Người nguyên thủy chỉ hiểu hai khái niệm cổ nhất về số là “có” và “không”. Sau đó họ biết thêm số 1, số 2, và từ 3 trở lên gọi là nhiều. Khi sản xuất phát triển, con người có nhu cầu trao đổi vật chất với nhau thì việc xác định số lượng ngày càng có những bước tiến xa hơn. Người ta dùng các ngón tay, ngón chân, hòn cuội, vỏ sò, … để đếm; cũng có khi họ dùng vật nhọn khắc lên gỗ, lên xương động vật hay kết nút lên dây nhằm thể hiện số. Năm 1960, các nhà khảo cổ ở Trung Phi đã tìm thấy xương Ishango với các vết khắc có niên đại khoảng 20 000 năm TCN. Xương Ishango Nhiều giả thuyết được đặt ra khi các nhà khoa học cố gắng giải mã ý nghĩa những vết khắc này Đến thời kì công xã nguyên thủy, con người biết dùng văn tự để ghi lại các số, thời khắc ấy chính là buổi bình minh của số học.
Các từ viết tắt TCN Trước công nguyên SCN Sau công nguyên Tổng quan lịch sử phát triển số học Người nguyên thủy hiểu hai khái niệm cổ số “có” “khơng” Sau họ biết thêm số 1, số 2, từ trở lên gọi nhiều Khi sản xuất phát triển, người có nhu cầu trao đổi vật chất với việc xác định số lượng ngày có bước tiến xa Người ta dùng ngón tay, ngón chân, hịn cuội, vỏ sị, … để đếm; có họ dùng vật nhọn khắc lên gỗ, lên xương động vật hay kết nút lên dây nhằm thể số Năm 1960, nhà khảo cổ Trung Phi tìm thấy xương Ishango với vết khắc có niên đại khoảng 20 000 năm TCN Xương Ishango Nhiều giả thuyết đặt nhà khoa học cố gắng giải mã ý nghĩa vết khắc Đến thời kì cơng xã ngun thủy, người biết dùng văn tự để ghi lại số, thời khắc buổi bình minh số học 1.1 Giai đoạn phát sinh toán học 1.1.1 Babylon 1.1.1.1 Hệ thống ghi số Babylon văn minh phát triển cư dân dọc hai bờ sông Euphrates Tigris cách 4000 năm lịch sử Cống hiến lớn toán học Babylon nhân loại phát minh hệ số 60 Các phiến đất sét tìm thấy Supe Uruk chứng tỏ hệ đếm xuất từ thiên niên kỉ thứ III TCN Như vậy, có lẽ hệ đếm đời sớm Và ngày nay, sử dụng hệ đếm thực tính tốn góc thời gian Cách biểu diễn số (từ đến 59) người Babylon Babylon dân tộc tiên phong việc sử dụng kí tự để biểu diễn số khơng Họ thể dấu chấm Tuy nhiên, người Babylon sử dụng kí hiệu vị trí số, mà chưa dùng theo nghĩa số (giống việc ta sử dụng số để phân biệt 44 404, khơng dùng số độc lập) 1.1.1.2 Phép tính số học Việc lập bảng nhân đất sét với số phương cho phép người Babylon tìm giá trị tích hai số Chẳng hạn, để tìm tích hai số a b, họ sử dụng bảng bình phương hai công thức sau ( a + b) − a − b ab = , ab = ( a + b) − ( a − b) Tương tự, thực phép chia, họ lại dùng bảng nghịch đảo theo cơng thức: a = b b Ngồi ra, người Babylon tìm nhiều số Pythagoras, điều ghi nhận bảng Plimpton 322 YBC 7289 Plimpton 322 YBC 7289 Trong Plimpton 322 bảng chứa ký tự thể số Pythagoras YBC 7289 viên đất sét nhỏ có vẽ hình vng đường chéo Trên có ký tự nguệch ngoạc thể số 1, 24, 51, 10 hệ thập lục phân, tương ứng với 1,414219 hệ thập phân - giá trị gần Có thể người Babylon phát định lý Pythagoras sớm nhà tốn học 1300 năm 1.1.2 Ai Cập Vào kỉ XIX, nhà nghiên cứu tìm thấy hai sách giáo khoa thời Ai Cập cổ đại Chúng cuộn giấy cói dài Trong đó, sách Rhind, tác giả Ahmes the Moonborn, nguồn thông tin quan trọng nhân loại tốn học Ai Cập Nó đặt theo tên Alexander Henry Rhind, nhà khảo cổ người Scotland Ông tìm thấy cuộn giấy gần thành phố Thebes năm 1858 Nội dung sách giải