BAO CAO LICH SU TOAN XAC SUAT THONG KE

Lý thuyết xác suất chỉ thực sự hình thành và phát triển trong khoảng 3 thế kỷ rưỡi. Chình việc giải bài toán chia tiền cược khi cuộc chơi bị gián đoạn giữa chừng đã dẫn đến sự hình thành nên khái niệm xác suất vào đầu thế kỷ XVII, sau đó các phép tính về xác suất phát triển dần thành lý thuyết hiện đại được xây dựng theo một hệ tiên đề vào thể kỷ XX. Tuy nhiên, có thể nói rằng mầm mống của lý thuyết xác suất đã có từ thiên niên kỷ thứ III TCN, với các trò chơi may rủi. Dưới đây chúng tôi sẽ tổng kết lại những giai đoạn chủ yếu của lịch sử hình thành, phát triển lý thuyết xác suất và làm rõ đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất trong mỗi giai đoạn đó.I.1 Từ thời trung đại (Moyenage) đến nửa đầu thế kỷ XVII: nhu cầu tính toán các cơ hộiI.1.1 Sự ngẫu nhiênTheo Michel Henry: “Không có sự ngẫu nhiên thì không có xác suất” (Henry, 2004, tr.1). Đã nói đến xác suất thì không thể không nói đến các hiện tượng ngẫu nhiên.Từ xa xưa, con người đã sớm ý thức được sự tồn tại của ngẫu nhiên khi nói rằng “Tất cả những gì tồn tại trong vũ trụ đều là kết quả của ngẫu nhiên và tất yếu”. Và người ta cũng ý thức được là con người không thể “điều khiển” được các hiện tượng ngẫu nhiên vì nó là “sự thể hiện ý muốn của thần thánh” (Pichard, 1997, tr.105).I.1.2 Trò chơi may rủi và một khai thác đầu tiên về “Đại số tổ hợp”Những con súc sắc hình lập phương và đồng chất bằng đất nung được tìm thấy trong các ngôi mộ cổ chứng tỏ rằng các trò chơi liên quan đến “Phép thử ngẫu nhiên” đã có từ rất lâu qua các trò chơi với astragales, với súc sắc, … rất phổ biến ở vùng Lưỡng Hà từ thời Ai Cập cổ đại (tức thế kỷ III TCN). Cho đến ngày nay, trò chơi này vẫn còn là một mô hình quen thuộc trong các bài toán về xác suất.Vào thời Hy Lạp cổ đại, đạo luật cấm các trò chơi cờ bạc với súc sắc đã được ban hành. Nhà thờ thiên chúa giáo cũng lên án các trò chơi đó. Dù vậy, chúng vẫn có sức hấp dẫn mãnh liệt và tồn tại một cách dai dẳng.Bài thơ có tựa đề De Vetula (của Richard de Fournival (12011260)), một tu sỉ uyên bác người Pháp, được ghi nhận là có từ khoảng năm 1250 là một bằng chứng về điều đó. Bài thơ miêu tả trò chơi “Tung ba con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được” (tức là tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt của ba con súc sắc).

PHẦN I TỔNG QUAN LỊCH SỬ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Lý thuyết xác suất thực hình thành phát triển khoảng kỷ rưỡi Chình việc giải toán chia tiền cược chơi bị gián đoạn chừng dẫn đến hình thành nên khái niệm xác suất vào đầu kỷ XVII, sau phép tính xác suất phát triển dần thành lý thuyết đại xây dựng theo hệ tiên đề vào thể kỷ XX Tuy nhiên, nói mầm mống lý thuyết xác suất có từ thiên niên kỷ thứ III TCN, với trò chơi may rủi Dưới tổng kết lại giai đoạn chủ yếu lịch sử hình thành, phát triển lý thuyết xác suất làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm xác suất giai đoạn I.1 Từ thời trung đại (Moyen-age) đến nửa đầu kỷ XVII: nhu cầu tính toán hội I.1.1 Sự ngẫu nhiên Theo Michel Henry: “Không có ngẫu nhiên xác suất” (Henry, 2004, tr.1) Đã nói đến xác suất không nói đến tượng ngẫu nhiên Từ xa xưa, người sớm ý thức tồn ngẫu nhiên nói “Tất tồn vũ trụ kết ngẫu nhiên tất yếu” Và người ta ý thức người “điều khiển” tượng ngẫu nhiên “sự thể ý muốn thần thánh” (Pichard, 1997, tr.105) I.1.2 Trò chơi may rủi khai thác “Đại số tổ hợp” Những súc sắc hình lập phương đồng chất đất nung tìm thấy mộ cổ chứng tỏ trò chơi liên quan đến “Phép thử ngẫu nhiên” có từ lâu qua trò chơi với astragales, với súc sắc, … phổ biến vùng Lưỡng Hà từ thời Ai Cập cổ đại (tức kỷ III TCN) Cho đến ngày nay, trò chơi mô hình quen thuộc toán xác suất Vào thời Hy Lạp cổ đại, đạo luật cấm trò chơi cờ bạc với súc sắc ban hành Nhà thờ thiên chúa giáo lên án trò chơi Dù vậy, chúng có sức hấp dẫn mãnh liệt tồn cách dai dẳng Bài thơ có tựa đề De Vetula (của Richard de Fournival (1201-1260)), tu sỉ uyên bác người Pháp, ghi nhận có từ khoảng năm 1250 chứng điều Bài thơ miêu tả trò chơi “Tung ba súc sắc đếm tổng điểm nhận được” (tức tổng số chấm xuất ba mặt ba súc sắc) Một trích đoạn thơ (xem Annex 1) cho thấy tác giả sử dụng đến hoán vị nói việc tung súc sắc sinh 16 kiểu tổng điểm, ứng với 56 dạng điểm việc hoán vị dạng điểm chứng tỏ tổng cộng có 216 cách rơi súc sắc Mặt khác trích đoạn khẳng định: xuất dạng điểm ứng với 16 kiểu tổng điểm không tổng lớn 18 ứng với dạng điểm 6, 6, tổng nhỏ ứng với dạng điểm 1, 1, xảy ra, tổng trung bình lại thường xảy Để giải thích, với thơ người ta đưa bảng sau (trích theo Henry, 2004, tr.4): Mỗi dòng bảng liệt kê dạng điểm tương ứng với tổng điểm, theo thứ tự tổng điểm giảm dần từ xuống (cột cuối cùng) Với bảng này, thấy khả xảy trường hợp tổng điểm 9, hay 10, hay 11, hay 12 lớn (tức thường xảy trường hợp có đến dạng điểm) Mặt khác, vấn đề đặt tổng hay 12 có số dạng điểm tổng 10 hay 11 (6 dạng điểm), khả xảy tổng 10 hay 11 lớn khả xảy tổng hay 12? Điều giải thích phần (4) qua thống kê theo số cách rơi súc sắc đây: • Thống kê cho thấy ứng với tổng hay 12 có 25 cách rơi, ứng với tổng 10 hay 11 có 27 cách rơi Bài thơ Henry đánh giá “Một khai thác đại số tổ hợp kết cục để dẫn người chơi”, “liệt kê dạng khác quan sát gắn liền với khả nhận chúng” 1.1.3 Bài toán điểm nảy sinh nhu cầu tính toán hội Bài