(Luận án tiến sĩ) một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không gian62 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VIỆT THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VIỆT THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Nguyễn Bường GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác NCS Dương Việt Thơng LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo, GS TS Nguyễn Bường GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Các Thầy truyền thụ kiến thức, bước định hướng nghiên cứu, giúp tác giả tiếp cận vấn đề cách tự nhiên để từ chủ động, tự tin suốt trình học tập nghiên cứu Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo ân cần thầy Nguyễn Bường thầy Phạm Kỳ Anh giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến PGS TSKH Đỗ Hồng Tân dẫn tận tình ý kiến đóng góp q báu Thầy dành cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Thị Thanh Hà, TS Lê Anh Dũng, TS Nguyễn Văn Khiêm TS Nguyễn Thế Vinh động viên góp nhiều ý kiến quý báu suốt thời gian tác giả tham gia Seminar "Một số vấn đề lý thuyết KKM lý thuyết điểm bất động" Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức Tác giả xin chân thành cảm ơn phản biện độc lập nhận xét quý báu, nhờ mà thảo lần có cải thiện đáng kể Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học tồn thể thầy giáo, giáo, cán nhân viên Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt thời gian tác giả hồn thành luận án Tác giả xin bày tỏ biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh tế Quốc dân, Thầy Cô Bộ mơn Tốn bản, Khoa Tốn Kinh tế tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập, nghiên cứu giảng dạy Nhà trường Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè người thân, người động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17 1.1 Giới thiệu hình học khơng gian Banach 17 1.2 Ánh xạ không giãn 21 1.3 Tốc độ hội tụ số phương pháp lặp 27 1.4 Kết luận 37 Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN 38 2.1 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 38 2.2 Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt 47 2.3 Kết luận 54 Chương PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT 56 3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 56 3.2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67 3.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số 74 3.4 Kết luận 82 KẾT LUẬN CHUNG 84 Kết đạt 84 Kiến nghị số hướng nghiên cứu 84 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R tập số thực N tập số tự nhiên ⇀ hội tụ yếu w∗ ⇀ hội tụ * yếu F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ωw (xn ) tập điểm tụ yếu dãy xn F (T (t)) t≥0 tập điểm bất động chung họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} lim = lim sup giới hạn lim = lim inf giới hạn PC (x) hình chiếu x lên tập C X không gian Banach X∗ không gian liên hợp không gian X 2X tập hợp tất tập X 2X ∗ tập hợp tất tập X ∗ δ(ǫ) môđun lồi không gian Banach J ánh xạ đối ngẫu không gian X Jλ = (I + λA)−1 Aλ = (I − Jλ ) λ , giải thức toán tử A xấp xỉ Yosida giá trị cặp đối ngẫu tích vơ hướng MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động L E J Brouwer khởi xướng năm 1912 đến 100 năm tuổi Đó chương quan trọng Giải tích phi tuyến, sâu sắc lý thuyết, phong phú ứng dụng, gắn liền với tên tuổi nhà Toán học lớn như: E Picard, L E J Brouwer, S Banach, J Schauder, S Kakutani, A N Tikhonov, Ky Fan, F E Browder, Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ không giãn chủ đề quan tâm rộng rãi giải tích phi tuyến Điều kết nối lý thuyết hình học khơng gian Banach với liên quan