thích phương pháp cộng, trừ với số nguyên phân số, đề cập đến đại số toán chữ… Quyển thứ hai sách cói Moscow, lấy theo tên thành phố lưu giữ nước Nga Nội dung sách trình bày số tốn thực tiễn Ai Cập thời Giấy cói Rhind 1.1.2.1 Hệ thống ghi số Người Ai Cập cổ đại sử dụng số tượng hình để biểu diễn giá trị tính toán 10 100 1000 10000 100 000 000 000 Ngoài ra, cách 4000 năm, người Ai Cập hiểu phân số biết phép tính chúng Tuy nhiên, họ thừa nhận phân số đơn vị (có tử 1), ví dụ 249 Đồng thời, phân số có tử lớn viết dạng tổng phân số đơn vị Chẳng hạn: 1 1 = + , = + ,… 4 12 Các nhà khảo cổ tin rằng, biểu tượng mắt thần Horus mà người Ai Cập tôn sùng ẩn chứa phân số: 1 1 1 63 + + + + + = 16 32 64 64 1.1.2.2 Phép tính số học Cách mà người Ai Cập nhân số có lẽ lạ lẫm học sinh ngày Họ sử dụng hai cột số, cột trái bắt đầu với số 1, cột bên phải bắt đầu hai số cần nhân Sau gấp đơi lên theo dịng Ví dụ, muốn nhân 30 với 12 trước tiên cần lập hai cột: 30 60 120 240 480 Tiếp theo, đánh dấu (*) số cột trái cho chúng có tổng 12 (4 + = 12) 30 60 * 120 * 240 16 480 Cuối cùng, cộng số tương ứng số vừa đánh dấu cột bên phải để có đáp số (120 + 240 = 360) 30 60 * 120 (**) * 240 (**) 16 480 4+8=12 120+240=360 Cách làm vận dụng phân tích sau 12 30 = (4+8) 30 = 30 + 30 = 120 + 240 = 360 Phép chia tương tự phép nhân, chẳng hạn phép tính 98 chia thực sau (**) (**) (**) 16 2+4+8=14 14 * 28 * 56 * 112 14+28+56=98 Đáp số 14 Ta dễ dàng chứng minh kết Thật vậy, 98 = 14 + 28 + 56 = (2 + + 8) = 14 Giai đoạn toán học sơ cấp 2.1.1 Số học Hy Lạp 2.1.1.1 Hệ thống ghi số Vào kỷ V trước CN, người Hy Lạp sử dụng chữ để kí hiệu số Đối với số hàng nghìn, người ta lấy lại chín chữ kèm theo dấu phẩy bên trái chúng, α có giá trị ′α có giá trị 1000 Hệ đếm chưa có số khơng 2.1.1.2 Trường phái Pythagoras Nhắc đến số học Hy Lạp, không đề cập đóng góp lớn lao trường phái Pythagoras Cơng trình họ vơ độc đáo đồng thời mang nhiều màu sắc thần bí Trường phái sùng bái số Họ đưa định nghĩa số bạn bè, số hoàn chỉnh, số tam giác, tứ giác… Tuy nhiên, khám phá tính vơ tỉ , họ lại hoảng sợ trốn tránh, làm hạn chế phát triển số học đại số học, bỏ qua hội mở rộng tập số hữu tỉ thành số thực 2.1.1.3 Số học Diophantus Cuối thời cổ đại, Hy Lạp sinh cho nhân loại nhân tài toán học kiệt xuất Diophantus Ông tiếng với tác phẩm Số học (Arithmetica) gồm 13 tập Đây pha trộn tuyệt vời toán học Hi Lạp với toán học phương Đơng mà số cịn giữ đến Tác phẩm xem cột mốc quan trọng phát triển lí thuyết số, chứa đựng cách giải phương trình vơ định tốn có nghiệm hữu tỉ Hơn nữa, tập sách mà kí hiệu đại số sử dụng cách có hệ thống Về mặt Diophantus trước học giả thời nhiều kỉ 2.1.2 Ấn Độ 2.1.2.1 Hệ thống ghi số Người Ấn Độ cổ biểu diễn số nào, dù lớn nữa, với mười kí tự 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Hệ thống xuất vào năm 250 TCN cột trụ vua Ashoka xây dựng Trong kỉ thứ SCN, phiên sơ khai hệ thống xuất vách hang động gần vùng Nasik nước Ấn Tuy nhiên, đến năm 600 SCN chữ số đưa vào sử dụng Cột trụ Ashoka Người Trung Đông tiếp thu số giao thương với Ấn Độ Năm 976, hệ thống số du nhập vào Châu Âu thông qua Trung Đông Vì khơng biết nguồn gốc Hindu (Ấn Độ) chúng, nên người ta đặt tên cho số chữ số Arab Các chữ số Hindu-Arab mà sử dụng ngày có xuất xứ từ kí tự Ấn Độ cổ đại (chữ Brahmi) Tuy nhiên, để đạt đến kết đó, chúng phải trải qua phát triển lâu dài với nhiều thay đổi theo năm tháng Sơ đồ thể chữ số Brahmi thay đổi theo thời gian để trở thành hệ thống Hindu-Arab trông tựa chữ số ta sử dụng ngày 2.1.2.2 Sức mạnh số không Một đền xây dựng năm 876 Ấn Độ có lưu giữ viết (được cho đầu tiên) thể họ sử dụng số dạng số độc lập, khơng đóng vai trị số phân cách Đây tiến quan trọng tính tốn hệ thống chữ số vị trí với số giúp thực phép tính cộng, trừ, nhân, chia đơn giản, dễ dàng Đánh giá đóng góp tốn học Ấn Độ, nhà toán học người Pháp Pierre Simon Laplace (1749–1827) nhận xét: “Chính Ấn Độ mang lại cho phương pháp khéo léo để biểu diễn số mười kí tự, kí tự nhận vị trí giá trị tuyệt đối; Và hiểu rõ tầm quan trọng thành tựu ta nhớ vượt xa khỏi trí tuệ Archimedes Apollonius, hai số thiên tài vĩ đại, kiệt xuất toán học thời cổ xưa” 2.1.3 Trung Hoa 2.1.3.1 Hệ thống ghi số Theo tiến trình lịch sử, người Trung Quốc viết nhiều loại chữ số khác Từ năm 1500 TCN, thầy tế cổ đại khắc loại chữ số vào vỏ xương loài thú nhằm ghi lại số lượng tù binh chiến tranh, số động vật săn Đây chữ số Trung Hoa sớm ghi nhận Bắt đầu vào khoảng năm 400 TCN, chữ số vạch có nguồn gốc từ thẻ tính sử dụng hệ đếm vị trí Người Trung Hoa cổ sử dụng thẻ tính màu đỏ cho số dương màu đen thể số âm Mỗi que tính dài khoảng 10 cm Một đầy đủ gồm 271 que Cơng dụng thẻ tính trước hết để ghi số Có hai kiểu biểu diễn số ngang đứng (dọc) Trong thực tế, người ta dùng hàng đơn vị theo kiểu đứng, sau xem kẻ, số bỏ trống Người Trung Quốc sử dụng chữ số dạng que hệ đếm vị trí; chữ số thẳng đứng biểu diễn từ đến 9; chữ số nằm ngang cột biểu diễn 10, 20, 30…; hàng trăm, cột khác, lại sử dụng chữ số đứng… Cứ thế, hướng xen kẻ chữ số cho phép họ viết chúng gần mà không nhầm lẫn cột 2.1.3.2 Hai tác phẩm lớn “Chu bể toán kinh” sách toán (khơng rõ tác giả) trình bày dạng đối thoại số vấn đề thiên văn, tính chất tam giác vng phân số Nó viết vào thời gian ngắn trước năm 1100 TCN, nhiên, số tư liệu thuộc giai đoạn xa xưa nhiều “Cửu chương toán thuật” sách toán học khác Trung Hoa, biên soạn vào thời Đơng Hán Có tài liệu cho rằng, viết vào khoảng năm 152 TCN người tên Trần Sanh Trong kỷ VII–X, Cửu chương toán thuật trở thành tác phẩm kinh điển nhà tốn học cổ Trung Quốc Nó tự điển toán học độc đáo phục vụ cho nhà thiên văn, người thu thuế Tác phẩm gồm chương với 246 toán trình bày chi tiết giả thiết lời giải 2.1.4 Châu Âu Fibonacci giới thiệu "Phương pháp người Ấn" vào Châu Âu năm 1202 Trong Liber Abaci, ông bênh vực mạnh mẽ cho cách làm Theo Fibonacci, so với phương pháp mới, tất phương pháp cũ khác sai lầm Cho đến cuối kỷ XVI người ta phát triển số 10 cho phần nguyên 10 giải thưởng mang tên dành tặng cho người tìm lời giải định lí Fermat Trị giá giải thưởng 100 000 mác Sau giải thưởng thông báo, dự thi ùn ùn đổ Đại học Gottingen Ngay năm treo giải, có 621 “ lời giải” đệ trình năm sau số thư từ chất cao đến 3m Tuy nhiên, tất sai 3.2.5 Giấc mơ lớn cậu bé 10 tuổi Cậu bé có tên Andrew Wiles tình cờ đọc sách “ Bài toán cuối cùng” E.T Bell thư viện thành phố Milton Cậu bị thơi miên tốn tiếng tốn học, có định lí Fermat Cậu mơ ước ngày giải định lí hóc búa này, để khiến giới kinh ngạc Lớn lên, cậu trở thành sinh viên xuất sắc trường đại học tổng hợp Cambridge Sau đó, Wiles chuyển