Tổng hợp Lịch sử Toán các phân môn Toán học bao gồm Lịch sử hình thành, tiểu sử và giai thoại các nhà Toán học, một số trò chơi về Toán học.... LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH LỊCH SỬ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỊCH SỬ HÌNH HỌC SƠ CẤP LỊCH SỬ ĐẠI SỐ LỊCH SỬ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BÁO CÁO TỔNG HỢP LỊCH SỬ CÁC PHÂN MÔN TOÁN HỌC Cán hướng dẫn PGS TS NGUYỄN PHÚ LỘC Học viên thực NGUYỄN THỊ THANH THÙY MSHV M3215030 Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN K22 Tháng 10, 2015 LỜI MỞ ĐẦU Toán học có vai trò quan trọng, học toán giúp người học phát triển trí tuệ lực đồng thời rèn luyện kỹ tư trừ tượng, hợp logic, có phương pháp học tập suy luận khoa học; Toán học môn học xem mang tính trừu tượng cao “khô khan” Cho nên nhiệm vụ người dạy học làm để giảng thêm sinh động, thu hút ý tạo cho người học nhu cầu khám phá tri thức Để góp phần thực nhiệm vụ đó, người dạy học Toán đề cập đến lịch sử hình thành phát triển Toán học có liên quan đến nội dung học trình giảng dạy Tuy nhiên, thực trạng cho thấy việc dạy học Toán vấn đề quan tâm đến vấn đề nhiều lý : hạn chế thời gian đứng lớp, lượng kiến thức phải truyền đạt nhiều, …dẫn đến việc người dạy học có hội tìm hiểu nghiên cứu lịch sử Toán, điều quan trọng người học dạy môn Toán Như việc tìm hiểu kiến thức Lịch sử toán nói chung chương trình Toán THPT nói riêng cần thiết Hơn việc truyền thu lại kiến thức lịch sử Toán thiết thực thú vị Mặt khác, tài liệu Lịch sử Toán ít, chưa có nhiều học viên sâu tìm hiểu vấn đề Với mong muốn phân loại tổng hợp số kiến thức Lịch sử Toán học để nâng cao hiểu biết thân có tảng Toán học để giúp ích cho việc giảng dạy học tập sau này, định thực tiểu luận Bài tiểu luận “Lịch sử phân môn Toán học” có hướng dẫn hỗ trợ nhiệt tình Thầy Nguyễn Phú Lộc giúp đỡ lớp Lý luận phương pháp dạy học Toán khóa 22 trường Đại học Cần Thơ MỤC LỤC LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH PHẦN I SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH -2 PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN PHẦN CÁC NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU 2.1 ISAAC NEWTON - 2.1.1 TIỂU SỬ 2.1.2 THÀNH TỰU TRONG VẬT LÝ VÀ THIÊN VĂN HỌC - 2.1.3 THÀNH TỰU TRONG TOÁN HỌC 2.2 GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ - 12 2.2.1 TIỂU SỬ - 12 2.2.2 MỘT SỐ CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU - 15 2.3 ARCHIMEDES - 23 2.3.1 TIỂU SỬ - 23 2.3.2 CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU - 23 2.4 AUGUSTIN LOUIS CAUCHY 24 2.4.1 TIỂU SỬ - 24 2.4.2 THÀNH TỰU - 27 2.5 GALILEO (1564-1642) 28 2.6 KEPLER (1571-1630) 28 2.7 WALLIS (1616-1703) 29 2.8 ISAAC BARROW (1630-1677) - 29 2.9 HUYGENS (1629-1695) - 29 2.10 TAYLOR (1685-1731) 30 2.11 MACLAURIN (1698-1746) - 30 2.12 EULER (1707-1783) 30 2.13 CLAIRAUT (1713 - 1765) 31 2.14 LAGRANCE (1736 – 1813) - 31 2.15 DÒNG HỌ BERNOULLI - 31 PHẦN 33 MỘT SỐ GIAI THOẠI - 33 3.1 ISAAC NEWTON 33 3.2 LEIBNIZ - 38 3.3 ARCHIMEDES - 39 PHẦN 41 MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN - 41 TRONG DẠY HỌC TOÁN THPT 41 4.1 ỨNG DỤNG LỊCH SỬ PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN TRONG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC 41 4.2 ỨNG DỤNG LỊCH SỬ VI-TÍCH PHÂN TRONG DẠY HỌC CHƯƠNG GIẢI TÍCH LỚP 12 - 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 PHẦN V - 56 TRÒ CHƠI 56 LỊCH SỬ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 57 I LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN - 57 II MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU - 60 APOLLONIUS (262 TCN - 180 TCN) 60 1.1 Tiểu sử - 60 1.2 Đóng góp cho hình học liên quan đến hình học giải tích - 60 NICOLAS ORESME (1323 – 11.7.1382) 62 2.1 Tiểu sử - 62 2.2 Các công trình tiêu biểu Oresme 62 RENÉ DESCARTES (1596 – 1650) 63 3.1 Tiểu sử - 63 3.2 Các công trình tiêu biểu Descartes 64 3.3 Giai thoại Descartes - 65 PIERRE DE FERMAT (1601 – 1665) - 66 4.1 Tiểu sử - 66 4.2 Các công trình tiêu biểu Fermat - 66 4.3 Một số giai thoại Fermat 68 III MỘT SỐ SỰ KIỆN LIÊN QUAN HÌNH GIẢI TÍCH - 70 IV ỨNG DỤNG LỊCH SỬ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - 70 VÀO DẠY HỌC PHỔ THÔNG - 70 I TỔ CHỨC DẠY HỌC BÀI MỚI - 71 II ỨNG DỤNG HÌNH GIẢI TÍCH VÀO GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN - 76 Ứng dụng phương pháp toạ độ Oxy vào việc giải số toán hình