Trong lịch sử phát triển của toán học hiện đại có rất nhiều chuyên ngành hẹp mang tính chuyên sâu, nhưng điều thú vị là chúng thường có quan hệ với các lĩnh vực toán học khác. Điều đó mang đến cho chúng ta mối liên kết giữa các lĩnh vực khác nhau của toán học và nó góp phần “làm mờ” đi sự phân định giữa các lĩnh vực đại số, giải tích và hình học 1 ,trang 1. Để làm rõ hơn bản chất của vấn đề trên, nhóm chúng tôi nghiên cứu mảng kiến thức về không gian tiếp xúc của một đa tạp bao gồm đa tạp có tham số, đa tạp trong Rn cũng như các vấn đề có liên quan đến không gian tiếp xúc. Ngoài ra, nhóm chúng tôi còn nghiên cứu đến mảng kiến thức về đa tạp con trong Rk, đa tạp con trừu tượng và cấu trúc địa phương của đa tạp con,…Mặt khác, trên nền tảng kiến thức của không gian topo, nhóm chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các tính chất topo của đa tạp và để làm rõ tính chất topo của đa tạp chúng tôi nhận thấy cần trang bị các mảng kiến thức về tính compact, sự vét kiệtđếm được của các tập compact, hàm Bump, phép nhúng trong không gian Euclid, đặc biệt là định lý Jordan – Brouwer và các kiến thức hỗ trợ khác để làm rõ hơn tính chất topo của đa tạp. Nhóm chúng tôi nhận thấy với sự liên kết giữa các lĩnh vực khác nhau của toán học như vậy nhằm góp phần tăng thêm sự hấp dẫn của các nhà nghiên cứu về toán học và góp phần giúp ngành toán học phát triển không ngừng.
1 MỤC LỤC Tran A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài .3 Mục đích nghiên cứu .3 Phạm vi nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu B PHẦN NỘI DUNG .5 Chương Không gian tiếp xúc .5 3.1 Không gian tiếp xúc đa tạp tham số 3.2 Không gian tiếp xúc đa tạp 3.3 Không gian tiếp xúc trừu tượng 3.4 Cấu trúc không gian vector .12 3.5 Đạo hàm theo hướng .15 3.6 Tác động hàm 17 3.7 Vi phân ánh xạ trơn 19 3.8 Cơ sở tiêu chuẩn 24 3.9 Sự định hướng 25 Chương Đa tạp 27 4.1 Đa tạp .27 4.2 Đa tạp trừu tượng .28 4.3 Cấu trúc địa phương đa tạp 32 4.4 Tập hợp cấp .37 4.5 Nhóm trực giao 40 4.6 Miền xác định bao gồm biên trơn 42 4.7 Sự định hướng biên 45 4.8 Đa tạp nhúng chìm 48 Chương Các tính chất topo đa tạp 49 5.1 Tính compact 49 5.2 Sự vét kiệt đếm tập compact 50 5.3 Atlas hữu hạn địa phương 52 5.4 Hàm bump .54 5.5 Sự phân hoạch đơn vị 55 5.6 Phép nhúng không gian Euclide .57 5.7 Tính liên thơng 59 5.8 Các đa tạp liên thông .64 5.9 Các hợp thành 65 5.10 Định lí Jordan-Brouwer 68 C PHẦN KẾT LUẬN 69 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lịch sử phát triển toán học đại có nhiều chun ngành hẹp mang tính chun sâu, điều thú vị chúng thường có quan hệ với lĩnh vực tốn học khác Điều mang đến cho mối liên kết lĩnh vực khác tốn học góp phần “làm mờ” phân định lĩnh vực đại số, giải tích hình học Để làm rõ chất vấn đề trên, nhóm nghiên cứu mảng kiến thức không gian tiếp