Sự phát minh ra hình học giải tích đã tạo ra một bước thay đổi mới về đối tượng nghiên cứu của toán học. F.Engels viết: Đại lượng biến thiên của Descarts là một bước ngoặc của toán học. Nhờ đó mà vận động và biện chứng đã được đưa vào toán học, tất nhiên đưa đến sự ra đời của phép tính vi tích phân. Sự ra đời của hình học giải tích đã làm toán học thành một công cụ kép. Các khái niệm hình học có chuyển đổi thành các khái niệm đại số và những mục tiêu hình học có thể đạt được thông qua đại số. Giải thích ý nghĩa đại số bằng hình học có thể giúp ta nắm khái niệm đại số một cách trực quan hơn và nhờ đó có thể rút ra những kết luận mới. Lagrange đã viết: Đại số và hình học trong một thời gian dài tách biệt nhau nên sự tiến bộ của chúng chậm và hạn chế trong ứng dụng. Nhưng khi hai ngành này kết hợp với nhau, chúng sẽ kế thừa những mặt ưu việt của nhau và do đó chúng sẽ có phát triển với tốc độ nhanh và hoàn hảo hơn. Ý nghĩa lớn nhất của sự ra đời của hình học giải tích là cung cấp cho khoa học một công cụ có tính định lượng. Việc nghiên cứu thế giới vật chất đòi hỏi phải sử dụng hình học. Các vật thể là những hình hình học và quỹ đạo của vật thể chuyển động là những đường cong. Và nói như Descartes, toàn bộ vật lý có thể quy về hình học. Hình học giải tích giúp mô tả hình dạng và quỹ đạo của các chuyển động dưới dạng đại số, và do đó người ta có thể rút ra những kiến thức định lượng. Sự ra đời của hình học giải tích làm đảo ngược vai trò của hình học và đại số. Nếu như từ Hy Lạp cổ đại đến khoảng năm 1600 sau công nguyên, hình học chế ngự và đại số là phụ thì sau năm 1600 đại số trở thành ngành nghiên cứu chủ yếu. Sự hoán đổi vai trò này chính là nhờ vào sự phát triển của hình học giải tích và phép tính vi tích phân.
Trường Đại Học Cần Thơ Khoa Sau Đại Học & LỊCH SỬ PHÂN MƠN TỐN Đề tài: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Giáo viên hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Phú Lộc Lớp : Lý luận phương pháp dạy học Toán Học viên thực : Cần Thơ , 3/2015 MỤC LỤC .……………………… 51 Chương I TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Desargues Pascal mở mơn hình học m ới hình học xạ ảnh Desargues hậu duệ ông quan tâm đến phương pháp t quát để nghiên cứu đường cong Nhưng Fermat Descartes quan tâm đ ến s ự kết hợp phương trình đại số đường cong; t ức sử d ụng phương pháp có tính định lượng vào nghiên cứu hình học Chính vậy, Descartes Fermat xây dựng nên mơn hình học giải tích Sự khác biệt hai ngành hình học hình học xạ ảnh nhánh hình học nói chung, cịn hình học giải tích lại phương pháp hình học I CỐT LÕI CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Khi áp dụng phương pháp (hình học giải tích), cần nhớ cốt lõi tư tưởng xác lập tương ứng cặp số thực thứ tự với điểm mặt phẳng; nhờ đó, có th ể thi ết lập tương ứng đường mặt phẳng ph ương trình hai biến cho đường mặt phẳng có phương trình xác định f(x,y)=0, ngược lại ứng với phương trình có đường hay tập hợp điểm xác định mặt phẳng Một tương ứng xác lập tính chất đại số hay gi ải tích c ph ương trình f(x,y)=0 với tính chất hình học đường liên kết Việc chứng minh định lý hình học chuyển sang việc chứng minh định lý tương ứng đại số giải tích Sơ đồ thể ý tưởng hình học giải tích II Ý NGHĨA SỰ RA ĐỜI CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Sự phát minh hình học giải tích tạo bước thay đổi đối tượng nghiên cứu toán học F.Engels viết: "Đại lượng biến thiên Descarts bước ngoặc toán học Nhờ mà vận động biện chứng đưa vào toán học, tất nhiên đưa đến đời phép tính vi - tích phân" Sự