Số học, hình học của nhóm địa số và các không gian thuần nhất liên quan trên trường số học 62 46 05 01

Mục lục Mục lục Bảng số ký hiệu Bảng số thuật ngữ Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Nhóm đại số tuyến tính Lược đồ nhóm affine Đối đồng điều Galois Đối đồng điều phẳng Tơpơ tập, nhóm đối đồ 1.5.1 1.5.2 1.5.3 Một số tính chất hữu tỷ nhóm quan sát nhóm Grosshans 2.1 2.2 2.3 2.4 Các tính chất hữu tỷ nhóm quan sát Các tính chất hữu tỷ nhóm tồn cấu Các tính chất hữu tỷ nhóm Grosshans Kết luận Chương Về dạng tương đối cho Định lý Bogomolov trường hồn thiện ứng dụng 3.1 3.2 Một số khái niệm kết Một số kết lý thuyết biểu diễn 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.3Dạng tương đối cho định lý Bogomolov 3.3 3.3 3.4 Một số tính chất hữu tỷ nhóm tựa parabolic nhóm parabolic 3.5Kết luận Chương Quỹ đạo tương đối ứng với tác động nhóm đại số trường địa phương 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Kết luận Một số kết sơ Quỹ đạo tương đối nh Quỹ đạo tương đối nh 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.3.8 4.3.9 Một số tính tốn trư Kết luận Chương Danh mục công trình tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Bảng số ký hiệu N Z Q R C tập số tự nhiên vành số nguyên trường số hữu tỷ trường số thực trường số phức Fq trường hữu hạn gồm q phần tử Qp trường số p-adic Zp vành số nguyên p-adic Fq((T )) trường chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số Fq ¯ k k s k v Gal(K=k) H (k; G) H f l(k; G) Ga Gm GLn PGLn SLn SOn k[X] X Gthương phạm trù đa tạp X theo tác động nhóm G X =Gthương hình học đa tạp X theo tác động nhóm G G=Hkhơng gian G thương cho nhóm đóng H char: k đặc số trường k G thành phần liên thông chứa đơn vị nhóm G Bảng số thuật ngữ ánh xạ đối biên coboundary map đối compắc cocompact siêu cứng super-rigidity đa thức cộng tính additive polynomial đối đồng điều phẳng flat cohomology hàm tử (hạn chế) Weil Weil restriction k-đẳng hướng k-isotropic k-xoắn k-wound k-phân rã k-split k-không đẳng hướng k-anisotropic túy không tách purely inseparable lược đồ nhóm group scheme lược đồ nhóm vơ bé infinitesimal group scheme nhóm reductive reductive group nhóm lũy đơn unipotent group nhóm parabolic chuẩn standard parabolic subgroup nhóm parabolic parabolic subgroup nhóm tựa parabolic quasi-parabolic subgroup nhóm parabolic sub-parabolic subgroup ổn định stable nửa ổn định semi-stable không nửa ổn định unstable thiếu ổn định instable thực ổn định properly stable phần tử đơn trị hóa uniformizing element phép ngập submersion tập với phần tử đánh dấu set with a distinguished element thương hình học geometric quotient thương phạm trù categorical quotient trọng fundamental weight trọng trội dominant weight trường hàm toàn cục global function field tách mạnh strongly separable tách fairly separable xoắn twisting Mở đầu Giả sử G nhóm đại số tuyến tính xác định trường k Ta hiểu đơn giản G nhóm ma trận vuông cấp n với hệ số nằm bao đóng đại số trường k G đồng thời tập không điểm họ đa thức n biến với hệ số k Một hướng nghiên cứu quan trọng nằm Lý thuyết nhóm đại số tuyến tính Hình học Đại số Lý thuyết bất biến hình học Một phần chủ yếu lý thuyết nghiên cứu tác động (cấu xạ) nhóm đại số tuyến tính lên đa tạp đại số cho trước, đặc biệt nghiên cứu tính chất quỹ đạo Lý thuyết bất biến hình học xuất từ lâu với việc nghiên cứu Bài toán số 14 Hilbert tính chất hữu hạn sinh đại số hàm bất biến Với đóng góp D Mumford, W Haboush, M Nagata, , lý thuyết phong phú trường hợp trường k đóng đại số Tuy nhiên, từ thời điểm ban đầu Lý thuyết bất biến hình học đại, mà D Mumford người đặt móng, ơng đặt vấn đề nghiên cứu tình tương đối, tức k trường nói chung khơng đóng đại số Chẳng hạn, với động nghiên cứu toán số học (cụ thể xây dựng không gian moduli đa tạp abel, đề cập Chương [30], [31]), D Mumford xét nhiều vấn đề lý thuyết lược đồ đủ tổng quát Ngoài ra, A Borel [58], J Tits [30], đặt số câu hỏi (hay giả thuyết) mở rộng kết biết lý thuyết bất biến hình học trường đóng đại số cho trường khơng đóng đại số (chẳng hạn mở rộng định lý tiếng D Hilbert D Mumford) Những kết