Lý thuyết xác suất chỉ thực sự hình thành và phát triển trong khoảng 3 thế kỷ rưỡi. Chính việc giải bài toán chia tiền cược khi cuộc chơi bị gián đoạn giữa chừng đã dẫn đến sự hình thành nên khái niệm xác suất vào đầu thế kỷ XVII, sau đó các phép tính về xác suất phát triển dần thành lý thuyết hiện đại được xây dựng theo một hệ tiên đề vào thể kỷ XX. Tuy nhiên, có thể nói rằng mầm mống của lý thuyết xác suất đã có từ thiên niên kỷ thứ III TCN, với các trò chơi may rủi. Dưới đây chúng tôi sẽ tổng kết lại những giai đoạn chủ yếu của lịch sử hình thành, phát triển lý thuyết xác suất và làm rõ đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất trong mỗi giai đoạn đó. 1.1. Giai đoạn đầu (từ thời trung đại (Moyenage) đến nửa đầu thế kỷ XVII): nhu cầu tính toán các cơ hội 1.1.1. Sự ngẫu nhiên Theo Michel Henry: “Không có sự ngẫu nhiên thì không có xác suất” (Henry, 2004, tr.1). Đã nói đến xác suất thì không thể không nói đến các hiện tượng ngẫu nhiên. Từ xa xưa, con người đã sớm ý thức được sự tồn tại của ngẫu nhiên khi nói rằng “Tất cả những gì tồn tại trong vũ trụ đều là kết quả của ngẫu nhiên và tất yếu”. Và người ta cũng ý thức được là con người không thể “điều khiển” được các hiện tượng ngẫu nhiên vì nó là “sự thể hiện ý muốn của thần thánh” (Pichard, 1997, tr.105). 1.1.2 Trò chơi may rủi và một khai thác đầu tiên về “Đại số tổ hợp” Những con súc sắc hình lập phương và đồng chất bằng đất nung được tìm thấy trong các ngôi mộ cổ chứng tỏ rằng các trò chơi liên quan đến “Phép thử ngẫu nhiên” đã có từ rất lâu qua các trò chơi với astragales, với súc sắc, … rất phổ biến ở vùng Lưỡng Hà từ thời Ai Cập cổ đại (tức thế kỷ III TCN). Cho đến ngày nay, trò chơi này vẫn còn là một mô hình quen thuộc trong các bài toán về xác suất. Vào thời Hy Lạp cổ đại, đạo luật cấm các trò chơi cờ bạc với súc sắc đã được ban hành. Nhà thờ thiên chúa giáo cũng lên án các trò chơi đó. Dù vậy, chúng vẫn có sức hấp dẫn mãnh liệt và tồn tại một cách dai dẳng. Các trò chơi may rủi đã có những khai thác đầu tiên về đại số tổ hợp. Bài thơ có tựa đề De Vetula (của Richard de Fournival (12011260)), một tu sỉ uyên bác người Pháp, được ghi nhận là có từ khoảng năm 1250 là một bằng chứng về điều đó. Bài thơ miêu tả trò chơi “Tung ba con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được” (tức là tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt của ba con súc sắc). Một trích đoạn của bài thơ cho thấy tác giả đã sử dụng đến hoán vị khi nói rằng việc tung 3 súc sắc sinh ra 16 kiểu tổng các điểm, ứng với 56 dạng điểm và việc hoán vị mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có 216 cách rơi 3 súc sắc.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BÀI BÁO CÁO LỊCH SỬ CÁC PHÂN MƠN TỐN HỌC NỘI DUNG: XÁC SUẤT THỐNG KÊ GVHD: PGS.TS NGUYỄN PHÚ LỘC Nhóm thực hiện: Nhóm Cần Thơ, 2015 PHẦN I LỊCH SỬ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Lý thuyết xác suất thực hình thành phát triển khoảng kỷ rưỡi Chính việc giải tốn chia tiền cược chơi bị gián đoạn chừng dẫn đến hình thành nên khái niệm xác suất vào đầu kỷ XVII, sau phép tính xác suất phát triển dần thành lý thuyết đại xây dựng theo hệ tiên đề vào thể kỷ XX Tuy nhiên, nói mầm mống lý thuyết xác suất có từ thiên niên kỷ thứ III TCN, với trò chơi may rủi Dưới tổng kết lại giai đoạn chủ yếu lịch sử hình thành, phát triển lý thuyết xác suất làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm xác suất giai đoạn 1.1 Giai đoạn đầu (từ thời trung đại (Moyen-age) đến nửa đầu kỷ XVII): nhu cầu tính tốn hội 1.1.1 Sự ngẫu nhiên Theo Michel Henry: “Khơng có ngẫu nhiên khơng có xác suất” (Henry, 2004, tr.1) Đã nói đến xác suất khơng thể khơng nói đến tượng ngẫu nhiên Từ xa xưa, người sớm ý thức tồn ngẫu nhiên nói “Tất tồn vũ trụ kết ngẫu nhiên tất yếu” Và người ta ý thức người “điều khiển” tượng ngẫu nhiên “sự thể ý muốn thần thánh” (Pichard, 1997, tr.105) 1.1.2 Trò chơi may rủi khai thác “Đại số tổ hợp” Những súc sắc hình lập phương đồng chất đất nung tìm thấy ngơi mộ cổ chứng tỏ trò chơi liên quan đến “Phép thử ngẫu nhiên” có từ lâu qua trò chơi với astragales, với súc sắc, … phổ biến vùng Lưỡng Hà từ thời Ai Cập cổ đại (tức kỷ III TCN) Cho đến ngày nay, trị chơi cịn mơ hình quen thuộc toán xác suất Vào thời Hy Lạp cổ đại, đạo luật cấm trò chơi cờ bạc với súc sắc ban hành Nhà thờ thiên chúa giáo lên án trò chơi Dù vậy, chúng có sức hấp dẫn mãnh liệt tồn cách dai dẳng Các trò chơi may rủi có khai thác đại số tổ hợp Bài thơ có tựa đề De Vetula (của Richard de Fournival (1201-1260)), tu sỉ uyên bác người Pháp, ghi nhận có từ khoảng năm 1250 chứng điều Bài thơ miêu tả trò chơi “Tung ba súc sắc đếm tổng điểm nhận được” (tức tổng số chấm xuất ba mặt ba súc sắc) Một trích đoạn thơ cho thấy tác giả sử dụng đến hoán vị nói việc tung súc sắc sinh 16 kiểu tổng điểm, ứng với 56 dạng điểm việc hoán vị dạng điểm chứng