(Luận văn thạc sĩ) bất đẳng thức halanay và bất đẳng thức gronwall trong nghiên cứu định tính các phương trình sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN QUANG ÁNH BẤT ĐẲNG THỨC HALANAY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC GRONWALL TRONG NGHIÊN CỨU ĐỊNH TÍNH CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN QUANG ÁNH BẤT ĐẲNG THỨC HALANAY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC GRONWALL TRONG NGHIÊN CỨU ĐỊNH TÍNH CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: PGS TS NGUYỄN SINH BẢY HÀ NỘI, 2014 Mục lục Bất đẳng thức Gronwall 1.1 Trường hợp thời gian liên tục 1.1.1 Công thức cổ điển 1.1.2 Các công thức mở rộng 1.2 Trường hợp thời gian rời rạc 1.2.1 Bất đẳng thức Gronwall dạng sai phân 1.2.2 Một số trường hợp mở rộng 1.3 Ứng dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định 1.3.1 Tính ổn định hệ vi phân 1.3.2 Tính ổn định hệ sai phân 7 12 12 13 20 20 23 Bất đẳng thức Halanay 2.1 Trường hợp thời gian liên tục 2.1.1 Bất đẳng thức Halanay nguyên thủy 2.1.2 Bất đẳng thức mở rộng 2.2 Trường hợp thời gian rời rạc 2.2.1 Một số bất đẳng thức mở rộng 2.2.2 Khảo sát tính ổn định ví dụ 2.2.3 Tính ổn định lớp phương trình đặc biệt 26 26 26 27 32 32 36 38 Mở đầu Khi nghiên cứu định tính phương trình vi phân sai phân ta thường phải đánh giá chuẩn nghiệm xác sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ Các bất đẳng thức vi phân, vi-tích phân, sai phân thường dùng cơng đoạn đánh giá Có nhiều bất đẳng thức biết đến luận văn đề cập tới hai loại tiếng bất đẳng thức Gronwall bất đẳng thức Halanay Sau phần trình bày cơng thức ngun thuỷ chúng tơi trình bày số kết mở rộng kinh điển, mở rộng gần Các bất đẳng thức mở rộng chủ yếu dạng sai phân nhằm phục vụ cho mục tiêu khảo sát tính ổn định nghiệm phương trình sai phân Bằng cách rời rạc hoá khác nhau, phương trình vi phân thường đưa phương trình sai phân với độ sai khác cho phép theo quy ước Các phương trình sai phân đẳng thức chứa hàm cần tìm với biến độc lập nhận giá trị Z := {0, ±1, ±2, } Z+ := {0, 1, 2, } ⊂ Z chứa sai phân đến cấp hàm cần tìm Mở rộng bất đẳng thức vận dụng chúng vào việc nghiên cứu tính chất phương trình nói thực tế cần thiết Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài cho luận văn theo tựa đề Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày bất đẳng thức Gronwall Bắt đầu từ bất đẳng thức nguyên thủy, phát biểu cho trường hợp thời gian liên tục, nêu lại số kết mở rộng chủ yếu cho trường hợp thời gian rời rạc Chương hai nói bất đẳng thức Halanay Các vấn đề diễn giải theo sơ đồ chương Do nội dung khó nên kết có trình bày phần chứng minh Trong chương, kết khảo sát tính ổn định đưa nhằm minh hoạ cho giá trị ứng dụng bất đẳng thức nêu Kết bật phần ứng dụng dấu hiệu ổn định hệ phi tuyến có bậc tăng trưởng tuyến tính ứng với lớp phương trình sai phân đặc biệt nhận nhờ phép rời rạc hố xấp xỉ hai phía Bản luận văn thực trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đạị