xúc đa tạp bao gồm đa tạp có tham số, đa tạp vấn đề có liên quan đến khơng gian tiếp xúc Ngồi ra, nhóm chúng tơi cịn nghiên cứu đến mảng kiến thức đa tạp đa tạp trừu tượng cấu trúc địa phương đa tạp con,… Mặt khác, tảng kiến thức không gian topo, nhóm chúng tơi tiếp tục nghiên cứu tính chất topo đa tạp để làm rõ tính chất topo đa tạp nhận thấy cần trang bị mảng kiến thức tính compact, vét kiệtđếm tập compact, hàm Bump, phép nhúng không gian Euclid, đặc biệt định lý Jordan – Brouwer kiến thức hỗ trợ khác để làm rõ tính chất topo đa tạp Nhóm nhận thấy với liên kết lĩnh vực khác toán học nhằm góp phần tăng thêm hấp dẫn nhà nghiên cứu tốn học góp phần giúp ngành tốn học phát triển khơng ngừng Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tơi tập trung nghiên cứu không gian tiếp xúc đa tạp trừu tượng định nghĩa từ bề mặt cong tham số Chúng định nghĩa không gian tiếp xúc điểm Mặt khác, chúng tơi cịn nghiên cứu khái niệm đa tạp đa tạp trơn trừu tượng, cụ thể nghiên cứu tồn hai khái niệm khác đa tạp gồm “đa tạp nhúng” “đa tạp nhúng chìm” Cuối cùng, chúng tơi nghiên cứu tính chất tơpo đa tạp Thơng qua q trình nghiên cứu tài liệu tự củng cố kiến thức học hiểu thêm vấn đề nhằm tích lũy nâng cao kiến thức Phạm vi nghiên cứu Các vấn đề liên quan đến không gian tiếp xúc , khái niệm đa tạp đa tạp trơn trừu tượng tính chất tôpo đa tạp tài liệu chuyên ngành lien quan đến việc nghiên cứu đặc biệt tài liệu giải tích tốn học đại Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, tài liệu, tra cứu internet, ghi chép, tổng hợp,… kết hợp với tham khảo ý kiến đồng nghiệp đặc biệt cán giảng dạy mơn hình học vi phân, giải tích hàm, đại số tuyến tính B PHẦN NỘI DUNG Chương Không gian tiếp xúc Trong chương này, không gian tiếp xúc với đa tạp trừu tượng định nghĩa Chúng nhớ lại từ Hình học bề mặt cong tham số định nghĩa không gian tiếp xúc điểm khơng gian tuyến tính mở rộng vector dẫn xuất Sự khái quát hóa đến đơn giản, đưa Trong chương này, khái quát khái niệm da tạp trừu tượng Chúng làm hai bước Bước phải xét đa tạp Ở chúng tơi định nghĩa khơng gian tiếp xúc với tham chiếu đến không gian xung quanh Đối với đa tạp trừu tượng, xử lí bước thứ hai, cần phải đưa khái niệm trừu tượng 3.1.Không gian tiếp xúc đa tạp tham số Cho đa tạp tham số, với tập mở Định nghĩa 3.1.1 Không gian tiếp xúc khơng gian tuyến tính mở rộng cột ma trận cấp Giả sử ánh xạ quy Khi cột độc lập tuyến tính, chúng tạo thành sở cho không gian Nếu tổ hợp tuyến tính cột với tọa độ hệ số, đẳng cấu tuyến tính vào không gian tiếp xúc chiều Quan sát thấy không gian tiếp xúc đối tượng “địa phương”, theo nghĩa hai đa tạp tham số vài lân cận điểm , Từ Hình học chúng tơi nhắc lại kết sau đây, mà dễ dàng tổng quát cho thiết lập Định lí 3.1.1: Khơng gian tiếp xúc bất biến tham số hóa hiệu chỉnh Nói cách khác, vi