tỏ tổng cộng có 216 cách rơi súc sắc Mặt khác trích đoạn khẳng định: xuất dạng điểm ứng với 16 kiểu tổng điểm không tổng lớn 18 ứng với dạng điểm 6, 6, tổng nhỏ ứng với dạng điểm 1, 1, xảy ra, tổng trung bình lại thường xảy Để giải thích, với thơ người ta đưa bảng sau (trích theo Henry, 2004, tr.4): 6.6.6 6.6.5 6.6.4 6.6.3 6.6.2 6.6.1 6.5.1 6.4.1 6.3.1 6.2.1 6.1.1 5.1.1 4.1.1 3.1.1 2.1.1 1.1.1 6.5.5 6.5.4 6.5.3 6.5.2 6.4.2 6.3.2 6.2.2 5.3.1 5.2.1 4.2.1 3.2.1 2.2.1 5.5.5 6.4.4 6.4.3 6.3.3 5.5.1 5.4.1 5.2.2 4.3.1 3.3.1 2.2.2 5.5.4 5.5.3 5.5.2 5.4.2 5.3.2 4.4.1 4.2.2 2.2.3 4.4.5 5.4.3 5.3.3 4.4.2 4.3.2 3.3.2 4.4.4 4.4.3 4.3.3 3.3.3 18 17 16 15 14 13 12 11 10 Mỗi dòng bảng liệt kê dạng điểm tương ứng với tổng điểm, theo thứ tự tổng điểm giảm dần từ xuống (cột cuối cùng) Với bảng này, thấy khả xảy trường hợp tổng điểm 9, hay 10, hay 11, hay 12 lớn (tức thường xảy trường hợp có đến dạng điểm) Mặt khác, vấn đề đặt tổng hay 12 có số dạng điểm tổng 10 hay 11 (6 dạng điểm), khả xảy tổng 10 hay 11 lớn khả xảy tổng hay 12? Điều giải thích phần qua thống kê theo số cách rơi súc sắc đây: “ tổng: hay 18 số dạng điểm: tổng: hay 17 số dạng điểm: tổng: hay 16 số dạng điểm: tổng: hay 15 số dạng điểm: tổng: hay 14 số dạng điểm: tổng: hay 13 số dạng điểm: tổng: hay 12 số dạng điểm: tổng: 10 hay 11 số dạng điểm: (trích theo Henry, 2004, tr.4) cách rơi: cách rơi: cách rơi: cách rơi: 10 cách rơi: 15 cách rơi: 21 cách rơi: 25 cách rơi: 27 Thống kê cho thấy ứng với tổng hay 12 có 25 cách rơi, cịn ứng với tổng 10 hay 11 có 27 cách rơi Bài thơ Henry đánh giá “Một khai thác đại số tổ hợp kết cục để dẫn người chơi”, “liệt kê dạng khác quan sát gắn liền với khả nhận chúng” 1.1.3 Bài toán điểm nảy sinh nhu cầu tính tốn hội Bài tốn điểm Luca Pacioli (1445 – 1509) đưa vào năm 1494, tác phẩm Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita: “Một lữ đồn chơi bóng quần Mỗi cú trúng 10 điểm 60 điểm xem thắng Tiền đặt cược trị chơi 10 đồng đu-ca Một tai nạn xảy buộc binh lính phải dừng ván chơi phe thứ 50 điểm phe thứ hai 20 điểm Bài toán đặt phải trả lại cho phe phần số tiền đặt cược?” Giải pháp Pacioli chia số tiền cược tỉ lệ thuận với số bàn thắng hai phe Về sau này, tác phẩm Liber de lulo aleae (được viết vào khoảng năm 1526 1560, đến 1663 xuất bản), Jérôme Cardan chứng tỏ chia sai ông cho phải dựa vào số ván mà họ chơi Thế giải pháp Cardan bị Tartaglia (1499 – 1557) bác bỏ Điều đáng lưu ý tính tốn Cardan ý đến vấn đề đồng khả coi súc sắc khối lập phương hoàn hảo Vấn đề đồng khả kết việc tung súc sắc Galilé dùng làm giả thiết tiểu luận trò chơi súc sắc (nó cịn có mặt trao đổi thư từ Pascal Fermat sau nữa) Trở với trò chơi gieo súc sắc thơ De Vetula, toán đáng ý thứ hai Grand Duc de Toscane đặt lại cho Galilé vào năm 1620 “Tại kinh nghiệm người chơi lại cá cược tổng 10 hay 11 có lợi tổng hay 12 (27 so với 25) trong bốn tổng có số dạng (6)?” (trích theo Henry, 2004, tr.5) Phân tích lời giải đáp cho câu hỏi Galilé, M.Henry nhận thấy chứng minh ông sử dụng phép đếm thể tường minh thơ De Vetula có từ bốn kỷ trước Hơn thế, nghiên cứu (được xuất năm 1718) Galilé kết luận: “… từ bảng (bảng thống kê thơ De Vetula), người am hiểu trò chơi đo lường xác tất lợi ván chơi súc sắc, tranh tài tất qui tắc riêng khác mà người ta quan sát trò chơi” (trích theo Henry, 2004, tr.5) Phân tích nghiên cứu Galile, M Henry đánh giá rằng: “Bằng cách đề nghị người chơi trò súc sắc “đo” hội chiến thắng họ, Galile đến gần với xác suất gang tấc, tất nhiên không diễn đạt nó” (trích theo Henry, 2004, tr.5) Như vậy, nửa đầu kỷ XVII, khái niệm xác suất xuất dạng công cụ ngầm ẩn để so sánh hội Cũng người ta nói “Sự kiện có hội xảy lớn kiện kia” hay “Các kiện có khả xảy ra” Nhưng cụ thể “độ đo” hội xảy kiện bao nhiêu? Được tính cách nào? Một số yếu tố Đại số tổ hợp khai thác người ta tìm kiếm câu trả lời cho trường hợp vài trị chơi may rủi Tuy vậy, chưa có câu trả lời tổng quát cho vấn đề đo hội xảy kiện tùy ý Và tất nhiên, lúc này, chưa định nghĩa xác suất đưa 1.2 Giai đoạn thứ hai (từ nửa sau kỷ XVII đến cuối kỷ XIX): vấn đề tính xác suất biến cố đồng khả không đồng khả Mùa hè năm 1651, Chevalier de Méré hỏi Blaise Pascal (1623 – 1662) vấn đề chia tiền cược sau: có lần Méré người bạn gieo đồng tiền sấp, ngửa ăn tiền, họ góp người 32 đồng tiền vàng làm tiền cược qui ước Méré gieo lần tất mặt sấp ơng tồn số tiền, cịn bạn ơng gieo lần tất mặt ngửa tiền cược thuộc người bạn Khi Méré lần mặt sấp bạn ơng lần mặt ngửa chơi phải dừng nhà vua gọi Méré Vậy nên chia tiền cược nào? Bài toán khiến Pascal phải suy nghĩ ông viết thư cho nhà toán học Pierre de Fermat (1601 – 1665) Qua thư từ trao đổi, họ “tốn học hóa” trò chơi cờ bạc vào tháng năm 1654, họ đến kết luận Méré tiền cược Hai ông giải theo hai cách khác Pascal sử dụng tam giác số học hệ số khai triển nhị thức để giải tốn Phân tích lời giải Pascal đề nghị, Henry