lý thuyết toán tử đơn điệu toán tử tăng trưởng Như ta biết ký hiệu X ∗ không gian đối ngẫu khơng gian Banach X, tốn tử đa trị A : X → 2X với miền xác định D(A) gọi đơn điệu ∗ x∗ − y ∗ , x − y ≥ ∀x, y ∈ D(A) x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) Toán tử đa trị A : X → 2X gọi toán tử đơn điệu cực đại A ∗ toán tử đơn điệu X cho với x ∈ X x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn x∗ − y ∗ , x − y ≥ ∀y ∈ D(A) y ∗ ∈ A(y) x∗ ∈ A(x) Tốn tử đa trị A : X → 2X gọi toán tử tăng trưởng ∀x, y ∈ D(A) x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho x∗ − y ∗ , j(x − y) ≥ Một kiện liên quan toán tử đơn điệu toán tử tăng trưởng chúng trùng không gian Hilbert Các tính chất tốn tử đơn điệu toán tử tăng trưởng quan trọng lĩnh vực giải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi Điều đặc biệt vi phân hàm lồi toán tử đơn điệu Nhắc lại rằng, không gian Banach X cho hàm f : X → (−∞, +∞], vi phân f toán tử đa trị ∂f : X → 2X xác định ∗ ∂f (x) := {j ∈ X ∗ : f (y) − f (x) ≥ y − x, j ∀y ∈ X} ∀x ∈ X Nếu f nửa liên tục lồi thường khơng gian Banach thực phản xạ ∂f đơn điệu cực đại [28] Dễ thấy ∈ ∂f (x) x=argmin{f (y) : y ∈ X} Như vấn đề tìm cực tiểu hàm lồi dẫn đến tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu Mối quan hệ toán tử đơn điệu ánh xạ không giãn dựa kiện sau: T ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert A := I − T toán tử đơn điệu tập điểm bất động ánh xạ không giãn T trùng với tập không điểm toán tử đơn điệu H Brezis, M G Crandall A Pazy đưa khái niệm giải thức tốn tử đơn điệu khơng gian Banach [17] Họ thiết lập tính chất giải thức đặc biệt điểm bất động giải thức liên quan đến khơng điểm tốn tử đơn điệu Trong không gian Banach X cho A : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại Khi giải thức Jλ tốn tử A ánh xạ đơn trị xác định theo công thức Jλ = (I + λA)−1 , ∀λ > Chúng ta biết A−1 = F (Jλ ) Hơn nữa, Jλ ánh xạ không giãn Suy vấn đề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Jλ Giữa lớp ánh xạ khơng giãn tốn tử tăng trưởng lớp ánh xạ giả co Ánh xạ T : X → X không gian Banach X gọi ánh xạ giả co ∀x, y ∈ X tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 58, 71, 68, 56, 25, ] - Áp dụng thuật toán lặp để giải vấn đề bất đẳng thức biến phân [20, 49, 35, 96, ] 85 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN D V Thong (2011), "On a Mann type implicit iteration process for strictly pseudocontraction semigroups", Annals of the University of Craiova, Mathematics and Computer Science Series, 38, pp 101-108 (SCOPUS) D V Thong (2011), "An implicit iteration process for nonexpansive semigroups", Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods, Applications, 74, pp 6116-6120 (SCI) D V Thong (2012), "The comparison of the convergence speed between Picard, Mann, Ishikawa and two-step iterations", Acta Math Vietnam., 37, pp 243-249 (SCOPUS) D V Thong (2012), "Viscosity approximation method for Lipschitzian pseudocontraction semigroups in Banach spaces", Vietnam J Math., 40(4), pp 515-525 (SCOPUS) D V Thong (2014), "Weak convergence theorems for strongly continuous semigroups of pseudocontractions", Acta Math Vietnam., 39, pp 253261 (SCOPUS) D V Thong, L A Dung (2014), "Viscosity approximation method for nonexpansive semigroups in Banach spaces", Vietnam J Math., 42, pp 63-72 (SCOPUS) 86 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] L A Dũng (2009), Điểm bất động ứng dụng không gian Banach, không gian metric, không gian metric siêu lồi, Luận án tiến sỹ Toán học, ĐHSP Hà Nội [2] N X Liêm (2002), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [3] Đ H Tân N T T Hà (2003), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [4] N T Vinh (2011), Lý thuyết KKM nửa dàn tôpô ứng dụng, Luận án tiến sỹ Toán học, Viện Toán học Tiếng Anh [5] R P Agarwal, D O’Regan, D Sahu (2009), Fixed point theory for Lipschitzian-type mappings with applications, Spinger [6] R P Agarwal, X Qin, S M Kan (2011), "Strong convergence theorems for strongly continuous semigroups of pseudocontractions", Appl Math Letters., 24, pp 1845-1848 [7] A Aleyner, Y Censor (2005), "Best approximation to common fixed points of a semigroup of nonexpansive operators", J Nonlinear Convex Anal., 6, pp 137–151 87 [8] P K Anh, N Buong, D.V Hieu (2014),"Parallel methods for regularizing systems of equations involving accretive operators", Appl Anal., 93, pp 2136-2157 [9] P K Anh, C.V Chung (2104), "Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim., 35, pp 649-664 [10] P N Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and Ky Fan inequalities", J Optim Theory Appl., 154, pp 303-320 [11] P K Anh, D.V Hieu, "Parallel and sequential hybrid methods for a finite family of quasi ϕ- asymptotically nonexpansive mappings", J Appl Math Comput., DOI: 10.1007/s12190-014-0801-6 [12] G V R Babu, K N V V Vara Prasad (2006), "Mann iteration converges faster than Ishikawa iteration for the class of Zamfirescu operators", Fixed Point Theorey and Applications, vol 2006, Article ID 49615, pages [13] J Banasiak, L Arlotti (2006), Perturbations of Positive Semigroups with Applications, Springer, London [14] V Berinde (2007), Iterative Approximation of Fixed Points, Spinger Verlag, Lectures Notes in Mathematics, 1912 [15] V Berinde (2004), "On the convergence of the Ishikawa iteration in the class of quasi contractive operators", Acta Mathematica Universitatis Comenianae, 73, pp 119-126 [16] V Berinde (2004), "Picard iteration converges faster than Mann iteration for a class of quasi-contractive operators", Fixed Point Theorey and Applications, 2, pp 97-105 88 [17] H Brezis, M G Crandall, A Pazy (1970), "Perturbations of nonlinear maximal monotone sets in Banach spaces", Comm Pure Appl Math., 23, pp 123–144 [18] F E Browder (1967), "Convergence of approximants to fixed points of nonexpansive non-linear mappings in Banach spaces", Arch Rational Mech Anal., 24, pp 82-90 [19] F E Browder, W.V Petryshyn (1967), "Construction of fixed points of nonlinear mapping in Hilbert space", J Math Anal Appl., 20, pp 197-228 [20] N Buong, L T Duong (2011), "An explicit iterative algorithm for a class of variational inequalities in Hilbert spaces", J Optim Theory Appl., 151, pp 513-524 [21] N Buong (2010), " Strong convergence theorem for nonexpansive semigroups in Hilbert space", Nonlinear Anal., 72, 4534-4540 [22] N Buong (2010), "Strong convergence theorem of an iterative method for variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces", Appl Math Comp., 217, pp 322-329 [23] N Buong (2011), "Hybrid-Ishikawa iterative methods for a nonexpansive semigroup in Hilbert space", Comp Math Appl., 61, pp 2546-2554 [24] N Buong, N D Lang (2011), "Hybrid Mann-Halpern iteration methods for nonexpansive mappings and semigroups", Appl Math Comp., 218, pp 2459-2466 [25] L C Ceng, S AI-Homidan, Q H Ansari, J.C Yao (2009), "An iterative scheme for equilibrium problems and fxed point problems of strict pseudocontraction mappings", J Comp Appl Math., 223, pp 967-974 89 [26] Y Censor, S A Zenios (1997), Parallel Optimization: Theory, Algorithms, and Applications, Numerical Mathematics and Scientific Computation, Oxford University Press, New