học Quốc gia Hà Nội, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tơi việc tìm hiểu kiến thức chun ngành hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô khoa Toán - Tin - Cơ học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cám ơn khoa Sau Đại học việc tạo điều kiện thuận lợi trình làm thủ tục nhập học thủ tục bảo vệ luận văn Cám ơn thầy bạn lớp giúp đỡ ý kiến trao đổi q báu thân tơi thời gian qua Xin cám ơn Lãnh đạo thầy cô trường Đại học Việt - Hung điều kiện thuận lợi dành cho tác giả để tác giả hồn thành khố học luận văn Cuối tơi muốn tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân, chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi điều thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận bao dung lời góp ý quý báu quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Trần Quang Ánh SUMMARY Thesis title : “Inequality Halanay and inequality Gronwall in qualitative study of difference equations” Full name : Tran Quang Anh Specialization: Analysis Spec code : 60 46 01 02 Supervisor : Ass Prof Nguyen Sinh Bay In qualitative study of differential equations or of difference equations often to assess the estimation of solutions or experimental error between the exact solutions and approximate test The differential, integro-differential inequalities are often used in the stage of evaluation There are many inequalities known, but in this thesis we only mention two very well-known type of those inequalities We would like to mention on the Gronwall inequality and Halanay inequality After the presentation of the original formula of each inequality we will present some results as classical extensions and some recent expansions The inequality expand mainly in the form of difference relations to serve the main goal - to investigate the stability of solutions of difference equations By different ways of various discretization, the differential equations are often taken to be the difference equation with the admissible errors The difference equations are the relationship containing the independent variables and unknown function of this variable with some level of differences Expansion of those inequalities and apply them to the study of the properties of solutions for the equations above are an actual need Therefore, we choose topics for essays under the title above The thesis consists of the introduction, two chapters , conclusion and list of references Chapter one presents the Gronwall inequality Starting from the original inequality, said for the case of continuous time, we outlined some of the results of major expansion for discrete-time case Chapter two said about Halanay inequality The problem was interpreted in the diagram in chapter one Because this content is difficult so the main results are presented the proof In each chapter, the results of the survey stability is given to illustrate the application value of the inequality raised Outstanding