cho phương pháp ông độc đáo nhắc ta nghĩ đến kỳ vọng thắng Thật vậy, theo lập luận Pascal phải chia cho người thứ 48 đồng người thứ hai 16 đồng, ta thấy: ; đó, “xác suất” để người thứ người thứ hai nhận 64 đồng tiền cược Theo ngôn ngữ đại, kỳ vọng toán người thứ 48, người thứ hai 16 Sau đó, thư gửi Fermat (ngày 24/08/1654), Pascal cịn nói đến tổ hợp tỉ lệ tiền cược phải chia cho hai người chơi: “… có tổ hợp làm cho người thứ thắng có cho người thứ hai chia tiền theo tỉ lệ …” (Blaise Pascal, (Euvres completes, Edition du Seuil, 1963, tr.47), (trích theo Pichard, 1997, tr.111) Khác với Pascal, cách tưởng tượng trò chơi tiếp tục với ván giả nhằm đạt đến số ván cần chơi để xác định người chiến thắng, Fermat sử dụng tổ hợp để liệt kê dãy kết thuận lợi có người chơi chia tiền cược theo tỉ lệ Ơng giải thích: “… việc giả tưởng mở rộng trị chơi đến số ván nhằm làm cho quy luật dễ đi, (theo cảm tính tơi) khiến cho tất ngẫu nhiên nhau, dễ hiểu rút gọn tất phân số mẫu số” (trích theo Henry, 2004, tr.6) Chẳng hạn, để giải trường hợp: có ba người chơi, thắng ba ván người chiến thắng, với giả thiết người thứ ván, hai người người ván cho trò chơi kết thúc tối đa ván nữa, Fermat đưa tính tốn xác suất sau: “… người thứ thắng sau một, hai hay ba ván Nếu thắng sau ván, phải có súc sắc có ba mặt trường hợp gặp thuận lợi Một súc sắc tạo nên ngẫu nhiên, nên người chơi có 1/3 ngẫu nhiên chơi ván Nếu chơi hai ván, thắng hai cách, người thứ hai thắng ván đầu thắng ván thứ hai, người thứ ba thắng ván đầu thắng ván thứ hai Nhưng hai súc sắc tạo nên ngẫu nhiên nên người chơi 2/9 ngẫu nhiên chơi ván Nếu chơi ba ván, có hai cách thắng, người thứ hai thắng ván đầu, người thứ ba thắng ván thứ hai thắng ván thứ ba, người thứ ba thắng ván đầu, người thứ hai thắng ván thứ hai thắng ván thứ ba người thứ hai hay người thứ ba thắng hai ván đầu người chiến thắng trị chơi người thứ Nhưng ba súc sắc có 27 ngẫu nhiên nên người thứ có 2/27 ngẫu nhiên chơi ba lần Khi đó, ngẫu nhiên làm cho người thứ thắng 1/3, 2/9, 2/27 cho tổng cộng 17/27” (trích Henry, 2004, tr.6) Theo Henry, hiểu ngầm Pascal thừa nhận “đồng khả xuất hiện” biến cố qua lý lẽ thư nói “sự ngẫu nhiên nhau” Về phần Fermat, ông dùng từ “ngẫu nhiên” để xác suất biến cố Cũng Pascal, ông sử dụng tổ hợp để liệt kê trường hợp trường hợp thuận lợi cho người chơi Ông thừa nhận giả thiết “đồng khả năng” giải toán Tuy nhiên, cần phải nói thư trao đổi, Pascal lẫn Fermat chưa đưa thuật ngữ để tỉ số mà họ đề nghị dựa vào để chia tiến cá cược Như biết, tỷ lệ tiền thân “xác suất” sau Với nghiên cứu thức tính tốn “xác suất” hai nhà toán học Pascal Fermat, nói trị chơi ngẫu nhiên chuyển thành đối tượng nghiên cứu tốn học có mặt tốn tính “cơ hội” thắng Lúc này, khái niệm “xác suất” hoạt động phạm vi số học đại số tổ hợp, chưa có tên, chưa có định nghĩa tường minh sử dụng cơng cụ tính tốn “cơ hội” Do Pascal lẫn Fermat khơng thức xuất sách nói tính tốn “xác suất” nên sách Lý thuyết trò chơi súc sắc Christian Huygens xuất năm 1657, người ta biết phép tính Tuy nhiên, thuật ngữ “xác suất” chưa xuất Huygens sử dụng từ “cơ hội” để “xác suất”: “Dù trò chơi ngẫu nhiên, kết có khơng chắn hội mà người chơi thắng hay thua có giá trị xác định” (Huygens, dịch tiếng Pháp Về tính tốn trò chơi ngẫu nhiên, 14, (Euvres completes, 22 vol, 1888 – 1950, La Haye), (trích theo Pichard, 1997, tr.112) Theo Pichard, “giá trị hội” mà Huygens nói đến “kỳ vọng tốn” Bản thân Huygens đồng quan điểm với Pascal kỳ vọng tốn ơng coi nguồn gốc cho phép tính Ngày nay, ơng có vinh dự xem cha đẻ “lý thuyết xác suất” Phải đến năm 1662, Nghệ thuật tư Antoine Arnauld Pierre Nicole (các bạn Pascal), thuật ngữ “xác suất” thực xuất lần với nghĩa biết ngày nay: “… đừng cho tốt xấu tự nó, mà cịn xác suất xảy hay không xảy phải ý xác vào tỉ lệ mà tất có chung, điều làm rõ sau: có trị chơi gơm 10 người, người góp écu, người ăn tất cả, người thua; người ngẫu nhiên mà écu, chín mức độ xác suất để écu mức độ xác suất để ăn chín écu Điều đặt việc cơng hồn hảo” Một định nghĩa tường minh xác suất tìm thấy Thử phân tích trò chơi ngẫu nhiên Pierre Raymond de Montmort, xuất năm 1708: “Sự rủi may Pierre de Fermat tỉ số tất lần thuận lợi với số tất lần có thể, … Trong trị chơi cơng bằng, số tiền đặt cược hai người chơi phải tỉ số với độ xác suất khác hay với kỳ vọng chiến thắng người” (Henry, 2004, tr.6-7) Cũng tác phẩm này, Montmort đưa lời giải cho toán Huygens toán hội khác Ông phát triển nhị thức đa thức, sử dụng đại số tổ hợp để phân tích trò chơi Năm 1713, Montmort xuất tác phẩm thứ hai Chuyên luận tổ hợp Trong tác phẩm ơng nhóm tính chất đại số tổ hợp sử dụng tác phẩm đầu theo lời khuyên Jean Bernoulli Như thế, vòng nửa sau kỷ XVII, từ toán chia tiền cược mà khái niệm xác suất nảy sinh, để tính xác suất người ta sử dụng đại số tổ hợp Trong trường hợp này, hiển nhiên phải thừa nhận tính