Hình học tổ hợp với các phương pháp chứng minh luận văn ths toán học 84601

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC ĐẮC HÌNH HỌC TỔ HỢP VỚI CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC ĐẮC HÌNH HỌC TỔ HỢP VỚI CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460101.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Hữu Điển Hà Nội - Năm 2018 Mục lục Lời nói đầu Chương Tổng quan phương pháp chứng minh 1.1 Phương pháp quy nạp 1.2 Phương pháp phản 1.3 Nguyên lý Dirichlet 1.4 Nguyên lý cực hạn Chương Các phương pháp chứng minh cho tốn hình học tổ hợp 2.1 Tổng quan hình học 2.2 Vận dụng phương pháp 2.3 Vận dụng phương pháp 2.4 Vận dụng nguyên lý Diri 2.5 Vận dụng nguyên lý cực Chương Ứng dụng phương pháp theo chủ đề hình học Các tốn thi Olympic ngồi nước 3.1 Hệ điểm đường c 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 3.2 Hệ đường cong m i 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.3 Phép phủ đóng gói 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 Phép tô màu 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.5 Các toán thi Olympic Kết luận Tài liệu tham khảo ii Lời nói đầu Hình học tổ hợp phận hình học nói chung nhánh tổ hợp Những toán Hình học tổ hợp thường liên quan nhiều đến đối tượng tập hợp hữu hạn Vì toán mang đặc trưng rõ nét toán học rời rạc Các tốn hình học tổ hợp đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều tốn phát biểu đơn giản, thấy để giải cần trang bị kiến thức riêng hình học tổ hợp hình học Khi tốn trở nên dễ dàng Tuy nhiên có địi hỏi kiến thức chun sâu, chí có nhiều tốn hình học tổ hợp tổng qt cho khơng gian chưa có lời giải Hình học tổ hợp nước ta coi nội dung dành cho học sinh khá, giỏi bậc Trung học sở thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic truyền thống 30/4, đề thi Olympic Tốn quốc tế Vì luận văn em xin trình bày đề tài: “Hình học tổ hợp với phương pháp chứng minh” Trong luận văn em đưa số phương pháp chứng minh thường sử dụng cho tốn hình học tổ hợp ứng dụng phương pháp vào chứng minh tốn theo chủ đề, có đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên, thi học sinh giỏi nước thời gian qua Bố cục luận văn gồm ba chương: Chương Tổng quan phương pháp chứng minh Chương trình bày phương pháp vận dụng để giải tốn nói chung như: phương pháp quy nạp, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cực hạn Ngoài phương pháp phản chứng sử dụng nhiều đan xen phương pháp khác Chương Các phương pháp chứng minh cho tốn Hình học tổ hợp Chương đưa tổng quan Hình học tổ hợp ví dụ minh họa cách áp dụng phương pháp chứng minh cho tốn Hình học tổ hợp Chương Ứng dụng phương pháp theo chủ đề hình học; tốn thi học sinh giỏi, thi Olympic ngồi nước Chương đưa số tốn Hình học tổ hợp theo chủ đề như: Bài toán hệ điểm đường cong; toán đường cong miền; tốn phủ hình bao hình; tốn tơ màu; tốn có đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic Toán Để hoàn thành luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Điển dành thời gian hướng