học phẳng - 76 Ứng dụng phương pháp toạ độ vào việc giải lớp toán hình học không gian 91 Ứng dụng véctơ để giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức 103 Ứng dụng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 110 IV MỘT SỐ MẪU CHUYỆN VUI 112 V CÂU ĐỐ VUI – CÓ ĐÁP ÁN -114 LỊCH SỬ HÌNH HỌC SƠ CẤP - 116 I LỊCH SỬ TỔNG QUAN - 116 GIAI ĐOẠN PHÁT SINH 117 GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC SƠ CẤP -120 II CÁC NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU - 124 THALES (624 - 548 TCN) -124 PYTHAGORAS (khoảng 570 - 495 TCN) 125 EUDOXUS (khoảng 408 - 355 TCN) 128 PLATON (427 - 347 TCN) -128 EUCLID (khoảng năm 300 TCN) 129 ARCHIMEDES (287 - 212 TCN) -133 APOLLONIUS (262 - 180 TCN) -141 HERON (10 - 75 SCN) -143 MENELAUS (70 - 130 SCN) 144 III ỨNG DỤNG - 147 Ứng dụng 1: Tổ chức buổi sinh hoạt ngoại khóa -147 Ứng dụng Một số toán ứng dụng vào thực tiễn 149 Tài liệu tham khảo - 151 LỊCH SỬ TOÁN ĐẠI SỐ 152 Chương I 152 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN - 152 I.1 KHÁI NIỆM SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ 152 Chương II - 155 CÁC HỆ THỐNG SỐ - 155 CÁCH ĐẾM NGUYÊN THỦY 155 HỆ THỐNG NHÓM ĐƠN -155 HỆ THỐNG NHÓM NHÂN -156 HỆ THỐNG CHỮ SỐ MÃ HÓA 156 HỆ THỐNG CHỮ SỐ VỊ TRÍ -156 HỆ THỐNG CHỮ SỐ INDU- Ả RẬP (ẤN ĐỘ - Ả RẬP) 157 Chương III 158 CÁC GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ - 158 GIAI ĐOẠN PHÁT SINH 158 1.1 Toán học Babylon 158 1.2 Toán học Ai Cập -160 GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC SƠ CẤP ( TK VI-TCN – XVI-SCN) 162 2.1 Đại số thời cổ Hy Lạp -162 Platon (427 428 – 347 TCN) 163 Eudoxus (Khoảng 408 – 355 TCN) -164 Euclid (khoảng năm 300 TCN) -164 Aristotle (384 – 322 TCN) -164 Archimedes (287- 212 TCN) -164 Diophantus (210 – 290) -165 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC KHÁC -167 2.2 Đại số Trung Quốc cổ -167 2.3 Đại số Ấn Độ cổ 168 2.4 Đại số Ả Rập 168 2.5 Đại số châu Âu (từ 500 đến 1600) -169 GIAI ĐOẠN CAO CẤP CỔ ĐIỂN (thế kỷ XVII – XVIII) -176 3.1 Sơ lược phát triển Toán học giai đoạn -176 3.2 Sự phát triển Đại số giai đoạn -177 3.3 Một số nhà Toán học tiêu biểu 178 3.3.1 Thomas HARRIOT (1560 – 02.07.1621) -178 3.3.2 Albert GIRARD (1595 – 1632) 178 3.3.3 Rene DESCARTES (31.03.1596 – 11.02.1650) -179 3.3.4 Pierre de FERMAT (17.08.1601 – 12.01.1665) -179 3.3.5 Gottfried Wihelm LEIBNITZ (01.07.1646 – 14.11.1716) -181 3.3.6 Isaac NEWTON (25.12.1642 – 31.03.1727) -183 3.3.7 Roger COTES (10.07.1682 – 05.06.1716) 185 3.3.8 Pierre BOUGUER (16.02.1698 – 15.08.1758) -186 3.3.9 Gabriel CRAMER (31.07.1704 – 04.01.1752) -186 3.3.10 Leonhard EULER (15.04.1707 – 18.09.1783) -187 3.3.11 Joseph Louis LAGRANGE (25.01.1736 – 10.04.1813) 191 3.3.12 Eienne BEZOUT (31.03.1730 – 27.09.1783) -192 3.3.13 Bernhard BOLZANO (05.10.1781 – 18.12.1848) -192 3.3.14 Một số nhà toán học tiêu biểu khác -193 GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI 194 4.1 Đặc điểm đại số 194 4.2 Các nhà toán học tiêu biểu -196 4.2.1 Carl Friedrich GAUSS (1777 - 1855) 196 4.2.2 Niel Herik ABEL (1802 – 1829) -203 4.2.3 William Rowan HAMILTON (04.08.1805 – 02.09.1865) -205 4.2.4 Evariste GALOIS (26.10.1811 – 31.05.1832) 207 4.2.5 Peter Gustav Lejeune DIRICHLET (13.02.1805 – 05.05.1859) -210 4.2.6 George BOOLE (2.11.1815 - 08.12.1864) -210 4.2.7 Jean Gaston DARBOUX (13.08.1842 – 23.02.1917) -211 4.2.8 Georg CANTOR (03/03/1845 – 06/01/1918) 212 4.2.9 Jules Henri POINCARE (29.04.1854 – 17.06.1912) -214 4.2.10 David HILBERT (23.01.1862 – 14.02.1943) -216 4.2.11 Henri Paul CARTAN (08.07.1904 – 2008) -218 4.2.12 Peter Jephson Cameron (23.1.1947 - ) 219 Chương IV 220 ỨNG DỤNG VÀO DẠY HỌC Ở PHỔ THÔNG - 220 TÀI LIỆU THAM KHẢO 223 LỊCH SỬ XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN 224 PHẦN 224 LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN BỘ MÔN - 224 XÁC SUẤT THỐNG KÊ - 224 1.1 Giai đoạn đầu (từ thời trung đại (Moyen-age) đến nửa đầu TK XVII): -224 1.2 Giai đoạn thứ hai (từ nửa sau kỷ XVII đến cuối kỷ XVII): 226 Vấn đề tính xác suất biến cố đồng khả không đồng khả -226 1.3 Giai đoạn thứ ba (từ đầu kỷ XVIII đến cuối kỷ XIX): 230 Sự nảy sinh tiếp cận “thống kê” xác suất định nghĩa xác suất Laplace 230 1.4 Giai đoạn thứ tư (thế kỷ XX): -234 Giai đoạn toán học đại vấn đề tiên đề hóa lý thuyết xác suất -234 PHẦN II - 237 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU - 237 2.1 