York, NY, USA [27] F Cianciaruso, G Marino, L Muglia (2010), "Iterative methods for equilibrium and fixed point problems for nonexpansive semigroups in Hilbert spaces", J Optim Theory Appl., 146, pp 491-509 [28] I Cioranescu (1990), Geometry of Banach spaces, Duality Mappings, and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers [29] R Chen, H He (2007), "Viscosity approximation of common fixed points of nonexpansive semigroups in Banach spaces", Appl Math Lett., 20, pp 751-757 [30] J Chen, L Zhang, T Fan (2007), "Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Math Anal Appl., 334, pp 1450-1461 [31] R Chen, Y Song, (2007), "Convergence to common fixed point of nonexpansive semigroups", J Comput Appl Math., 200, pp 566-575 [32] R D Chen, Y S Song, H Zhou (2006), "Convergence theorems for implicit iteration process for a finite family of continuous pseudocontractive mappings", J Math Anal Appl., 314, pp 701-706 [33] C E Chidume, M Abbas, B Ali (2007), "Convergence of the Mann iteration algorithm for a class of pseudocontractive mappings", Appl Math Comp., 194, pp 1-6 [34] C E Chidume, N Shahzad (2010), "Weak convergence theorems for a finite family of strict pseudocontractions", Nonlinear Anal., 72, pp 12571265 90 [35] P Cholamjiak, S Suantai (2013), "Iterative methods for solving equilibrium problems, variational inequalities and fixed points of nonexpansive semigroups", J Glob Optim., 57, pp 1277-1297 [36] Dr Christian, O Ewald (2007), Games, Fixed Points and Mathematical Economics, Lecture Notes for a course in Game Theory [37] C S Chuang, L J Lin, W Takahashi (2013), "Halpern’s type iterations with perturbations in Hilbert spaces: equilibrium solutions and fixed points", J Glob Optim., 56, pp 1591-1601 [38] V Colao, G Marino, H K Xu (2008), "An iterative method for finding common solutions of equilibrium and fixed point problems", J Math Anal Appl., 344, pp 340-352 [39] K Deimling (1974), "Zeros of accretive operators", Manuscripta Math., 13, pp 365-374 [40] K Goebel, W A Kirk (2008), "Some problems in metric fixed point theory", J Fixed point Theory Appl., 4, pp 13-25 [41] J P Gossez, E Lami Dozo (1972), "Some geometric properties related to the fixed point theory for nonexpansive mappings", Pacific J Math., 40, pp 565-573 [42] C W Groetsch (1972), "A note on segmenting Mann iterates", J Math Anal Appl., 40, pp 369-372 [43] B Halpern (1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull Amer Math Soc., 73, pp 957-961 [44] Y Hao (2008), "Convergence theorems of common fixed points for pseudocontractive mappings", Fixed Point Theory Appl., Vol 2008 Art ID 902985 91 [45] J G O’Hara, P Pillay, H K Xu (2006), "Iterative approaches to convex feasibility problems in Banach spaces", Nonlinear Anal., 64, pp 2022-2042 [46] H He, R Chen (2007), "Strong convergence theorems of the CQ method for nonexpansive semigroups", Fixed Point Theorey and Applications, vol 2007, Article ID 59735, pages [47] H He, R Chen (2007), "Strong convergence theorems of the CQ method for nonexpansive semigroups", Fixed Point Theorey and Applications, vol 2007, Article ID 59735, pages [48] S Ishikawa (1974), "Fixed points by a new iteration method", Proc Amer Math Soc., 44, pp 147-150 [49] C Jaiboon, P Kumam (2010), "A general iterative method for solving equilibrium problems, variational inequality problems and fixed point problems of an infinite family of nonexpansive mappings", J Appl Math Comput., 34, pp 407-439 [50] A Kaewcharoen, W.A Kirk (2006), "Proximinality in geodesic spaces", Abstr Appl Anal Article ID 43591, 10 pages [51] S Kamimura, W