sang Mỹ làm giáo sư toán trường Đại học tổng hợp Princeton Ở đây, ông tiếp tục nghiên cứu thực hóa giấc mơ thời thơ ấu cháy bỏng 3.2.6 Cách chứng minh dài 200 trang… Tháng năm 1993, trường đại học tổng hợp Cambridge, giáo sư Andrew Wiles có buổi thuyết trình hội thảo lí thuyết số Cuối buổi thuyết trình thứ ba, sau viết xong dòng chứng minh cuối giả thuyết tốn học phức tạp khó hiểu, giả thuyết Shmura- Taniama Giáo sư Wiles nói câu giản dị: Tôi nghĩ minh vừa chứng minh xong định lí Fermat Chứng minh cơng trình dài 200 trang Việc chứng minh tốn năm trời bền bỉ làm việc 3.2.7 … tồn khe hở Sau buổi thuyết trình, báo Wiles gửi cho chuyên gia hàng đầu lí thuyết số phản biện Họ phải dị lại chứng minh, kí hiệu, dịng Sau đó, “khe hở chứng minh” Wiles phát không lấp khe hở này, việc lại trở vạch xuất phát Thêm năm làm việc nữa, cuối Wiles hoàn thành hoàn hảo chứng minh kiệt xuất hai báo dài 130 trang tạp chí Annals of Mathematics cơng bố tháng năm năm 1995 Một số nhà toán học tiêu biểu 4.1 Pythagoras (khoảng 560-480 TCN) Pythagoras sinh vào khoảng năm 560 TCN, đảo Aege Samos Có 15 thời gian ông sống Ai Cập, sau ông định cư miền nam nước Ý nơi ông lập nên trường phái Pythagoras tiếng trở thành viện nghiên cứu triết học, toán học khoa học tự nhiên phát triển thành hội nghiên cứu với tơn bí mật Do ảnh hưởng khuynh hướng quý tộc hội lớn nên lực lượng dân chủ miền nam nước Ý phá hủy tòa nhà học viện bắt phải giải tán Người ta nói Pythagoras trốn Metapontum chết (có thể bị giết) vào khoảng 75 đến 80 tuổi Mặc dù bị tan rã song hội nghiên cứu tiếp tục tồn hai kỷ 4.2 Diophantus (210-290) Diophantus có đóng góp to lớn phát triển đại số học có nhiều ảnh hưởng đến lý thuyết số sau Châu Âu Ông nhiều người xem “cha đẻ ngành đại số” người ta biết ông, kiện ông thành đạt Alexandria Diophantus viết ba cơng trình: “Arithmetica”, cơng trình quan trọng ơng cịn giữ 13 quyển, “ số đa giác” giữ lại vài đoạn, “Porisms” bị thất lạc “Arithmetica” luận văn phân tích lý thuyết đại số số cho thấy tác giả thiên tài lĩnh vực Phần cịn giữ lại cơng trình nói cách giải khoảng 130 tốn khác dẫn đến phương trình bậc bậc hai phương trình bậc ba đặc biệt giải Diophantus chứng minh số nguyên tố có dạng: 4n + 4n – khơng thể tổng bình phương hai số phương Số có dạng 24n + khơng thể tổng bình phương ba số phương Công lao ông đời sau ông biết dùng ký hiệu toán tiến lớn thời đại ông; trước Hero (cuối kỷ thứ I SCN) có đề cập chút cơng đầu thuộc Diophantus Với cách ký hiệu thế, ông viết cách túy đại số mà không cần diễn tả hình học Diophantus đưa số âm Ơng đặt giải nhiều toán dẫn đến phương trình xác định bất định Cơng trình ông lý thuyết số đặt sở cho nghiên cứu sau Fermat Euler Các phương trình Diophantus phương trình đại số với hệ số hữu tỉ, có nghiệm dạng số ngun số hữu tỉ Giải tích Diophantus (hay hình học Diophantus) lĩnh vực toán học nghiên cứu phương 16 trình Diophantus dựa phương pháp hình đại học số Phép tính Diophantus ngành lý thuyết số nghiên cứu gần khơng giá trị hàm số từ đại số 4.3 Fermat (1601? – 1665) Fermat sinh gần Toulouse nước Pháp Ông luật gia tận tụy kín đáo, ơng dùng nhiều thời gian rảnh rỗi để nghiên cứu toán học Mặc dù cịn sống ơng cơng bố cơng trình song ơng lại thường trao đổi thư từ khoa học với nhiều nhà toán học hàng đầu thời đó, ơng gây ảnh