phôi tập mở , với Chứng minh Chứng minh giống Quyển Hình học 1, Định lí 2.7 Bằng quy tắc dây chuyền, chúng tơi có ma trận đơn vị hiểu ngầm cột tổ hợp tuyến tính cột , Sự bao hàm ngược lại sau lí luận tương tự với thay nghịch đảo 3.2.Khơng gian tiếp xúc đa tạp Cho đa tạp (xem Định nghĩa 1.6.1) Định lí 3.2.1 Khơng gian tiếp xúc điểm khơng gian tuyến tính chiều với đồ thị tùy ý với Chú ý Định lí 3.1.1 dẫn đến điều sau không gian tiếp xúc thực độc lập đồ thị , từ đồ thị khác quanh tham số hóa hiệu chỉnh, theo Định lí 1.8 (chính xác hơn, thu hẹp phủ mở hai đồ thị, mà tham số hóa hiệu chỉnh) Chú ý thay đổi kí hiệu, footpoint thuộc trái ngược với footpoint trước Với khái quát hóa đa tạp trừu tượng suy nghĩ cung cấp cho đặc tính khác khơng gian tiếp xúc , mà cịn liên quan chặt chẽ đến tính chất Quyển Hình học (Định lí 2.4) Chúng gọi đường cong trơn tham số đường cong tham số ảnh chứa Định lí 3.2.2 Cho Khơng gian tiếp xúc tập vector , vector tiếp xúc theo đường cong tham số , với Chứng minh Cho đồ thị với số Bằng Định nghĩa Như nhận xét Định nghĩa 3.1.1, ánh xạ phép đẳng cấu tuyến tính vào Đối với xác định đường cong tham số cho gần Từ quy tắc dây chuyền dẫn đến điều sau chúng tơi kết luận (3.2) đẳng cấu tuyến tính Đặc biệt, chúng tơi thấy vector vector tiếp xúc đường cong tham số Ngược lại, với đường cong tham số với , xác định đường cong tham số trong vùng lân cận Đây biểu thức tọa độ có liên quan đến Bổ đề 1.8 dẫn đến điều sau đường cong tham số trơn, , từ quy tắc dây chuyền kéo theo Chứng minh bao hàm điều ngược lại Chúng tơi diễn đạt khơng gian tiếp xúc không gian vector tiếp xúc theo đường cong Tuy nhiên, cần phải nhấn mạnh tương ứng đường cong vector tiếp xúc khơng phải 1-1 Nói chung nhiều đường cong khác làm phát sinh vector tiếp tuyến Ví dụ 3.2.1 Cho tập mở, đa tạp , với ánh xạ đồng đồ thị (xem Ví dụ 1.6.3) Không gian tiếp xúc , ánh xạ (3.2) ánh xạ đồng nhất, đạo hàm Ví dụ 3.2.2 Giả sử đa tạp cho phương trình Định lí 1.6, thêm điều kiện có hạng cho Do đó, chúng tơi cho khơng gian tiếp xúc không gian không ma trận , có nghĩa Ở chúng tơi nhớ lại định lí đại số tuyến tính, số chiều không gian không hạng ma trận Yêu cầu thiết lập sau phương pháp Định lí 3.2.1 Nếu vector tiếp xúc, vài đường cong tham số với P Bởi ánh xạ vào , hàm số (với giá trị ), Từ quy tắc dây chuyền mà Do đó, khơng gian tiếp xúc chứa khơng gian rỗng Vì hai khơng gian tuyến tính chiều, chúng phải Ví dụ 3.2.3 Cho C kí hiệu tập hình ví dụ 1.2.2 1.3.5 Các đường cong tham số đường cong tham số đường qua điểm cho với số nguyên lẻ Nếu đường cong , thuộc , theo Định lí 3.2.1 Tuy nhiên, vector độc lập tuyến tính, khơng thể khơng gian tuyến tính chiều Do dẫn đến mâu thuẫn chúng tơi kết luận đường cong (như đề cập ví dụ 1.3.5) 3.3.Khơng gian tiếp xúc trừu tượng Xét đa tạp trừu tượng chiều