dẫn, bảo, tận tình giúp đỡ em trình xây dựng đề tài hoàn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phịng sau Đại học, khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập trường Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Rất mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng năm 2018 Học viên Nguyễn Đức Đắc Chương Tổng quan phương pháp chứng minh Chương liệt kê phương pháp điển hình vận dụng để giải tốn trung học phổ thơng như: phương pháp quy nạp, phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cực hạn Mỗi phương pháp trình bày độc lập sử dụng chúng đan xen phương pháp khác ta giải nhiều tập hay thú vị 1.1 Phương pháp quy nạp Phương pháp quy nạp có vai trị vơ quan trọng toán học, khoa học sống Đối với nhiều tốn chương trình tốn phổ thơng tốn logic, tức tốn khơng mẫu mực, phương pháp quy nạp cho ta nhiều cách giải hữu hiệu Suy diễn q trình từ “tính chất” tập thể suy tính chất cá thể, nên ln ln đúng, cịn q trình ngược lại, tức q trình quy nạp: từ “tính chất” số thể suy “tính chất” tập thể khơng phải lúc đúng, mà q trình thỏa mãn số điều kiện đó, tức thỏa mãn nguyên lý quy nạp: Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau: (a) Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ mà S(n) xác định) (b) Từ tính đắn S(n) n = t (hoặc giá trị n (k0 n t)) (t k0), ta cần chứng minh tính đắn S(n) n = t + Khi S(n) với n k0 Giả sử khẳng định S(n) xác định với n t0 Để chứng minh S(n) 8n t0 quy nạp ta cần thực theo hai bước sau: Cơ sở quy nạp: chứng minh S(n) với số tự nhiên n = t0 Quy nạp: giả sử khẳng định S(n) đến n = t (hoặc n (t0 n t)) (t t0) Trên sở giả thiết ta chứng minh tính đắn S(n) n = t + 1, tức S(t + 1) Nếu hai bước thỏa mãn, theo nguyên lý quy nạp S (n) với 8n t0 Giả thiết bước quy nạp mệnh đề với n = t gọi giả thiết quy nạp Ví dụ 1.1.1 Chứng minh mệnh đề S(n) sau với tất số tự nhiên n n(n + 1) 0+1+2+ +n= Giải Cơ sở quy nạp: Ta có S(0) = (0+1) Hai vế nên mệnh đề với n = Vì S(0) Quy nạp: Giả sử S(k) đúng, ta phải chứng minh S(k + 1) đúng, tức + (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1) 0+1+2+ +k+k+1= Sử dụng giả thiết quy nạp S(k) k(k + 1) = đúng, vế trái viết thành (k + 1)(k + 2) = (k + 1) ((k + 1) + ) Vậy S(k + 1) Vì bước sở quy nạp bước quy nạp thực hiện, mệnh đề S(n) với số tự nhiên n Ví dụ 1.1.2 Cho x + x, x 6= số nguyên Chứng minh với số nguyên dương n, số n T(n, x) = x + x n số nguyên Giải Bài toán giải quy nạp 1 Cơ sở quy nạp: Với n = 1, theo giả thiết ta có T(1, x) = x + x số nguyên, nên khẳng định Quy nạp: Giả sử với n = k khẳng định đúng, nghĩa k T(k, x) = x + số nguyên Với n = k + số T(k + 1, x) = x k+1 + = x+ Theo giả thiết quy nạp, số x + nên T(k + 1, x) số nguyên khẳng định với số nguyên dương n n Ví dụ 1.1.3 Chứng minh A(n) = + 3n tự nhiên n Giải Bài toán giải quy nạp Cơ sở quy nạp: Với n = 0, ta có A(0) = chia hết cho 9, nên khẳng định Quy nạp: Giả sử A(k) chia hết cho với k N Ta chứng minh A(k + 1) chia hết cho Thật vậy, ta có k+1 A(k + 1) = = + 3(k + 1) 7A(k) 9(2k 1) Theo giả