BLAISE PASCAL (1623 - 1662) 237 2.2 HUYGENS (1629 – 1695) -246 2.3 ABRAHAM DE MOIVRE (1667 - 1754) 249 2.4 GAUSS (1777 - 1855) 253 2.5 BERNSTEIN (1880 - 1968) -255 2.6 KOLMOGOROV (1903 – 1987) 256 2.7 POISSON (1781 – 1840) 259 2.8 JACOB BERNOULLI (1655 - 1705) -262 Công trình quan trọng -263 2.9 CARDANO (1501 – 1576) -265 2.10 PIERRE SIMON LAPLACE (1749 - 1827) -267 PHẦN III 270 MỘT SỐ SỰ KIỆN CỦA LỊCH SỬ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT - 270 I Những vấn đề XSTK xuất Thế kỷ thứ 17 -270 II.Những vấn đề XSTK xuất Thế kỷ thứ 19 277 PHẦN 281 ỨNG DỤNG CỦA XÁC SUẤT THỐNG KÊ - 281 A CÁC CÂU CHUYỆN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT -281 B MỘT SỐ VẤN ĐỀ RỦI MAY LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT -283 C MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA XÁC SUẤT – THỐNG KÊ TRONG ĐỜI SỐNG HÀNG NGÀY 288 LỊCH SỬ SỐ PHỨC 292 LỜI MỞ ĐẦU 292 TỔNG QUAN VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN SỐ PHỨC 292 1.1 Giai đoạn 1: Giai đoạn “Cách viết trung gian” -292 1.2 Giai đoạn 2: Kí hiệu hình thức đại lượng ảo -295 1.3 Giai đoạn 3: Biểu diễn hình học đại lượng ảo 296 1.4 Giai đoạn 4: Đại số số phức 298 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU 301 2.1 CARDANO (1501 – 1576) 301 2.2 Abraham De Moivre (1667 - 1754) -303 2.3 Leonhard Euler (1707-1783) -306 2.4 Jean le Rond d'Alembert (1717 – 1783) -310 2.5.Gauss (1777 – 1855) 313 2.6 Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) -315 MỘT SỐ SỰ KIỆN TOÁN HỌC - 320 MỘT SỐ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG DẠY HỌC PHỔ THÔNG - 322 4.1 Ứng dụng số phức lượng giác: -322 4.2 Ứng dụng số phức tổ hợp -324 4.3 Ứng dụng số phức giải hệ phương trình đại số -326 Ứng dụng số phức hình học phẳng 327 TRÒ CHƠI – ĐỐ VUI - 330 TÀI LIỆU THAM KHẢO -331 LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH PHẦN I SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN Trong lịch sử toán học, thấy Toán học có bốn giai đoạn khác rõ ràng chất: Giai đoạn 1: Thời kì “ Ra đời toán học” với tư cách ngành khoa học độc lập Nó đâu chiều sâu lịch sử kéo dài đến khoảng kỉ 6-5 trước CN Giai đoạn 2: Thời kì “ Toán học sơ cấp” toán học đại lượng không đổi, kéo dài đến khoảng cuối kỉ 17, mà ngành toán học mới, toán học “ cao cấp” phát triển sâu Giai đoạn 3: Thời kì “ Toán học biến thiên” với đời phát triển giải tích toán học, nghiên cứu trình vận động phát triển chúng Giai đoạn 4: Thời kì “Toán học đại” với nét đặc trưng nghiên cứu có ý thức có hệ thống loại hình quan hệ định lượng hình thể không gian Hình học không nghiên cứu không gian ba chiều có thực, mà hình thể không gian tương tự Giải tích toán học xét đại lượng “ biến thiên phụ thuộc” không biến số, mà đường (hàm) đó; điều đưa tới khái niệm “ phiếm hàm” “ toán tử” Và “ Đại số học” chuyển thành lí thuyết phép tính đại số với phần tử có chất bất kì, miễn phép tính thực với chúng Thời kì toán học nửa đầu kỉ 19 Thành tựu bật kỷ XVII phát minh phép tính vi – tích phân vào cuối kỷ Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH Tuy nhiên ý tưởng giúp hình thành môn vi tích phân phát triển qua thời gian dài Các nhà toán học Hi Lạp người bước tiên phong Leucippus, Democritus Antiphon có đóng góp vào phương pháp “vét kiệt” người Hi Lạp, sau Euxodus, sống khoảng 370 trước CN, nâng lên thành lí luận khoa học Sở dĩ gọi phương pháp “vét kiệt” ta xem diện tích hình tính vô số hình, lúc lấp đầy hình Phương pháp “vét kiệt” xem tiền thân phép tính vi phân tích phân Và phương pháp Archimedes (287-212 B.C) sử dụng thành thạo, nhờ mà ông tìm diện tích thể tích nhiều hình khác Mãi đến kỷ XVII nhu cầu giải toán lớn thời đại; Bài toán 1: Tìm tiếp tuyến đường cong Bài toán 2: Tìm độ dài đường cong Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng , ví dụ tìm khoảng cách gần xa hành tinh mặt trời, khoảng cách tối đa mà đạn đạo bay tới theo góc bắn Bài toán 4: Tìm vận tốc gia tốc vật thể theo thời gian biết phương trình vật thể Có nhiều nhà toán học kế thừa cải tiến dần phương pháp “vét kiệt” dần tiếp cận tới phép tính vi tích phân : Kepler, Galileo, Wallis, Fermat, Cavalieri, Huygens, … Ví dụ : Kepler tính xấp xỉ diện tích vật thể tròn xoay Galileo nhận biết diện tích phần giới hạn thời gian đường cong vận tốc biểu diễn quãng đường Wallis áp dụng phương pháp phân chia nhỏ vô hạn để tính nhiều toán cầu phương nhiều kết hữu ích khác Phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm đa thức Fermat tương đương với phương pháp đại tìm đạo hàm hàm số cho đạo hàm không LỊCH SỬ SỐ PHỨC 317 đánh bại Waterloo, vua Louis XIII lên nắm quyền Viện Hàn lâm Khoa học Pháp tái thành lập Lazare Carnot Gaspard Monge bị gỡ bỏ khỏi Học viện lý trị, nhà vua bổ nhiệm Cauchy để thay số họ Thành tựu Cauchy Ông viết 700 công trình toán học, có công trình đặt sở cho toán học đại lý thuyết hàm, vật lý toán giải tích toán học Định nghĩa giới hạn, tính liên tục, đạo hàm với tính cách giới hạn tỉ số hai số gia, tích phân giới hạn tổng, chủ yếu Cauchy đề nghị Cauchy viết nhiều sâu sắc hai lĩnh vực toán học tuý toán học trừu tượng Ông phát triển lý thuyết chuỗi, lý thuyết định thức, phép tính tích phân, phương trình vi phân, lý thuyết hàm biến phức Ông có hàng loạt công trình cho lĩnh vực hình học, đại số lý thuyết số, lý thuyết đàn hồi Trong quang học, Cauchy phát triển lý thuyết Fresnel lý thuyết tán sắc Ông xếp ngang hàng với Euler số công trình công bố Cauchy có đóng góp mang tính chất “canh tân” bật đường nghiên cứu toán học kỷ XIX: ông người đưa chặt chẽ vào toán học,trước nhà toán học dễ dãi Ngoài ra, ông người góp phần xây dựng lý thuyết nhóm Từ phương pháp Lagrange lý thuyết phương trình, Cauchy thấy điều cốt lõi để hệ thống thành sở lý thuyết nhóm Ông nhìn thấy tính chất đối xứng công thức đại số phép nhân tính chất chúng dẫn đến lý thuyết nhóm Cauchy chết đột ngột vào ngày 23 tháng năm 1857 Một vài trước mất, Cauchy nói với tổng giám mục Paris:; “Con người mất, công trình họ lại” 2.7 Lê Văn Thiêm (1918 – 1991) Ông sinh ngày 29/3/1918 xã Trung Lễ, huyện Đức Thọ, tỉnh Hà Tỉnh ngày 03/7/1991 thành phố Hồ Chí Minh.Năm 1939 ông thi đỗ thứ nhì kỳ thi kết thúc lớp P.C.B (Lý – Hóa – Sinh) cấp học bổng sang Pháp du học trường Đại học sư phạm Paris (Escole Normale Supérieure) Ông tốt nghiệp Thạc sỹ năm 1943 Paris, sau ông sang làm luận án Tiến sỹ đại học tổng hợp Göttingen (Đức) Và đây, năm 1945, ông bảo vệ thành công luận án tiến LỊCH SỬ SỐ PHỨC 318 sĩ toán học giải tích phức Ông người Việt Nam mời làm Giáo sư toán học học Đại học tổng hợp Zurich (Thụy Sĩ, 1949) Ông người giải Bài toán ngược Lý thuyết phân phối giá trị hàm phân hình, trở thành kết kinh điển lý thuyết Năm 1963, nghiên cứu công trình ứng dụng hàm biến phức lý thuyết nổ, lý thuyết đàn hồi, chuyển động chất lỏng nhớt, vận dụng phương pháp Lavrentiev, Giáo sư Lê Văn Thiêm học trò tham gia giải thành công số vấn đề thực tiển Việt Nam: Tính toán nổ mìn buồng mỏ đá Núi Voi để lấy đá phục vụ xây dựng khu gang thép Thái Nguyên (1964); Phối hợp với Bộ Quốc phòng lập bảng tính toán nổ mìn làm đường (1966) Nhiều vấn đề lớn đất nước như: Tính toán nước thấm chế độ dòng chảy cho đập thủy điện Hòa Bình, Vĩnh Sơn Tính toán chất lượng nước cho công trình thủy điện Trị An,… giáo sư Lê Văn Thiêm cộng nghiên cứu giải Lê Văn Thiêm đề xuất phương pháp sử dụng nguyên lý thác triển đối xứng hàm giải tích để tìm nghiệm tường minh cho toán thấm môi trường không đồng chất Công trình đánh giá cao, đưa vào sách chuyên khảo “ The Theory of Groundwater Movement” (Lý thuyết chuyển động nước ngầm) nữ viện sĩ người Nga P Ya Polubarinova Kochina, xuất Matxcơva năm 1977 Ông giữ vị trí đại diện toàn quyền Việt Nam Viện Liên hợp Nghiên cứu Hạt nhân Dubna, Liên Xô (1956 – 1980) Ông tác giả khoảng 20 công trình toán học đăng tạp chí quốc tế Ông chủ biên nhiều sách toán học Trong có sách chuyên khảo: Một số vấn đề toán học lý thuyết đàn hồi (1970) Một số vấn đề toán học chất lỏng nhớt (1970) Ông Nhà nước Việt Nam trao tặng Giải thưởng Hồ Chí Minh đợt năm 1996 Giáo sư Lê Văn Thiêm Hiệu trưởng hai trường Đại học Khoa học bản, Sư phạm Cao cấp (1950 – 1954), Giám đốc Đại học Khoa học Hà Nội (1954 – 1956), Phó Hiệu trưởng trường Đại học Tổng hợp Hà Nội (1956 – 1970) Viện trưởng Viện Toán học (1970 – 1980) Hội trưởng Hội Toán học Việt Nam (1966 – 1988), LỊCH SỬ SỐ PHỨC 319 Tổng biên tập hai tạp chí “Acta Mathematica Vietnamica” “Vietnam Journal of Mathematics” Để ghi nhận đóng góp ông, nươc ta có giải thưởng mang tên ông, “Giải thưởng Lê Văn Thiêm” Hội Toán học Việt Nam danh cho người nghiên cứu, giảng dạy toán học sinh giỏi toán xuất sắc Việt Nam trao năm Đầu năm 2007, Hà Nội có đường Lê Văn Thiêm nối từ đường Lê Văn Lương đến đường Nguyễn Huy Tưởng Lê Văn Thiêm nhà toán học Việt Nam đương đại đặt tên đường LỊCH SỬ SỐ PHỨC 320 