cho đồ thị Nó khơng có ý nghĩa để lặp lại Định nghĩa 3.1.1 không 10 gian tiếp xúc với , ma trận cấp khơng xác định (khơng có ) Do đó, khơng có ý nghĩa để lặp lại định nghĩa 3.2.1 Thay vào đó, Định lí 3.2.1 nguồn cảm hứng để định nghĩa không gian tiếp xúc Chúng định nghĩa đường cong tham số ánh xạ trơn , với tập mở Qua Định nghĩa (xem Định nghĩa 2.7.2), điều có nghĩa là ánh xạ trơn đồ thị Như trước đây, đồ thị , gọi biểu thức tọa độ với Nếu điểm, đường cong tham số qua , đường cong tham số với điểm mà Cho đường cong tham số với , cho đồ thị quanh , nói Chúng tơi nói tiếp tuyến , biểu thức tọa độ thỏa mãn Bổ đề 3.3.1 Tiếp tuyến quan hệ tương đương đường cong qua Tiếp tuyến độc lập với đồ thị chọn Chứng minh Phát biểu dễ thấy Nếu đồ thị khác biểu thức tọa độ liên hệ phủ mở Nguyên tắc dây chuyền kéo theo đường cong Do đó, quan hệ (3.3) hiểu quan hệ đồng dạng với thay 60 đơn vị Ngoài ra, với tồn cho , , giá Ta cần sửa lại số tập hợp để trở thành Với chọn cho có giá Với , đặt để tổng Lấy trường hợp lại Kết dễ dàng suy Hệ 5.5.1 Cho đa tạp trừu tượng với atlas hữu hạn địa phương, lấy tập hợp đóng, rời Khi tồn hàm trơn nhận giá trị , mà Chứng minh Áp dụng định lí lên phủ với phần bù 5.6.Phép nhúng không gian Euclide Để minh họa cho viẹc sử dụng phân hoạch phần tử đơn vị, ta chứng minh định lí sau đây, mà kiểu khơng đầy đủ định lí Whitney 2.10 Chú ý định lí áp dụng cho đa tạp compact Nhắc lại việc định nghĩa phép nhúng giống phép vi phôi lên đa tạp Định lí 5.6.1 Cho đa tạp trừu tượng mà có hữu hạn atlas Khi tồn số phép nhúng lên Chứng minh Lấy họ đồ thị mà bao gồm atlas Ta chứng minh định lí với giá trị với 61 Chọn phép phân hoạch đơn vị cho với Sự tồn suy từ định lí 5.5 Khi Với đặt để nghịch đảo Đó ánh xạ trơn Ta định nghĩa hàm xác định với bên ngồi tập Khi hàm trơn giá hoàn toàn nên điểm có lân cận hồn toàn nằm hoạc hoàn toàn nằm tập hợp mà , Bây ta định nghĩa ánh xạ trơn Ta chứng tỏ đơn ánh phép đồng phôi lên ảnh Đặt với tập mở phủ lên Tương tự, đặt với với Khi mở Định nghĩa rõ ràng trơn, ta thấy với Điều suy đơn ánh giá trị tọa độ ta kết luận với Trong trường hợp đặc biệt, Ta chọn cho kết luận Hơn nữa, tập mở nghịch đảo cho hạn chế mà liên tục Do phép đồng phơi lên ảnh 62 Với ta thấy hạn chế lên đa tạp tham số hóa nhúng mà ảnh Điều suy đa tạp Ánh xạ trơn song ánh từ ta thấy nghịch đảo có mở rộng trơn địa phương tập Do đó, ánh xạ nghịch đảo trơn vi phơi lên ảnh Ví dụ 5.6.1 xạ ảnh Trong mục 2.4, ta trang bị không gian với atlas bao gồm đồ thị Do đó, từ điều vừa chứng minh suy tồn vi phơi lên (thực ra, đề cặp bên định lí 2.10, tồn phép nhúng lên ) 5.7.Tính liên thơng Trong phần này, hai khái niệm khác tính liên thơng tập không gian topo giới thiệu thảo luận Cho không gian topo khác rỗng 63 Định nghĩa 5.7.1 (1) gọi liên thơng khơng thể tách rời tập mở khác