức độ dài cạnh tam giác vuông định lí mang tên ông Đáp án: Pythagoras Vòng 3: Khám phá ô chữ Thể lệ: Có từ hàng ngang, từ hàng ngang có kí tự nằm từ khóa (được tô màu khác) Mỗi đội chọn từ hàng ngang trả lời vào bảng Đội chọn từ hàng ngang trả lời 10 điểm, sai bị trừ điểm; đội lại trả lời điểm, sai không bị trừ điểm Nếu hai đội không trả lời ô chữ hàng ngang không mở Sau từ hàng ngang (giáo viên chưa đưa gợi ý từ khóa), đội giơ tay trước trả lời từ khóa, trả lời 30 điểm, sai bị trừ 10 điểm đội lại quyền trả lời Nếu sau giáo viên đưa gợi ý trả lời 20 điểm, sai bị trừ 10 điểm Đội chiến thắng chung đội có tổng số điểm hai vòng thi cao Nếu hai đội có tổng số điểm tiếp tục tham gia vòng thi phụ Câu 1: Công trình tiếng Euclid? Đáp án: Cơ Bản 39 Câu 2: Ai người tìm hình đa diện đều: tứ diện đều, lập phương, bát diện đều, thập nhị diện đều, nhị thập diện đều? Đáp án: Platon Câu 3: Công thức tính diện tích tam giác theo ba cạnh S= p( p − a )( p − b)( p − c) , p = a+b+c nhà toán học nào? Đáp án: Heron Câu 4: Nhà toán học xây dựng lý thuyết đường conic cách toàn diện nhất? Đáp án: Apollonius Gợi ý từ khóa: Một lĩnh vực toán dạy cho học sinh phổ thông nay? Đáp án từ khóa: HÌNH HỌC SƠ CẤP 3.2 Ứng dụng 2: Một số ứng dụng vào dạy học kiến thức đại số Example The Greeks constructed a line segment of length integer n , where n is a positive Solution First write n as n.1; then make AB=n and BC=1 Draw a semicricle on AC as diameter Erect BD perpendicular to AC at B, meeting the semicircle at the point D By similar triangles, prove that the length of BD equals n (Bình luận: - Chứng minh đơn giản Ta xét ∆ABD∼∆DBC (g.g) Khi ta có tỉ lệ AB BD = ⇔ BD = AB.BC BD BC - Ở ta sử dụng kiến thức ∆ đồng dạng kiến thức dựng hình (bằng thước thẳng compa) - Chúng ta áp dụng cách dựng hình để dạy HS số vô tỉ Một khái niệm tập số mà HS tiếp cận Số vô tỷ số nào? Liệu biểu diễn chúng trục số hay không? Chúng ta làm việc thông qua ví dụ trên.) Example The value x = 0.6180339… 40 ( ) − is the reciprocal of the “golden ratio” – that is, Solution Let us review Euclid’s construction for the golden section of a line segment AB=a At the endpoint B of AB, erect a perpendicular BE equal in length to a; with the midpoint P of AB as center anh radius PE, draw an arc cutting the extension of AB at the point Q Take B as center and radius BQ, and draw an arc meeting AB at C The point C divides the segment AB in the ratio sought (Bình luận: - Đây ví dụ “tỉ lệ vàng” Euclid - Tỷ lệ vàng ϕ (phi), định nghĩa tỷ số chia đoạn thẳng thành hai phần cho tỷ lệ đoạn ban đầu với đoạn lớn tỷ số đoạn lớn đoạn nhỏ Có thể chứng minh quy độ dài đoạn lớn đơn vị tỷ lệ nghiệm dương ϕ= phương ( ) trình: x = x 1+ x hay tương đương x2 − x − = số + ≈ 1.618033989 - Qua ví dụ tỉ lệ vàng, bạn dẫn vào dãy Fibonacci Người ta chứng minh công thức tổng quát dãy Fibonacci là: n n  +   −     Xn = ÷ −  ÷ ÷  ÷      - Chúng ta dẫn dắt vào dạy tìm nghiệm phương trình bậc Để hiểu chi tiết bạn tham khảo “The History of Mathematics An Introduction” David M Burton 3.3 Ứng dụng 3: Một số ứng dụng vào dạy học kiến thức hình học Example In the Book of Lemmas (a collection of 13 geometrical propositions that has come down to us only in an Arabic translation), Archimedes introduced a figure that, owing