đời hình học giải tích làm tốn học thành cơng cụ "kép" Các khái niệm hình học có chuyển đổi thành khái niệm đại số mục tiêu hình học đạt thơng qua đại số Giải thích ý nghĩa đại s ố hình học giúp ta nắm khái niệm đại số cách trực quan nhờ rút kết luận Lagrange vi ết: "Đ ại s ố hình học thời gian dài tách biệt nên ti ến b ộ chúng chậm hạn chế ứng dụng Nhưng hai ngành kết h ợp v ới nhau, chúng kế thừa mặt ưu việt chúng có phát tri ển với tốc độ nhanh hoàn hảo hơn" Ý nghĩa lớn đời hình học giải tích cung cấp cho khoa học cơng cụ có tính định lượng Việc nghiên cứu gi ới v ật ch ất đòi h ỏi phải sử dụng hình học Các vật thể hình hình học quỹ đạo vật thể chuyển động đường cong Và nói Descartes, tồn v ật lý quy hình học Hình học giải tích giúp mơ tả hình dạng quỹ đạo chuyển động dạng đại số, người ta có th ể rút ki ến thức định lượng Sự đời hình học giải tích làm đảo ngược vai trị hình học đại số Nếu từ Hy Lạp cổ đại đến khoảng năm 1600 sau cơng ngun, hình học chế ngự đại số phụ sau năm 1600 đại số tr thành ngành nghiên cứu chủ yếu Sự hốn đổi vai trị nhờ vào s ự phát tri ển c hình học giải tích phép tính vi - tích phân Chương II LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA MƠN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Có ý kiến khác việc người sáng t ạo hình học giải tích Người Hy Lạp cổ đại thích đại số hình học Bộ sách Cơ sở đồ sộ Euclid đặt móng cho mơn hình học tồn tốn học cổ đại Bộ sách gồm 13 cuốn: sáu đầu gồm ki ến th ức v ề hình h ọc phẳng, ba có nội dung số học trình bày dạng hình học, thứ mười gồm phép dựng hình có liên quan đến đại số, cuối nói hình học khơng gian Trong cu ốn th ứ nh ất, Euclid đưa định đề Đặc biệt Apollonius thu lượm khối lượng lớn hình học thiết diện conic từ tương đương hình học số phương trình đường đó, tư tưởng bắt nguồn từ Menaechmus Vào kỷ XIV, Nicole Oresme thể khía c ạnh khác c hình học giải tích ông biểu thị số quy luật cách vẽ biểu đồ cho bi ến phụ thuộc so với biến độc lập biến sau phép lấy s ố gia nhỏ Tuy nhiên, hình học giải tích phát triển cao hồn chỉnh phải nhờ đến phát triển hệ thống ký hiệu đại số Do đó, đóng góp định René Descartes Pierre Fermat c ốt lõi đ ặc bi ệt s ự đóng góp tư tưởng đại cho ngành khoa học A GIAI ĐOẠN I : (thời cổ Hi Lạp) I ĐẶT ĐIỂM NỔI BẬT : Toán học Hy Lạp dường bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng 546 TCN) Pythagoras (khoảng 582 - khoảng 507 TCN) Thales sử dụng hình học để giải tốn tính chiều cao hình chóp khoảng cách từ tàu tới bờ bi ển Pythagoras coi người đưa chứng minh cho định lý Pythagore Tuy nhiên phương pháp tiên đề Euclid (khoảng 300 TCN) phát đưa toán h ọc thành m ột khoa h ọc độc lập Euclid cách mạng hóa hình học cách gi ới thi ệu phương pháp chứng minh toán học tiên đề mà ngày cịn sử dụng Ơng nghiên cứu đường conic Cuốn sách ông, Cơ bản, tất người có học biết đến phương Tây kỉ 20 Nhưng toán học Hi Lạp cổ đại lại bị Alexandra đại đế phá hủy phục hồi tảng Ai Cập Dòng họ Ptoleme hợp hai văn minh Hy Lạp Cận Đông gọ tên văn minh Alexandra Do ảnh hưởng Ai Cập Ba Tư văn minh tìm khuynh hướng kĩ thuật với mục tiêu rông rãi, tiêu s ố lượng đóng vai trị ch ủ yếu khoa học ứng dụng kĩ thuật Do đó, phải cần có kết có tính định lượng nên người Alexandria mạnh dạng đưa số học vào hình học, họ mượn hiểu biết kinh nghiệm s ố học người Ai Cập Babylon vào hình học Euclide Đây tư tưởng hình học giải tích xuất sớm thời cổ Hi Lạp, tiêu bi ểu cơng trình “Các thiết diện cơnic” Apollonius Tuy nhiên, ngành khoa học ch ưa có sở lý luận thực II NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU : APOLLONIUS (262-180 TCN) Tiểu sử Apollonius sinh Perga, miền nam Tiểu Á Thu nh ỏ ơng sang Alexandria học tốn với học trò Euclide Apollonius nhà thiên văn n ổi tiếng, ông lập nên lý thuyết chuyển động Mặt Trăng đ ể l ại bảng tính tốn giúp tính vị trí Mặt Trời Mặt Trăng thời gian nhật thực nguyệt thực Các cơng trình tiêu biểu Apollonius Apollonius nhà thiên văn tiếng có nhiều cơng trình lớn chủ đề tốn học khác Nhưng cơng trình danh tiếng ông tác phẩm “Các thi ết di ện Cơnic” , m ột cơng trình mà người đương thời gọi ơng “nhà hình học vĩ đại” “Các thi ết diện Cơnic” gồm có , có khoảng 400 mệnh đề Bốn đầu nguyên tiếng Hi Lạp lưu lại đền ngày , ba sau lại nhờ dịch sang tiếng Ả Rập cuối bị th ất l ạc Cơng trình chun nghiên cứu đường cơnic hồn tồn v ượt tr ội h ơn hẳn nh ững cơng trình trước nghiên cứu chủ đề Menaechmus, Aristaeus Euclide Trước Apollonius , người Hi Lạp đạt thi ết di ện cơnic từ ba lo ại hình nón trịn xoay tùy ý theo góc đỉnh hình nón nh ỏ h ơn , b ằng , l ớn góc vng Bằng cách cắt ba hình m ặt ph ẳng vng góc với đường sinh ta elip , parabol , hyperbol Và ch ỉ có m ột nhánh hyperbol nghiên cứu Trong I, Apollonius nghiên cứu tất hình conic nh ngày từ hình nón trịn kép thẳng xiên Tên gọi ellip, parabol, hyperbol ông đưa dựa vào thuật ngữ Pythagoras áp dụng vào di ện tích Ơng sử dụng phương pháp hình học xạ ảnh (chi ếu) Ơng có ảnh hưởng lớn đến phát triển hình học , thiên văn học học Ngoài chun luận thiết diện cơnic , Apollonius cịn có tác phẩm khác Ta biết tác phẩm nhờ lời dẩn Papus,nhà toán học Hi Lạp đầu kỷ IV Một tác phẩm chứa đường tròn ngày mang tên Apollonius Đó quỹ tích mặt ph ằng mà t ỉ s ố khoảng cách tới hai điểm cố định số dương Đường tròn Apollonius: cho hai điểm A B cố định mặt phẳng số thực Khi quỹ tích điểm P cho đường tròn Định lý Apollonius : ( định lý đường trung tuyến) Trong tam giác D trung điểm BC Apollonius cịn có cơng trình khối 12 mặt khối 20 mặt , cơng trình đại lượng kéo dài cơng trình Eudoxe m ột s ố k ết qu ả quang học Cơng trình tiêu biểu Apollonius liên quan đến hình h ọc giải tích Cơng trình “Các thiết diện cônic” xem công trình vĩ đại thời cổ Hi Lạp Apollonius chứng minh 387 định lý cônic phương pháp xem tiền thân ph ương pháp t ọa đ ộ Apollonius tìm phương trình parabol , ngày ta g ọi phương trình tắc parabol , p tham s ố tiêu Trong cơng trình “Các thiết diện cơnic”, đường kính, tiêu cực, pháp tuyến ti ếp tuyến chúng Chính kết ơng mà nhiều nhà nghiên c ứu cho , hình học giải tích xuất cổ Hi Lạp Các giai thoại Apollonius Đây nhà toán học lớn phương châm s ống hay giai thoại ông không nghe kể đến B GIAI ĐOẠN II : (THẾ KỶ XIV) ĐẶT ĐIỂM NỔI BẬT : Trong thời Phục Hưng , họa sĩ đặt bước cho hình học Họ sức giải vấn đề để biểu cách xác điều thấy tranh thực ba chiều tranh mà họ vẽ có hai chiều Từ họ phát minh mơn hình học chiếu Tuy nhiên , hưng thịnh hình học chiếu chưa đối thủ khác xuất khiến bị gạt Đối thủ chủ trương dùng đại số để nghiên cứu đối tương hình học Đó hình học giải tích Sự xuất ngành hình học nhiều biến cố phát minh làm rung chuyển tư khoa học Tây Âu vào kỷ XVI XVII đặt trước mắt vấn đề thiết lập sử dụng tính chất đường cong mặt cong I NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU : NICOLE ORESME (1323 – 11.7.1382) II Tiểu sử Nhà toán học Pháp Nicole Oresme học trường Đại Học Paris, r ồi d ạy toán trường Trung Học Navarre Paris Năm 1356, ông th ầy d ạy th ần học Năm 1362, ông thầy dạy nghệ thuật , năm 1377 ông tr thành giám mục xứ Lisieux, ông đến qua đời Các công trình tiêu biểu Oresme