thiết quy nạp A(k) chia hết cho 9, dó A(k + 1) chia hết cho Vậy A(n) chia hết cho với số tự nhiên n gọi x độ dài cạnh hình, ta có x Khi đó, hình chữ nhật nhỏ chứa chúng nói có cạnh x x + p f (x) = , 8x q 2 8x + = , x = + p Từ đó, x = (1 + p Bài 3.5.4 (IMO 1964 [6]) Trong mặt phẳng cho điểm Những đường thẳng nối điểm không song song, không vuông góc khơng trùng Qua điểm cho, kẻ đường vng góc với tất đường thẳng qua bốn điểm cịn lại Tìm số lượng lớn điểm cắt đường hạ vng góc, khơng tính điểm cho Giải Bốn điểm xác định định C4 = đường thẳng Suy từ điểm cho kẻ đường vng góc, tổng cộng 30 đường vng góc Số lượng điểm cắt đường vng góc C30 = 435 Số lượng phải trừ điểm sau: Số lượng điểm khơng tính cặp năm điểm cho, nghĩa 5C6 = 75 (điểm) Từ hai điểm hạ đường vng góc xuống đường đường thẳng chúng song song với không cắt nhau, ta gọi điểm điểm bị Số lượng điểm bị từ đường thẳng song song vng góc với đường thẳng qua (5 2) = (điểm) lại Suy C3 = (điểm) Vậy tổng C5 = 30 (điểm) Cặp năm điểm cho lấy theo ba xác định C5 = 10 (tam giác) Tại trực tâm hai điểm tổng số 20 điểm 77 Suy số lượng lớn điểm cắt 435 75 310 (điểm) 30 20 = Bài 3.5.5 (IMO 1974 [6]) Ta xét cách chia bàn cờ quốc tế cỡ 8 thành p hình chữ nhật, đơi khơng có điểm chung, chúng thỏa mãn điều kiện sau: i) Mỗi hình chữ nhật tạo ngun chứa trắng có nhiêu ô đen; ii)Nếu số lượng ô trắng hình chữ nhật thứ i, a1 < a < a < < a p Hãy tìm giá trị lớn p, với cách chia tồn tại, với số cực đại p vậy, tìm tất dãy a1, a2, , ap mà chúng thể cách chia với tính chất Giải Từ ii) điều kiện toán ta có 32 = a1 + a2 ++ ap p( p + 1) Từ suy p Ta viết tất khả xảy cho phân tích 32 thành tổng số tự nhiên khác nhau: 1.32 = 1+2+3+4+5+6+11, 2.32 = 1+2+3+4+5+7+10, 3.32 = 1+2+3+4+5+8+9, 4.32 = 1+2+3+4+6+7+9, 5.32 = 1+2+3+5+6+7+8 Trường hợp thành thực, bàn cờ cỡ 8 khơng tồn hình chữ nhật với 22 Những trường hợp lại thực 78 dễ dạng dựng ví dụ tương ứng: 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 Bài 3.5.6 (IMO 1987 [6]) Cho n số nguyên lớn Chứng minh tồn tập n điểm mặt phẳng cho khoảng cách hai điểm số vô tỉ tập ba điểm xác định tam giác khơng suy biến với diện tích hữu tỉ Giải Xét tập hợp n điểm mặt phẳng S = f(x, x ) j x = 1, 2, , ng 2 Khoảng cách hai điểm A(a, a ) B(b, b ) S q d(A, B) = (a b) + (a 22 b ) = ja q bj + ( a + b) Do a + b > + (a + b) khơng phải số phương, từ d(A, B) số vơ tỉ 2 Nhưng diện tích tam giác có ba đỉnh S: A (a, a ), B(b, b ) C(c, c ) với a < b < c 79 số hữu tỉ khác khơng Vậy S tập cần tìm Bài 3.5.7 (IMO 1999 [6]) Hãy tìm tất tập hợp hữu hạn S có ba điểm thuộc mặt phẳng cho với tất điểm khác A, B thuộc S, đường trung trực AB trục đối xứng cho S Giải Tập có khả đa giác n cạnh (n > 2) Ký hiệu A1, A2, , Ak đỉnh bao lồi S (và lấy số mod k cần thiết) Ta chúng tạo đa giác lồi k cạnh A k+1 phải nằm đường trung trực A i Ai+2 (ngược lại, điểm đối xứng nằm ngồi bao lồi) Do đó, cạnh Tương tự A i+1 Ai+2 phải đối xứng với đường trung trực A i Ai+3 (ngược lại, điểm đối xứng nằm bao lồi) Do tất góc Bất kì trục đối