toán điểm Luca Pacioli (1445 – 1509) đưa vào năm 1494, tác phẩm Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita: “Một lữ đoàn chơi bóng quần Mỗi cú trúng 10 điểm 60 điểm xem thắng Tiền đặt cược trò chơi 10 đồng đu-ca Một tai nạn xảy buộc binh lính phải dừng ván chơi phe thứ 50 điểm phe thứ hai 20 điểm Bài toán đặt phải trả lại cho phe phần số tiền đặt cược?” Giải pháp Pacioli chia số tiền cược tỉ lệ thuận với số bàn thắng hai phe Về sau này, tác phẩm Liber de lulo aleae (được viết vào khoảng năm 1526 1560, đến 1663 xuất bản), Jérôme Cardan chứng tỏ chia sai ông cho phải dựa vào số ván mà họ chơi Thế giải pháp Cardan bị Tartaglia (1499 – 1557) bác bỏ Điều đáng lưu ý tính toán Cardan ý đến vấn đề đồng khả coi súc sắc khối lập phương hoàn hảo Vấn đề đồng khả kết việc tung súc sắc Galilé dùng làm giả thiết tiểu luận trò chơi súc sắc (nó có mặt trao đổi thư từ Pascal Fermat sau nữa) • Trở với trò chơi gieo súc sắc thơ De Vetula, toán đáng ý thứ hai Grand Duc de Toscane đặt lại cho Galilé vào năm 1620 “Tại kinh nghiệm người chơi lại cá cược tổng 10 hay 11 có lợi tổng hay 12 (27 so với 25) trong bốn tổng có số dạng (6)?” (trích theo Henry, 2004, tr.5) Phân tích lời giải đáp cho câu hỏi Galilé, M.Henry nhận thấy chứng minh ông sử dụng phép đếm thể tường minh thơ De Vetula có từ bốn kỷ trước Hơn thế, nghiên cứu (được xuất năm 1718) Galilé kết luận: “… từ bảng (bảng thống kê thơ De Vetula), người am hiểu trò chơi đo lường xác tất lợi ván chơi súc sắc, tranh tài tất qui tắc riêng khác mà người ta quan sát trò chơi” (trích theo Henry, 2004, tr.5) Phân tích nghiên cứu Galile, M Henry đánh giá rằng: “ Bằng cách đề nghị người chơi trò súc sắc “đo” hội chiến thắng họ, Galile đến gần với xác suất gang tấc, tất nhiên không diễn đạt nó” (trích theo Henry, 2004, tr.5) • • • Như vậy, nửa đầu kỷ XVII, khái niệm xác suất xuất dạng công cụ ngầm ẩn để so sánh hội Cũng người ta nói “Sự kiện có hội xảy lớn kiện kia” hay “Các kiện có khả xảy ra” Nhưng cụ thể “độ đo” hội xảy kiện bao nhiêu? Được tính cách nào? Một số yếu tố Đại số tổ hợp khai thác người ta tìm kiếm câu trả lời cho trường hợp vài trò chơi may rủi Tuy vậy, chưa có câu trả lời tổng quát cho vấn đề đo hội xảy kiện tùy ý Và tất nhiên, lúc này, chưa định nghĩa xác suất đưa I.2 Nửa sau kỷ XVII đến cuối kỷ XIX: vấn đề tính xác suất biến cố đồng khả không đồng khả I.2.1 Những tính toán “xác suất” với công cụ Đại số tổ hợp Mùa hè năm 1651, Chevalier de Méré hỏi Blaise Pascal (1623 – 1662) vấn đề chia tiền cược sau: có lần Méré người bạn gieo đồng tiền sấp, ngửa ăn tiền, họ góp người 32 đồng tiền vàng làm tiền cược qui ước Méré gieo lần tất mặt sấp ông toàn số tiền, bạn ông gieo lần tất mặt ngửa tiền cược thuộc người bạn Khi Méré lần mặt sấp bạn ông lần mặt ngửa chơi phải dừng nhà vua gọi Méré Vậy nên chia tiền cược nào? Bài toán khiến Pascal phải suy nghĩ ông viết thư cho nhà toán học Pierre de Fermat (1601 – 1665) Qua thư từ trao đổi, họ “toán học hóa” trò chơi cờ bạc vào tháng năm 1654, họ đến kết luận Méré ¾ tiền cược Hai ông giải theo hai cách khác Pascal sử dụng tam giác số học hệ số khai triển nhị thức để giải toán Phân tích lời giải Pascal đề nghị, Henry cho phương pháp ông độc đáo nhắc ta nghĩ đến kỳ vọng thắng Thật vậy, theo lập luận Pascal phải chia cho người thứ 48 đồng người thứ hai 16 đồng, ta thấy: ; , đó, ¾ ¼ “xác suất” để người thứ người thứ hai nhận 64 đồng tiền cược Theo ngôn ngữ đại, kỳ vọng toán người thứ 48, người thứ hai 16 Sau đó, thư gửi Fermat (ngày 24/08/1654), Pascal nói đến tổ hợp tỉ lệ tiền cược phải chia cho hai người chơi: “… có tổ hợp làm cho người thứ thắng có cho người thứ hai chia tiền theo tỉ lệ …” (Blaise Pascal, (Euvres completes, Edition du Seuil, 1963, tr.47), trích theo Pichard, 1997, tr.111) Khác với Pascal, cách tưởng tượng trò chơi tiếp tục với ván giả nhằm đạt đến số ván cần chơi để xác định người chiến thắng, Fermat sử dụng tổ hợp để liệt kê dãy kết thuận lợi có người chơi chia tiền cược theo tỉ lệ Ông giải thích: “… việc giả tưởng mở rộng trò chơi đến số ván nhằm làm cho quy luật dễ đi, (theo cảm tính tôi) khiến cho tất ngẫu nhiên nhau, dễ hiểu rút gọn tất phân số mẫu số” (trích theo Henry, 2004, tr.6) Chẳng hạn, để giải trường hợp: có ba người chơi, thắng ba ván người chiến thắng, với giả thiết người thứ ván, hai người người • ván cho trò chơi kết thúc tối đa ván nữa, Fermat đưa tính toán xác suất sau: “… người thứ thắng sau một, hai hay ba ván Nếu thắng sau ván, phải có súc sắc có ba mặt trường hợp gặp thuận lợi Một súc sắc tạo nên ngẫu nhiên, nên người chơi có 1/3 ngẫu nhiên chơi ván Nếu chơi hai ván, thắng hai cách, người thứ hai thắng ván đầu thắng ván thứ hai, người thứ ba thắng ván đầu thắng ván thứ hai Nhưng hai súc sắc tạo nên ngẫu nhiên nên người chơi 2/9 ngẫu nhiên chơi ván Nếu chơi ba ván, có hai cách thắng, người thứ hai thắng ván đầu, người thứ ba thắng ván thứ hai thắng ván thứ ba, người thứ ba thắng ván đầu, người thứ hai thắng ván thứ hai thắng ván thứ ba người thứ hai hay người thứ ba thắng hai ván đầu người chiến thắng trò chơi người thứ Nhưng ba súc sắc có 27 ngẫu nhiên nên người thứ có 2/27 ngẫu nhiên chơi ba lần Khi đó, ngẫu nhiên làm cho người thứ thắng 1/3, 2/9, 2/27 cho tổng cộng 17/27” (trích Henry, 2004, tr.6) Theo Henry, hiểu ngầm Pascal thừa nhận “đồng khả xuất hiện” biến cố qua lý lẽ thư