MỘT SỐ SỰ KIỆN TOÁN HỌC 3.1 Năm 1535 Tartaglia tìm cách giải phương trình bậc ba tổng quát Nhà Toán học Niccolo Fontana (1499-1557) sống công cuốc Venezia (nay thành phố Italia) với biệt danh Tartaglia (kẻ nói lắp).Tartaglia có tuổi thơ đầy bất hạnh Năm ông 13 tuổi quân Pháp tràn vào quê hương ông, cha ông (một người đưa thư) dắt ông chạy trốn vào nhà thờ với người làng Không may họ bị phát thảm sát diễn ngày nhà thờ ấy: Cha ông bị giết chết, Tartaglia bị chém ngang mặt cắt đứt miệng lưỡi…Người mẹ nỗ lực cuối tìm thấy đứa trai người chồng chết Chẳng thể có tiền lo thuốc thang điều trị cho đứa trai, bà nhớ lại chó bị thương thường hay liếm vào vết thương, thật thần kì với cách chạy chữa đặc biệt mà vết thương Tartaglia bình phục Mẹ ông gom góp đủ tiền để ông học 15 ngày quãng thời gian ngắn ngủi Tartaglia tìm cách trộm đánh vần tự học cách đọc viết Tartaglia với vòm miệng bị hỏng nói khó khăn sống nghèo khổ tự học thành tài nhiều người kính phục Tartaglia bị vướng vào thách đấu Toán học giải phương trình bậc khác với nhóm môn đệ Del Ferro (nhà Toán học tìm cách giải lớp phương trình bậc đặc biệt) Bởi đến thời điểm chưa có tìm cách giải phương trình bậc tổng quát nên thách đấu quan tâm giới Toán học Châu âu thời Cảm thấy nao núng đối thủ tự tin, Tartaglia miệt mài suy nghĩ trước kì thi ngày ông tìm cách giải tổng quát Vào ngày 22-2-1535, nhà toán học người hâm mộ nhiều nước châu Âu kéo thành phố Milan để dự thi tài Mỗi bên cho đối phương 30 phương trình bậc khác giải 2h Và nhóm Ferro giải lớp phương trình bậc đặc biệt Tartaglia nắm giữ tay “Cửu âm chân kinh” ông sáng tạo nên bất ngờ tỉ số trận đấu 30:0 Tartaglia trở nên tiếng khắp Châu Âu sau thành công vang dội này, dù ông giữ kín bí mật cách giải 3.2 Năm 1545 Cardono công bố cách giải phương trình bậc ba tổng quát tác phẩm “Nghệ thuật vĩ đại hay quy tắc đại số học” LỊCH SỬ SỐ PHỨC 321 Cardano, bác sĩ yêu Toán, ông nghiên cứu đề tài nhiều năm mà chưa có kết Cardano nhiều lần thuyết phục Tartaglia chia sẻ bí mật Tartaglia chấp thuận với lời tuyên thệ không tiết lộ cho Tuy vậy, Cardano nuốt lời Ông công bố cách giải sách “Nghệ thuật lớn phép giải phương trình đại số” lời nói đầu sách ông có xác nhận cách giải Tartaglia, giới Toán học dường nhớ đến ông nhắc đến phát minh Cũng dễ hiểu Tartaglia bị tổn thương nào, tranh luận lớn nổ ra, lần trước Tartaglia gửi đến lời thách đấu Không may cho Tartaglia, lần ông không ngờ Lodovico Ferrari, học trò tài ba Cardano từ phương pháp thầy truyền lại tìm cách giải tổng quát cho phương trình bậc Và vậy, tranh luận Tartaglia thất bại cay đắng mang nỗi uất hận lòng ông mất… Trên phương diện người bạn, Cardano hành xử không Nhưng phủ nhận rằng, việc công bố rộng rãi phát minh giúp ích nhiều cho phát triển Toán học 3.3 Năm 1722, ABRAHAM DE MOIVRE (1667 - 1754) tìm công thức De Moivre Năm 1707 de Moivre xuất phát: cos x 1 1 cos nx i sin nx n cos nx i sin nx n 2 mà ông chứng minh cho tất giá trị thiếu tích cực n Năm 1722, ông đề nghị hình thức biết đến nhiều công thức de Moivre cos x i sin x n cos nx i sin nx 3.4 Năm 1735 LEONHARD EULER (1707-1783) tìm đồng thức EULER LEONHARD EULER đưa biểu thức tiếng toán học, sợi dây liên hệ hàm số mũ phức hàm số lượng giác, hay gọi đồng thức Euler: ei hay ei cos i sin LỊCH SỬ SỐ PHỨC 322 MỘT SỐ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG DẠY HỌC PHỔ THÔNG 4.1 Ứng dụng số phức lượng giác: Số phức có nhiều ứng dụng toán liên quan đến lượng giác Có toán lượng giác gây cho ta nhiều khó khăn việc tìm tòi lời giải Ở đây, ta ứng dụng số phức để giải cách đơn giản toán dạng Muốn làm tốt tập đó, ta cần ý đến dạng lượng giác số phức, công thức Moa-vrơ Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: A cos x cos 2x cos 9x B sin x sin 2x sin 9x Bài giải : Ta xét biểu thức: A iB (1 cos x cos x cos x) i (sin x sin x sin x) (cos x i sin x) (cos x i sin x)2 (cos x i sin x)9 (cos x i sin x)10 (cos10 x i sin 10 x) sin x 2i sin x cos x x x x (cos x i sin x) (cos x i sin x) sin 2i sin cos 2 cos( x) sin x sin x x x 2 [cos(5 x ) i sin( x )] x x x x 2 sin cos( ) i sin( ) sin 2 2 2 sin x 9x 9x [cos i sin ] x 2 sin Vậy A sin x 9x cos x sin x) i sin( x) i sin( x) sin x sin x i cos x sin x 2 x x x x x x sin sin i cos sin cos( ) i sin( ) 2 2 2 2 cos( ;B sin x 9x sin x sin Ví dụ 2: Chứng minh công thức lượng giác sau: cos x 16 cos5 x 20 cos3 x cos x sin x 16 sin x 20 sin x sin x LỊCH SỬ SỐ PHỨC 323 Bài giải: Theo công thức Moivre, ta có: cos x i sin x (cos x i sin x)5 cos x i sin x cos5 x 5i cos x sin x 10 cos x sin x 10i cos x sin x cos x sin x i sin x cos x 10 cos x sin x cos x sin x i (5 cos x sin x 10 cos x sin x sin x) ĐĐồng hai vế, ta được: cos x cos x 10 cos x sin x cos x sin x cos x 10 cos x.