đồng khả xảy biến cố 1.3 Giai đoạn thứ ba (từ đầu kỷ XVIII đến cuối kỷ XIX): Sự nảy sinh tiếp cận “thống kê” xác suất định nghĩa xác suất Laplace 1.3.1 Sự nảy sinh tiếp cận “thống kê” xác suất Nhà toán học Jacques Bernoulli dành suốt 20 năm đời để hồn thành tác phẩm Thuật suy đốn, năm 1713 (8 năm sau ơng mất), tác phẩm người cháu Nicolas Bernoulli xuất Bernoulli lấy lại kết Huygens, nghiên cứu sâu kết đó, phát triển lý thuyết chuỗi, làm sáng tỏ vai trò công thức nhị thức, tần suất biến cố tiến kết theo luật xác suất Tác phẩm giá trị gồm phần chính: Giải tốn Huygens đặt Học thuyết hoán vị tổ hợp Ứng dụng học thuyết may rủi thay đổi trò chơi súc sắc Áp dụng học thuyết vào vấn đề hộ tịch, đạo đức kinh tế Một số kết đáng ghi nhận Bernoulli phần cuối tác phẩm Henry Coutinho tổng hợp lại sau: - Bernoulli nêu lên số định nghĩa liên quan đến xác suất: “Xác suất thực tế mức độ chắn…” “Dự đốn điều đo lường xác suất nó…” (trích theo Henry, 2004, tr.7) - Bernoulli thừa nhận định nghĩa tiên nghiệm xác suất tình đồng khả năng: “Đặt b số trường hợp mà đối số tồn tại, đặt c số trường hợp mà khơng tồn tại, (…) Nhưng cho tất trường hợp có khả nhau, hay chúng xảy nhau; (…) cho đối số chứng minh việc hay độ chắn việc” (trích theo Henry, 2004, tr.7) - Nhưng ông rơ điểm hạn chế cách xác định xác suất phương pháp đếm Sự hạn chế sinh từ việc giả sử biến cố sơ cấp đồng xác suất Cụ thể, Bernoulli chứng tỏ rằng: “Sự cần thiết loại trừ việc ứng dụng học thuyết hội vào tượng tự nhiên phức tạp như: xuất bệnh nhân hay tượng khí tượng, hay dự đốn chiến lược người chơi mà cách hoạt động đốn trước” (Henry, 1997, tr.22, trích theo Coutinho, tr.38) - Để ước lượng xác suất bối cảnh này, Bernoulli đề nghị xác định hậu nghiệm xác suất biến cố mong đợi sau quan sát thực nghiệm số lớn phép thử giống qua ổn định tần suất Trích đoạn Bernoulli gợi phương pháp tiến hành thống kê: “Nhưng thực đây, cịn đường khác để có mà tìm Điều khơng có tiên nghiệm tối thiểu nhận hậu nghiệm, nghĩa khai thác cách quan sát kết cục nhiều ví dụ tương tự; …” (Bernoulli, 1713, tr42-44, trích theo Coutinho, 2001, tr.39) - Điều Henry đánh giá gút vấn đề Ơng nói: “…nó dẫn Bernoulli đến việc đề cách ước lượng tần suất cho khái niệm xác suất…” (Henry, 2004, tr.7) - Coutinho bình luận lời lẽ Borovcnik (1991) sau: “… từ thay đổi cương vị xác suất, ta đưa cách để ước lượng hội xảy biến cố, phương pháp thực nghiệm Một tiếp cận giả sử xác suất kiện khách quan, gắn liền với biến cố phép thử Sự ước lượng chứng minh hội tụ dãy tần suất quan sát, kiện bên phép thử lặp lại, độc lập với vị trí chủ quan người quan sát” (Coutinho, 2001, tr.39) - Để làm rõ thêm cho tiếp cận nêu trên, Coutinho trưng định nghĩa khái niệm xác suất Rényi (được trình bày giáo trình xác suất ông, xuất năm 1966): “Ta gọi xác suất biến cố số mà tần suất tương đối biến cố xem xét dao động xung quanh số (…) Vì ta coi xác suất giá trị độc lập với người quan sát, giá trị gần với tần suất biến cố xem xét thực số lượng lớn phép thử” (Coutinho, 2001, tr.39) Định nghĩa xác suất theo Rényi gọi định nghĩa “thống kê” xác suất Như vậy, nói với “Thuật suy đốn Bernoulli, lần việc tính xác suất biến cố chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang sử dụng công cụ giải tích Chúng ta biết điều có ý nghĩa quan trọng, từ chỗ tính xác suất tiên nghiệm cho trường hợp biến cố đồng khả xuất người ta chuyển sang phạm vi biến cố phức tạp tác giả nói Song song với nghiên cứu Nicolas Bernoulli, cịn có cơng trình Học thuyết hội Abraham de Moivre công bố vào năm 1718 Tác phẩm xử lý tốn học, thực vận dụng giải tích vào lý thuyết xác suất Với Học thuyết hội, Moivre tu chỉnh định lý Bernoulli đưa dạng mà ngày ta gọi định lý giới hạn trung tâm Trong tác phẩm Moivre giải toán chia tiền cược trường hợp người hai người chơi có xác suất riêng để chiến thắng ván Ngồi ơng 10 xảy trước thập niên 30 kỷ, Shen (1940) nhắc đến phép thử t chưa phải cách ứng dụng chung lĩnh vực giáo dục Năm 1925: Ronald Alymer Fisher cơng bố cơng trình Statistical methods for research workers Đây sách giáo khoa giới thiệu phân tích biến ngẫu nhiên Năm 1933: Andrei Kolmogorov đưa tiên đề lý thuyết xác suất sách ông Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Foundations of the Calculus of Probabilities – Tạm dịch: Nền tảng giải tích Xác suất – M4Ps) Ông giới thiệu phép thử thống kê Năm 1933: Harold Hotelling công bố cơng trình nghiên cứu phân tích thành phần Năm 1939: Vadimir Smirnov dùng thống kê phát triển Kolmogorov để xây dựng phép thử Kolmogorov-Smirnov Năm 1976: Gene Glass công bố báo cáo ông việc kết hợp kết nghiên cứu đa cấp đặt tên cho phương pháp meta-analysis Mặc dù có nhiều ý tưởng tồn từ trước (Lush 1931, Fisher 1932, Pearson 1933, Snedecor 1946) Glass người mang lại cho phương pháp thúc đẩy để đạt vị trí xứng đáng Năm 1977: John Tukey giới thiệu phân tích liệu giải thích (EDA) thuốc