hưởng lớn người thời Ông làm phong phú cho nhiều ngành toán học Pháp Vĩ đại kỷ XVII Fermat có nhiều đóng góp đa dạng cho tốn học, có lẽ bật việc đặt móng cho lý thuyết có tính chất đại số Fermat có trực giác lực thật khác thường khoa học số Ông đưa hai định lý mang tên ông: Định lý nhỏ Fermat Với p số nguyên tố khác chia số a lũy thừa p cho p có số dư đáng a Định lý lớn Fermat (định lý cuối Fermat) Câu chuyện định lý cuối Fermat câu chuyện độc vơ nhị lịch sử tốn học giới, khởi nguồn từ cổ đạivới nhà toán học Pythagoras Bài toán cuối (sau giới toán học gọi định lý cuối Fermat, hay định lý lớn Fermat) có nguồn gốc từ định lý Pythagoras: “ Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng.” Fermat thay đỏi phương trình Pythagoras tạo tốn khó bất hủ Xét phương trình Pythagore: x2 + y2 = z2 Người ta hỏi nghiệm số ngun phương trình gì, thấy rằng: 32 + 42 = 52; Và 52+ 122 = 132 Nếu tiếp tục tìm kiếm tìm thấy nhiều nghiệm Fermat, xét dạng bậc ba phương trình này; x3 + y3 = z3 Ơng đặt câu hỏi: Có thể tìm nghiệm (nguyên) cho phương trình bậc ba 17 hay khơng ? Ơng khẳng định khơng Thực ra, ơng khẳng định điều cho họ phương trình tổng qt: xn + yn = zn Trong n lớn khơng thể tìm nghiệm (ngun) Đó định lý Fermat cuối Điều lý thú đoán Fermat ghi bên lề sách mà khơng chứng minh, có kèm theo dịng chữ : “ Tơi có phương pháp hay để chứng minh cho trường hợp tổng quát, khơng thể viết lề sách q hẹp”! Các nhà toán học cố gằng giải toán suốt 300 năm Trong lịch sử, tìm lời giải cho định lý cuối Fermat có người phải tự tử có lường gạt… cuối cùng, nhà toán học Andrew wiles (một người anh, định cư Mỹ, sinh năm 1953) sau năm làm việc độc năm giày vị cô đơn công bố lời giải độc vô nhị mùa hè năm 1993 sửa lại năm 1995, với lời giải dài 200 trang 4.4 Gauss (1777- 1855) Carl Friedrick Gauss nhà toán học Đức vĩ đại kỷ XIX thường xếp ngang hàng với Archimedes Isaac Newton Ông ba nhà toán học vĩ đại thời đại Ngay từ nhỏ Gauss biểu khả kỳ lạ tính nhẩm Ngay nên Gauss phát việc kế toán cha có chỗ sai Khi cịn nhỏ, biết tình nhanh tổng + + … + 100 tích 101.50 làm kinh ngạc thầy giáo Gauss tiếng chủ yếu cơng trình tốn học, có cơng trình nghiên cứu thiên văn vật lý đánh giá cao Từ năm trung học, ông nắm vững cơng trình Newton, Euler, Lagrange tìm phương pháp bình phương tối thiểu Ơng người khám phá hình học phi Euclid, khám phá khả đường tròn thành 17 cung phương pháp Euclid Ơng có nhiều cơng trình lý thuyết số Gauss người chứng minh chặt chẽ định lý đại số học (một phương trình đa bậc thức n có hệ số phức có hệ phức) Tác phẩm “Disquistiones Arithemeticae” (các nghiên cứu số học) ông công bố vào năm 1801 xem cơng trình khởi đầu đại số đại Gauss nghiên cứu lý thuyết mặt cong, số phức, tương đẳng, hình học hyperbonic nhiều vấn đề khác toán học 18 4.5 Dirichlet (1805-1859) J.P.G.N Dirichlet nhà toán học Đức cho người đưa định nghĩa đại hàm số Gia đình ông xuất thân từ thị trấn RicheLetter Bỉ, mà họ ơng “ Lejeune Dirichlet” (“Le jeune de Richelette”, tiếng pháp nghĩa “chàng trai trẻ từ Richelette”) đặt theo, nơi ơng nội ơng sống Ơng giáo dục Đức sau Pháp, nơi ơng học hỏi từ hầu hết nhà tốn học tiếng thời Ông học từ Georg Ohm Bài báo ông định lý Fermat bao gồm phần chứng minh cho trường hợp n = 5, hoàn thiện Adrien – Marie Legendre Dirichlet cúng hoàn thiện