nói “sự ngẫu nhiên nhau” Về phần Fermat, ông dùng từ “ngẫu nhiên” để xác suất biến cố Cũng Pascal, ông sử dụng tổ hợp để liệt kê trường hợp trường hợp thuận lợi cho người chơi Ông thừa nhận giả thiết “đồng khả năng” giải toán Tuy nhiên, cần phải nói thư trao đổi, Pascal lẫn Fermat chưa đưa thuật ngữ để tỉ số mà họ đề nghị dựa vào để chia tiến cá cược Như biết, tỷ lệ tiền thân “xác suất” sau Với nghiên cứu thức tính toán “xác suất” hai nhà toán học Pascal Fermat, nói trò chơi ngẫu nhiên chuyển thành đối tượng nghiên cứu toán học có mặt toán tính “cơ hội” thắng Lúc này, khái niệm “xác suất” hoạt động phạm vi số học đại số tổ hợp, chưa có tên, chưa có định nghĩa tường minh sử dụng công cụ tính toán “cơ hội” Do Pascal lẫn Fermat không thức xuất sách nói tính toán “xác suất” nên sách Lý thuyết trò chơi súc sắc Christian Huygens xuất năm 1657, người ta biết phép tính Tuy nhiên, thuật ngữ “xác suất” chưa xuất Huygens sử dụng từ “cơ hội” để “xác suất”: “Dù trò chơi ngẫu nhiên, kết có không chắn hội mà người chơi thắng hay thua có giá trị xác định” (Huygens, dịch tiếng Pháp Về tính toán trò chơi ngẫu nhiên, 14, (Euvres completes, 22 vol, 1888 – 1950, La Haye), trích theo Pichard, 1997, tr.112) Theo Pichard, “giá trị hội” mà Huygens nói đến “kỳ vọng toán” Bản thân Huygens đồng quan điểm với Pascal kỳ vọng toán ông coi nguồn gốc cho phép tính Ngày nay, ông có vinh dự xem cha đẻ “lý thuyết xác suất” • Phải đến năm 1662, Nghệ thuật tư Antoine Arnauld Pierre Nicole (các bạn Pascal), thuật ngữ “xác suất” thực xuất lần với nghĩa biết ngày nay: “… đừng cho tốt xấu tự nó, mà xác suất xảy hay không xảy phải ý xác vào tỉ lệ mà tất có chung, điều làm rõ sau: có trò chơi gôm 10 người, người góp écu, người ăn tất cả, người thua; người ngẫu nhiên mà écu, chín mức độ xác suất để écu mức độ xác suất để ăn chín écu Điều đặt việc công hoàn hảo” • Một định nghĩa tường minh xác suất tìm thấy Thử phân tích trò chơi ngẫu nhiên Pierre Raymond de Montmort, xuất năm 1708: “Sự rủi may Pierre de Fermat tỉ số tất lần thuận lợi với số tất lần có thể, … Trong trò chơi công bằng, số tiền đặt cược hai người chơi phải tỉ số với độ xác suất khác hay với kỳ vọng chiến thắng người” (Henry, 2004, tr.6-7) Cũng tác phẩm này, Montmort đưa lời giải cho toán Huygens toán hội khác Ông phát triển nhị thức đa thức, sử dụng đại số tổ hợp để phân tích trò chơi Năm 1713, Montmort xuất tác phẩm thứ hai Chuyên luận tổ hợp Trong tác phẩm ông nhóm tính chất đại số tổ hợp sử dụng tác phẩm đầu theo lời khuyên Jean Bernoulli Như thế, vòng nửa sau kỷ XVII, từ toán chia tiền cược mà khái niệm xác suất nảy sinh, để tính xác suất người ta sử dụng đại số tổ hợp Trong trường hợp này, hiển nhiên phải thừa nhận tính đồng khả xảy biến cố I.2.2 Sự nảy sinh tiếp cận “thống kê” xác suất • Nhà toán học Jacques Bernoulli dành suốt 20 năm đời để hoàn thành tác phẩm Thuật suy đoán, năm 1713 (8 năm sau ông mất), tác phẩm người cháu Nicolas Bernoulli xuất Bernoulli lấy lại kết Huygens, nghiên cứu sâu kết đó, phát triển lý thuyết chuỗi, làm sáng tỏ vai trò công thức nhị thức, tần suất biến cố tiến kết theo luật xác suất Tác phẩm giá trị gồm phần chính: Giải toán Huygens đặt Học thuyết hoán vị tổ hợp Ứng dụng học thuyết may rủi thay đổi trò chơi súc sắc Áp dụng học thuyết vào vấn đề hộ tịch, đạo đức kinh tế Một số kết đáng ghi nhận Bernoulli phần cuối tác phẩm Henry Coutinho tổng hợp lại sau: - Bernoulli nêu lên số định nghĩa liên quan đến xác suất: - - - - - “Xác suất thực tế mức độ chắn…” “Dự đoán điều đo lường xác suất nó…” (trích theo Henry, 2004, tr.7) Bernoulli thừa nhận định nghĩa tiên nghiệm xác suất tình đồng khả năng: “Đặt b số trường hợp mà đối số tồn tại, đặt c số trường hợp mà không tồn tại, (…) Nhưng cho tất trường hợp có khả nhau, hay chúng xảy nhau; (…) cho đối số chứng minh việc hay độ chắn việc” (trích theo Henry, 2004, tr.7) Nhưng ông rõ điểm hạn chế cách xác định xác suất phương pháp đếm Sự hạn chế sinh từ việc giả sử biến cố sơ cấp đồng xác suất Cụ thể, Bernoulli chứng tỏ rằng: “Sự cần thiết loại trừ việc ứng dụng học thuyết hội vào tượng tự nhiên phức tạp như: xuất bệnh nhân hay tượng khí tượng, hay dự đoán chiến lược người chơi mà cách hoạt động đoán trước” (Henry, 1997, tr.22, trích theo Coutinho, tr.38) Để ước lượng xác suất bối cảnh này, Bernoulli đề nghị xác định hậu nghiệm xác suất biến cố mong đợi sau quan sát thực nghiệm số lớn phép thử giống qua ổn định tần suất Trích đoạn Bernoulli gợi phương pháp tiến hành thống kê: “Nhưng thực đây, đường khác để có mà tìm Điều tiên nghiệm tối thiểu nhận hậu nghiệm, nghĩa khai thác cách quan sát kết cục nhiều ví dụ tương tự; …” (Bernoulli, 1713, tr42-44, trích theo Coutinho, 2001, tr.39) Điều Henry đánh giá gút vấn đề Ông nói: “…nó dẫn Bernoulli đến việc đề cách ước lượng tần suất cho khái niệm xác suất…” (Henry, 2004, tr.7) Coutinho bình luận lời lẽ Borovcnik (1991) sau: “… từ thay đổi cương vị xác suất, ta đưa cách để ước lượng hội xảy biến cố, phương pháp thực nghiệm Một tiếp cận giả sử xác suất kiện khách quan, gắn liền với biến cố phép thử Sự ước lượng chứng minh hội tụ dãy tần suất quan sát, kiện bên phép thử lặp lại, độc lập với vị trí chủ quan người quan sát” (Coutinho, 2001, tr.39) Để làm rõ thêm cho tiếp cận nêu trên, Coutinho trưng định nghĩa khái niệm xác suất Rényi (được trình bày giáo trình xác suất