results in this application are criteria for stabilization of nonlinear systems with levels of growth lower than linear with a class of linear differential equation special permission received by discrete approximation of the two sides In total, the thesis presented method uses two types of inequality dedicated to the study some class of differential equations and difference equations Thesis stated and proved the original inequality Gronwall ’s and Halanay’s type, then extended to some cases with continuous time or discrete time Applying the inequality has expanded research and dissertation done examining the stability for a few class - equation special form and on some specific examples Bảng kí hiệu R+ := [0; +∞) Z+ := {0; 1; 2; 3; } Z := {0; ±1; ±2; ±3; } C[R+ , R+ ] - tập hàm liên tục từ R+ vào R+ Rn - không gian véc tơ n- chiều Z+ n0 := {n0 ; n0 + 1; n0 + 2; } Z(m;n) := {m; m + 1; m + 2; , n} ∆x(n) = x(n + 1) − x(n) tương đương với ∆xn = xn+1 − xn Chương Bất đẳng thức Gronwall 1.1 1.1.1 Trường hợp thời gian liên tục Công thức cổ điển Trong luận văn ta kí hiệu C[R+ , R+ ] tập hàm số không âm, xác định R+ , R+ := [0, +∞) Định lý 1.1 Cho hàm số x, v ∈ C[R+ , R+ ] Giả sử với c ≥ có bất đẳng thức t x(t) ≤ c + v(s)x(s)ds, t ≥ t0 ≥ (1.1) t ≥ t0 (1.2) t0 Khi ta có bất đẳng thức t x(t) ≤ c exp v(s)ds , t0 Chứng minh a) Trường hợp c > Từ (1.1), c > 0; v(s) > t0 ≤ t ta có c + t v(s)x(s)ds > Do đó, (1.1) thỏa mãn t0 x(t) ≤ t c+ v(s)x(s)ds t0 Vì v(t) > nên bất đẳng thức cuối thỏa mãn x(t)v(t) t c+ v(s)x(s)ds t0 ≤ v(t) Do t0 ≤ t nên lấy tích phân hai vế, ta t t v(s)x(s)ds − ln c ≤ exp ln c + t0 v(s)ds t0 Hay t t v(s)x(s)ds ≤ c exp c+ t0 v(s)ds t0 Mặt khác, theo giả thiết t x(t) ≤ c + v(s)x(s)ds, t ≥ t0 ≥ t0 Vậy, t x(t) ≤ c exp[ v(s)ds] t0 b) Trường hợp c = 0: Với ε > ta có (1.2) thỏa mãn với c = ε Cho ε → 0+ , ta có x(t) ≡ Nghĩa (1.2) Định lý chứng minh xong 1.1.2 Các công thức mở rộng a) Thay số c hàm h(t) ≥ Dưới công thức mở rộng cho trường hợp hàm không âm h(t), xác định R+ thay vai trò số dương c định lý Định lý 1.2 Cho hàm số: x, v, h ∈ C[R+ , R+ ] Giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn t x(t) ≤ h(t) + v(s)x(s)ds, t ≥ t0 (1.3) t0 Khi bất đẳng thức thỏa mãn t x(t) ≤ h(t) + t v(s)h(s) exp t0 v(ζ)dζ ds, t ≥ t0 (1.4) s Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần bổ đề Bổ đề dùng để 34 Định lý chứng minh xong + + Định lý 2.5 Cho qi ∈ R+ , hi ∈ Z , i = 1, , r; p, qr ∈ R , r < h1 < < hr i=0 qi < p ≤ cho {xj }j∈Z+−h dãy số thực r thỏa mãn bất đẳng thức : r ∆xn ≤ −pxn + n ∈ Z0 qi xn−hi , (2.40) i=1 Khi tồn λ0 ∈ (0; 1) cho: xn ≤ max{0, x0 , x−h1 , , x−hr }λn0 , ∀n ∈ Z0 (2.41) Hơn λ0 chọn nghiệm nhỏ (0; 1) đa thức: P (λ) = λhr +1 − (1 − p)λhr − q1 λhr −h1 − qr−1 λhr −hr−1 − qr (2.42) Chứng minh Gọi {yn } nghiệm phương trình sai phân r ∆yn = −pyn + qi yn−hi , n ∈ Z0 (2.43) i=1 Từ qi ∈ R+ < p < 1, ta {xn } thỏa mãn (2.40) xn ≤ yn với n = −hr , , 0, xn ≤ yn với n ∈ Z0 Với K > cho