chứng minh ông thời gian; Sau ơng đưa tồn lời giải cho trường hợp n = 14 Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, Rudolf Lipschitz học trị ơng Sau qua đời, giảng ông kết khác ngành số học sưu tập, biên khảo xuất đồng nghiệp người bạn ơng nhà tốn học Richard Dedekind Có nhiều định lý mang tên Định lý Dirichlet như: Định lý Dirichlet cấp số cộng (số học, đặc biệt số nguyên tố) Định lý Dirichlet xấp xỉ diophantine (số học xấp xỉ) Ứng dụng lịch sử toán 5.1 Ứng dụng lịch sử toán giảng dạy 5.1.1 Ứng dụng lịch sử toán việc giảng dạy số phức Cách 1: Dùng lịch sử tốn hình thành khái niệm toán học a) Nguyên nhân Khi dạy số phức trường Phổ thơng, điều khiến học sinh khó hiểu xuất kí hiệu i áp đặt i = −1 Sự áp đặt khó chấp nhận học sinh lớp 12 đưa vào đầu rằng: muốn chấp nhận phải hiểu Có em hiểu sâu nhớ lâu Vấn đề cần phải giải từ đâu có kí hiệu i i = −1 b) Giải pháp Để giải vấn đề trên, dẫn lịch sử Tốn vào q trình hình thành khái niệm số Phức c) Cách thức tiến hành 19 Giới thiệu phong trào thi đua để giải phương trình bậc tổng quát năm 1530 Vào ngày 22-2-1535, nhà toán học người hâm mộ nhiều nước châu Âu kéo thành phố Milan để dự thi tài Tartaglia trở nên tiếng khắp Châu Âu sau thành công vang dội thi này, dù ơng giữ kín bí mật cách giải Cịn Cardano, bác sĩ u Tốn, ơng nghiên cứu đề tài nhiều năm mà chưa có kết Cardano nhiều lần thuyết phục Tartaglia chia sẻ bí mật Tartaglia chấp thuận với lời tuyên thệ khơng tiết lộ cho Tuy vậy, Cardano nuốt lời Ơng cơng bố cách giải sách lời nói đầu sách ơng có xác nhận cách giải Tartaglia, giới Tốn học dường nhớ đến ơng nhắc đến phát minh Ở nói vấn đề Tartaglia giải tốn phương trình bậc ba ax3 + bx + cx + d = Qui trình Tartaglia giải phương trình bậc là: b a c a Bước 1: Đưa phương trình x3 + x + x + d =0 a Bước 2: Làm khuyết bậc hai cách đặt y = x + b ta đưa phương 3a trình có dạng: y + py + q = Bước 3: Chuyển phương trình bậc khuyết bậc hai cách đặt y = u + v điều kiện ràng buộc u v tự cho để dễ dàng giải: uv = − p p3 Lúc ta có u + v3 = − q u 3v = − Vậy u v3 27 p3 nghiệm phương trình t + qt − = 27 Bước 4: Hoàn nguyên kết ban đầu: sau có t ta tìm u, v, sau tìm lại y, có y tìm x Vấn đề xảy phương trình t + qt − p3 = vơ nghiệm 27 phương trình bậc ba ban đầu có nghiệm Vậy nghiệm biến đâu mất, 20 bước giải tương đương? Đến Tartaglia đứng trước hai lựa chọn: từ bỏ cách giải tuyệt vời này, tiếp, đồng nghĩa với việc chấp nhận khái niệm bậc hai số âm để tiếp tục giải xem liệu có sau Và Tartaglia tiếp việc chấp nhận khái niệm −1 Và sau Euler dùng kí hiệu i để đại diện cho đơn vị này, i = −1 hay i = −1 Từ dẫn vào khái niệm số phức Cách 2: Dùng lịch sử toán gợi động học tập cho học sinh Tạo động học tập cho học sinh dạy khái niệm số phức Bước 1: Tạo nhu cầu học tập Trong khứ Tartaglia sau Cardano tìm hồn thiện cách giải phương trình bậc ba Nhưng song song việc giải phương trình này, họ phải thừa nhận với đại lượng lạ nói chưa tồn tốn học −1 Bước 2: Xác định mục tiêu học tập Trong hôm tìm hiểu khái niệm loại số này, mà người ta thường gọi số phức Sau trả lời xem góp phần việc giải phương trình bậc ba 5.1.2 Ứng dụng lịch sử toán việc giảng dạy số vô tỷ khái niệm bậc hai Cách 1: Dùng lịch sử tốn để tạo tình có vấn đề Bước 1: Giới thiệu lịch sử Con người làm quen với số tự nhiên, phân số số hữu tỉ từ sớm lâu đời Riêng số vô tỉ, Pythagoras phát sau nghiên cứu tốn sau: Bước 2: Tái vấn đề Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh góc vng đơn vị Tìm độ dài cạnh huyền? Bước 3: Giải vấn đề + Học sinh vẽ hình tìm độ dài cạnh huyền cách tìm x để x2 = 21 + Học sinh kết luận không tìm số nguyên thoả mãn điều kiện Bước 4: Giới thiệu kiến thức Trong thời đại Pythagoras, họ khám phá độ dài cạnh huyền số nguyên hay số hữu tỉ mà số vô tỉ Nghĩa biểu diễn dạng tỉ số Đó số , số vô tỉ biết đến Tuy nhiên phát kinh hồng khơng cơng bố làm đảo lộn giả định trường phái cho thứ điều phụ thuộc số nguyên Giới thiệu kiến thức cần dạy Cách 2: Dùng lịch sử toán để vào Trong lịch sử, trường phái Pythagoras tìm loại số, khơng phải số tự nhiên hay số nguyên không biểu diễn dạng hữu tỉ xem kiện chấn động trường phái lý thuyết họ phần nhiều xây dựng tập số ngun Hơm tìm hiểu loại số làm chấn động trường phái Pythagoras Đó số vơ tỷ 5.2 Ứng dụng lịch sử tốn tổ chức hoạt động ngoại khóa Trị chơi lịch sử toán học Vòng 1: Kết nối Hãy nối tên nhà toán học (cột bên trái) với thông tin tương ứng (cột bên phải) Mỗi câu 10 điểm 22 1) PYTHAGORAS A Cha đẻ Hình Học, viết tác phẩm “ CƠ SỞ “ 2) EUCLID B Tác giả “ Đại Thành Toán Pháp “ 3) DIOPHANTUS C Cha đẻ Đại Số, viết tác phẩm “ARITHMETICA“ 4) LƯƠNG THẾ VINH D Chế tạo máy tính 5) PASCAL E Xây dựng lý thuyết nhóm trừu tượng 6) GALOIS F Cha đẻ số, gắn với định lý thông dụng tam giác vng Vịng 2: Người bí ẩn Thơng tin người bí ẩn cung cấp theo câu gợi ý Trả lời gợi ý 50 điểm, trả lời gợi ý 10 điểm Ông ? Nhà toán học thiên tài thời Trung Cổ, sinh Pisa ( nước Ý ) năm 1170 Cơng trình “ Liber abaci “ viết số học đại số sơ cấp ( năm 1202 ông 32 tuổi ) Người có cơng lớn việc giới thiệu chữ số Hindu – Ả Rập cho châu Âu Vòng 3: Con số bí ẩn Có câu hỏi bạn phải trả lời,trả lời câu bạn 10 điểm Mỗi câu hỏi có nội dung liên quan đến số bí ẩn Trong vòng câu hỏi bạn đưa số bí ẩn 60 điểm Nếu chưa tìm số bí ẩn có gợi ý, trả lời gợi ý bạn 30 điểm, trả lời gợi ý số điểm 20, 10 điểm Câu 1: Số có tổng ước số nguyên dương bé nó gọi số gì? Câu 2: Ngày Thầy thuốc Việt Nam rơi vào tháng năm ? Gợi ý số bí ẩn Được viết hệ nhị phân là: 11100 Là số hoàn hảo bé 400 Vòng 4: Thách thức tư 23 Gồm câu hỏi tư duy, trả lời câu 20 điểm, bạn đặt hy vọng sau nghe xong câu hỏi để gấp đôi số điểm Đặt hy vọng trả lời sai bị trừ 20 điểm Câu 1: Hỏi anh A sinh vào ngày tháng ? Biết từ đầu năm đến ngày sinh phân ngày sinh đến cuối năm (anh ta sinh vào năm nhuần) Đáp án: anh A sinh ngày tháng Giải thích: Năm nhuần có 366 ngày, chia 122 ngày, trừ dần tháng 1, 2, 3, ngày sinh 1-5 Câu 2: Có gái tên Xanh, Tím Vàng Mặc áo màu xanh, tím vàng đến dự buổi tiệc gặp Cơ gái tên Xanh nói với gái mặc áo vàng là: “ đứa khơng mặc áo có màu trùng với tên “ Hỏi gái mặc áo màu ? Đáp án: Cơ Xanh mặc áo màu tím, Tím mặc áo màu vàng, Vàng mặc áo màu xanh Giải thích: Xanh mặc áo màu xanh, áo màu vàng có người mặc nên Xanh mặc áo tím Câu 3: Có 80 đồng tiền có đồng tiền giả nhẹ đồng tiền khác, lần cân cân dĩa có để tìm đồng tiền giả ? Đáp án: lần cân Giải thích: Chia 80 đồng tiền làm phần cân phần Sau lần cân chia làm phần đến xác định đồng tiền giả Câu 4: Mời bạn nge câu truyện: “ A B gặp nhau, A hỏi B: “ anh có người con, tuổi ? ” B đáp: “ Tơi có người con, tích