Takahashi (2000), "Weak and strong convergence of solutions to accretive operator inclusions and applications", Set-Valued Anal., 8, pp 361-374 [52] R Kannan (1973), "Construction of fixed points of class of nonlinear mappings", J Math Anal Appl., 41, pp 430-438 [53] R Kannan (1971), " Some results on fixed points-III", Fund Math., 70, pp 169-177 [54] T H Kim, H K Xu (2006), "Strong convergence of modified Mann iterations for asymptotically nonexpansive mappings and semigroups", Nonlinear Anal Appl., 64, pp 1140-1152 92 [55] M A Krasnoselskij (1955), "Two remarks on the method of successive approximations", Uspekhi Mat Nauk., 10, pp 123-127 [56] P Kumam (2009), "A new hybrid iterative method for solution of equilibrium problems and fixed point problems for an inverse strongly monotone operator and a nonexpansive mapping", J Appl Math Comput., 29, pp 263-280 [57] T Laokul, B Panyanak (2009), "Approximating fixed points of nonexpansive mappings in CAT(0) spaces", Int Journal Math Analysis, 3, pp 1305-1315 [58] H Y Li, H Z Li (2009), "Strong convergence of an iterative method for equilibrium problems and variational inequality problems", Fixed Point Theory and Applications, vol 2009, article ID 362191, 21 pages [59] W R Mann (1953), "Mean value methods in iterations",Proc Amer Math Soc., 4, pp 506-510 [60] G Marino, H K Xu (2007), "Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces", J Math Anal Appl., 329, pp 336-346 [61] A Moudafi (2013), "A relaxed alternating CQ-algorithm for convex feasibility problems", Nonlinear Anal., 79, pp 117-121 [62] A Moudafi (2000), "Viscosity approximating methods for fixed point problems", J Math Anal Appl., 241, pp 46-55 [63] K Nakajo, W Takahashi (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl 279, pp 372-379 93 [64] W Nilsrakoo, S Saejung (2008), "Weak and strong convergence theorems for countable Lipschitzian mappings and its applications", Nonlinear Anal., 69, pp 2695-2708 [65] W Nilsrakoo, S Saejung (2011), "Strong convergence theorems by Halpern-Mann iterations for relatively nonexpansive mappings in Banach spaces Appl Math Comp., 217, pp 6577-6586 [66] M O Osilike (2004), "Implicit iteration process for common fixed points of a finite family of strictly pseudocontractive maps", J Math Anal Appl., 294, pp 73-81 [67] B Panyanak (2008), "Mann and Ishikawa iterative processes for multivalued mappings in Banach spaces", Comp Math Appl., 54, 872-877 [68] J W Peng, J.C Yao (2010), "Ishikawa iterative algorithms for a generalized equilibrium problem and fixed point problems of a pseudo-contraction mapping", J Glob Optim., 46, pp 331-345 [69] S Plubtieng, R Punpaeng (2008), "A new iterative method for equilibrium problems and fixed point problems of nonexpansive mappings and monotone mappings", Appl Math Comp., 197, pp 548-558 [70] S Plubtieng, R Punpaeng (2007), "A general iterative method for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces", J Math Anal Appl., 336, pp 455-469 [71] S Plubtieng, T Thammathiwat (2010), "A viscosity approximation method for equilibrium problems, fixed point problems of nonexpansive mappings and a general system of variational inequalities", J Glob Optim., 46, pp 447-464 94 [72] O Popescu (2007), "Picard iteration converges faster than Mann iteration for a class of quasi-contractive operators", Mathematical Communications, 12, pp 195-202 [73] X Qin, Y J Cho (2010), "Implicit iterative algorithms for treating strongly continuous semigroups of Lipschitz pseudocontractions", Appl Math Lett., 23, pp 1252-1255 [74] X Qin, S M Kang, Y J Cho (2010), "Approximating zeros of monotone operators by proximal point algorithms" J Glob Optim., 46, pp 75-87 [75] Y Qing, B E Rhoades (2008), "Comments on the rate of convergence between Mann and Ishikawa iterations applied to Zamfirescu operators", Fixed Point Theory and Applications, vol 2008, Article ID 387504, pages [76] S Saeidi (2008), "Approximating common fixed points of Lipschitzian semigroup in smooth Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, vol 2008, article ID 363257, 17 pages [77] S Saejung (2008), "Strong convergence theorem for nonexpansive semigroups without Bochner integrals", Fixed Point Theorey and Applications, vol 2008, Article ID 745010, pages [78] M I Sezan, H Stark (1987), "Application of convex projection theory to image recovery in tomography and related areas", in Image Recovery: Theory and Applications, H Stark, Ed., pp 415-462, Academic Press, Orlando, Fla, USA [79] N Shahzad, J Markin (2008), "Invariant approximations for commuting mappings in CAT(0) and hyperconvex spaces", J Math Anal Appl., 337, pp 1457-1464 95 [80] T Shimizu, W Takahashi (2007), "Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 211, pp 71-83 [81] T Shi, S He (2010), "Modified hybrid algorithms for Lipschitz quasipseudo-contractive mappings in Hilbert spaces", Comp Math Appl., 59, pp 2940-2950 [82] S ¸ M S ¸ olutuz (2005), "The equivalence of Picard, Mann and Ishikawa iterations dealing with quasi-contractive operators", Mathematical Communications, 10, pp 81-88 [83] Y Song, R Chen (2007), "Convergence theorems of iterative algorithms for continuous pseudocontractive mappings", Nonlinear Anal., 67, pp 486497 [84] Y Song, J I Kang, Y J Cho (2010), "On iterations methods for zeros of accretive operators in Banach spaces", Appl Math and Comp., 216, pp 1007-1017 [85] Y Song, S Xu (2008), "Strong convergence theorems for nonexpansive semigroup in Banach spaces", J Math Anal Appl., 338, pp 152-161 [86] Y Song (2007), "On a Mann type implicit iteration process for continuous pseudo-contractive mappings", Nonlinear Anal., 67, pp 3058-3063 [87] Y Su, X Qin (2008), "Monotone CQ iteration processes for nonexpansive semigroups and maximal monotone operators", Nonlinear Anal., 68, pp 3657-3664 [88] Y Su, M Li, H Zhang (2011), "New monotone hybrid algorithm for hemi-relatively nonexpansive mappings and maximal monotone operators", Appl Math Comp., 217, pp 5458-5465 96 [89] T Suzuki (2005), "Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type sequences for one- parameter nonexpansive semigroups without Bochner integrals", J Math Anal Appl., 305, pp 227-239 [90] T Suzuki (2003), " On strong convergence to common fixed points of nonexpansive semigroups in Hilbert space", Proc Amer Math Soc., 131, pp 2133-2136 [91] W Takahashi (2000), Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory and Its Applications, Yokohama Publishers, Yokohama, Japan [92] W Takahashi, Y Takeuchi, R Kubota (2008), "Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", J Math Anal Appl., 341, pp 276-286 [93] S Thianwan (2009), "Common fixed points of new iterations for two asymptotically nonexpansive nonself mappings in a Banach space", J Comput Appl Math., 224, pp 688-695 [94] N T T Thuy (2103), "A new hybrid method for variational inequality and fixed point problems", Vietnam J Math., 41, pp 353-366 [95] N T T Thuy (2014), "A strongly convergent shrinking descent-like Halpern’s method for monotone variational inequality and fixed point problems", Acta Math Vietnam, 39, pp 379-391 [96] N T T Thuy (2015), "An iterative method for equilibrium, variational