trước λ ∈ (0; 1), Chuỗi {yn } xác định yn = Kλn nghiệm phương trình (2.43) λ nghiệm đa r thức (2.42) Từ lim+ P (λ) = −qr < P (1) = p − λ→0 qi > 0, tính i=0 liên tục hàm P (λ) nên tồn số thực nhỏ λ0 ∈ (0; 1) cho n P (λ0 ) = Do đó, với K ∈ R+ đó, dãy {Kλ0 } nghiệm (2.43) Đặt K0 = max{0, x0 , x−1 , , x−hr } Khi đó, {yn } = {Kλn0 } nghiệm (2.43) rõ ràng ta có xn ≤ yn với n = −hr , , Hơn nữa, theo Bổ đề 2.2.1 ta kết luận xn ≤ yn = K0 λn0 , n ∈ Z0 Tiếp theo, ta xét phương trình sai phân sau: ∆xn = −axn + f (n, xn , xn−1 , , xn−r ) (a > 0) (2.44) 35 Định lý 2.6 Giả sử < a ≤ tồn số dương b < a cho f (n, xn , , xn−r ) ≤ b (xn , , xn−r ) ∞, ∀(xn , , xn−r ) ∈ Rr+1 (2.45) Khi ∃λ0 ∈ (0; 1) cho với nghiệm {xn } (2.44), ta có xn ≤ ( max { xi }})λn0 , −r≤i≤0 n ≥ Nói cách khác, phương trình x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), , x(n − r)) ổn định mũ Chứng minh {xn } nghiệm (2.44) nên n−1 (1 − a)n−i−1 f (i, xi , , xi−r ), n xn = x0 (1 − a) + (n ≥ 0) i=0 Do a < nên ta có: n−1 (1 − a)n−i−1 f (i, xi , , xi−r ) , n xn ≤ x0 (1 − a) + (n ≥ 0) i=0 Từ (2.45) ta có: n−1 (1 − a)n−i−1 b max{ xi , , xi−r }, n xn ≤ x0 (1 − a) + (n ≥ 0) i=0 Mỗi n = −r, , 0, đặt = xn Mỗi n ∈ Z+ , đặt n−1 (1 − a)n−i−1 b max{ xi , , xi−r }, n = x0 (1 − a) + (n ≥ 0) i=0 Theo cách đặt này, ta có xn ≤ , Khi đó: với n ≥ −r vn+1 = (1 − a)vn + b max{ xn , , xn−r } Kéo theo: vn+1 ≤ (1 − a)vn + b max{vn , , vn−r } Vậy, dãy thỏa mãn Định lý 2.4, ta có xn ≤ ≤ ( max {vi })λn0 = ( max { xi })λn0 , −r≤i≤0 −r≤i≤0 ∀n ≥ 36 λ0 chọn Định lý 2.4 Điều kiện f (n, xn , , xn−r ) ≤ b (xn , , xn−r ) ∞, ∀(xn , , xn−r ) ∈ Rr+1 kéo theo f (n, 0, 0, , 0) = 0, ∀n ∈ Z+ Phương trình (2.44) có nghiệm cân tầm thường Đánh giá định lý cho thấy nghiệm tầm thường ổn định mũ 2.2.2 Khảo sát tính ổn định ví dụ Ví dụ 2.2.1 Xét phương trình sai phân nπ xn−5 ∆xn = − xn + sin nπ xn−5 ≤ 14 xn−5 Phương trình có nghiệm cân tầm thường xn = 0, ∀n ∈ Z Ở a = 21 , b = 41 , < b < a < Mọi giả thiết Định lý 2.6 thoả mãn Nghiệm tầm thường x ≡ ổn định mũ Dễ thấy sin Ví dụ 2.2.2 Xét phương trình sau khơng gian tổng qt X 1 xn+1 = xn−1 + xn−2 + + r xn−r , xi ∈ X hay 1 ∆xn = −xn + xn−1 + xn−2 + + r xn−r , xi ∈ X Đánh giá theo chuẩn, ta có: 1 xn−1 + xn−2 + + r xn−r 1 ≤ xn−1 + xn−2 + + r xn−r 1 ≤ ( + + + r ) max{ xn−1 , xn−2 , , , xn−r } = (1 − r ) max{ xn−1 , xn−2 , , , xn−r } xn+1 ≤ Phương trình có nghiệm tầm thường Áp dụng Định lý 2.6 cho dãy số không âm xn với a = 1, b = − r , ta thấy nghiệm tầm thường xn ≡ ổn định mũ 37 Tiếp tục, ta xét phương trình ∆xn = −pxn + f (n, xn , xn−h1 , , xn−hr ), (2.46) n, hi ∈ Z+ , i = 1, , r ∈ Z+ , p > Nghiệm xác định theo giá trị ban đầu {x−r , x−r+1 , , x0 } + + Định lý 2.7 Giả sử tồn qi ∈ R+ , hi ∈ Z , i = 1, , r; qr ∈ R , r qi < p ≤ cho: i=0 r f (n, xn , xn−h1 , , xn−hr ) ≤ qi xn−hi (2.47) i=0 r+1 Với (n, xn , xn−h1 , , xn−hr ) ∈ Z0 × R Khi đó, tồn λ0 ∈ (0; 1) cho nghiệm xn (2.46) thỏa mãn xn ≤ ( max { xi })λn0 , −hr ≤i≤0 n ∈ Z0 , λ0 chọn Định