rỗng không giao nhau, tức là, với mở rời nhau, rỗng (và ) (2) gọi liên thông theo đường với cặp điểm tồn số thực ánh xạ liên tục cho (trong trường hợp ta nói kết hợp thành đường liên tục ) (3) Một tập khác rỗng gọi liên thông hay liên thơng theo đường có tính chất không gian topo với topo cảm sinh Định nghĩa “sự liên thông” tiêu chuẩn lý thuyết không gian topo Tuy nhiên, khái niệm “liên thông theo đường” không may bị quy “liên thông” Mối quan hệ xác hai khái niệm giải thích đề mục đề mục Tập rỗng bị loại trừ định nghĩa, ta gọi vừa liên thơng vừa liên thơng theo đường Ví dụ 5.7.1 Tập có phần tử rõ ràng vừa liên thông vừa liên thơng theo đường Ví dụ 5.7.2 Một tập lồi liên thơng theo đường, theo định nghĩa hai điểm nối với thành đường thẳng, đường cơng liên tục, bên Nó suy từ định lí 5.7.3 tập liên thơng 64 Ví dụ 5.7.3 Có chân lý phổ biến, gọi tính giá trị trung gian, hàm thực liên tục chuyển đoạn thành đoạn Từ điều suy tập liên thông theo đường đoạn Ta thấy bên định lí 5.7.1 liên thông đoạn Như tập hai định nghĩa chấp nhận Bổ đề 5.7.1 Cho họ tập , cho tập có tính chất với Nếu tập liên thông, liên thông theo đường cách tách biệt, hợp có tính chất tương tự Chứng minh Giả sử tập liên thông Và giả sử tách hợp rời nhau, mở tương đối Thế thì, với tập mở Do giao mở tương đối với (bao gồm ) Điều suy phân chia rời tập mở, liên thông, nên tập phải tập rỗng, với (bao gồm ) Nếu chứa khác giao không tầm thường với , nên ta kết luận với Do giao với ta kết luận rỗng ta liên thông Kế tiếp giả sử tập liên thơng đường Vì giao khơng tầm thường với điểm nối với điểm đường liên tục Do hai d0iểm nối đường liên tục, kết 65 hợp đường nối chúng với hai điểm , đường nối hai điểm Ví dụ 5.7.4 Cho mặt phẳng gọi hypeboloid tầng Ta chứng minh bổ đề 5.7 liên thông theo đường Đặt với Khi hợp tập liên thơng theo đường ảnh đường cơng liên tục tập đường trịn, liên thông theo đường Cuối cùng, khác rỗng với chứa điểm Định lí 5.7.1 Lấy khác rỗng Khi liên thơng đoạn 66 Chứng minh Giả sử liên thông Đặt Với phần tử với tập tập mở không giao từ định nghĩa suy tập khác rỗng Vì liên thơng nên hợp chúng nên ta kết luận Do đoạn với hai đầu mút Giả sử ngược lại đoạn, với mở, khơng giao khác rỗng Vì chúng có phần bù mở nên đóng Chọn , giả sử Thế đoạn Tập khác rỗng chứa lấy tập tập Vì đóng chứa nên Vì đóng chứa nên điều mâu thuẫn với giả thuyết khơng giao Một tính chất cá tập liên thơng nói định lý kế tiếp, với khái quát tính giá trị trung gian với hàm thực (xem ví dụ 5.7.3) Định lí 5.7.2 Cho ánh xạ liên tục khơng gian topo Nếu liên thơng, ảnh liên thông Tương tự, liên thông theo đường liên thơng theo đường Chứng minh Ta giả sử (nói cách khác ta thay ) 1) Giả sử với mở không giao nhau, đặt Khi mở, khơng giao khơng giao với Do liên thơng rỗng rỗng 2) Nếu nối đường liên tục, nối đường liên tục Định