inequality, and fixed point problems for a nonexpansive semigroup in hilbert spaces", Bull Malays Math Sci Soc., 38, pp 113-130 [97] Z M Wang, Y Su, S, Y Cho, W Lou (2011), "A new iterative algorithm for equilibrium and fixed point problems of nonexpansive mapping", J Glob Optim., 50, pp 457-472 97 [98] R Wittmann (1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive mappings", Arch Math., 58, pp 486-491 [99] H K Xu (1998), "Approximations to fixed points of contraction semigroups in Hilbert spaces", Numer Funct Anal Optim., 19, pp 157-163 [100] Z Xue (2008), "The comparison of the convergence speed between Picard, Mann, Krasnoselskij and Ishikawa iterations in Banach spaces", Fixed Point Theorey and Applications, vol 2008, Article ID 387056, pages [101] H K Xu (2005), "A strong convergence theorem for contractions semigroups in Banach spaces", Bull Austr Math Soc., 72, pp 371-379 [102] H K Xu (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 298, pp 279-291 [103] H K Xu (2005), "A strong convergence theorem for contraction semigroups in Banach spaces", Bull Austral Math Soc., 72, pp 371-379 [104] H K Xu (2001), "Strong asymptotic behavior of almost-robits of nonlinear semigroups", Nonlinear Anal., 46, pp 135-151 [105] H K Xu, R G Ori (2001), "An implicit iteration process for nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optimiz., 22, pp 767-773 [106] Yamada, N Ogura (2004), "Hybrid steepest descent method for variational inequality problem over the fixed point set of certain quasinonexpansive mappings", Numer Func Anal Opt., 25, pp 619-656 [107] G M Yanes, H K Xu (2006), "Strong convergence of the CQ method for fixed point iteration processes", Nonlinear Anal., 64, pp 2400-2411 [108] Y Yao, Y C Liou, J C Yao (2007), "Convergence theorem for equilibrium problems and fixed point problems of infinite family of nonexpan98 sive mappings", Fixed Point Theory and Applications, vol 2007, article ID 64363, 12 pages [109] I Yildirim, M Ozdemir, H Kiziltunc (2009) "On the convergence of a new two-step iteration in the class of quasi-contractive operators", Int Journal of Math Analysis, 3, pp 1881-1892 [110] D C Youla (1987), "Mathematical theory of image restoration by the method of convex projections", in: H Stark (Ed.), Image Recovery: Theory And Applications, Academic Press, Florida, pp 29-77 [111] T Zamfirescu (1972), "Fixed point theorems in metric spaces", Archiv der Mathematik, 23, pp 292-298 [112] S S Zhang (2009), "Convergence theorem of common fixed points for Lipschitzian pseudo-contraction semi-groups in Banach spaces", Appl Math Mech -Engl Ed., 30, pp 145-152 [113] S S Zhang (2010), "Weak convergence theorem for Lipschitzian pseudocontraction semigroups in Banach spaces", Acta Mathematica Sinica, Einglish Series, 26, pp 337-344 [114] H Zhou (2008), "Convergence theorems of common fixed points for a finite family of Lipschitz pseudocontractions in Banach spaces", Nonlinear Anal., 68, pp 2977-2983 99 ... triển không ngừng Cho đến có nhiều kết nghiên cứu phương pháp tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ không giãn điểm bất động chung cho họ ánh xạ khác họ ánh xạ giả co, họ ánh xạ giả co chặt Một phương. .. ánh xạ giả co Lớp ánh xạ giả co chặt lớp ánh xạ giả co mạnh độc lập Lớp ánh xạ giả co chặt nằm lớp ánh xạ giả co, ngược lại không Ánh xạ giả co chặt ánh xạ Lipschitz không ánh xạ không giãn Ánh. .. D(T ) Khi ánh xạ giả co chặt ánh xạ Lipschitz với số Lipschitz 1+k 1−k Có mối liên hệ lớp ánh xạ sau: Lớp ánh xạ co ⊂ lớp ánh xạ không giãn ⊂ lớp ánh xạ giả co Lớp ánh xạ co ⊂ lớp ánh xạ giả co