lý 2.5 Chứng minh Ta có, nghiệm {xn } (2.46) viết theo công thức: n−1 n (1 − p)n−i−1 f (i, xi , xi−h1 , , xi−hr ), xn = x0 (1 − p) + n ∈ Z0 i=0 Lấy chuẩn hai vế với lưu ý p < 1: n−1 n (1 − p)n−i−1 f (i, xi , xi−h1 , , xi−hr ) , xn ≤ x0 (1 − p) + n ∈ Z0 i=0 Sử dụng (2.47), ta được: n−1 r (1 − p)n−i−1 qj xi−hj , n xn ≤ x0 (1 − p) + n ∈ Z0 i=0 j=0 Với n = −hr , , 0, đặt = xn với n ∈ Z+ , ta đặt n−1 r n (1 − p)n−i−1 qj xi−hj = x0 (1 − p) + i=0 j=0 Khi đó, ta có xn ≤ , n ∈ Z−hr , đó, r ∆vn = −pvn + r qi xn−hi ≤ −pvn + i=0 qi vn−hi , i=0 n ∈ Z0 38 Vì vậy, sử dụng Định lý 2.5, ta được: xn ≤ ≤ ( max {vi })λn0 = ( max { xi })λn0 , −hr ≤i≤0 −hr ≤i≤0 n ∈ Z0 Ở λ0 chọn Định lý 2.5 Ví dụ 2.2.3 Xét phương trình sau R3 với sở e1 , e2 , e3 : e1 23 e2 25 ∆x(n) = − x(n) + x1 (n − 1) sin x2 (n − 2) + x2 (n − 1) sin x35 (n − 2) (2.48) Phương trình có nghiệm cân tầm thường x ≡ Ta thấy e2 e1 (2.48) ⇔ x(n+1) = x(n)+ x13 (n−1) sin x23 (n−2)+ x25 (n−1) sin x35 (n−2) Lấy chuẩn hai vế, ta 2 1 x(n) + |x1 (n−1)| | sin x2 (n−2)| + |x2 (n−1)| | sin x3 (n−2)| 2 1 ≤ x(n) + x(n − 1) x(n − 2) + x(n − 1) x(n − 2) 2 1 ⇔ ∆( x(n) ) ≤ − x(n) + x(n−1) x(n−2) + x(n−1) x(n−2) Ta có 16 + 15 = 11 30 < = p Cho nên, theo Định lý 2.7 ta có x(n) → n → +∞ Nghiệm cân x ≡ phương trình (2.48) ổn định tiệm cận x(n+1) ≤ 2.2.3 Tính ổn định lớp phương trình đặc biệt Ta nhắc lại phép xấp xỉ vi phân hàm khả vi x(.) với bước lưới h > 0, đủ bé Xét phương trình: x (t) = f (t) + g(t) Nếu |h| > đủ nhỏ ta có xấp xỉ: x(t + h) − x(t) ∼ = x (t) ∼ = f (t + h) + g(t) h Áp dụng cách xấp xỉ cho phương trình có chậm dạng x (t) = −A(t)x(t) + B(t)f (t, x(t − k1 ), x(t − k2 ), , x(t − kr ), ), ta nhận lớp phương trình sai phân có dạng đặc biệt xét mục Đầu tiên, ta nhắc lại lưới thời gian với bước lưới h > 39 cách sai phân hố phương trình vi phân Ta có Z xác định tập số nguyên Lấy t0 ∈ R điểm tuỳ ý Tâp I := {t0 + nh : n ∈ Z} bao gồm tất điểm R t0 , cách liên tiếp khoảng h Ta nói I lưới thời gian với bước lưới h Trong nhiều tài liệu, người ta đơn giản hố cách coi h = (một đơn vị thời gian đó) Trong này, ta xét trường hợp tổng quát, h > 0, đủ nhỏ Như vây, với t ∈ [nh, (n + 1)h], n ∈ R ta xấp xỉ x (t) quy tắc xấp xỉ trình bày Đánh giá sau xấp xỉ, ta thường nhận bất phương trình Ở đây, ta quan tâm đến bất phương trình cho bởi: dx(t) t t ≤ −a([ ]h)x(t) + b([ ]h) dt h h s x([ ]h) , t > t0 ; (2.49) h [ ht ]−[τ (.)/h]≤[ hs ]≤[ ht ] sup t ∈ [nh, (n + 1)h], n ≥ n0 , n0 ∈ Z Ở đây: τ (.) = τ ([t/h]h) khoảng n ≥ n0 xác định n ∈ n0 , n0 + 1, n0 +2, Có thể thấy hàm x(.) (2.49) liên tục khúc Ở đây, [r] kí hiệu phần nguyên số thực r Xấp xỉ phương trình liên tục với biến theo đọan thu được: x [ ht ]h + h −x [ ht ]h t t ≤ −a [ ]h x [ ]h + h h h h t s sup +b [ ]h x([ ]h) , h h [ ht ]−[τ (.)/h]≤[ hs ]≤[ ht ] t ∈ [nh, (n + 1)h], n ≥ n0 Sau số phép biến đổi đơn giản đổi ký hiệu, ta thu được: x(n + 1) ≤ b(n)h x(n) + + a(n)h + a(n)h sup x(j) , n ≥ n0 (2.50) n−κ(n)≤j≤n [t/h] = n, [s/h] = j, [τ (.)