giải độc cho giả thiết kiểm định thay quan sát số liệu 52 PHẦN IV THIẾT KẾ TRÒ CHƠI ỨNG DỤNG THỰC TẾ HỌC TẬP CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT – THỐNG KÊ Lớp học: Lớp 6-8-11 Mơn học: Tốn học Các chủ đề: Xác suất Thống kê Bài học chủ yếu: Phần 1: Hoạt động tìm hiểu mức độ khả năng, kỹ tiên đốn, hiểu tính xác suất, xác định cơng tạo trị chơi mang tính công theo xác suất Thời gian cần thiết: buổi học, buổi 45 phút Phần 2: Tìm hiểu vài ứng dụng xác suất – thống kê đời sống hàng ngày Thời gian cần thiết: buổi học, buổi 45 phút PHẦN 1: CÁC TRỊ CHƠI CƠNG BẰNG I Tóm tắt Hồ sơ dạy Để học xác suất công bằng, học sinh tham gia vào số hoạt động mang tính ngẫu nhiên nghiên cứu tính cơng số trị chơi Sau “các nhóm học sinh đóng vai trị nhà thiết kế trị chơi, có nhiệm vụ thiết kế trị chơi mang tính cơng cho cơng ty đồ chơi, mơ tả quy luật trị chơi giải thích mặt tốn học trị chơi cơng Cuối cùng, nhóm giới thiệu trị chơi với Ban Giám đốc công ty đồ chơi tưởng tượng, thuyết phục họ kinh doanh trị chơi mình” II Bộ câu hỏi định hướng dạy ● Câu hỏi khái quát: Cuộc sống có cơng khơng? ● Các câu hỏi học: Khả chắn xảy số kiện xác định gì? Điều định tính cơng bằng? ● Các câu hỏi nội dung: Xác suất gì? Đo lường khả xảy việc nào? Làm xác định mơ tả kết có khả xảy ra? Sự khác xác suất thực nghiệm xác suất giả định gì? III Đánh giá trình Hãy xem phương pháp đánh giá lấy học sinh làm trung tâm sử dụng Hồ sơ dạy “Các trị chơi cơng bằng” Các đánh giá giúp học sinh giáo viên xác định mục tiêu; giám sát tiến trình cơng việc học sinh; 53 cung cấp phản hồi; đánh giá tư duy; tiến trình, hoạt động sản phẩm; trau dồi kiến thức suốt trình giảng dạy IV Các bước tiến hành 1) Giới thiệu Hỏi học sinh xem chúng tình thiếu cơng chưa Đặt Câu hỏi khái qt “Cuộc sống có cơng khơng?” Chia lớp thành nhóm nhỏ để chúng thảo luận câu hỏi khái quát ghi lại ý kiến ban đầu chúng Khuyến khích chúng giải thích chúng nghĩ sống cơng thiếu công bằng, cơng điều xác định có cơng hay không Yêu cầu số học sinh chia sẻ ý kiến trả lời cho câu hỏi khái quát sau tuyên bố chúng bắt đầu học để biết cách dùng toán học xác định tính cơng trị chơi Giới thiệu cho học sinh “nhật ký toán học” Cuốn nhật ký sử dụng để ghi lại câu trả lời cho câu hỏi, ý kiến khúc mắc 2) Hoạt động “Các khả ngẫu nhiên gì?” Hoạt động nhằm đưa câu hỏi nội dung “Xác suất gì?” “Đo lường khả xảy việc nào?” 3) Mô tả khái quát hoạt động Giới thiệu khái niệm xác suất qua việc thảo luận khả xảy việc Khích lệ học sinh tập trung vào ngôn từ mô tả xác suất chúng mô tả lại kinh nghiệm sống chắn, khơng thể, có thể, có khả xảy Ghi lại việc giới thiệu cho học sinh thang xác suất (từ đến 1) Hoạt động thiết kế để học sinh tham gia vào việc nói xác suất 4) Dụng cụ cần thiết ● Thùng rác ● Bóng giấy 5) Luật chơi Cầm bóng giấy, đứng cách thùng rác khoảng 3m Hỏi học sinh “Lần ném đầu tiên, thầy (cơ) ném trúng thùng rác không?” Hướng thảo luận vào từ ngữ “chắc chắn có”, “có thể”, “khơng thể” “chắc chắn không” 54 Hỏi học sinh từ “xác suất” có nghĩa gì? u cầu chúng đưa tình có sử dụng khái niệm xác suất Cho lớp học biết xác suất thể qua thang xác suất Vẽ đường thẳng bảng, tượng trưng cho thang xác suất Yêu cầu học sinh viết chữ số biểu thị tốt cho tượng chắn xảy (0 0%) Viết “0 - Chắc chắn không xảy ra” vào điểm cuối đường thẳng Học sinh phải đưa tình chắn khơng thể xảy như: ngày mai dài 12 tung súc sắc lần có tổng Liệt kê ý kiến học sinh để dùng đến giảng Yêu cầu học sinh viết số biểu thị tượng chắn xảy (1 100%) Khuyến khích học sinh đưa tình chắn xảy ghi lại ý kiến nhật ký tốn học Ví dụ như: ngày mai có 24 giờ, tuần sau có ngày Vạch mức ½ 50% thang hỏi học sinh xem điều có ý nghĩa thang xác suất (đồng đều, cơng bằng) u cầu chúng nêu tượng có khả ví dụ tình hình thời tiết ngày mai Đốn xem khả xảy tượng thời tiết ngày mai nằm vị trí Học sinh cần giải thích lý chúng lại đặt tình vào mức thang xác suất Nếu thời gian cho phép, để học sinh tự vẽ thang xác suất nhật kí tốn học đặt tình vào mốc thang xác suất 6) Hiểu “khả ngẫu nhiên” Sau loạt hoạt động để học sinh hiểu “khả ngẫu nhiên” Các khả ngẫu nhiên gì? 55 *TRỊ CHƠI 1: Hoạt động “Mì Ý kì diệu” Để chuẩn bị cho học này, chuẩn bị túi đựng mì Ý khơng đánh số (dạng dẹt dạng ống) Viết tỉ lệ loại mì túi lên bảng: Túi 1: hình sị, 16 ống Túi 2: 16 hình sị, ống Mì hình ống Túi 3: hình sị, 20 ống Mì hình sị ● Trong thực nghiệm này, học sinh cho tay vào túi (không phép nhìn vào bên trong), lấy sợi mì ghi lại hình dạng Giải thích cho lớp số lượng sợi mì với hình dạng khác túi ghi bảng, không ghi túi nên chúng khơng biết xác số lượng loại sợi mì túi Gọi học sinh, yêu cầu em chọn túi cố gắng số lượng loại sợi mì túi, khơng phải cách nhìn vào bên trong, mà cách sử dụng ý tưởng xác suất toán học Sau đó, học sinh bỏ lại sợi mì vừa lấy bên đến lượt học sinh khác thử ● Nêu câu hỏi nội dung: “Làm xác định mơ tả kết