Vật lý Nicole Oresme phát biểu luật chuy ển động , hai th ế k ỉ tr ước Galilei , ông đứng phía cho Trái Đất quay quanh Mặt Trời Trong buổi thảo luận sau Hình học Euclid, Oresme đưa phân tích chi tiết tổng qt ơng nói m ột v ật th ể nh ận số gia thời gian số gia tính chất mà tăng số lẻ Do Euclid chứng minh tổng s ố l ẻ s ố phương, tổng tính chất đạt vật thể tăng theo bình phương thời gian Giải tích Nicole đưa số mũ phân quy tắc tính Ơng th đ ịnh nghĩa s ố mũ vô tỉ , chẳng hạn , ơng khơng thành cơng, thi ếu khái ni ệm xác liên tục Ơng cịn nghiên cứu tồn chuỗi Chẳng h ạn, ông ch ứng tỏ tổng chuỗi chứng minh phân kì chuỗi điều hịa phương pháp nhóm số hạng Oresme trước Galileo việc nghiên cứu tích phân Ơng viết để lại cho đời sau nhiều sách toán nh “Bàn v ề hình c ầu” “Bàn v ề bầu trời giới” dịch tiếng Pháp tác ph ẩm Aristote, Pétrarque Công trình tiêu biểu Oresme liên quan đến hình học gi ải tích Ý tưởng Nicolas Oresme liên quan đến hình học giải tích tự n ẩy sinh yêu cầu cần phải hoàn thiện phương pháp hữu hiệu nghiên cứu thiết diện cônic ông Kepler xây dựng hệ thống hành tinh chuy ển động quanh Mặt Trời, nhờ chúng mà họ vạch đường chuyển động thiên thể hệ thống hành tinh Hơn c h ọc cổ điển người Hi Lạp dựa bất động Trái Đất bị xem thiếu sở , lí thuyết nhật tâm địi hỏi phải có khoa học hồn tồn v ề chuyển động Do đó, việc nghiên cứu đường cong quĩ đạo vật thể cấp thiết Vì , Các cơng trình tốn học ơng chứng tỏ ơng ng ười tiên phong Đôi người ta xem ơng người sáng lập hình học gi ải tích , ơng xác định vị trí điểm tọa độ gọi vĩ đ ộ kinh độ Hơn nữa, Oresme thể khía cạnh khác hình học gi ải tích ông bi ểu th ị số quy luật cách vẽ biểu đồ cho biến phụ thuộc so v ới bi ến độc lập biến sau phép lấy số gia nhỏ 10 Khi đó, từ (đpcm) Bài Giải phương trình: (1) Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét vectơ: Suy phương trình (1) tương đương: Vậy phương trình (1) có nghiệm Ứng dụng phương pháp toạ độ vào việc giải lớp toán hình học khơng gian Để giải tốn hình học khơng gian phương pháp sử dụng hình học t, địi hỏi học sinh phải có kiến thức vững vàng, v ận d ụng 43 thành thạo kiến thức vào tốn mà điều khơng ph ải h ọc sinh làm được, sử dụng phương pháp toạ độ hình học giải tích khơng gian vào tốn tốn đ ược gi ải dễ dàng mà khơng cần phải suy nghĩ nhiều Có thể thấy rõ phương pháp toạ độ phương pháp hiệu cho học sinh trung bình vi ệc giải tập hình học khơng gian tổng hợp 3.1 Các bước giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp Bước 2: Tìm tọa độ điểm có liên quan đến yêu cầu toán Bước 3: Giải toán kiến thức tọa độ Bước 4: Chuyển kết từ ngôn ngữ tọa độ sang ngơn ngữ hình học thơng thường 3.2 Những tốn hình học khơng gian phần giả thiết có dạng sau nên dùng phương pháp tọa độ để gi ải Hình cho có đỉnh tam diện vng Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy đáy tam giác vng , tam giác đều, hình vng, hình chữ nhật… Hình lập phương, hình chữ nhật Hình cho có đường thẳng vng góc với mặt phẳng, mặt phẳng có đa giác đặc biệt: tam giác vng , tam giác đều, hình thoi Một vài hình chưa có sẵn tam diện vng tạo tam diện vuông chẳng hạn: hai đường thẳng chéo mà vng góc, ho ặc hay mặt phẳng vng góc Ngồi ra, với số tốn mà giả thiết khơng cho nh ững hình quen thuộc nêu ta dựa vào tính chất song song ,vng góc đoạn thẳng hay đường thẳng tham gia hình vẽ đ ể thi ết lập hệ trục tọa độ 44 3.3 Trình bày số cách đặt hệ trục tọa độ với số hình thường gặp Để giải số tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ cho thích h ợp D ưới m ột s ố l ưu ý đặt hệ trục tọa