số tuổi chúng 36, tổng số tuổi chúng số cửa sổ nhà ( vừa nói B vừa ngơi nhà) Sau lúc suy nghỉ A nói: “ Tơi chưa xác định số tuổi đứa anh “ B giải thích thêm: “ Đứa lớn tơi có mái tóc xoăn.”” Qua truyện hỏi số tuổi người ông B ? Đáp án: Số tuổi người là: 2, 2, Giải thích Bộ số có tích 36 Tổng 24 1 36 38 18 21 12 16 14 6 13 2 13 11 3 10 25 PHỤ LỤC: HỆ ĐẾM CỦA NGƯỜI MAYA VÀ INCA A Maya a Đếm theo 20 Đa số xã hội đại sử dụng hệ đếm thập phân, số 10 Tuy nhiên, người Maya lại dùng hệ đếm với số 20 Chúng ta không rõ họ làm thế? Có lẽ người có tổng cộng 20 ngón tay ngón chân chăng? Chữ số Maya gồm chấm vạch ngang Một chấm biểu diễn số 1, hai chấm biểu diễn số Một vạch biểu diễn số 5, hai vạch biểu diễn cho 10 Người Maya kết hợp chấm vạch để viết số lớn Một vạch bốn chấm, chẳng hạn, biểu diễn số Hai vạch hai chấm biểu diễn cho 12… 26 Dresden Maya Codex, Lacambalam, 2001 b Tiên phong dùng số không Maya tộc người sơ khai sử dụng số không nhằm thể kí hiệu phân cách Họ vẽ oval nhỏ với vài nét vạch bên để diễn đạt số c Số viết theo cột Hệ số đếm Maya phụ thuộc vào vị trí thay viết theo dòng, người Maya lại ghi chữ số từ lên trên: hàng đơn vị hàng cùng, hàng hai chục phía chúng, đến hàng 400… 27 B Inca Người Inca sử dụng quibu, nhóm dây thắt gút, làm dụng cụ đếm số phức tạp Dây quibu Quibu gồm sợi dây ngang (I) sợi dây thẳng đứng khác (II) gắn vào Những sợi dây (II) lại cho sợi dây khác (III) gắn vào (giống nhánh nhỏ mọc từ nhánh lớn cây) Họ ghi thông tin quibu cách thắt nút sợi dây Nút thắt có ba loại điểm phân biệt dọc theo dây tương ứng với giá trị vị trí khác nhau, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị Người Inca dùng sợi dây sai khác màu sắc nhằm nhận dạng đếm Thí dụ, màu để đếm số lạc đà, màu để đếm số cừu Sợi dây cuối cho biết tổng giá trị sợi dây cộng lại với Với nhiều ý nghĩa mã hóa màu sắc nút thắt dây, quibu chẳng có ý nghĩa nhiều khơng biết cách “đọc” Vì thế, thành viên định xã hội Inca phân cơng ghi nhớ giải thích thơng tin lưu trữ quibu 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Cang (1999), Lịch sử toán học, NXB Trẻ Nguyễn Bá Đô, Hồ Châu (2003), Các câu chuyện toán học, tập 2, NXB Giáo dục Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục Mai Xuân Thảo, Trần Trung (2014), Giáo trình lịch sử toán học, NXB Giáo dục Việt Nam Trần Thị Thanh Thúy (1999), “Dạy học khám phá môn Lịch sử toán học”, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Khoa Sư phạm Đại học Cần Thơ, năm 1999, tr 11–16 Sigh S (2005), Định lý cuối Fermat, NXB Trẻ Woods M., Woods M B (2011), Ancient Computing Technology: From Abacuses to Water Clocks, Twenty First Century Books, Minneapolis, USA 29 ... Dirichlet cấp số cộng (số học, đặc biệt số nguyên tố) Định lý Dirichlet xấp xỉ diophantine (số học xấp xỉ) Ứng dụng lịch sử toán 5.1 Ứng dụng lịch sử toán giảng dạy 5.1.1 Ứng dụng lịch sử toán việc... Trung (2014), Giáo trình lịch sử toán học, NXB Giáo dục Việt Nam Trần Thị Thanh Thúy (1999), “Dạy học khám phá môn Lịch sử toán học? ??, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Khoa Sư phạm Đại học Cần Thơ, năm 1999,... THAM KHẢO Nguyễn Cang (1999), Lịch sử toán học, NXB Trẻ Nguyễn Bá Đô, Hồ Châu (2003), Các câu chuyện toán học, tập 2, NXB Giáo dục Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục Mai Xuân