ông, xuất năm 1966): • • • “Ta gọi xác suất biến cố số mà tần suất tương đối biến cố xem xét dao động xung quanh số (…) Vì ta coi xác suất giá trị độc lập với người quan sát, giá trị gần với tần suất biến cố xem xét thực số lượng lớn phép thử” (Coutinho, 2001, tr.39) Định nghĩa xác suất theo Rényi gọi định nghĩa “thống kê” xác suất Như vậy, nói với “Thuật suy đoán Bernoulli, lần việc tính xác suất biến cố chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang sử dụng công cụ giải tích Chúng ta biết điều có ý nghĩa quan trọng, từ chỗ tính xác suất tiên nghiệm cho trường hợp biến cố đồng khả xuất người ta chuyển sang phạm vi biến cố phức tạp tác giả nói Song song với nghiên cứu Nicolas Bernoulli, có công trình Học thuyết hội Abraham de Moivre công bố vào năm 1718 Tác phẩm xử lý toán học, thực vận dụng giải tích vào lý thuyết xác suất Với Học thuyết hội, Moivre tu chỉnh định lý Bernoulli đưa dạng mà ngày ta gọi định lý giới hạn trung tâm Trong tác phẩm Moivre giải toán chia tiền cược trường hợp người hai người chơi có xác suất riêng để chiến thắng ván Ngoài ông đưa vào khái niệm hàm sinh, khái niệm độc lập, khái niệm xác suất có điều kiện Có thể nói trước kỷ XVIII công cụ số học đại số tổ hợp gắn liền với công trình nghiên cứu tính toán hội thành tựu giải tích đại thực sử dụng tính toán xác suất Vấn đề lại mà Bernoulli chưa làm sáng tỏ việc tối ưu hóa số thí nghiệm cần thiết để đoán xác suất Moivre sau Laplace tìm cách giải vấn đề Henry ghi nhận lại kết hai ông sau: “Định lý Moivre – Laplace sau cho phép đưa giá trị tương đương với xác suất P nên cho phép tính số lý tưởng thí nghiệm cần thực để có độ xác độ tin cậy cho trước Cũng với độ xác độ tin cậy 95 điều tra thông thường đoán xác suất với kích thước mẫu thử vào khoảng 1000” (Henry, 2004, tr.8) Liên quan đến kiểu tiếp cận này, biết, Buffon người tiến hành thực nghiệm với việc tung đồng xu nhiều lần Ông đưa bảng tần số xuất mặt sấp, mặt ngửa để chứng tỏ tần suất xuất mặt xấp xỉ ½ I.2.3 Định nghĩa khái niệm xác suất Laplace Cho đến đầu kỷ XIX, định nghĩa theo kiểu mô tả Bernoulli (“Xác suất thực tế mức độ chắn…”, “Dự đoán điều đo lường xác suất nó”) chưa có định nghĩa toán học khái niệm xác suất Vấn đề giải Pierre Simon Marquis de Laplace Chuyên luận giải tích xác suất công bố năm 1812 Với chuyên luận Laplace thức đưa định nghĩa xác suất nguyên lý thứ Định nghĩa ông trình bày cách tiếp cận Pascal, Fermat, Huygens Monmort: “Nguyên lý thứ định nghĩa xác suất, biết, tỉ số số trường hợp thuận lợi với số tất trường hợp xảy ra” (P.S Laplace, Introduction du traité analytique des probabilité, trích theo Thiénard, 1997, tr.140) Để nhấn mạnh điều kiện sử dụng cho định nghĩa trên, Laplace viết “Lý thuyết ngẫu nhiên dựa việc rút gọn tất biến cố loại số trường hợp đồng khả … xác định số trường hợp thuận lợi cho biến cố mà ta tính xác suất Tỉ số số với số tất trường hợp có thể, số đo xác suất, phân số có tử số trường hợp thuận lợi mẫu số tất trường hợp có thể” (trích theo Thiénard, 1997, tr.140) Như vậy, trước tính xác suất, ta phải đưa giả thiết đồng khả tính xác suất cách đếm kết cục thuận lợi Tuy vậy, Laplace nhận thấy luôn đưa trường hợp đồng khả được, nên nguyên lý thứ hai, ông viết: “Nhưng điều giả định trường hợp đồng khả Nếu chúng không đồng khả năng, trước hết ta phải xác định khả riêng chúng mà việc ước lượng khả việc khó lý thuyết ngẫu nhiên Khi đó, xác suất tổng xác suất trường hợp thuận lợi” (trích dẫn Thiénard, 1997, tr.140) Ví dụ mà Laplace đưa để minh họa cho nguyên lý thứ hai tung đồng tiền có hai mặt: sấp ngửa Bài toán yêu cầu tìm xác suất để mặt ngửa sau hai lần tung Laplace nêu lên rằng: “rõ ràng có bốn trường hợp đồng khả năng…” Để đơn giản cách viết, ghi bốn trường hợp NN, NS, SN, SS (S: sấp, N: ngửa) Ông giải thích rằng: bốn trường hợp có xác suất 1/4, ba trường hợp đầu thuận lợi cho biến cố có mặt ngửa nên xác suất cần tìm ¾ Mặt dù Laplace không ghi rõ phép toán, hiểu rằng: Ông phân tích lời giải sai sửa lại sau: “… Khi lần đầu mặt “Ngửa” không cần tung lần thứ hai; lần đầu “Sấp” lần thứ hai “ngửa” hay “sấp” Điều rút gọn xác suất 2/3, ta coi ba trường hợp đồng khả d’Alambert Nhưng rõ ràng xác suất để có mặt “Ngửa” lần đầu ½, hai trường hợp có xác suất ¼ Trường hợp đầu biến cố đơn tương ứng với hai biến cố kép: “ngửa” lần đầu lần hai; “ngửa lần đầu sấp lần hai Theo nguyên lý thứ hai, ta thêm xác suất ½ hai mặt ngửa lần đầu với xác suất ¼ trường hợp sấp lần đầu ngửa lần hai ¾ cho xác suất cần tìm, điều phù hợp với kết tìm giả sử tung đồng tiền hai lần Giả thiết không làm thay đổi may rủi người cược biến cố Nó giúp rút gọn trường hợp khác trường hợp đồng khả năng” (trích theo Thiénard, 1997, tr.140-141) Có thể nói Laplace đưa định nghĩa tường minh cho khái niệm xác suất, dựa giả thiết đồng khả Ngày nay, định nghĩa xác suất Laplace gọi định nghĩa cổ điển xác suất, hay “định nghĩa theo Laplace” Nó gọi cổ điển xác suất tỉ số Pascal, Fermat, Huygens nói đến trước (bấy chưa có tên gọi thức xác suất Laplace nêu lên đây) Tóm lại, suốt hai kỷ rưỡi, tính toán xác suất hình thành phát triển với hai điểm bật là: - Tính xác suất theo công thức Laplace với giả thiết đồng khả biến cố - Ước tính xác suất hậu nghiệm qua quan sát thực nghiệm số lượng lớn phép thử ngẫu nhiên theo Bernoulli biến cố không đồng khả I.3 Thế kỷ XX: Giai đoạn toán học đại vấn đề