độ: -Vẽ hình theo u cầu tốn, sau tìm m ột quan h ệ vng góc m ặt đáy (tức xác định hai đường thẳng cố định mặt đáy vng góc v ới nhau) Nơi giao hai đường vng góc n ta đ ặt g ốc t ọa đ ồng thời hai trục hai trục tung trục hoành -Từ gốc tọa độ ta dựng vng góc với mặt đáy ta trục Oz nằm đường vng góc ta hoàn thành xong việc thi ết l ập h ệ tr ục t ọa độ -Nhìn vào hình vẽ giả thiết tốn ta tìm tọa độ ểm liên quan đến yêu cầu toán, ta cần ý đến quan h ệ ph ương, đ ồng phẳng, vng góc để tìm tọa độ điểm 3.4 Sau số cách đặt hệ trục tọa độ với số hình đặc biệt mà ta thường sử dụng Hình lập phương, hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (có số đo cạnh a, b, h) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: Khi ta có: Hình 45 Hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi ABCD (AB =a; ) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có: Hình Hình chóp tứ giác S.ABCD(cạnh đáy a, chiều cao h) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có: Hình Hình chóp tam giác S.ABC(cạnh đáy a, chiều cao h) 46 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có: Hình Hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA (ABCD); (AB = a; AD = b) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có: Hình Hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA ⊥(ABCD) chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA ⊥(ABCD) (cạnh đáy a;) 47 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có: Hình Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) ∆ ABC vuông A (AB = a; AC = b) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta có: Hình Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC); ∆ABC vuông B (cạnh AB = a; cạnh BC = b) 48 Chọn trục tọa độ hình vẽ: Ta có: Hình Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân S ∆ ABC vng C (có CA = a; CB = b; chi ều cao h) Ta chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: Chọn điểm C làm gốc tọa độ Hình Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆SAB cân S, ∆ABC vuông A(cạnh AB = a; AC = b; chiều cao h) 49 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta có: Hì nh 10 Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC) ∆ABC vuông cân C ∆SAB cân S (AC = BC = a) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: Khi ta có: Hình 11 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’D’ (đáy tam giác vng A có cạnh AB = a; AC = b cạnh AA’= h) 50 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có: Hình 12 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ (đáy ABC tam giác đều; AA’=h) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta có: Hì nh 13 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ (đáy ABCD hình thang cân); AA’ = h, AB = a, AD = b; 51 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: Hình 14 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ (đáy ABC tam giác cân đỉnh A) AA’= h; AB = AC = a; Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta có: Hình 15 52 I.5 Một số tốn hình học khơng gian giải phương pháp tọa độ góc khoảng cách Bài toán : Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ∆ABC vng C Đ ộ dài cạnh SA = 4; AC = 3; BC = G ọi M trung ểm c c ạnh AB, H đối xứng với C qua M Tính cosin góc (HSB) (SBC) Bài giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: Mặt phẳng (P) qua H vng góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy: uuu r uur [ H , SB, C ] = ( IH , IK ) (1) uur uuu r SB = (−1; −3; 4), SC = ( 0; −3; ) Hình 16 Vậy phương trình tham số SB là: x = − t y = − 3t z = 4t Và phương