/h] = κ(.) Ta ký hiệu lại:f (n) := f (nh) Biến n, j số nguyên Các tham số a(n), b(n) dãy số thực không âm bị chặn Giá trị ban đầu nghiệm (2.50) cho bởi: x(n) = |ϕ(n)|, n ∈ [n0 − κ∗ ; n0 ], κ∗ = sup κ(n) số nguyên dương Khoảng [n0 − κ∗ ; n0 ] xác định n∈Z ∗ {n0 − κ , n0 − κ∗ + 1, , n0 } Tiếp theo kết dáng điệu hàm x(n), n ∈ Z+ , thiết lập cách tương tự cách mở rộng bất đẳng thức kiểu Halanay: 40 Định lý 2.8 cho h > x(.) hàm không âm thỏa mãn: b(n)h x(n) + sup x(j) , n ≥ n0 , (2.51) x(n + 1) ≤ + a(n)h + a(n)h n−κ(n)≤j≤n x(n) = |ϕ(n)|, n ∈ [n − κ∗ , n0 ], (2.52) κ(n) dãy số nguyên, không âm bị chặn, xác định với n ∈ Z; κ∗ = sup κ(n) số nguyên dương; ϕ(n) dãy số thực xác n∈Z định với n ∈ [n0 − κ∗ , n0 ]; Các tham số a(n), b(n) xác định với n ∈ Z dãy giá trị thực không âm bị chặn Giả sử a(n) − b(n) ≥ σ, n ∈ Z, (2.53) σ = inf a(n) − b(n) > Khi đó, tồn số thực λ > cho: n∈Z x(n) ≤ sup n0 −k ∗ ≤j≤n0 x(j) λ n−n0 , Chứng minh Ta xây dựng hàm G sau: h b(n)h ∗ G(n, λ) = + λk +1 − 1, + a(n)h + a(n)h n > n0 (2.54) n ∈ Z, λ > (2.55) Lưu ý rằng, a(n), b(n) hàm bị chặn không âm với n ∈ Z Hàm F định nghĩa F (λ) = sup G(n, λ), λ > (2.56) n∈Z Rõ ràng F hàm liên tục với λ > Bằng việc sử dụng giả thiết (2.53) ta có b(n)h F (1) = sup + −1 + a(n)h n∈Z + a(n) h[a(n) − b(n)] σh ≤− 0, h > a∗ = sup a(n) > Do a(.) b(.) bị chặn nên ta có: n∈Z F∗ (λ) ≤ F (λ) ≤ F ∗ (λ), với t > t0 , λ b∗ h k ∗ +1 + λ − 1, + a∗ h + a∗ h λ b∗ h ∗ F ∗ (λ) = + λk +1 − 1, + a∗ h + a∗ h F∗ (λ) = λ > 0, λ > 0, (2.58) 41 a∗ = inf a(n), a∗ = sup a(n), b∗ = inf b(n), b∗ = inf b(n) n∈Z n∈Z n∈Z n∈Z Để ý F∗ (λ) → ∞ F ∗ (λ) → ∞ λ → ∞ từ (2.58) ta suy F (λ) = sup G(n, λ) → ∞ λ → ∞ (2.59) n∈Z Cho < σ < σ Từ (2.57), (2.59) tính liên tục F (λ), tồn số λ > cho: F (λ) = sup n∈Z λ b(n)h σh ∗ + λκ +1 − ≤ − < + a(n)h + a(n)h + a∗ h Điều chứng tỏ rằng: b(n)h σh λ ∗ + λκ +1 ≤ − = p, với n ∈ Z, (2.60) + a(n)h + a(n)h + a∗ h số p thỏa mãn < p < < σ < σ < a∗ Tiếp theo, đặt: x(n)λn−n0 , n > n0 x(n), n0 − κ∗ ≤ n ≤ n0 x(n) = (2.61) Từ (2.61) (2.51) ta có x(n + 1) = x(n + 1)λn−n0 , n ≥ n0 b(n)h ≤ x(n) + + a(n)h + a(n)h ≤ sup n−k ∗ ≤j≤n λ b(n)h ∗ x(n) + λκ +1 + a(n)h + a(n)h x(j) λn+1−n0 , n ≥ n0 sup n−κ∗ ≤j≤n x(j) , n ≥ n0 (2.62) Cho δ > tùy ý Vì ϕ(n) (2.52) xác định với n ∈ [n0 − κ∗ , n0 ], ta cho sup |ϕ(n)| = M, M > n∈[n0 −κ∗ ,n0 ] Từ (2.52) (2.61) ta suy x(n) < δM với n ∈ [n0 − κ∗ , n0 ] Ta khẳng định x(n) < δM với n > n0 (2.63) Quả vậy, giả sử (2.63) không Gọi n1 > n0 số nguyên cho x(n) < δM với n0 − k ∗ ≤ n < n1 x(n1 ) ≥ δM (2.64) 42 Từ (2.62) (2.64) ta có: δM ≤ x(n1 ) ≤ λ b(n1 − 1)h ∗ x(n1 − 1) + λκ +1 + a(n1 − 1)h + a(n1 − 1)h sup x(j) n1 −1−κ∗ ≤j≤n1 −1 λ b(n1 − 1)h ∗ + λk +1 δM + a(n1 − 1)h + a(n1 − 1)h ≤ pδM < δM suy từ (2.60) < (2.65) Điều mâu thuẫn Vậy, (2.63) Vì δ > tùy ý nên cho δ → 1+ , ta có x(n) ≤ M với n > n0 Từ (2.61) suy x(n) ≤ M (1/λ)n−n0 với n > n0 (2.54) chứng minh Nhận xét Do λ > nên từ đánh giá cuối x(n) ≤ M (1/λ)n−n0 với n > n0 cho thấy x(n) → n → +∞ Nghĩa nghiệm hệ bị hút điểm cân tầm thường x(n) ≡ Tiếp theo, ta quan tâm đến trường hợp bất phương trình có chậm đến vơ vế phải có dạng tuyến tính: t t dx(t) ≤ −a [ ]h x(t) + b [ ]h dt h h t ∈ [nh; (n + 1)h], ∞ s t s κ [ ]h x [ ]h − [ ]h , h h h [s/h]=1 s ∈ [jh; (j + 1)h), n ≥ n0 , (2.66) j ∈ {1, 2, } Ở đây, h > bước lưới, đủ nhỏ [r] phần nguyên số thực r Xấp xỉ (2.66) dẫn đến: t t h+h −x h h h h t t t ≤ −a h x h+h +b h h h h x t ∈ [nh; (n + 1)h], ∞ [s/h]=1 s ∈ [jh; (j + 1)h), s t s κ([ ]h)x([ ]h − [ ]h), h h h n ≥ n0 , j ∈ {1, 2, } Sau vài phép biến đổi ta thu b(n)h x(n + 1) ≤ x(n) + + a(n)h + a(n)h ∞ κ(j)x(n − j), n ≥ n0 , (2.67) j=1 đó: [t/h] := n, [s/h] := j f (n) := f (nh) Tiếp theo, ta nghiên cứu cách mở rộng bất đẳng thức Halanay cho lớp 43 quan hệ rời rạc này: Định lý 2.9 Cho h > x(.) dãy số thực không âm xác định thỏa mãn: ∞ b(n)h x(n + 1) ≤ x(n) + κ(j)x(n − j), n ≥ n0 (2.68) + a(n)h + a(n)h j=1 x(n) = |ϕ(n)| với n ∈ (−∞, n0 ], (2.69) n ∈ (−∞, n0 ]; ϕ(n) dãy số xác định với n ∈ (−∞, n0 ] sup |ϕ(n)| = M, M > 0; Các tham số a(n), b(n) xác định với n ∈ Z, n∈(−∞,n0 ] dãy số không âm bị chặn Hàm κ(.) giả định có tính chất ∞ κ(j)λj < ∞, κ(j) ∈ [0, +∞) với j ∈ {1, 2, 3, } (2.70) j=1 với vài số λ > Giả sử ∞ a(n) − b(n) κ(j) ≥ σ, n ∈ Z, (2.71) j=1 ∞ σ = inf n∈Z a(n) − b(n) κ(j) > Khi tồn số thực j=1 λ > cho: x(n) ≤ sup x(j) j∈(−∞,n0 ] n−n0 λ với n > n0 (2.72) Chứng minh Từ giả thiết (2.70) ta tìm giá trị cụ thể λ > cho: ∞ κ(j)λj+1 < ∞ với < λ < λ∗ (2.73) j=1 Chẳng hạn, lấy κ(j) = e−j với j ∈ {1, 2, 3, } ∞ ∞ −j j+1 e λ j=1 =λ j=1 λ j < ∞ với < λ < λ∗ = e e Ta định nghĩa hàm G sau: λ b(n)h G(n, λ) = + + a(n)h + a(n)h n ∈ Z, ∞ κ(j)λj+1 − 1, j=1 < < λ∗ (2.74) 44 Lưu ý, a(n), b(n) dãy bị chặn Z Đặt: < λ < λ∗ F (λ) = sup G(n, λ), (2.75) n∈Z Rõ ràng, F hàm liên tục xác định với < λ < λ∗ Bằng việc áp dụng giả thiết (2.71) ta có: b(n)h F (1) = sup + + a(n)h n∈Z + a(n)h ∞ κ(j) − j=1 ∞ h a(n) − b(n) κ(j) j=1 = − inf ≤− + a(n)h n∈Z σh 0, σ > a∗ > Tuy nhiên, F∗ (λ) ≤ F (λ) ≤ F ∗ (λ) với < λ < λ∗ Ở đó: λ b∗ h F∗ (λ) = + + a∗ h + a∗ h λ b∗ h F (λ) = + + a∗ h + a∗ h (2.77) ∞ κ(j)λj+1 − j=1 ∞ ∗ κ(j)λj+1 − j=1 a∗ = inf a(n), a∗ = sup a(n), b∗ = sup b(n), b∗ = inf b(n) n∈Z n∈Z n∈Z n∈Z Ta để ý F∗ (λ) → ∞, F ∗ (λ) → ∞ λ → λ∗− Và từ (2.77) suy ra: F (λ) = sup G(n, λ) → ∞ λ → λ∗− (2.78) n∈Z Cho < σ < σ Từ (2.76) (2.78) tính liên tục F (λ) suy tồn số λ thỏa mãn < λ < λ∗ cho: λ b(n)h F (λ) = sup + + a(n)h n∈Z + a(n)h ∞ κ(j)λj+1 − ≤ − j=1 σh < + a∗ h Điều suy rằng: λ b(n)h + + a(n)h + a(n)h với n ∈ Z, ∞ κ(j)λj+1 ≤ − j=1 σh =p + a∗ h (2.79) 45 đó, số p thỏa mãn < p < < σ < σ < a∗ Tiếp theo, đặt: x(n) = x(n)λn−n0 , n > n0 (2.80) −∞ < n ≤ n0 x(n), Từ (2.80) (2.68) ta có: x(n + 1) = x(n + 1)λn+1−n0 , ≤ = n > n0 b(n)h x(n) + + a(n)h + a(n)h ∞ κ(j)x(n − j) λn+1−n0 , n ≥ n0 j=1 ∞ λ b(n)h x(n) + + a(n)h + a(n)h κ(j)λj+1 x(n − j), n ≥ n0 j=1 (2.81) Cho δ > tùy ý Từ (2.69) (2.80) ta suy x(n) < δM với n ∈ (−∞, n0 ] Ta có