xứng cho S phải trục đối xứng cho A i, i = 1, , k, phải qua tâm C đa giác k cạnh Giả sử X điểm thuộc S phần k-đa giác Khi đó, nằm cạnh bên tam giác Ai Ai+1C đấy, C phải tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Ai Ai+1X (vì nằm ba tâm đường trung trực, mà chúng phải trục đối xứng S), X phải nằm đường tròn tâm C, qua Ai Ai+1 Nhưng tất điểm tam giác Ai Ai+1X thực nằm đường tròn này, ngoại trừ Ai Ai+1 Vậy X phần k-đa giác Bài 3.5.8 (VMO 2017) Cho số nguyên n > Bảng ô vng ABCD kích thước n n gồm n vuông đơn vị, ô vuông đơn vị tô ba màu: đen, trắng, xám Một cách tô màu gọi đối xứng ô có tâm đường chéo AC tơ màu xám cặp ô đối xứng qua AC tô màu đen màu trắng Người ta điền vào ô xám số 0, ô trắng số nguyên dương ô đen số nguyên âm Một cách điền số gọi k-cân đối (với k nguyên dương) thỏa mãn điều kiện sau i) Mỗi cặp ô đối xứng qua AC điền số nguyên thuộc đoạn [ k, k] 80 ii) Nếu hàng cột giao đen tập số ngun dương điền hàng tập số nguyên dương điền cột khơng giao nhau; hàng cột giao ô trắng tập số nguyên âm điền hàng tập số nguyên âm điền cột khơng giao a) Với n = 5, tìm giá trị nhỏ k để tồn cách điền số kcân đối cho cách tô màu đối xứng hình bên b) Với n = 2017, tìm giá trị nhỏ k để với cách tô màu đối xứng, tồn cách điền số k-cân đối Giải a) Gọi Ai tập hợp số nguyên dương hàng i với i = 1, 2, 3, 4, Theo hình đề bài, ta cần có A1 \ A3 = ˘ hàng 1, cột giao đen cột giống hàng Tương tự, A \ A4 =, A3 \ A5 = Ngồi ra, hàng 1, cột có chung trắng góc nên hàng 1, hàng thỏa mãn A1 \ A5 6= ˘ tương tự A3 \ A4 6= , A4\A56=˘ Trước hết, k = không đủ khơng thể điền số A \ A3 = ˘ Giả sử với k = điền được, jA1j = jA1j = khơng cịn số để chọn cho A Gải sử A1 = f1g A3 = A4 = f2g, A5 = f1g Nhưng ý A4 \ A5 6= ˘ nên mâu thuẫn Suy k Ta chứng minh k = thỏa với cách điều sau: 81 b) Điều kiện cần: Trước hết, xét cách tô màu đối xứng bàn cờ, tức trắng đen xen kẽ, vị trí (i, j) tơ đen i + j chẵn, ngược lại tơ trắng Xét hai trắng bảng ô vuông sau vị trí (a, b) (c, d), a, b, c, d 2017 Nếu a + c chẵn b + d chẵn, suy a + d b + c lẻ Khi đó, hai (a, d) (b, c) tơ đen chúng nằm đường chéo màu xám Suy hai ô vuông trắng phải điền số khác Nếu a + c lẻ b + d lẻ, xét ô (d, c) điền số với (c, d) rõ ràng ta áp dụng lập luận để suy hai số điền cho hai khác 82 Từ suy tất số điền cho ô trắng nằm nửa bên phải bảng đôi phân biệt Do đó, ta thu kết 20172 k 2+4+6+ + 2016 = 1008 1009 = Điều kiện đủ: Ta chứng minh k = 20172 thỏa mãn toán quy nạp kết với với n số nguyên dương, cụ thể k = j Thật vậy, với n = 1, n = 2, n = 3, ta dễ tương ứng Xét n giả sử khẳng định với số nguyên dương bé n Đánh số hàng từ ! n cột ! n Ta chứng minh với vị trí đen ln tồn cách điền số ngun dương khơng vượt q k n vào trắng cịn lại bảng (trường hợp điền số âm tương tính bình đẳng) Xét đồ thị G = (V, E) mà V tập hợp đỉnh, đỉnh thứ i ứng với hàng thứ i i n; cịn E tập hợp cạnh, có cạnh nối từ đỉnh thứ i đến đỉnh thứ j ô (i, j) ô (j, i) ô màu trắng Ta phát biểu bổ đề sau: Bổ đề (Định lý Mantel-Turan) Xét đồ thị đơn vơ hướng có