Trong lịch sử toán học, có thể thấy có bốn giai đoạn khác nhau rõ ràng về chất. Giai đoạn 1: Thời kì “ Ra đời của toán học” với tư cách là một ngành khoa học độc lập. Nó bắt đầu từ mãi đâu trong chiều sâu của lịch sử và kéo dài đến khoảng thế kỉ 65 trước CN.Giai đoạn 2: Thời kì của “ Toán học sơ cấp” toán học các đại lượng không đổi, kéo dài đến khoảng cuối thế kỉ 17, khi mà ngành toán học mới, toán học “ cao cấp” cũng đã phát triển khá sâu.Giai đoạn 3: Thời kì của “ Toán học biến thiên” với sự ra đời và phát triển của giải tích toán học, sự nghiên cứu các quá trình vận động và phát triển của chúng.Giai đoạn 4: Thời kì của “Toán học hiện đại” với nét đặc trưng là nghiên cứu có ý thức và có hệ thống các loại hình khả dĩ của các quan hệ định lượng và của các hình thể không gian. Hình học không chỉ nghiên cứu không gian ba chiều có thực, mà cả các hình thể không gian tương tự. Giải tích toán học xét các đại lượng “ biến thiên phụ thuộc” không chỉ một biến bằng hằng số, mà cả một đường (hàm) nào đó; điều này đã đưa tới các khái niệm “ phiếm hàm” và “ toán tử”. “ Đại số học” chuyển thành lí thuyết các phép tính đại số với các phần tử có bản chất bất kì, miễn là các phép tính ấy có thể thực hiện với chúng. Thời kì này của toán học bắt đầu từ nửa đầu thế kỉ 19.
Nhóm 1) LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN GIẢI TÍCH 2) MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU VÀ CÁC SỰ KIỆN LIÊN QUAN 3) MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO DẠY HỌC 4) TRÒ CHƠI MỞ ĐẦU Trong lịch sử toán học, thấy có bốn giai đoạn khác rõ ràng chất Giai đoạn 1: Thời kì “ Ra đời toán học” với tư cách ngành khoa học độc lập Nó đâu chiều sâu lịch sử kéo dài đến khoảng kỉ 6-5 trước CN Giai đoạn 2: Thời kì “ Toán học sơ cấp” toán học đại lượng không đổi, kéo dài đến khoảng cuối kỉ 17, mà ngành toán học mới, toán học “ cao cấp” phát triển sâu Giai đoạn 3: Thời kì “ Toán học biến thiên” với đời phát triển giải tích toán học, nghiên cứu trình vận động phát triển chúng Giai đoạn 4: Thời kì “Toán học đại” với nét đặc trưng nghiên cứu có ý thức có hệ thống loại hình quan hệ định lượng hình thể không gian Hình học không nghiên cứu không gian ba chiều có thực, mà hình thể không gian tương tự Giải tích toán học xét đại lượng “ biến thiên phụ thuộc” không biến số, mà đường (hàm) đó; điều đưa tới khái niệm “ phiếm hàm” “ toán tử” “ Đại số học” chuyển thành lí thuyết phép tính đại số với phần tử có chất bất kì, miễn phép tính thực với chúng Thời kì toán học nửa đầu kỉ 19 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN GIẢI TÍCH I.Lịch sử phát triển giải tích Bắt đầu kỉ 17 lúc mà ý tưởng chuyển động biến thiên thâm nhập rõ ràng vào toán học Việc khảo sát đại lượng biến thiên mối liên hệ chúng dẫn đến khái niệm hàm, đạo hàm tích phân, đưa tới đời môn toán học – giải tích toán học Giải tích toán học ( Mathematical Analysis) có tên phép tính đại lượng vô bé vô lớn ( calculus of Infinitely Small and Large Quantities) phép tính vi tích phân (calculus of Differentiation and Integration)hoặc gọi tắt Calculus,ra đời vào cuối kỉ thứ 17 Trong lịch sử, hai phép tính vi phân tích phân phát độc lập với Mầm mống phép tính tích phân có từ thời kì Hy Lạp cổ đại, công trình Archimede, liên quan đến vấn đề cầu phương, cầu tích, cầu trường Vào kỷ XVII, hoàn toàn độc lập với phép tính tích phân, tư tưởng phép tính vi phân hình thành qua nghiên cứu Fermat việc giải toán, tìm tiếp tuyến, cực đại, cực tiểu hàm số việc nghiên cứu