lí 5.7.3 Một khơng gian topo liên thơng đường liên thơng 67 Chứng minh Giả sử liên thông đường không liên thơng Khi với mở, khơng giao khác rỗng Lấy tồn đường liên tục nối với Ảnh hợp hai phần rời Các tập tập mở không gian topo chúng khác rỗng chứa cách Do khơng liên thơng Mặt khác, đoạn liên thơng, nên từ định lí 5.7.2 suy liên thơng, ta có điều mâu thuẫn Phát biểu ngược lại khơng Chẳng hạn tồn tập liên thông khơng liên thơng đường (một ví dụ cho cho đây) Tuy nhiên, với tập mở hai khái niệm tính liên thơng chấp nhận Điều chứng minh phần Ví dụ 5.7.5 Đồ thị hàm số liên thông không liên thông đường 5.8 Các đa tạp liên thông Trong phần ta nghiên cứu mối liên hệ hai dạng liên thông, với trường hợp không gian topo đa tạp trừu tượng Định nghĩa 5.8.1 Không gian topo gọi liên thơng theo đường địa phương có tính chất sau đây: Với lân cận tồn tập mở liên thông theo đường cho 68 Ví dụ 5.8.1 Khơng gian liên thơng theo đường địa phương, cầu mở liên thông theo đường Điều tương tự cho đa tạp trừu tượng, điểm có lân cận có ảnh biểu đồ cầu liên thơng theo đường Bổ đề 5.8.1: Trong không gian topo liên thông theo đường địa phương, tập mở, liên thông liên thông theo đường Chứng minh Với ta viết nối với đường liên tục Dễ thấy quan hệ tương đương Vì mở nên với tồn lân cận mở tồn mở, liên thơng theo đường với Theo với điểm ta có Ta suy lớp tương đương mở Chọn lớp lớp tương đương lấy hợp lớp tương đương cịn lại Thế mở, khơng giao có hợp Vì liên thơng nên rỗng Vì nên ta kết luận Do mõi điểm tương đương với điểm khác, tức liên thơng theo đường Định lí 5.8.1: Cho đa tạp trơn trừu tượng Khi tập mở, liên thông liên thông theo đường Chứng minh Điều suy từ bổ đề 5.8 ví dụ 5.8 Trường hợp đặc biệt, tập mở, liên thông liên thông theo đường 5.9 Các hợp thành 69 Cho không gian topo Ta xác định phân chia thác hợp cá tập liên thông không giao Chẳng hạn, tập hợp tập liên thông, không giao Định nghĩa 5.9.1 Các hợp thành (hay hợp thành liên thông) tập mà liên thông lớn nhất, tức là, liên thơng hồn tồn khơng chứa tập liên thông khác Các hợp thành ln ln đóng Đây hệ bổ đề (chú ý ví dụ trên, thành phần đóng thật ) Bổ đề 5.9.1 Bao đóng tập liên thông liên thông Chứng minh Giả sử tách thành hợp không giao với mở tương đối Khi với tập mở Do tập mở tương đối hai tập chia thành hợp không giao Vì liên thơng, nên hai tập rỗng Nếu chứa phần bù đóng Do chứa phần bù này, ta kết luận rỗng Định lí 5.9.1 hợp rời thành phần Nếu liên thơng theo đường địa phương, chẳng hạn đa tạp trừu tượng, các thành phần mở liên thông theo đường 70 Chứng minh Lấy Từ bổ đề 5.7.1, với ta suy hợp tập liên thông liên thông Rõ ràng hợp liên thơng lớn nhất, thành phần Do hợp hợp thành Hợp rời nhau, hai hợp thành khác chồng lên nhau, hợp chúng liên thông, theo bổ đề 5.7.1 khơng có liên thơng lớn Giả sử liên thông theo đường địa