có khả xảy ra?” Cho học sinh thảo luận để tìm câu trả lời cho câu hỏi Vẽ lên bảng cột, đánh số từ 1-6 giải thích cho học sinh chúng cần ghi lại kết có Bắt đầu thực nghiệm, ghi lại kết lắc lại túi trước học sinh làm thử Sau lần thử, hỏi học sinh: “Thơng tin em có cho em biết điều thứ có túi này?” Sau số đoán, tiếp tục cho thử lần (đánh số từ 7-12), ghi lại kết Hỏi học sinh: “Tỉ lệ sợi mì hình sị túi bao nhiêu?” ● Cho học sinh làm việc theo nhóm để tỉ lệ hình sị cho túi 1, Yêu cầu chúng so sánh kết với kết mẫu thực nghiệm vừa qua đốn xem số lượng xác hình mì túi bao nhiêu, lí Sau thảo luận phân tích, cho học sinh biết nhà tốn học tiến hành thực nghiệm tìm cơng thức tiến hành lựa chọn ngẫu nhiên (như em làm với sợi mì) Việc xác định công thức dựa vào xác suất ngẫu nhiên Quay trở lại hoạt động tiếp tục học sinh tự tin đốn xác số lượng hình mì có túi thấy ý tưởng cơng thức mẫu Sau đổ hết số mì cịn lại túi để kiểm tra xem học sinh có đốn khơng 56 *TRỊ CHƠI 2: Oẳn (Đấm-Lá-Kéo) có phải trị chơi cơng khơng? Trị biết đến nhiều nơi giới với tên gọi khác Jenken, Jan Ken Pon, Roshambo, Shnik Shnak Shnuk, Ching Chong Chow, Farggling, Scissors Paper Stone (Kéo - Giấy – Đá) Chia lớp thành cặp (người chơi A người chơi B) yêu cầu chúng thử chơi 15 lần Dùng bảng máy chiếu hắt (overhead projector) để ghi lại chiếu lên kết người chơi A (thể màu đỏ) người chơi B (một màu khác) (Có người chơi A thắng ván 1,2,3…? Có người chơi B thắng? Bao nhiêu cặp hoà nhau?) So sánh kết Hỏi học sinh: “Trị chơi có cơng hay khơng?” (nói rõ cơng có nghĩa người chơi có hội chiến thắng ngang nhau) Yêu cầu học sinh giải thích chúng nghĩ trị chơi lại cơng Cố gắng lấy ý giải thích từ học sinh trị chơi cơng học sinh có khả ngang khả ngẫu nhiên để thắng (50% - ½) Giới thiệu cho học sinh cơng cụ trực quan sơ đồ hình cây, ghi lại kết xảy trò chơi này: Đây gọi xác suất Nêu câu hỏi nội dung “Sự khác xác suất thực nghiệm xác suất giả định gì?”, so sánh mơ hình tốn học với kết xảy học sinh chơi trò chơi (xác suất lý thuyết xác suất thực nghiệm) Người A / Lá Người A / Kéo Người A / Đấm Người Người Người B B / Lá B / Kéo / Đấm Người Người Người B B / Lá B / Kéo / Đấm Người Người Người B / Lá B / Kéo B / Đấm Người chơi A thắng 3/9 lần tương đương 1/3 Người chơi B thắng 3/9 lần tương đương 1/3 Hoà 3/9 lần tương đương 1/3 Người A / Lá 57 @ Mở rộng trò chơi: Yêu cầu học sinh chơi trò chơi với người chơi theo quy tắc sau: ● Người chơi A thắng bàn tay giống ● Người chơi B thắng bàn tay khác ● Người chơi C thắng bàn tay giống Yêu cầu học sinh nghiên cứu câu hỏi sau: “Trị chơi có cơng khơng? Tại có khơng? Điều định công bằng?” Yêu cầu chúng vẽ xác suất nhật kí tốn học để xác định khả xảy (Có tất 27 kết xảy ra: nhóm khả năng, nhóm có thêm nhánh Trị chơi khơng cơng người chơi C có nhiều khả ngẫu nhiên để giành chiến thắng người chơi kia) Nhắc lại với học sinh câu hỏi khái quát chúng thảo luận đầu học: “Cuộc sống có cơng khơng? Sự cơng sống có liên quan đến tính cơng trị chơi hay khơng? Nếu có nào? Nếu khơng sao?” *TRỊ CHƠI 3: Tung súc sắc – Các khả ngẫu nhiên gì? Giới thiệu hoạt động việc thảo luận kết đạt tung súc sắc Học sinh cần xác định kết số từ đến Sau đó, hỏi: “Khi ta tung súc sắc lần, ta có tổng nào?” Để học sinh làm việc theo nhóm để nghiên cứu khả ngẫu nhiên để tung tổng số xác định Mỗi thành viên nhóm ghi lại thành hàng số tổng xảy (2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), đánh dấu x lần đạt kết Học sinh tung súc sắc 15 lần Hãy xây dựng đồ thị tần suất (mô tả số lượng lần đạt tổng) Yêu cầu học sinh so sánh liệu nhóm với liệu lớp Hỏi học sinh: “Có phải tổng có hội xảy ngang không? Nếu không, tổng xảy nhiều tổng xảy nhất?” 58 Giới thiệu đến học sinh ý tưởng sử dụng bảng, cơng cụ hữu ích để mơ tả số tổng hai lần tung súc sắc xảy (về mặt tốn học) Hãy để học sinh bắt đầu xây dựng bảng nhật kí tốn học, hồn thiện nó: Lần tung Lần tung Lần tung Lần tung 2 6 7 8 9 10 10 11 10 11 12 Hỏi học sinh câu hỏi sau: ● Các tổng có nhiều khả xảy lần tung thứ (bằng 7)? Những tổng có khả (bằng 12)? Tại sao? ● Có tất kết xảy ra? (36) ● Mỗi tổng xuất bảng lần? ● Điều cho biết điều gì? (Xác suất tổng xuất hiện; ví dụ tổng xuất lần, vậy, xác suất có tổng là 4/39 1/9) Để học sinh ghi lại ý kiến phản hồi nhật kí tốn học * Hướng đến so tài Trong hoạt động tiếp theo, học sinh xây dựng trị chơi mang tính cơng dựa chúng học hoạt động trò chơi trước Cung cấp số trị chơi có sử dụng xác suất khả ngẫu nhiên để học sinh ơn lại tất chúng học Cho học sinh chơi trị chơi ghi lại lí chúng cho trị chơi cơng khơng cơng Khi nhóm học sinh chơi trò chơi khác nhau, để chúng thảo luận theo nhóm đưa lý chủ yếu cho trị chơi cơng bằng, khả ngẫu nhiên có mối quan hệ Trong sổ nhật kí tốn học, để học sinh phản ánh chúng học qua việc chơi trò chơi vạch ý tưởng để thiết kế trò chơi chúng Đưa danh mục câu hỏi để học sinh suy nghĩ: 59 ● Điều