(1 cos x) cos x.(1 cos x cos x) cos x 10 cos x 10 cos x cos x 10 cos x cos x 16 cos x 20 cos x cos x sin x cos x sin x 10 cos x sin x sin x 5(1 sin x sin x) sin x 10(1 sin x) sin x sin x sin x 10 sin x sin x 10 sin x 10 sin x sin x 16 sin x 20 sin x sin x Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho a; b; c số thực thoả mãn sin a sin b sin c cos a cos b cos c Chứng minh rằng: sin 2a sin 2b sin 2c cos 2a cos 2b cos 2c Bài giải: Đặt z1 cos a i sin a; z2 cos b i sin b; z3 cos c i sin c Ta có: z1 z2 z3 0; z1 z2 z3 zk (k 1; 2; 3) zk z12 z22 z32 ( z1 z2 z3 ) 2( z1z2 z2 z3 z3 z1 ) Do đó, z1z2 z3 ( 1 ) z3 z1 z2 2 z1z2 z3 ( z3 z1 z2 ) 2 z1z2 z3 ( z1 z2 z3 ) Mà: z12 z22 z32 (cos a i sin a) (cos b i sin b) (cos c i sin c) cos 2a cos 2b cos 2c i (sin 2a sin 2b sin 2c) Từ đó, ta có điều phải chứng minh LỊCH SỬ SỐ PHỨC 324 4.2 Ứng dụng số phức tổ hợp Số phức có nhiều ứng dụng toán liên quan đến tổ hợp Có nhiều toán gây cho ta khó khăn việc tìm tòi lời giải Muốn giải toán này, ta cần ý đến dạng lượng giác số phức, công thức Moa-vrơ khai triển nhị thức Newtơn Ví dụ 1: Tính tổng: 2006 2008 A C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 2007 2009 B C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 Bài giải: 2008 2009 xC2009 x 2C2009 x 2008C2009 x 2009C2009 Xét khai triển: (1 x) 2009 C2009 Cho x i, ta có: 2006 2008 2007 2009 (1 i ) 2009 (C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 ) i (C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 ) Mặt khác, ta tính (1 i)2009 theo dạng lượng giác số phức áp dụng công thức Moivre ta được: 2009 2009 1004 1004 (1 i ) 2009 ( ) 2009. cos i sin i.2 4 Vậy ta có: 2006 2008 A C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 21004 2007 2009 B C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 21004 Ví dụ 2: Tính tổng với n (a R): A Cn0 cos a Cn1 cos 2a Cn2 cos 3a Cnn 1 cos na Cnn cos( n 1)a B Cn0 sin a Cn1 sin 2a Cn2 sin 3a Cnn 1 sin na Cnn sin( n 1)a Bài giải: Đặt z cos a i sin a z n cos na i sin na Do đó, ta có: A iB Cn0 (cos a i sin a ) Cn1 (cos 2a i sin 2a ) Cn2 (cos 3a i sin 3a ) Cnn 1 (cos na i sin na) Cnn (cos( n 1)a i sin( n 1)a) z (Cn0 Cn1 z Cn2 z Cnn 1 z n 1 Cnn z n ) z (1 z ) n LỊCH SỬ SỐ PHỨC a 2 a 325 a 2 Vì z cos a i sin a cos cos i sin nên: n a a a a na na A iB (cos a i sin a) 2 cos cos i sin 2n cos n (cos a i sin a) cos i sin 2 2 2 a n2 n2 2n cos n cos a i sin a 2 2 a Vậy A 2n cos n cos n2 a; a n2 B 2n cos n sin a 2 18 20 20.310 C20 Ví dụ 3: Tính tổng: S 2.3C202 4.32 C204 6.33 C206 18.39 C20 Bài giải: Xét khai triển: 19 20 (1 3x)20 C20 ( 3x)C20 ( 3x)2 C20 ( 3x)3 C20 ( 3x)19 C20 ( 3x)20 C20 Đạo hàm hai vế, ta có: 19 20 20 3(1 3x)19 3C20 2.3xC20 3.( 3)3 x2C20 19.( 3)19 x18C20 20.310 x19C20 Cho x i, ta có: 19 20 20 3(1 3i)19 3C20 2.3iC20 3.( 3)3 C20 4.32 iC20 19.( 3)19 C20 20.310 iC20 17 19 3C20 3.( )3 C20 5.( )5 C20 17.( )17 C20 19.( )19 C20 18 20 2.3C20 4.32 C20 6.33 C20 18.39 C20 20.310 C20 i Mặt khác: LỊCH SỬ SỐ PHỨC 326 19 19 1 19 20 (1 3i ) 20 3.2 i 20 3.2 cos i sin 3 2 19 19 19 19 19 20 3.219 cos i sin i 20 3.2 3 2 10 3.219 30.219 i So sánh phần ảo 20 (1 3i )19 hai cách tính trên, ta có: 18 20 S 2.3C20 4.32 C20 6.33 C20 18.39 C20 20.310 C20 30.219 4.3 Ứng dụng số phức giải hệ phương trình đại số Qua phần ứng dụng số phức toán lượng giác tổ hợp, thấy sức mạnh công cụ số phức Ở sử dụng công cụ số phức để giải toán giải hệ phương trình mà giải phương pháp thông thường gặp khó khăn định x xy2 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau tập số thực: y 3x y Bài giải: Đây hệ phương trình đẳng cấp bậc ba Tuy nhiên, giải phương pháp thông thường ta đến giải phương tình bâc ba với nghiệm không đặc biệt Do đó, ta sử dụng công cụ số phức để giải toán Xét số phức: z x iy Vì z x3 3xy2 i(3x y y ) nên từ hệ cho, ta có: z 1 3i cos 2 2 i sin , ta tìm ba giá trị z là: 3 2 2 cos i sin ; 9 8 8 cos i sin ; 9 14 14 cos i sin 9 Từ đó, ta suy hệ cho có ba nghiệm là: 2 8 14 3 x cos x cos x cos ; ; y sin 2 y sin 8 y sin 14 9 LỊCH SỬ SỐ PHỨC 327 10 x 1 5x y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau tập số thực: y 1 1 x y Bài giải: Từ hệ suy ra: x 0; y Đặt: u 5x ; v y (u , v 0) Hệ cho trở thành: u1 u v v1 1 u v (I ) Đặt: z u iv Ta có: u iv Từ hệ (I ) ta suy ra: z u v2 u 1 iv 1 i u v u v u iv u iv 3 i u v z 3 2i z (3 2i ) z z () Giải phương trình () , ta có 34 12 2i ( 6i) Suy nghiệm là: z 2i ; z 2i Vì u , v nên nhận z 2 2i u Khi đó: 2 v 5x x hay 10 y 1 y 1 ;1 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) Ứng dụng số phức hình học phẳng Một ứng dụng quan trọng số phức với toán sơ cấp giải toán hình học phẳng Số phức công cụ mạnh việc khảo sát sâu sắc vấn đề mặt phẳng Tuy nhiên, muốn giải toán hình học phẳng số phức, phải chuyển đổi quan hệ mặt phẳng thành điều kiện liên quan đến số phức Những kiến thức cần chuẩn bị: LỊCH SỬ SỐ PHỨC 328 - Trong mặt phẳng phức, điểm A, B có tọa độ a, b độ dài đoạn thẳng AB AB a b - Nếu O gốc tọa độ OA a ; OB b - Một số đẳng thức đại số: Với a, b, c thoả mãn điều kiện xác định biểu thức, ta có: (1) ab(a b) bc(b c) ca(c a ) (a b)(b c)(c a ) (2) a (b c) b (c a ) c (a b) (a b)(b c)(c a ) (3) a (b c) b3 (c a ) c (a b) (a b)(b c)(c a )( a b c) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC điểm M mặt phẳng Chứng minh rằng: a.MB.MC b.MC.MA c.MA.MB abc với a BC ; b AC; c AB Bài giải: Xét mặt phẳng phức có M gốc tọa độ Gọi tọa độ điểm A, B, C x, y, z Ta có MA x , MB y , MC z c AB x y , a BC y z , b CA z x Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: y z y z z x z x x y x y y z z x x y Ta có: VT y z y z z x z x x y x y ( y z ) yz ( z x) zx ( x y ) xy ( y z ) yz ( z x) zx ( x y ) xy Theo (1) thì: ( y z) yz ( z x) zx ( x y) xy ( x y)( y z)( z x) Mà: ( x y)( y z)( z x) abc VP Ta có điều phải chứng minh (Dấu đẳng thức xảy M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC điểm M mặt phẳng Chứng minh rằng: a.MA2 b.MB c.MC abc với a BC ; b AC; c AB Bài giải: Xét mặt phẳng phức có M gốc tọa độ Gọi tọa độ điểm A, B, C x, y, z Ta có MA x , MB y , MC z c AB x y , a BC y z , b CA z x LỊCH SỬ SỐ PHỨC 329 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: y z x2 z x y x y z y z z x x y Ta có: VT y z x z x y x y z x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) Và theo ( 2) thì: x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) ( x y )( y z )( z x Mà ( x y)( y z)( z x abc VP Ta có điều phải chứng minh (Dấu đẳng thức xảy M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ) LỊCH SỬ SỐ PHỨC Ví dụ 3: Cho tam giác ABC điểm M mặt phẳng Chứng minh rằng: a 2b c với a BC ; b AC; c AB MA MB MC a b2 c2 4 Bài giải: Theo bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – xki, ta có: (a.MA2 b.MB c.MC )2 (a b2 c )( MA4 MB MC ) Suy ra: MA4 MB MC (a.MA2 b.MB c.MC ) a b2 c2 Mà theo ví dụ 2, ta có: a.MA2 b.MB c.MC abc Do đó: MA4 MB MC (abc) a b2 c Ta có điều phải chứng minh TRÒ CHƠI – ĐỐ VUI 330 LỊCH SỬ SỐ PHỨC 331 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Cang (1999), Lịch sử toán học, NXB Trẻ Nguyễn Bá Đô, Hồ Châu (2003), Các câu chuyện toán học, tập 2, NXB Giáo dục Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục Mai Xuân Thảo, Trần Trung (2014), Giáo trình lịch sử toán học, NXB Giáo dục Việt Nam Trần Thị Thanh Thúy (1999), “Dạy học khám phá môn Lịch sử toán học”, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Khoa Sư phạm Đại học Cần Thơ, năm 1999, tr 11–16 Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ: “Vai trò phân tích khoa học luận lịch sử toán học nghiên cứu thực hành dạy – học môn Toán” Lê Thị Hoài Châu Lê Văn Tiến, TPHCM 2003 Toán học giới ngày nay, Trần Trịnh Ninh, Trần Trí Đức (dịch), NXB Khoa Học Kĩ Thuật, Hà Nội 1976 A short history of Complex Numbers, Orlando Merino, 2006 1.2 [...]... một hệ thống các quy tắc giải tích hình thức cho phép tính vi tích phân Về sau, Cauchy và những người tiếp sau trong thế kỷ XIX đã phát triển các khái niệm cơ bản của giải tích trên cơ sở chặt chẽ Sự ra đời của phép tính vi – tích phân đã đưa toán học sang một giai đoạn toán cao cấp, gần như kết thúc giai đoạn của toán học sơ cấp Từ đối tượng nghiên cứu là các số và hình ở dạng tĩnh tại, toán học bước... 2.6 KEPLER (1571-1630) LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH 29 Johennes Kepler là một nhà thiên văn học, toán học và vật lý học tài năng người Đức Ông là một trong những người đi tiên phong trong phép tính vi – tích phân Để tính được diện tích trong định luật II, ông phải dựa vào một dạng thô sơ của phép tính tích