chuyển động Chính từ việc xác định đường cong biết tiếp tuyến mà Barrow thiết lập cầu nối toán cầu phương toán dựng tiếp tuyến Quan hệ thuận nghịch hai phép tính vi phân tích phân thể rõ qua công thức Newton, Leibniz, Cauchy chứng minh, mà ngày ta gọi định lí hai phép tính I.Lịch sử phát triển giải tích Vào thời cổ đại, toán xác định diện tích hình thể tích vật thể đặt Người Ai Cập Babylone cổ tính diện tích thể tích số hình đơn giản theo công thức dùng ngày Nhà bác học cổ Hy Lạp Democritus, vào kỉ thứ trước CN đưa thuyết nguyên tử, cho vật thể cấu thành tập hợp vô hạn nguyên tử nhỏ bé mà ông gọi “ đại lượng sở” Áp dụng thuyết nguyên tử vào toán học, Democritus tính diện tích số hình cách chia nhỏ chúng Quan niệm ông xem nguồn gốc khái niệm vô bé Điều đặt yêu cầu “ cần phải nghiên cứu sử dụng phương pháp mà bên cạnh hình thức suy luận khác đại lượng vô bé có yếu tố chuyển qua giới hạn” ( K.A Rư-ni-côp, 1967, trang70) Người xây dựng phương pháp cho phép chuyển qua giới hạn Eudoxe (410356 trước CN) Phương pháp ông gọi phương pháp “ vét kiệt” Và phương pháp Archimedes (287-212 trước CN) sử dụng thành thạo để cầu phương hình, cầu tích thể, cầu trường cung xác định trọng tâm vật thể I.Lịch sử phát triển giải tích Phép tính vi phân tích phân sáng tạo nhằm giải bốn vấn đề khoa học kỉ 17: 1)Tìm vận tốc gia tốc vật thể chuyển động theo thời gian biết phương trình vật thể 2)Tìm tiếp tuyến đường cong 3)Tìm cực đại cực tiểu hàm số 4)Tìm độ dài đường cong Các nhà toán học cổ Hy Lạp dùng phương pháp “vét kiệt” cách khéo léo, nhà toán học kỉ 17 dần cải tiến, họ nhanh chóng phát minh phép tính vi-tích phân để giải vấn đề khoa học I.Lịch sử phát triển giải tích Có nhiều nhà toán học kế thừa cải tiến dần phương pháp "vét kiệt" dần tiếp cận tới phép tính vi tích phân : Kepler, Galileo, Wallis, Fermat, Cavalieri, Huygens, Ví dụ như: Kepler tính xấp xỉ diện tích vật thể tròn xoay; Galileo nhận biết diện tích phần giới hạn thời gian đường cong vận tốc biểu diễn quãng đường Wallis áp dụng phương pháp phân chia nhỏ vô hạn để tính nhiều toán cầu phương nhiều kết hữu ích khác Phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm đa thức Fermat tương đương với phương pháp đại tìm đạo hàm hàm số cho đạo hàm không Fermat, Roberval, Torircelli Cavalieri đạt cách độc lập việc cho diện tích phần đường cong ‘‘luỹ thừa bậc n’’ Tuy nhiên họ chưa biết dùng nguyên hàm để tính diện tích vậy, I.Lịch sử phát triển giải tích Tất cố gắng họ đạt đến đỉnh cao Newton Leibniz hoàn thiện phép tính vi - tích phân Hai ông tạo hệ thống tập hợp kí hiệu tổng quát hệ thống quy tắc giải tích hình thức cho phép tính vi - tích phân Theo Frederick – nhà lịch sử giải tích Bowling Green University, nguyên nhân hoàn thiện phép tính vi-tích phân Newton Leibniz móng phương pháp vét kiệt Eudoxus: 1) Những công trình sớm gần tập hợp công cụ thông minh áp dụng vào đa thức, có tính tổng quát áp dụng cho nhiều loại toán khác 2) Sự phát triển thuật toán ký hiệu Newton Leibniz phát triển giải thuật tổng quát, nhờ mà phương pháp trước áp dụng Các kí hiệu dy dx cho đạo hàm ∫ Cho tích phân Leibniz I.Lịch sử phát triển giải tích 3) Sự thấu hiểu phép tính vi phân phép tính tích phân hai trình ngược khai thác kiện vấn đề yếu môn phép tính vi – tích phân 4) Newton Leibniz ý thức việc sáng tạo ngành toán học quan trọng Cả hai người hiểu họ phát triển phương pháp tổng quát quan trọng Về sau, Cauchy người tiếp sau kỷ XIX phát triển khái niệm giải tích sở chặt chẽ Tuy nhiên, để đạt