tiên đề hóa lý thuyết xác suất Một khó khăn việc phát triển lý thuyết xác suất đến định nghĩa tổng quát, xác toán học Cuối kỷ XIX, nhiều thành tựu công cụ giải tích, có phép biến đổi Fourier, cho phép thay cho hàm sinh hàm số đặc trưng Tiếp phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết độ đo, lý thuyết tích phân Borel Lebesgue đầu kỷ XX dẫn đến xu hướng xây dựng lý thuyết xác suất hình thức theo phương pháp tiên đề Hilbert Năm 1928, Von Mises đề nghị hệ tiên đề cách tiếp cận thống kê, theo xác suất định nghĩa giới hạn chung dãy tần suất Nhưng định nghĩa đánh giá nặng mặt kỹ thuật không đủ cho hiểu biết tổng quát mặt khái niệm (tham khảo Henry, 2004) Borel giải thích phải theo chiều hướng nào: “… Lý thuyết xác suất liên tục đặt sở hệ tiên đề định nghĩa hoàn toàn giống với mà ta làm lý thuyết độ đo…” (Henry, 2004, tr.10) Năm 1933, công trình nghiên cứu mình, nhà toán học Nga Andre Kolmogorov phác thảo hệ tiên đề làm tảng cho lý thuyết xác suất đại Theo lý thuyết này, phép thử ngẫu nhiên kết cục biểu thị tập hợp bất kỳ, có định nghĩa độ đo bị chặn với Xác suất biến cố độ đo tập hợp mô tả biến cố A liên quan đến phép thử ngẫu nhiên Đó số thực, ghi cho thỏa tiên đề Tiên đề 1: Với biến cố A, Tiên đề 2: Với không gian biến cố sơ cấp, Tiên đề 3: Với dãy biến cố đôi rời nhau, thì: Hệ tiên đề chấp nhận cách hài hòa khái niệm biến ngẫu nhiên qui luật (sự chuyển từ lĩnh vực số) 10 PHẦN III: TỔ CHỨC MỘT BUỔI SINH HOẠT NGOẠI KHÓA CHỦ ĐỀ: TẤT NHIÊN TRONG NGẪU NHIÊN I CÁC CÂU CHUYỆN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT: CÂU CHUYỆN “THOÁT CHẾT” Tương truyền thời cổ có vương quốc tôn sùng mê tín nên đặt pháp quy kỳ lạ: phàm tử tù, trước bị hành hình phải rút lần “thăm sống – chết”, tức viết riêng hai chữ “sống” “chết” lên hai tờ giấy, quan chấp pháp giám sát, phạm nhân rút thăm trước đám đông Nếu phạm nhân rút phải thăm “chết”, bị hành hình, trúng thăm “sống” coi ý trời, cho miễn hành hình 37 Một lần Quốc vương muốn xử chết viên quan đại thần bất mãn với thống trị tàn bạo Quốc vương nên nói lời bảo vệ công cho dân chúng, làm cho Quốc vương tức giận Quốc vương tâm không để kẻ hạ thần dám “phạm thượng” có hội miễn hình phạt hành hình Cho nên Quốc vương bày mưu tính kế ngầm với tên tâm phúc, cuối nghĩ kế sách thâm độc: ngầm dặn quan chấp pháp đem hai tờ giấy làm thăm viết chữ “chết” Như vậy, cho dù phạm nhân rút thăm không thoát khỏi bị hành hình Trên đời tường không bị lọt gió, quỷ kế Quốc vương bị người khác phát Rất nhiều văn võ bá quan biết nội tình, đồng tình với người đồng liêu thường ngày trực, sợ hãi lộng quyền Quốc vương nên dám tức giận, không dám nói Một ngày trước hành hình, người coi ngục tốt bụng nói cách kín đáo với quan đại thần rằng: “Ông xem có việc hậu cần bàn giao, ráng sức lo cho” Vẻ ấp úng người coi ngục làm cho quan đại thần sinh nghi, hỏi mãi, cuối biết bên âm mưu Người coi ngục tưởng quan đại thần đành chịu số phận, vẻ mặt ủ ê Nào ngờ quan đại thần chìm đắm vào suy tư, chốc lát trán ông lại ngời lên ánh sáng hưng phấn, điều làm cho người cai ngục kinh ngạc vô Còn Quốc vương nghĩ chết kẻ phản nghịch tất nhiên, điều kiện tiền đề bọn họ nghĩ việc rút thăm rút hai chết mà Song quan đại thần thông minh tìm cách để lợi dụng điều mà thoát chết Câu hỏi 1: Vậy quan đại thần thoát chết nào? Sau quan chấp pháp tuyên bố cách rút thăm, thấy quan đại thần nhanh chóng rút thăm nhét vội vào miệng Đợi quan chấp pháp kịp phản ứng quay lại mảnh giấy thăm kịp nuốt vào bụng Quan chấp pháp cật vấn rằng: “Ngài rút thăm có chữ “chết” hay thăm có chữ “sống”?” Quan đại thần cố làm vẻ thở dài nói: “Ta nghe theo ý Trời, Trời cho ta có tội đắng làm chịu ta nuốt rồi, cần xem thăm lại biết rõ thôi” Lúc này, dân chúng có mặt nhao nhao tán đồng Thăm lại đương nhiên viết chữ “chết”, có nghĩa quan đại thần rút thăm “sống” Quốc vương quan chấp pháp khó ăn khó nói, sợ đụng tới phẫn nộ dân chúng nên đành phải tha cho quan đại thần Vốn dĩ quan đại thần rút thăm “sống” hay thăm “chết” việc ngẫu nhiên, khả rút loại chiếm nửa (xác suất 50%) Nhưng Quốc vương tính “mưu thâm kế độc”, muốn biến việc ngẫu nhiên có nửa khả “chết” thành việc tất nhiên “nhất định chết”, nên cuối tự “ném đá vào chân mình” CHIẾN CÔNG THẦN KỲ 38 Thời Bắc Tống, thủ lĩnh tộc Man châu Quảng Nguyên Nùng Trí Cao không ngừng mở rộng lực, lập quyền “Nam Thiên quốc” Tháng – 1052, Nùng Trí Cao dấy binh đánh Tống Tháng – 1052, Nùng Trí Cao vây hãm Ung Châu (Nam Ninh – Quảng Tây ngày nay), tự xưng “Nhân Huệ hoàng đế” từ Ung Châu đánh dọc theo sông xuống phía nam, đến đâu thắng đó, chấn động khắp nơi Năm 1053, đại tướng Địch Thanh phụng chinh phục Nùng Trí Cao Lúc miền nam có tục sùng bái quỷ thần, nên đại quân vừa đến nam Quế Lâm, Địch Thanh liền cho quân lập đàn cúng tế thần Ông lấy 100 đồng tiền đồng khấn: “Nếu lần trận đánh bại kẻ địch gieo 100 đồng tiền lên mặt đất, toàn mặt đồng tiền ngửa lên” Các quan tả hữu hoảng sợ, cố khuyên chủ tướng bỏ ý nghĩ đi, có trường hợp 100 đồng tiền ngửa Nhưng Địch Thanh mặc kệ, giữ ý Trước mắt muôn vạn quân lính, ông vung tay, gieo tất 100 đồng tiền mặt đất Vậy mà “ma xui quỷ khiến”, tất mặt tiền ngửa! Lúc toàn quân hoan hô, tiếng vang dội đất trời Đại tướng Địch Thanh Bản thân Địch Thanh vui mừng Ông lệnh cho tả hữu mang đến 100 đinh đóng chặt đồng tiền xuống đất, cầu khấn rằng: “Đợi khải hoàn trở định hậu tạ thần linh, thu hồi đồng tiền” Do quân lính tin thần linh phù hộ nên chiến đấu dũng mãnh xông lên phía trước, Địch Thanh nhanh chóng bình định Ung Châu Câu hỏi 2: Tại lại có trường hợp ngẫu nhiên vậy? Khi trở về, theo lời hứa trước, Địch Thanh cho quân thu hồi đồng tiền, thuộc hạ ông nhìn xem, đồng tiền có hai mặt đúc ngửa (như nhau) Bản thân Địch Thanh đại tướng quân không hiểu rằng, gieo đồng tiền việc xuất mặt ngửa hay sấp tùy lúc (ngẫu nhiên) Cụ thể: đồng có khả sấp (S) ngửa (N) 39 đồng có khả (SS), (NN), (SN), (NS) đồng có khả (NNN), (NNS), (NSN), (NSS), (SNN), (SNS), (SSN), (SSS) ……………………………… Sau lần gieo thêm đồng tiền khả phối hợp tăng lên lần Vì hi vọng gieo 100 đồng tiền để xuất trường hợp đặc biệt toàn ngửa ảo tưởng Các thuộc hạ Địch Thanh hiểu điều này, nên cố khuyên nhủ chủ tướng không làm thể nghiệm Địch Thanh thông minh, để ý thấy lính quan sát tượng theo thời, thường tin vào kinh nghiệm thân, mà bỏ qua điều kiện tiền đề Vì thế, ông dùng biện pháp “thay xà đổi cột”, khéo léo thay đổi tiền đề Tiền đề có hai mặt – phụ lại đúc hai mặt đồng tiền Lúc Địch Thanh 100 đồng tiền ngửa, việc tất nhiên, với tướng sĩ có Song việc lại xảy kỳ tích! Kết luận: Khi quan sát loại tượng, bỏ qua tiền đề II MỘT SỐ VẤN ĐỀ MAY RỦI LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT: BỐC THĂM TRƯỚC & BỐC THĂM SAU CÁCH NÀO LỢI HƠN? Khi cần giải chọn phương án nhiều phương án đưa ra, người ta hay dùng biện pháp bốc thăm Thí dụ trận thi đấu bóng bàn, người ta dùng biện pháp bốc thăm để chọn vận động viên giao bóng trước Trong thi đấu, người ta hay chọn cách bốc thăm để xếp thứ tự trận đấu Thế việc bốc thăm trước sau liệu đưa đến hội trúng cách không? Ví dụ cần chọn ba bạn tham dự sinh hoạt nghệ thuật đó, người ta dùng biện pháp bốc thăm xem cách chọn công Trước hết người ta chọn ba mảnh giấy nhỏ, đánh ký hiệu riêng vào mảnh giấy, sau xáo trộn & để người bốc mảnh giấy Có bạn nhỏ cho bốc thăm trước có lợi nên tranh quyến bốc trước Câu hỏi 3: Theo bạn bốc thăm trước hay sau có lợi? Giải thích? Chúng ta xem xác suất để người nhận mảnh giấy có ghi ký hiệu 40 Giả sử cho bạn nhỏ A, B, C bốc thăm theo thứ tự: A thứ nhất, B thứ nhì, C thứ ba Một ba mảnh giấy có đánh dấu (*) hai mảnh đánh dấu “O1” “O2” Ta biểu diễn tình bốc thăm hình vẽ trên, hình vẽ có dạng giống người ta gọi hình vẽ “cây tình huống” Theo hình vẽ A, B, C theo thứ tự bốc thăm có tình huống, xác suất xuất tình hoàn toàn Trong tình (1) (2), A trúng cách với xác suất Trong tình (3) (4), B bốc thăm trúng cách với xác suất Trong tình (5) (6), C trúng cách với xác suất Kết luận: Bốc thăm trước hay bốc thăm sau xác suất VÌ SAO TRONG TRÒ ĐÁNH BẠC GIEO CON SÚC SẮC, NHÀ CÁI LUÔN THẮNG? Nhiều người cho trò đánh bạc theo kiểu gieo súc sắc, việc thắng bại thời vận, điều lôi nhiều bạn trẻ tham gia Nhìn qua trò đánh bạc hội nhau, chí lợi cho người tham gia đánh bạc (con bạc) Sự thực trò đánh bạc kiểu gieo súc sắc, hội bạc không nhau, mà kết cục nhà có lợi & thắng Ta thử xem xét vậy? 41 Trò đánh bạc dựa quy tắc sau: Mỗi người tham gia phải bỏ 1đ đặt cọc, sau gieo súc sắc đồng thời Bạn nhận điểm số đó, bạn chọn số đánh “1” điểm Nếu súc sắc có xuất điểm “1”, nhà phải trả 1đ đặt cọc, đồng thời trả thêm 1đ Nếu xuất hai điểm “1”, nhà phải trả 1đ đặt cọc, đồng thời trả thêm 2đ nữa; ba súc sắc xuất số “1” tiền đặt cọc, nhà phải trả thêm 3đ Mới xem với điểm súc sắc, xuất gieo khả xuất số “1” , gieo hai súc sắc khả xuất số “1” , , gieo ba súc sắc khả xuất số “1” tức khả đặt cọc 1đ để nhận thêm 1đ 1đ đặt cọc nhau, chi lại có khả gấp đôi, gấp ba với người tham gia chơi có lợi Thực nhìn bề Ta thử xem xét xuất tình gieo súc sắc lần? Khi gieo súc sắc ta nhận sáu khả xuất số điểm, với súc sắc thứ hai có loại khả với súc sắc thứ ba với ba súc sắc có 6.6.6 = 216 loại kết Trong 216 loại khả năng, xác suất để ba súc sắc xuất số điểm không giống 6.5.4 = 120, để ba súc sắc xuất số điểm hòan toàn giống loại kết quả, đồng thời xuất số “1”, “2”,…,”6” Như lại 216 – 120 – = 90 loại khả súc sắc xuất hai điểm số giống Giả sử người chơi thử vận may với số “1” Nếu đánh đố 216 lần thử xem bạc lần? Trước hết ta xét số tình để súc sắc xuất “1” điểm Việc xuất điểm “1” súc sắc, súc sắc ba súc sắc, tức có loại khả năng; số tình để hai súc sắc lại không xuất số “1” 5.5 = 25 loại, tổng cộng có 3.25 = 75 loại khả Trong 75 loại khả xuất có khả bạc nhận 2đ, tổng số tiền nhận trường hợp 75.2 = 150đ Như khả xuất số “1” từ số lần nhận súc sắc, tổng số số lần xuất hai con, tổng số lần súc sắc, hai súc sắc, ba súc sắc số lần xuất hai súc sắc cộng số lần xuất ba súc sắc với súc sắc có loại khả không xuất số “1” ba súc sắc tất có 15 loại khả Nên với lần nhận ba súc sắc với ba số “1” số tiền nhận 45đ 42 Cuối số tình để ba súc sắc chỉ xuất điểm “1” có loại khả năng, nhận 4đ Như 216 lần gieo , bạc nhận 150 + 45 + = 199đ Trong phải đặt cọc 216đ nên rốt bạc bị lỗ 216 – 199 = 17đ Bây ta xét tình nhà Giả sử có người tham gia đánh bạc, đánh cược với số “1”, “2”,…,”6”, giả sử họ tiến hành 216 lần gieo súc sắc Nhà lần nhận 6đ đặt cọc số tiền đặt cọc cho 216 lần chơi 6.216 = 1296đ Thử xem nhà thu bao nhiêu? Theo phân tích trình bày trên, 216 lần gieo, có 120 lần số điểm ba xúx xắc không giống Ví súc sắc xuất số “1”, “2”, “3” bạc đánh cược cho ba số “4”, “5”, “6” bị thua Nhà phải trả cho bạc thắng 2.3 = 6đ, với 120 lần nhà