n đỉnh jk Áp dụng vào toán, ta xét trường hợp sau: Nếu đồ thị G khơng có chứa tam giác, theo bổ đề có khơng j n2 n q k cạnh, ngh k= số nguyên jk nữa) Nếu đồ thị G có chứa tam giác, giả sử đỉnh a, b, c phân biệt nối với đôi Điều này tương ứng với việc ô (a, b), (b, c), (c, a) (b, a), (c, b), (c, b), (a, c) giao điểm hàng a, b, c tơ màu trắng Khi đó, số điền vào khơng cần phải phân biệt tập hợp trắng (nếu có) cịn lại hàng a, b, c không cần phải rời Rõ ràng hàng cịn lại khơng q n Khi đó, ta dùng số để điền vào ô trắng dùng không n số phân biệt để điền vào cịn lại hàng Nếu khơng tính hàng a, b, c, ta lại n hàng, sử dụng 83 giả thiết quy nạp cần khơng q j4 biệt cho hàng Do đó, trường hợp dương phân biệt cần dùng khơng vượt q k 1+n Tóm lại, trường hợp, ta cần sử dụng không jk số nguyên dương phân biệt để điền vào trắng hay nói cách khác jk k= n thỏa mãn đề với n n Theo nguyên lý quy nạp khẳng định chứng minh Vậy giá trị tốt cần tìm k 20172 84 Kết luận Với mục đích giới thiệu số phương pháp chứng minh thường sử dụng cho tốn hình học tổ hợp ứng dụng phương pháp vào chứng minh toán theo chủ đề, luận văn đạt kết ban đầu sau: Trình bày phương pháp vận dụng để giải tốn nói chung như: phương pháp quy nạp, phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cực hạn Áp dụng phương pháp quy nạp, phản chứng, nguyên lý Dirich-let, nguyên lý cực hạn cho tốn hình học tổ hợp Trình bày tổng quan hình học tổ hợp giải số tốn hình học tổ hợp theo chủ đề như: toán hệ điểm đường cong; toán đường cong miền; tốn phủ hình bao hình; tốn tơ màu; tốn có đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic Toán 85 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vũ Hữu Bình (2016), Hình học tổ hợp, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2]Trần Nam Dũng (chủ biên) (2017), Các kỳ thi tốn VMO lời giải bình luận, NXB Thế giới [3]Nguyễn Hữu Điển (1999), Phương pháp Dirichlet ứng dụng, NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội [4]Nguyễn Hữu Điển (2001), Những phương pháp điển hình giải tốn phổ thông, NXB Giáo dục [5]Nguyễn Hữu Điển (2004), Sáng tạo giải tốn phổ thơng, NXB Giáo dục [6]Nguyễn Hữu Điển (2005), Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục [7]Phan Huy Khải (2007), Các tốn hình học tổ hợp, NXB Giáo dục Tiếng Anh [8]J Herman, R Kucera, and J Simsa (2003), Counting and Configura-tions Problems in Combinatorics, Arithmetic, and Geometry, Translated by Karl Dilcher, Springer 86 ... tế Vì luận văn em xin trình bày đề tài: ? ?Hình học tổ hợp với phương pháp chứng minh? ?? Trong luận văn em đưa số phương pháp chứng minh thường sử dụng cho toán hình học tổ hợp ứng dụng phương pháp. .. Các phương pháp chứng minh cho tốn Hình học tổ hợp Chương đưa tổng quan Hình học tổ hợp ví dụ minh họa cách áp dụng phương pháp chứng minh cho tốn Hình học tổ hợp Chương Ứng dụng phương pháp theo...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC ĐẮC HÌNH HỌC TỔ HỢP VỚI CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 846010 1.13 LUẬN VĂN THẠC