định cơng bằng? ● Điều làm cho trị chơi thú vị? ● Xác suất sử dụng nào? ● Một số quy tắc sử dụng gì? * Tập hợp tất lại Cho học sinh chia sẻ theo nhóm theo vịng trịn chúng có ghi chép ngày hôm trước Sau học sinh ứng dụng chúng học vai trò nhà thiết kế trò chơi, đáp lại lời quảng cáo công ty đồ chơi việc xây dựng kinh doanh trò chơi dành cho trẻ em từ 11-17 tuổi Tạo mơi trường khuyến khích ý tưởng sáng tạo cách để học sinh gửi nhận ý kiến phản hồi từ phía bạn học mời chủ doanh nghiệp địa phương đến trao đổi trình tạo sản phẩm thương mại Mỗi nhóm thiết kế phải thiết kế trị chơi , sử dụng hình khối, quân bài, mì Ý để cải thiện trị chơi, mơ tả quy tắc chơi giải thích trị chơi lại công (sử dụng xác xuất công cụ đồ hoạ biểu bảng, danh mục, biểu đồ hình cây) Để học sinh tham khảo lại nhật kí tốn học chúng học để tạo trị chơi u cầu chúng tạo trình bày đa phương tiện trị chơi để trình bày trước ban giám đốc tưởng tượng (phụ huynh, tổ giáo viên, đại diện công ty thương mại công ty đồ chơi địa phương) trả lời câu hỏi định hướng dạy Hãy chiếu trình bày mẫu cho học sinh tham khảo tạo hội cho học sinh đặt câu hỏi làm rõ chúng cần Phát Phiếu tự đánh giá Bảng kiểm mục trình bày cho học sinh, thảo luận kết mong đợi dự án Yêu cầu học sinh sử dụng Bảng kiểm mục để định hướng việc xây dựng trình bày đa phương tiện học sinh Kiểm tra lại việc học sinh nắm rõ hay chưa sử dụng Phiếu tự đánh giá Bảng kiểm mục để hướng dẫn học sinh làm việc có hiệu Nhằm giúp học sinh lập kế hoạch triển khai ý tưởng trị chơi, khích lệ học sinh sử dụng câu hỏi sau để phát triển kỹ siêu nhận thức: ● Tôi cần thơng tin nào? ● Tơi có tài nguyên nào? 60 ● Trong dự án lớn này, nhiệm vụ nhỏ gì? ● Tơi phải làm theo trình tự định, tơi làm lúc nào? ● Các vấn đề xảy tơi xử lý chúng nào? Làm mẫu trước để học sinh ý thức cách thức giải câu hỏi ghi chép để làm tư liệu chứng minh trình suy nghĩ học sinh * Trình diễn Mời phụ huynh, giáo viên tổ môn đại diện công ty thương mại công ty đồ chơi địa phương đến tham dự để ghi nhận sản phẩm học sinh thu Học sinh trình bày trình bày đa phương tiện trước vị khách mời sau có thời gian để chơi trị chơi Khách mời hoan nghênh cho học sinh ý kiến đánh giá trị chơi chúng * Tóm tắt Quay trở lại câu hỏi khái qt: “Cuộc sống có cơng khơng?” Hỏi học sinh xem chúng suy nghĩ câu hỏi Yêu cầu học sinh viết ý kiến chúng công bằng, khả ngẫu nhiên xác suất vào nhật kí tốn học Khích lệ chúng viết chúng học vấn đề suốt học, viết chi tiết đưa nhiều ví dụ tốt Học sinh điền vào Bảng ôn tập tự đánh giá cuối cho chúng học V Các kỹ cần thiết ● So sánh làm việc với phân số, số thập phân, tỉ lệ phần trăm ● Sử dụng tỉ số tỉ lệ giải vấn đề ● Sử dụng đồ thị để tổ chức, thể diễn giải số liệu ● Nắm vững phần mềm trình diễn đa phương tiện VI Điều chỉnh dạy học theo đối tượng 1) Học sinh tiếp thu chậm ● Chỉnh sửa theo tài liệu Hỗ trợ học sinh ● Cung cấp hỗ trợ trực quan ví dụ (tài liệu, hình ảnh, ví dụ từ Hồ sơ dạy) ● Cung cấp danh mục nhiệm vụ thời gian biểu dự án (các mốc thời gian trọng yếu) ● Chọn nhóm phù hợp với học sinh ● Dành cho chúng nhiều thời gian (nếu cần) để hoàn thiện tập cá nhân 61 ● Học sinh mang trị chơi u thích giải thích xem chúng trị chơi chiến thuật trị chơi mang tính ngẫu nhiên, đưa lý lẽ chứng minh cho phân tích 2) Học sinh khiếu ● Học sinh mang trị chơi đến lớp lý giải khái niệm trị chơi cơng ● Để học sinh tự đánh giá trị chơi chiến thuật trị chơi mang tính ngẫu nhiên đưa lý giải thích ● Để học sinh phân tích trị chơi phương diện cơng xác suất ● Học sinh nghiên cứu trị chơi văn hố khác phân tích tính cơng khả năng, chiến thuật hay ngẫu nhiên ● Học sinh viết thư cho công ty đồ chơi Địa họ tìm thấy thư viện mạng Học sinh hỏi q trình họ thiết lập ý tưởng trò chơi mới, quy trình họ sử dụng để thiết kế trị chơi vấn đề marketing mà họ quan tâm Sau đó, chúng viết báo cáo làm trình bày trước lớp chúng học ● Học sinh đến cửa hàng đồ chơi có nhiều thể loại trị chơi phong phú nói chuyện với người đại diện am hiểu cửa hàng số trị chơi Ví dụ, trị chơi mang tính chiến thuật, trị chơi mang tính ngẫu nhiên? Chúng lập danh mục câu hỏi để trao đổi với người đại diện sau viết báo cáo làm trình bày trước lớp chúng học PHẦN 2: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA XÁC SUẤT – THỐNG KÊ TRONG ĐỜI SỐNG HÀNG NGÀY * Bài tốn 1: Có nên mua số đề hay khơng? Đánh đề vấn nạn xã hội, đánh đề lời hay lỗ mà nhiều người lại đam mê đến vậy? Chúng ta thử dùng phương pháp xác suất, thống kê để giải thích 62 * Luật chơi đề sau: Bạn đặt số tiền, nói đơn giản X (đồng) vào số từ 00 đến 99 Mục đích người chơi đề số trùng vào chữ số cuối giải xổ số đặc biệt Nhà nước phát hành ngày Nếu số bạn trùng, bạn 70X (đồng) (tức 70 lần số tiền đầu tư) Nếu không trúng, bạn X(đồng) đặt cược lúc đầu * Quan niệm sai lầm: Rất nhiều người nghĩ sau Nếu bỏ số tiền 100.000 đồng để chơi đề Nếu trúng triệu đồng tức