phải trả cho bạc tình 6.120 = 720đ Ngoài có 90 lần súc sắc xuất số điểm giống hai súc sắc ví xuất điểm “1”, “1”, “2” , bạc đánh cược số “4”, “5”, “6” bị thua cuộc, người đánh cược số “2” 2đ, người đánh cược số “1” đồng , nhà chung tổng cộng 5đ, 90 lần nhà chi 5.90 = 450đ Cuối sáu lần ba súc sắc có số điểm giống ví nhận số “1”, người đánh cược số “1” thắng nhận 4đ, lần 24đ Cuối nhà 720 + 450 + 24 = 1194đ Kết nhà lãi 1296 – 1194 = 120đ (tứ 7.9%) Bây bạn thấy bạc không thu lợi lộc đừng có tham gia đánh bạc Kết luận: Bài bạc bác thằng Bần LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ CUỘC ĐẤU TAY BA Một buổi sáng , ông Black, ông Grey ông White định giải mâu thuẫn xung đột đấu súng tay ba người sống sót Ông Black người bắn nhất, trung bình bắn trúng mục tiêu ba phát bắn (3 trúng 1) Ông Grey bắn tốt hơn, trúng hai ba phát Ông White bắn tốt nhất, luôn bắn trúng Để cho đấu công hơn, ông Black phép bắn trước, sau đến ông Grey (nếu ông ta sống), ông White (nếu ông sống), quay vòng lại đến chừng sống sót ba người 43 Câu hỏi 4: Ông Black nên nhắm bắn vào trước? Vì sao? Chúng ta xét khả lựa chọn ông Black Trước tiên, ông Black nhằm vào mục tiêu ông Grey Nếu ông ta thành công lượt bắn ông White (ông Grey chết) Ông White đối thủ ông Black ông White xạ thủ trăm phát trăm trúng nên ông Black chết Lựa chọn tốt cho ông Black nhắm thẳng vào ông White Nếu ông thành công lượt bắn thuộc ông Grey Nhưng ông Grey bắn ba phát trúng hai nên ông Black có hội sống sót để bắn trở lại ông Grey người chiến thắng Dường lựa chọn thứ hai chiến lược mà ông Black nên chọn Tuy nhiên, có phương án thứ ba chí tốt Ông Black bắn thiên Ông Grey bắn lượt ông nhằm vào ông White, đối thủ nguy hiểm Nếu ông White sống sót ông ta lại nhắm bắn ông Grey ông Grey đối thủ nguy hiểm ông Black Như vậy, cách bắn thiên, ông Black ông Grey trừ khử ông White ngược lại Đó chiến lược tốt ông Black Cuối ông Grey ông White chết sau ông Black nhắm bắn người sống sót Như vậy, ông Black xoay chuyển tình thế, thay người bắn phát đấu tay ba, ông trở thành người bắn đấu tay đôi Kết luận: Bạo lực không giải vấn đề! III TRÒ CHƠI KẾT THÚC 44 Số người chơi: Chọn người trả lời câu hỏi từ – 4, chưa đủ chọn ngẫu nhiên số học sinh lại cho đủ người Cách chơi: Tìm từ khóa thông qua việc trả lời câu hỏi, câu hỏi liên quan “trực tiếp” đến từ khóa Mỗi người chọn câu hỏi cho riêng mình, trả lời đúng, hình gợi ý từ chìa khóa xuất phần,…người trả lời từ chìa khóa bước vào vòng chiến thắng ?1: Một ba toán thời Cổ Đại không giải Trả lời: Bài toán Cầu phương hình tròn (dựng hình vuông có diện tích diện tích hình tròn cho trước) Bài toán Cầu phương hình tròn Dựng thước compa hình vuông có diện tích diện tích hình tròn cho Gọi x cạnh hình vuông có diện tích diện tích hình tròn có bán kính R, ta có phương trình x2 = π R2 ⇔ x = R π π Năm 1882, nhà toán học Đức Lindemann (1852 – 1939) chứng minh số siêu việt (không nghiệm đa thức với hệ số hữu tỷ), nên nghiệm phương trình không biểu diễn nhờ số hữu hạn phép toán sơ cấp, toán không dựng nghiệm thước compa ?2: Trả lời câu hỏi Tiếng Anh “straight line passing through two points on the circle goes through the center and what is it called?” Trả lời: diameter (đường kính) ?3: Hãy điền tên nhà toán học thiếu thơ sau Định lý tính chất nghiệm Đáng ngợi ca vần thơ, Thú vị điều bất ngờ: Nhân nghiệm phân số Mẫu số a, tử số c; Tổng nghiệm cho ta phân số Mẫu số a, tử số b (Chỉ khác dấu trừ, tai họa gớm ghê Nếu vô ý bạn quên điều đó) 45 Trả lời:Frăngxoa Viet (1540 - 1606) Frăngxoa Viet nhà toán học lớn Pháp kỷ XVI Ông người thiết lập mối liênhệ hệ số nghiệm phương trình bậc Frăngxoa Viet nhà toán học lớn Pháp kỷ XVI Đôi người ta gọi ông người cha môn đại số dùng chữ đại, ông đóng góp nhiều cho việc mở đầu môn đại số dùng ký hiệu chữ Chính ông người dẫn đầu việc nghiên cứu phương trình đại số thiết lập mối liên hệ hệ số nghiệm phương trình bậc hai, cụ thể đưa công thức mang tên ông Về nghề nghiệp Viet trạng sư khách lớn Ông gần gũi cung vua Đầu tiên ông cố vấn nghị viện Bretan, sau ông chuyển sang phục vụ cho nhà vua Henrich III với tư cách “báo cáo viên lời đề nghị” Sau Henrich III chết ông giúp việc cho Henrich IV Khi cung vua, Frăngxoa Viet tỏ thiên tài việc đọc mật mã chữ số phức tạp ( mật thư), mà bọn Tây Ban Nha sử dụng chiến tranh chống nước Pháp Nhờ chữ số bí mật, bọn lính Tây Ban Nha tự trao đổi thư từ với kẻ thù nhà vua Pháp, chí nước Pháp Những thư chưa đọc Sau nhiều cố gắng vô hiệu để tìm chìa khóa mật mã, cuối Henrích IV phải tìm đến Viet nhờ tìm bí mật Viet nhận nhiệm vụ làm việc suốt ngày đêm vòng hai tuần lễ, giải toán đặt Viet phát bí mật chữ số Tây Ban Nha Sau việc đó, Hen IV lấy Viet làm người cộng tác thân thiết Đúng điều dự đoán, sau đọc báo cáo bí mật Tây Ban Nha, bọn chúng chịu hết thất bại đến thất bại khác Sau bao ngày băn khoăn thắc mắc diễn biến bất lợi hoạt động quan sự, cuối cùng, từ buồn bí mật, bọn Tây Ban Nha biết chữ số chúng bị tiết lộ với người Pháp thủ phạm khám phá Frăngxoa Viet Cơ quan hình phạt thiên chúa giáo tuyên bố Viet kẻ phản chúa kết tội vắng mặt án tử hình thiêu lửa; chúng chẳng thực mưu đồ dã man Viet không thích thú có đại số, ông mê hình học lượng giác Những nghiên cứu toán học ông cho xuất “quy tắc toán học” (1579) Cũng nhiều nhà bác học xuất chúng khác, Viet tỏ có khả làm việc lớn Nhà lịch sử Toán