to its shape, is known as the arbelos , or “shoemaker’s knife” 41 If a straight line AB is divided into two parts at C anh if on one side of AB are described semicircles with AB, AC and CB as diameters, then the region included between the circumferences of the three semicircles is the shoemaker’s knife Prove that if PC is the straight line perpendicular to AB at C, then the area of the shoemaker’s knife equals the area of the circle whose diameter is PC Hint: AB = AC + BC + AC BC = AC + BC + 2PC (Bình luận: - Việc chứng minh tìm hiểu thêm mạng Chúng ta tham khảo qua cách chứng minh cho toán sau: Nếu BC = BA = r, sau 2 • Trong tam giác BHA: r + h = x ( 1) • Trong tam giác CHA: ( − r ) + h = y ( ) 2 Trong tam giác BHC: x + y = 1( 3) Từ (1) ta suy h = x − r thay vào (2) y = − 2r + x Thay tiếp y vào (3) ta có • phương trình sau: x − r = Giải tìm x được: x = r Với giá trị x tìm được, ta suy ra: y = − r ; h = r − r 2 1  πr πr r − r Do Scircle = π  r − r2 ÷ = − Bán kính đường tròn tâm O là: 4 2  Khu vực arbelos khu vực hình bán nguyệt lớn trừ diện tích hai hình bán nguyệt nhỏ Do đó, diện tích arbelos là: S arbelos 2 π π  r  π  − r   π r π r = −  ÷ −  − ⇔ S arbelos = Scircle ÷=       4 - Để áp dụng vào việc dạy HH, qua toán ta cho HS so sánh diện tích đường tròn có đường kính PC với diện tích hình “Arbelos” Việc tính toán đấy, dẫn đến tính diện tích hình tròn, tức S = π R Qua ta có ví dụ để dẫn vào kiến thức có liên quan đến yếu tố đường tròn hay yếu tố hình cầu - Bài toán nên phát biểu lại để dễ dàng cho HS thực hành - Nhưng giá trị π sao? Example To find a formula for the length of the side of a regular inscribed polygon of 2n sides in terms of the length of the side of the regular polygon of n sides, proceed as follow Let PR = Sn be the side of a regular n-gon inscribed in a circle of radius Through the center O of the circle, draw a perpendicular to PR, bisecting PR at T anh meeting the circle at Q; then PQ = QR = S 2n are sides of the inscribed regular 2n-gon Prove that: 42 ( a) S n2 OT = OR − TR = − ( b) QT = ( − OT ) ( c) S22n = QT + TR = − − S n2 2 2  − Sn2 = 1 −    ÷ ÷  For regular polygons nscribed in a circle of radius 1, use S6 = to conclude that: S12 = − 3; S 24 = − + ; S 48 = − + + ; S96 = − + + + 43 And hence that π ≈ 48S96 ≈ 3.14103 ≈ 22 , which was the value Archimedes found Bình luận: Đây toán tìm giá trị π, số cạnh đa giác nội tiếp đường tròn r=1 lớn giá trị nhận gần với π Việc tìm biểu thức (a), (b) (c) ta phát biểu thành toán với đa giác với số cạnh n=4; n=6; … HS dễ làm Sau suy π (có thể giá trị nhận gần với π) Đối với trường hợp S6 = ta phát biểu lại thành toán thực hành HS: Bài toán: “Cho lục giác ABCDEF, cạnh nội tiếp đường tròn tâm O bán kính Qua tâm O kẻ Ox vuông góc với dây cung AB J cắt (O) K Hãy tìm độ dài đoạn KB?” Qua toán giới thiệu cho HS giá trị số π Nếu HS tiếp thu tốt ta khái quát độ dài cạnh đa giác gồm n cạnh 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phú Lộc, Lịch sử toán học, NXB Giáo dục, 2008 vi.wikipedia.org/wiki/lịch_sử_toán_học www.vnmath.vn diendantoanhoc.net/home/lịch-sử-toán-học/danh-nhân-toán-học www.google.com/ toan hoc va tuoi tre www.google.com/ lich su toan www.google.com/ tieu luan ve lich su toan www.google.com/ danh nhan toan hoc the gioi 45