lời 6,9 triệu Tuy nhiên, thua có bị lỗ 100.000 đồng Quá lời!!! Vậy đâu sai lầm cách nghĩ Câu trả lời là, bạn khơng tính đến xác suất trúng có lớn hay khơng, xác suất nhỏ, bạn đánh hồi mà khơng thắng Có nghĩa bạn ln bị lỗ Vậy lời giải trình bày sau * Lời giải: - Vì có số trúng 100 số nên xác suất trúng là: 1/100= 1% Nên xác suất bạn thua - 1%= 99% - Tóm tắt: THẮNG XÁC SUẤT LỜI TRUNG BÌNH THUA 1% 99% 6.900.000 -100.000 69.000 -99.000 -30.000 - Như lần chơi 100.000 đồng, trung bình bạn lỗ khoản 30 ngàn đồng * Bàn luận thêm: Với cách làm tương tự bạn giải thích vấn đề mua vé số, chơi bầu cua cá cọp, chơi bài, * Bài toán 2: Chia giải thưởng cho công Hai đối thủ ngang tài nhau, chơi trận đấu đủ tranh chức vô địch Người thắng người thắng ván đấu Tuy nhiên lý bất khả kháng trị chơi phải dừng lại khơng tiếp tục Khi đó, người I thắng ván, người II thắng ván Vậy phải phân chia phần thưởng hợp lý? 63 * Quan niệm sai lầm: - Có người cho rằng, nên chia giải thưởng theo tỉ lệ 5:3, theo tỉ lệ thắng người chơi - Ý kiến khác chi theo 2:1, người I người II trận, mà trận 1/3 trận, nên người I nhận 1/3 giải, lại chia đôi (tức người I II nhận thêm 1/3 giải) Nhưng lý giải điều sai Tại cần phải chia giải thưởng theo khả thắng thua đấu thủ Có nghĩa xác suất người I thắng cao người I nhận quà nhiều Cụ thể sau: * Lời giải: Vậy câu hỏi đặt xác suất thắng người I Nghe phức tạp, đơn giản tính xác suất người I thua, tức xác suất người II thắng - Mà khả người II thắng có khả thắng liên tiếp trận Như ta biết trận có khả xảy người II thắng thua Nên tổng khả trận 2.2.2 = trường hợp - Vậy xác suất người II thắng là: 1/8 - Suy ra, xác suất người I thắng - 1/8 = 7/8 Tóm lại, phải chia phần thưởng theo tỉ lệ 7:1 hợp lý * Bài toán 3: Đếm số cá hồ Đây toán thường ngày người ngư dân nuôi cá Sau khoảng thời gian nuôi cá, họ muốn biết xem số cá có hồ họ để có kế hoạch nuôi cách Tuy nhiên, vấn đề đặt khơng thể bắt hết cá lên bờ, sau đếm thủ công được, ảnh hưởng không tốt đến * Lời giải: Các bước thực sau: 64 - B1: Bắt lượng n cá lên, giả sử n = 50, đánh dấu chúng sau thả lại vào hồ - B2: Bắt đại lượng cá lên, tính tỉ lệ p số lượng cá đánh dấu Ví dụ: Bắt 20 cá, thấy có đánh dấu, tứng p = 2/20 = 10% - B3: Ước lượng tổng số cá n/p Như ví dụ 50/10% = 500 cá Trên thực tế, số cá phân bố không nên ngư dân phải thực ước lượng số cá vài lần, sau tính trung bìnhh lại, lúc kết xác * Bàn luận thêm: Cách làm ước lượng tỷ lệ số cá đánh dấu, nhiên số vấn đề để suy ngẫm như: - Bắt cá lên để đánh dấu - Chọn mẫu cá lên để tính tỉ lệ - Ước lượng xác phần trăm Nếu em muốn nghiên cứu sâu hơn, em tìm tài liệu xác suất thống kê bậc đại học, phần ước lượng, cung cấp cho em phương pháp ước lượng xác Ngoài ra, việc ước lượng thường xuyên dùng thực tế như: Tính chiều cao trung bình người Việt Nam, Ước lượng tỷ lệ bầu cử trước ứng cử, điều tra dân số, kiểm tra chất lượng sản phẩm , 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh ANDERS HALD (2003), A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750, Canada Tiếng Pháp Michel Henry (2004), La notion de probabilité: évolution historique et applications contemporaines IREM de Franche-Comté Tiếng Việt Nguyễn Cang (1998), Lịch sử toán học NXB Trẻ, Tp HCM Vũ Như Thư Hương (2005), Khái niệm xác suất dạy – học tốn trung học phổ thơng, Luận văn Thạc sĩ khoa học, TP Hồ Chí Minh Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Phú Lộc (2014), Giáo trình Lịch sử toán học, NXB Đại học Cần Thơ Trang web https://vi.wikipedia.org http://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_probabilités https://thunhan.wordpress.com/2008/12/20/nhung-moc-quan-trong-nhat-trong-lich-sucua-xstk/ www.shodor.org/interactivate/activities/prob/index.html www.shodor.org/interactivate/activities/race/index.html http://www.shodor.org/interactivate/activities/race/index.html www.shodor.org/interactivate/activities/dice/index.html http://www.shodor.org/interactivate/activities/race/index.html www.shodor.org/interactivate/activities/chances/index.html www.matti.usu.edu/nlvm/nav/category_g_1_t_1.html http://nces.ed.gov/nceskids/Probability/dice_handler.asp?NUMROLLS=16 http://teacher.scholastic.com/lessonrepro/lessonplans/grmagam.htm 66 ... lý thuyết xác suất Phân phối Bernoulli Trong lý thuyết xác suất thống kê, phân phối Bernoulli, đặt tên theo nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli, phân phối xác suất rời rạc, giá trị xác suất. .. sinh tiếp cận ? ?thống kê? ?? xác suất định nghĩa xác suất Laplace 1.3.1 Sự nảy sinh tiếp cận ? ?thống kê? ?? xác suất Nhà toán học Jacques Bernoulli dành suốt 20 năm đời để hồn thành tác phẩm Thu? ??t suy đoán,...PHẦN I LỊCH SỬ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Lý thuyết xác suất thực hình thành phát triển khoảng kỷ rưỡi Chính việc giải toán chia tiền cược chơi bị gián đoạn chừng dẫn đến hình thành nên khái niệm xác