chặt chẽ ngày nay, nhà nghiên cứu phép tính vi phân tích phân đối mặt vấn đề mối quan hệ liên tục rời rạc, hữu hạn vô hạn, chuyển động đứng yên MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU II Một số nhà toán học tiêu biểu Banach (1892 – 1945) Kết làm sở cho hàng loạt nghiên cứu vấn đề độ đo không gian Banach bao gồm không gian Hilbert trường hợp riêng, không bao gồm tất không gian phiếm hàm Cùng với Tarski, ông nghiên cứu lý thuyết tập hợp Ông nghiên cứu lý thuyết hàm số với biến số thực đề nhiều hướng toán học học III Một số ứng dụng LST vào chương trình PT III Một số ứng dụng LST vào chương trình PT 1.Bài toán cổ hình thành khái niệm đạo hàm Từ vị trí O (ở độ cao định đó), ta thả viên bi cho rơi tự xuống đất nghiên cứu chuyển động viên bi Trong vật lí 10 ta biết: Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O vị trí ban đầu viên bi (tại thời điểm t=0) bỏ qua sức cản không khí phương trình chuyển động viên bi là: y = f (t ) = gt (g gia tốc rơi tự do, g=9,8m/s2) III Một số ứng dụng LST vào chương trình PT Người ta tính vận tốc tức thời viên bi khoảng thời gian (1) f (t1 ) − f (t0 ) t1 − t0 III Một số ứng dụng LST vào chương trình PT III Một số ứng dụng LST vào chương trình PT Nhiều vấn đề toán học, vật lý, hóa học, sinh học,… dẫn đến toán tìm giới hạn f ( x ) − f ( x0 ) lim x → x0 x − x0 y=f(x) hàm số Trong toán học, người ta gọi giới hạn đó, có hữu hạn, đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0 III Một số ứng dụng LST vào chương trình PT Bài toán cổ hình thành khái niệm nguyên hàm Vận tốc viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng thời điểm t v(t) = 160 – 9,8t (m/s) (coi t = thời điểm viên đạn bắn lên) Tính quãng đường viên đạn kể từ bắn lên thời điểm t Gọi s(t) quãng đường viên bi sau bắn t giây III Một số ứng dụng LST vào chương trình PT Ta biết v(t) = s’(t) Do ta phải tìm hàm số s = s(t) thỏa mãn điều kiện: S’(t) = 160 – 9,8t Nhiều vấn đề khoa học kĩ thuật dẫn tới toán sau đây: Cho hàm số f xác định K, K khoảng, đoạn khoảng Hãy tìm hàm số F cho F’(x) = f(x) với x thuộc K Một số tình dạy học PT Tình 1: Khi dạy khái niệm tổng n số hạng đầu cấp số nhân nhằm kích thích tò mò học sinh kể cho học sinh nghe tích bàn cờ vua Câu chuyện “Vua Ấn Độ bàn cờ vua” Tình 1: Tình 2: Khi dạy “ ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay” ta giới thiệu số ứng dụng thực tế để vào như: Trong thực tiễn sống khoa học kĩ thuật, người ta cần phải tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể phức tạp Chẳng hạn: Tình 2: Khi xây dựng nhà máy thủy điện, để tính lưu lượng dòng sông ta phải tính diện tích thiết diện ngang dòng sông Thiết diện thường hình phức tạp Khi đóng tàu, kĩ sư cần xác định thể tích khoang tàu có hình dạng đặc biệt Trước phép tính tích phân đời, với hình vật thể người ta lại phải nghĩ cách để tính Sự đời tích phân cho phương pháp tổng quát để giải hàng loạt toán diện tích thể tích nói Vai trò tri thức lịch sử toán giáo viên Lịch sử toán học giúp cho thầy giáo toán trình dạy học biến toán học thành môn học hấp dẫn, lôi học sinh, làm cho học toán gánh nặng học sinh, mà nguồn vui, đẹp đẽ, giúp ích cho HS sống, công tác sau Để giúp HS hiểu rõ lịch sử toán, người giáo viên tích hợp vào giảng lời giới thiệu ngắn gọn, lúc nét lịch sử vấn đề, làm cho học thêm sinh động Các buổi nói chuyện lịch sử toán học - lịch sử phát minh, tiểu sử nhà toán học lớn có tác dụng việc khêu gợi khả sángtạo học sinh, động viên họ, giúp họ củng cố lòng tin thân TRÒ CHƠI