trình tham số SC là: x = y = − 3t và( P ) : x + y − z − = z = 4t 17 51 18 51 32 ⇒ I ; ; ÷, K 0; ; ÷ 26 26 13 25 25 53 uuu r 51 18 uur 17 51 34 IH = ; − ; ÷; IK = − ; ;− ÷ 26 26 13 26 650 325 Vậy ta có : Nên 17 51 51 18 34 uuu r uur − ÷+ − ÷ ÷+ − ÷ IH IK 26 26 26 650 13 325 cosθ = = 2 2 2 IH IK 51 18 17 51 34 + − + − + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 26 26 13 26 650 325 Vậy cos = 0.14552 Bài tốn (SGK hình học lớp 12_ NXB Giáo Dục) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Chứng minh đường chéo A’C ⊥ (AB’D’) a Chứng minh giao điểm đường chéo A’C mặt phẳng(AB’D’) trọng tâm tam giác AB’D’ b Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (DA’C) (C’BD) c Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng (DA’C) m ặt ph ẳng (ABB’A’) Bài giải Chọn hệ trục toạ Đề vuông góc Oxyz hình vẽ: a Chứng minh đường chéo A’C ⊥ (AB’D') Ta có: == uuuur A ' C = ( a; a; − a ) uuuuruuuu r uuuu r A ' C AB ' = a + − a = AB ' = ( a;0; a ) uuuur uuuur 2 uuuur A ' C AD ' = + a − a = AD ' = ( 0; a; a ) 54 Hình 17 uuuu r uuuu r AC ' ⊥ AB ' ⇔ uuuu r uuuur nênAC ' ⊥ ( AB ' D ') AC ' ⊥ AD ' b Chứng minh G trọng tâm tam giác AB’D’ x = t (t ∈ R ) y = t z = a − t Phương trình tham số đường thẳng A’C Phương trình tổng quát mặt phẳng (AB’D’) là: Gọi Tọa độ giao điểm G nghiệm hệ phương trình: a x = x = t y = t a a a a ⇒ y = hayG ; ; ÷( 1) 3 3 z = a − t 2a x + y − z = z = Trong véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (AB’D’) Mặt khác: x A + xB ' + xD ' a x = = 3 y A + y B ' + yD a = ( 2) y = 3 z A + z B ' + z D 2a = z = 3 So sánh kết (1) (2) ta thấy giao điểm G đường chéo A’C mặt phẳng (AB’D’) trọng tâm tam giác AB’D’ c Tính Phương trình tổng quát mặt phẳng (C’BD): Trong véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (C’BD) là: ( AB ' D ') : x + y − z = 0; ( C ' BD ) : x + y − z − a = Ta có: ⇒ ( AB ' D ' ) / / ( C ' BD ) ⇒ d ( ( AB ' D ') , ( C ' BD ) ) = d ( B, ( AB ' D ' ) ) = a d Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng (DA’C) (ABB’A’) Ta có: ⟹véc tơ pháp tuyến (ABB’A’)là =(0;1;0) Véc tơ pháp tuyến (DA’C): uu r uuuu r uuur n3 = DA '; DC = ( 0; a ; − a ) = a ( 0;1; − 1) Véc tơ pháp tuyến (ABB’A’) =(0;1;0) Véc tơ pháp tuyến (DA’C): =(0;1;-1) 55 Vậy cos ( ( DA ' C ) ; ( ABB ' A ') ) = π ⇒ ( ( DA ' C ) ; ( ABB ' A ' ) ) = Bài tập tương tự Cho hình chóp có đáy góc với mặt phẳng điểm , ; Cho hình chóp có đáy chóp Tính theo , vng trung Tính theo thể Gọi Cho lăng trụ Gọi trọng tâm tam giác tích khối tứ diện góc hình vng cạnh hình thoi cạnh , , trung điểm Tính có đáy hình vng cạnh có mặt bên hợp với đáy khoảng cách hai đường thẳng chéo Tài liệu tham khảo 56 Khối góc Nguyễn Cang (1999), Lịch sử toán học, NXB trẻ, TP HCM TS Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sư toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Thanh Quang (1995), Giai thoại toán học, NXB Giáo dục, Ha Nội 57 ... ự phát tri ển c hình học giải tích phép tính vi - tích phân Chương II LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA MƠN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Có ý kiến khác việc người sáng t ạo hình học giải tích Người Hy Lạp cổ đại... Trước thực trạng việc vận dụng lịch sử toán vào việc gi ảng dạy phần quan trọng giúp cho học sinh hứng thú h ơn h ọc toán nh ất mơn hình học giải tích Ứng dụng lịch sử tốn phải đa dạng phong phú... ết lề sách hẹp.”!! Các nhà toán học cố gắng giải toán suốt 300 năm Trong lịch sử tìm lời giải cho định lý cuối Fermat có người phải tự tử có lường gạt… Và cuối nhà toán h ọc Andrew Wiles (một