phương lấy hợp thành Với tồn lân cận mở, liên thông theo đường Lân cận liên thông (do tính lớn ) Do mở Bây từ định lí 5.8.1 đưa đến liên thơng theo đường Ví dụ 5.9.1 Cho mặt phẳng gọi hypeboloid hai tầng Ta khẳng định có hai hợp thành Dễ thấy với hợp không giao Việc kiểm tra liên thơng theo đường tương tự ví dụ 5.7.4 71 Hệ 5.9.1 Cho đa tạp trừu tượng Các hợp thành đa tạp trừu tượng (với số chiều) Nếu atlas cho với hợp thành, kết hợp họ đồ thị bao gồm atlas Chứng minh Điều suy từ thực tế hợp thành mở phủ Đặc biệt, hợp thành không chồng lên nhau, nên định hướng hợp thành định hướng 5.10 Định lí Jordan-Brouwer Việc chứng minh định lí sau phức tạp để trình bày Định lí 5.10.1: Cho đa tạp liên thông compact Phần bù bao gồm xác hai phần bù, phần gọi phần ngồi khơng bị chặn phần cịn lại 72 gọi phần bị chặn Mỗi phần bù miền với biên trơn Định lí đường cong Jordan cho mặt phẳng cong trơn thu trường hợp đặc biệt Ví dụ 5.10.1 Ví dụ 5.10 Cho để hình cầu đơn vị phần cầu mở phần tập Hệ 5.10.1 Cho đa tạp compact, liên thơng Khi định hướng Chứng minh Ta cần chứng minh phần bù định hướng được, ta giả sử liên thơng Phần định hướng được, có tập mở Do theo định lí 4.7 định hướng Đặc biệt, mặt phẳng điều định hướng 73 C PHẦN KẾT LUẬN Hình học vi phân lĩnh vực toán học rộng chứa đựng nhiều lạ mà chưa nghiên cứu hết Mơn hình học vi phân tạo mối liên kết lĩnh vực khác toán học góp phần “làm mờ” phân định lĩnh vực đại số, giải tích hình học Thế khả thời gian có hạn nên nghiên cứu lĩnh vực không gian tiếpxúc đa tạp, đa tạp tính chất tơpo đa tạp q trình nghiên cứu giúp chúng tơi cố kiến thức học hiểu thêm kiến thức mà trước chưa tiếp thu qua Mặc dù cố gắng nhiều thời gian nghiên cứu kiến thức hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót Kính mong đóng góp q Thầy, Cơ bạn bè để đề tài hồn chỉnh Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! 74 D TÀI LIỆU THAM KHẢO Lâm Quốc Anh, Hình học vi phân nâng cao, Tủ sách Đại học Cần Thơ, 2014 Lâm Quốc Anh, Đặng Văn Thuận, Giải tích Đa tạp, Tủ sách Đại học Cần Thơ, 2003 Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục Việt Nam, 1989 H Schlichtkrull, Differentiable manifolds: Lecture Notes for Geometry 2, University of Copenhagen ... Bởi vi phân ánh xạ tuyến tính đại diện , yêu cầu tương đương ánh xạ đơn ánh 32 Bằng quy tắc dây chuyền vi phân hợp vi phân vi phân ánh xạ cảm sinh Vi phân phép đẳng cấu theo ví dụ 3.7.2, vi phân. .. hàm Bất đẳng thức số chiều hệ Ánh xạ bao hàm thu hẹp ánh xạ đồng , ánh xạ ánh xạ trơn, Định nghĩa 3.7.1, vi phân điểm thu hẹp vi phân ánh xạ đồng Vi phân ánh xạ đồng ánh xạ đồng nhất, chúng tơi... ánh 38 Ví dụ 4.4.1 Cho hình cầu đơn vị, cho ánh xạ ký hiệu hàm độ cao Ánh xạ ánh xạ trơn, giới hạn ánh xạ , cho Vi phân ánh xạ điểm giới hạn theo vi phân, Suy vi phân tồn ánh khơng trực giao