khẳng định: x(n) < δM với n ∈ (−∞, n0 ] (2.82) Quả vậy, giả sử (2.82) không Gọi n1 > n0 số nguyên dương cho: x(n) < δM, −∞ < n < n1 x(n1 ) ≥ δM (2.83) Từ (2.81) (2.83) ta có: δM ≤ x(n1 ) ≤ λ x(n1 − 1) + a(n1 − 1)h b(n1 − 1)h + + a(n1 − 1)h ≤ ∞ κ(j)λj+1 x(n1 − − j) j=1 λ x(n1 − 1) + a(n1 − 1)h b(n1 − 1)h + + a(n1 − 1)h ∞ κ(j)λj+1 j=1 λ b(n1 − 1)h < + + a(n1 − 1)h + a(n1 − 1)h sup x(s) s∈(−∞,n1 −2] ∞ κ(j)λj+1 δM j=1 ≤pδM < δM ( suy từ (2.79)) Điều mâu thuẫn Vậy, (2.82) Vì δ > tùy ý, ta cho δ → 1+ suy x(n) ≤ M, ∀n > n0 Từ (2.80) suy x(n) ≤ M (1/λ)n−n0 , ∀n > n0 46 Đây điều cần chứng minh Nhận xét Do λ > nên từ đánh giá cuối x(n) ≤ M (1/λ)n−n0 với n > n0 cho thấy x(n) → n → +∞ Nghĩa nghiệm hệ bị hút điểm cân tầm thường x(n) ≡ 47 Kết luận Luận văn trình bày phương pháp sử dụng hai loại bất đẳng thức chuyên dụng để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình vi phân sai phân Luận văn phát biểu chứng minh lại bất đẳng thức nguyên thuỷ Gronwall Halanay, sau mở rộng cho số trường hợp với thời gian liên tục thời gian rời rạc Vận dụng bất đẳng thức nghiên cứu mở rộng luận văn thực việc khảo sát tính ổn định cho vài lớp phương trình sai phân dạng đặc biệt số ví dụ cụ thể 48 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu (2000) Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [2] Vũ Ngọc Phát (2001) Nhập mơn Lý thuyết điều khiển Tốn học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [3] R.P Agarwal (2000) Difference Equations and Inequalities, Theory Methods and Applications, Marcel Dekker New York [4] N S Bay and V N Phat (2003) Stability analysis of nonlinear retarded difference equations in Banach spaces, J Comp and Math with Appl., 45 , tr 951-960 [5] M.I Gil (2006) Difference Equations in Normed Spaces, Stability and Oscillations, North Holland [6] A Halanay A, (1966), Differential equations: stability, oscillations, time lags (Academic Press, New York) [7] S.Mohamad and K.Gopalsamy (2000) Continuous and discrete Halanay-type inequalities Bulletin of Australian Mathematical Society [8] P Niemsup and V.N Phat (2000), Asymptotic stability of nonlinear control systems described by difference equations with multiple delays, Elect Jour of Diff Eq., No 11, 1-17 [9] S D Sever, Some Gronwall Type Inequalities and Applications (2002), rgmia.org ... HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN QUANG ÁNH BẤT ĐẲNG THỨC HALANAY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC GRONWALL TRONG NGHIÊN CỨU ĐỊNH TÍNH CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH... biểu cách hoàn toàn tương tự với hệ vi phân Dưới trình bày vài kết nghiên cứu tính ổn định hệ sai phân cách sử dụng bất đẳng thức dạng sai phân trình bày mục trước Định lý 1.10 Xét hệ phương trình. .. xn ≡ ổn định hút Hệ ổn định tiệm cận Định lý chứng minh xong 26 Chương Bất đẳng thức Halanay So với bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức Halanay thơng dụng Bất đẳng thức nguyên thuỷ Halanay