học Đan Mạch G.G.Trâyten (1839 - 1920) viết: “Viet dành phần lớn sống vào việc nghiên cứu pháp lý, khó tưởng tượng cách ông làm tròn công trình toán học lớn Những công trình kết nghiên cứu toán học sâu sắc chứng xác đáng ông am hiểu tác giả cổ điển Người ta kể ông ngồi bàn để nghiên cứu suốt ngày đêm liền” Giữa kỷ 16 Viet chứng minh pi số số vô tỷ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn) 46 eiπ + = 0? ?4: Nhà toán học khám phá phương trình đẹp đẽ sau Trả lời: Leonhard Euler (15.4.1707 – 18.9.1783) Phương trình Leonhard Euler khám phá vào kỷ XVIII Các nhà Vật lý thích phương trình chứa đựng khái niệm toán học π , i, e, công thức nhất: phép nhân, cộng, phương trình, một, không “phép tính số mũ” Gợi ý từ chìa khóa: Một số quan trọng toán học Đáp án: Số pi (số pi tỷ số chu vi đường kính nó) Đôi nét số pi 1) Ngày số Pi (Pi Day) ngày số Pi gần (Pi approximation day) ngày lễ dành cho số toán học π(pi) Ngày số Pi chọn vào ngày 14 tháng hàng năm (14/3), số pi xác định cách gần 3,14 Ngày số Pi gần 22 tháng 7, nhiều người biểu diễn cách xấp xỉ 22/7 (hai hai phần bảy) Phút Pi chọn vào thời điểm tháng 3, ngày 14, lúc 1:59, Giây Pi xảy vào tháng 3, ngày 14, năm 1592, lúc 6:53:58, số Pi biểu diễn gần xác 3,14159265358 Ngày Pi tổ chức lần San Francisco Exploratorium vào năm 1988, theo ý tưởng Larry Shaw Ngoài ra, số nơi giới, người ta tổ chức lễ hội để ghi nhớ việc tìm số Pi vào ngày khác: • 26 tháng 4: vào ngày trái đất di chuyển radians quỹ đạo (25 tháng năm nhuận); theo lấy chiều dài quỹ đạo chia cho quãng đường trái đất di chuyển, thu số Pi gần • 22 tháng 7: 22/7 - phân số có giá trị xấp xỉ Pi • 10 tháng 11: Ngày thứ 314 năm (9 tháng 11 năm nhuận) • 21 tháng 12, 1:13 p.m.: Ngày thứ 355 năm (20 tháng 12 năm nhuận), lúc 1:13 - Liên tưởng số gần Pi người Trung Quốc 355/113 Trong ngày Pi năm 2004, Daniel Tammet tính giá trị Pi với 22.514 chữ số thập phân Số Pi biểu diễn với 50 chữ số thập phân: 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 2) Bài thơ số pi Ba nhớ nhà Một nhớ tới bà tới ông Bốn năm xa cách dòng sông Một thời để nhớ trog lòng Năm chạy lon ton Chín thơm ngọt, ngon bà dành Hai mùa đỏ xanh Sáu năm thành nhớ nhung Năm chín nhớ mười mong 47 Ba quê xa Năm nhà Tám ngày sum họp nhà ta vui vầy Chín trái vườn Bảy năm chăm sóc vàng Chín theo chuyến đò ngang Ba đưa xuống bến để sag thăm bà Hai dòng sôg quê ta Ba nhớ lại ngày xa mái trường Tám năm chinh chiến mù sương Bốn phương khói lửa thường đọc thơ 3) Năm 1760 bá tước Comte de Buffon (1707 – 1788) xác định số pi xác suất: Giả sử có số đường thẳng song song cách khoảng d vẽ mặt phẳng nằm ngang lấy kim đặn có chiều dài l ném cách ngẫu nhiên lên mặt phẳng Buffon cho rằng, xác suất để kim rơi nằm (cắt) đường thẳng song song vẽ (gọi rơi đúng) tính theo công thức p= 2l πd Bằng cách với số lần ném kim (n) ghi lại số lần mà kim rơi (m) ta có giá trị p= π = Từ suy m n ln l = d2 n → π = dm m VÒNG CHƠI CHO NGƯỜI CHIẾN THẮNG Cho người chiến thắng tìm phần thưởng có “ô cửa”, từ dẫn đến “nghịch lý Monty Hall” 48 Tại châu Âu, thịnh hành trò chơi truyền hình mang tên “Dốc sức”, phần kết thúc, người chơi ba ô cửa kín mà phía sau ba cửa có để phần thưởng (Tương tự phần cuối “tìm ô cửa may mắn” “Trò chơi âm nhạc” “Hãy chọn giá đung” “Chiếc nón kì diệu”…của Truyền hình Việt Nam) Sau người chơi chọn ba ô cửa, người dẫn chương trình (MC) mở hai ô cửa lại mà thông thường ô cửa phần thưởng (Điều người dẫn chương trình biết trước) Tiếp theo, người dẫn MC thông báo chương trình cho phép người chơi thay đổi việc chọn ô cửa Theo dõi thấy Phần lớn người chơi không thay đổi ô cửa chọn lúc ban đầu, họ nghĩ xác suất để có phần thưởng sau ô cửa 50% (lý hai ô cửa chưa mở) Do vậy, việc đổi cửa hay không đổi cửa ý nghĩa Tuy nhiên, theo phương pháp toán xác suất thì:Việc người chơi thay đổi ô cửa lại có lợi Khả để phần thưởng nằm sau ô cửa chọn lần đầu khoảng 33,3% (không phải 50%) Ngược lại xác suất nhận phần thưởng sau đổi ô cửa 66,6% Điều vô lí thật có sở toán học Đó nghịch lý toán học có tên gọi nghịch lý “Monty Hall” Do nghịch lý “Monty Hall” nên nhiều trường hợp người chơi để tuột phần thưởng Và vui vẻ tự an ủi “mình chưa nhiều may mắn” Mời bạn xem hình minh họa hiểu lần thứ hai lựa chọn người chơi đổi cửa xác suất trúng thưởng tăng lên từ 1/3 (nếu không đôi) thành 2/3 (nếu đổi lựa chọn) Tài liệu tham khảo 49 Lịch sử Toán học (2008) – TS Nguyễn Phú Lộc – NXB GIÁO DỤC Mười vạn câu hỏi (2010) – Toán học – Lô Gia Thích (chủ biên) – NXB Giáo dục Định lý cuối Fermat (2004) – Simon Singh – NXB Trẻ Khái niệm xác suất dạy – học toán trường THPT Vũ Như Thư Hương A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750 ANDERS HALD Kể chuyện nhà toán học – NXB Khoa học kỹ thuật 1974 Các trang web: + http://diendantoanhoc.net/home/l%E1%BB%8Bch-s%E1%BB%AD-to%C3%A1n-h %E1%BB%8Dc/danh-nh%C3%A2n-to%C3%A1n-h%E1%BB%8Dc/641-andreikolmogorov,-nh%C3%A0-b%C3%A1c-h%E1%BB%8Dc-l%E1%BB%9Bn-c%E1%BB %A7a-%C4%91%E1%BA%A5t-n%C6%B0%E1%BB%9Bc-x%C3%B4-vi%E1%BA %BFt (24/09/2013) + http://www.đienantoanhoc.net/.(23/09/2013) + http://www.omg-facts.com/History/Abraham-De-Moivre-A-FrenchMathematician/53267#2SuRIiqfe9m617WU.99(23/09/2013) + http://inventors.about.com/library/inventors/bl_huygens.htm (23/09/2013) + http://vi.wikipedia.org (25.09.2013) + https://www.google.com.vn/(25.09.2013) 50 MỤC LỤC 51