phân Ngoài ra ông còn đóng góp nhiều trong hình học không gian và hình học giải tích 2.7 WALLIS (1616-1703)... dàng e) CÁC CÔNG TRÌNH TOÁN HỌC KHÁC Khái niệm định thức năm 1698.Với A là ma trận vuông cấp n thì: det( A) n sgn( ) ai Sn i 1 Lý thuyết về đại số logic Lý thuyết hình bao Các dấu ‘ ’, ‘ : ’ , ‘=’ một cách có hệ thống Thuật ngữ “hàm số , “hằng số , “biến số , “tham số , “tọa độ”,… Hệ nhị phân 20 LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH 21 f) CÔNG TRÌNH VẬT LÝ HỌC Leibniz đã có ý tưởng sử dụng năng lượng gió... tính vi – tích phân, trong thế kỷ này đa phần toán học là mục tiêu trong các lĩnh vực cơ học và thiên văn học LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH 6 PHẦN 2 CÁC NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU 2.1 ISAAC NEWTON Isaac Newton là một trong những thiên tài lớn nhất thế giới, Newton là nhà toán học và thiên văn học, ông cũng là nhà vật lý và cơ học, hóa học, về lý thuyết lẫn thực nghiệm Chế ra kính thiên văn, phát minh Toán vi phân... vào học đại học trường của cha ông vào năm 14 tuổi, và hoàn thành bằng đại học năm 20 tuổi, chuyên về luật và nắm vững các khóa học đại học trong các môn cổ điển, logic, triết học Tuy nhiên, giáo dục của ông về toán không thỏa mãn tiêu chuẩn của Pháp và của Anh LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH 13 Vào năm 1666 (20 tuổi), ông xuất bản cuốn sách đầu tiên của ông, cũng là luận án habilitation của ông về triết học, ... trên trường số phức, định lý trên được phát biểu thành: Nếu r là một số thực và z là một số phức có module nhỏ hơn 1 thì: n (1 z ) C z r k 0 k r 1/16 k LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH 12 c) MỘT SỐ THÀNH TỰU TOÁN HỌC KHÁC Công trình toán học: Các đường bậc ba (1704): Phân loại và nghiên cứu tính chất các đường cong bậc ba bằng hình học giải tích Về phép cấu phương các đường cong (1704) Công trình Arithmetica... với giải tích đạo hàm và tích phân sau này của Leibniz Newton sử dụng thuật ngữ “vi phân” (fluxion) ( từ tiếng Latin có nghĩa là “dòng chảy” [flow]), vì ông tưởng tượng ra một đại lượng “chảy” từ một độ lớn sang này sang độ lớn khác Fluxion được biểu diễn bằng phương pháp đại số, giống như vi phân của Leibniz, nhưng Newton còn sử dụng mở rộng các đối số hình học tương tự (đặc biệt LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH... truyền thống) LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH 23 2.3 ARCHIMEDES 2.3.1 TIỂU SỬ Acsimet sinh năm 284 và mất năm 212 trước Công nguyên Ông sống ở thành phố Syracuse, trên đảo Sicile, con một một nhà thiên văn và toán học nổi tiếng Phidias Người cha đích thân dạy dỗ và hướng ông đi vào con đường khoa học tự nhiên Acsimet được cha cho đi du học ở thành phố Alexandrie, Ai Cập, trở thành học sinh của nhà toán học nổi... phép toán và tính chất của chúng dẫn tới lý thuyết nhóm Ngày nay lí thuyết sơ cấp đó tuy khá phức tạp đã có vai trò rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học, từ lý thuyết về phương trình đại số cho tới hình học và lí thuyết cấu trúc nguyên tử LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH 25 Cuộc đời và tính tình Cauchy giống như của chàng “Đông Ki-sốt” đáng thương, không biết nên khóc hay nên cười Ông là anh cả của 6 em... 1 Năm 1686, Leibniz cho xuất bản tác phẩm “Về hình học sâu sắc” Leibniz đã trình bày các quy tắc tính tích phân của hình học sơ cấp Trong năm này, Leibniz xây dựng được cơ sở lý thuyết về sự tiếp xúc của các đường cong, đưa ra “vòng tròn mật tiếp” vá áp dụng nó vào việc đo độ cong của các đường cong LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH 18 Năm 1692, Leibniz đặt nền móng cho lý thuyết về hình bao, điều này được phát ... -331 LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH PHẦN I SƠ LƯỢC VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN Trong lịch sử toán học, thấy Toán học có bốn giai đoạn khác... toán học, học, vật lý học, thiên văn học nhà bác học vĩ đại kỷ XVIII Các tác phẩm phép LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH 31 tính vi – tích phân có nhiều nội dung giữ nguyên giá trị Trong lĩnh vực toán học. .. rồi!) LỊCH SỬ TOÁN GIẢI TÍCH 41 PHẦN MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN TRONG DẠY HỌC TOÁN THPT 4.1 ỨNG DỤNG LỊCH SỬ PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN TRONG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC a) Ứng dụng lịch sử