điển hình theo hướng thuộc D Birkes [6], G Kempf [25], M S Raghunathan [35], cho câu trả lời (hoặc lời giải) số câu hỏi (hoặc giả thuyết) đề cập Những nghiên cứu theo cách nói chung gọi nghiên cứu tính chất hữu tỷ (của nhóm đại số, đa tạp đại số, v.v ) Khó khăn gặp phải tốn nói tương tự tốn số học, ví dụ việc tìm nghiệm đa thức trường đóng đại số (“bài tốn hình học”) trường khơng đóng đại số (“bài tốn số học”) Để hiểu rõ tính chất quỹ đạo, việc nghiên cứu nhóm dừng quan trọng Có số lớp nhóm quan trọng việc nghiên cứu Lý thuyết 131 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] A Asok, B Doran, F Kirwan (2008), “Yang-Mills theory and Tamagawa numbers: The fascination of unexpected links in mathematics”, Bull London Math Soc 40(4), pp 533–567 [2] A Asok, B Doran, F Kirwan, “Equivariant motivic cohomology and quo-tients” (to appear) [3] A Bialynicki-Birula, G Hochschild, G D Mostow (1963), “Extensions of representations of algebraic linear groups”, Amer J Math 85, pp 131-144 [4] A Bialynicki-Birula, G Hochschild, G D Mostow (1963), “On homogeneous affine spaces of linear algebraic groups”, Amer J Math 85, pp 577-582 [5] F Bien, A Borel, J Kollar (1996), “Rationally connected homogeneous spaces”, Invent Math 124, pp 103-127 [6] D Birkes (1971), “Orbits of algebraic groups”, Ann Math 93, pp 459475 [7] F A Bogomolov (1979), “Holomorphic tensors and vector bundles on pro-jective varieties”, Math U S S R Izvestiya 13, pp 499-555 [8] F A Bogomolov (1978), “Unstable vector bundles and curves on surfaces”, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki), Acad Sci Fennica, Helsinki, pp 517-524 [9] A Borel (1991), Linear Algebraic Groups, (second enlarged version), G T M 126, Springer-Verlag, xi+288 pp [10] A Borel, Harish-Chandra (1962), “Arithmetic subgroups and algebraic groups”, Ann Math 75, pp 485-535 132 [11] R J Bremigan (1994), “Quotient for algebraic group actions over nonalgebraically closed fields”, J reine und angew Math., Bd 453, pp 21-47 [12] Đ P Bắc, N Q Thắng (2008), “Relative versions of theorems of Bogomolov and Sukhanov over perfect fields”, Proc Japan Acad., 84, Ser A, No 7, pp 101-106 [13] Đ P Bắc, N Q Thắng (2010), “On a relative version of a theorem of Bo-gomolov over perfect fields and its applications”, J Algebra 324 (2010)-doi:10.1016/j.jalgebra 2010.04.020, 20 pp [14]Đ P Bắc, N Q Thắng, “On the topology on group cohomology and the topol-ogy of relative orbits for action of algebraic groups over local fields”, Preprint [15] Đ P Bắc, N Q Thắng (2009), “On the topology of group cohomology of algebraic groups over local fields”, Proceedings of 4th International Confer-ence on Research and Education in Mathematics, ISBN 978-967-344-092-4, pp 524-531 [16] Đ P Bắc, N Q Thắng, “On the topology of relative orbits for action of alge-braic tori over local fields”, Preprint [17]F Coiai, Y Holla (2006), “Extension of structure group of principal bundle in positive characteristic”, J reine und angew Math., Bd 595, pp 124 [18] I Dolgachev (2003), Lectures on invariant theory, London Mathematical Society Lecture Note Series 296, Cambridge University Press, Cambridge, xvi+220 pp [19]B Green, F Pop, P Roquette (1995), “On Rumely’s local-global Principle”, Jber d Dt Math, -Verein 97, pp 43-74 [20]F Grosshans (1973), “Observable groups and Hilbert’s fourteenth problem”, Amer J Math 95, pp 229-253 [21] F Grosshans (1997), Algebraic homogeneous spaces and invariant theory, Lecture Notes in Math 1673, Springer-Verlag, vi+148 pp [22] W Hesselink (1978), “Uniform instability in reductive groups”, J reine und angew Math., Bd 303/304, pp 74-96 [23] E Hewitt, K Ross (1963), Abstract harmonic analysis, vol 1, Grundlehren der math Wiss., Bd 115, Berlin-GottingenHeidelberg 133 [24] J E Humphreys (1981), Linear Algebraic Groups, (second edition), G T M 9, Springer-Verlag, xvi+253 pp [25] G Kempf (1978), “Instability in invariant theory”, Ann Math 108(2), pp 299-316 [26] J Milne (1980), Étale cohomology, Princeton Mathematical Series, 33, Princeton University Press, Princeton, N J, xiii+323 pp [27] J Milne (2006), Arithmetic duality theorems, Second edition BookSurge, LLC, Charleston, SC, viii+339 pp [28] G Mostow (1956), “Fully reducible subgroups of algebraic groups”, Amer J Math 78, pp 200-221 [29] S Mukai (2003), An introduction to Invariants and Moduli, Cambridge Stud-ies in Advanced Math., Ser 81, Cambridge University Press, Cambridge, 2003, xx+503 pp [30] D Mumford (1965), Geometric Invariant Theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) 34, Springer-Verlag, vi+145 pp [31] D Mumford, J Fogarty, F Kirwan (1994), Geometric Invariant Theory (ex-panded version), Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) 34, Springer-Verlag, xiv+292 pp [32] V P Platonov, A Rapinchuk (1994), Algebraic Groups and Number The-ory (English translation), Pure and applied mathematics 139, Academic Press, xi+614 pp [33] B Poonen, Rational points on varieties, available at http://math berkerley.edu/ poonen [34] V L Popov, E B Vinberg (1994), Invariant Theory, Algebraic Geometry IV, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 55, Springer-Verlag, Berlin, 315 pp [35] M Raghunathan (1976), “On congruence subgroups problem”, Publ Math I H E S 46, pp 107-161 [36] M Raghunathan (1974), “A note on orbits of reductive groups”, Proc Indian Math Soc 38, pp 65-70 134 [37] S Ramanan, A Ramanathan (1984), “Some remarks on instability flag”, To-hoku Math J 36(2), pp 269-291 [38]R W Richardson (1977), “Affine coset spaces of reductive algebraic groups”, Bull London Math Soc 9, pp 38-41 [39] W Ferrer Santos, A Rittatore (2005), Actions and invariants of algebraic groups, Pure and Applied Mathematics (Boca Raton) 269, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, xvi+454 pp [40]J -P Serre (1997), Galois cohomology, Translated from the French by Patrick Ion and revised by the author, Springer-Verlag, Berlin, x+210 pp [41] J -P Serre (1964), Lie groups and Lie algebras, Harvard Lecture Notes, W Benjamin, cf also Lecture Notes in Math., vol 1500, Springer-Verlag, cor-rected fifth printing 2006, viii+168 pp [42] S Shatz (1964), “Cohomology of Artinian group schemes over local fields”, Ann Math 79, pp 411-449 [43] S Shatz (1972), Profinite groups, Arithmetic and Geometry, Annals of Math Studies, Princeton Univ Press, vol 67, Princeton [44] C S Seshadri (1977), “Geometric reductivity over arbitrary base”, Adv in Math 26, pp 225-274 [45] A A Sukhanov (1990), “Description of the observable subgroups of linear algebraic groups”, Math U S S R Sbornik 65(1), pp 97-108 [46] B Sury (2000), “An elementary proof of the Hilbert-Mumford criterion”, Electronic Journal of Linear Algebra 7, pp 174-177 [47]N Q Thắng, Đ P Bắc (2005), “Some rationality properties of observable groups and related questions” Illinois J Math 49(2), pp 431444 [48] N Q Thắng (2008), “On Galois cohomology of semisimple algebraic groups over local and global fields of positive characteristic”, Math Z., Bd 259, pp 457-470 [49] N Q Thắng, N D Tân (2008), “On the Galois and flat cohomology of unipo-tent groups over local and global function fields”, J Algebra 319, pp 4288-4324 135 [50] J Tits (1967), Lectures on Algebraic Groups, mimeographed lecture notes New Haven: Yale Univ Math Dept [51] T Venkataramana (1988), “On superrigidity and arithmeticity of lattices in semisimple groups over local fields of arbitrary characteristic”, Invent Math., Bd 92, pp 255-306 [52] W C Waterhouse (1979), Introduction to Affine Group Schemes, G.T.M 66, Springer-Verlag, xi+164 pp [53] B Weiss (1998), “Finite-dimensional representations and subgroup actions on homogeneous spaces”, Israel J Math 106, pp 189-207 Tiếng Đức [54] H P Kraft (1985), Geometrische Methoden in der Invariantentheorie, Aspect of Mathematics, D1 Friedr Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1984, x+308 pp [55] P Slodowy (1989), “Zur geometrie der Bahnen reeler reduktiver gruppen”, Algebraische Tranformationsgruppen und Invariantentheorie, DMV Sem 13, Birkhauser, Basel, pp 133-143 Tiếng Pháp [56]F Bien, A Borel (1992), “Sous-groupes épimorphiques de groupes linéaires algébriques I”, C R Acad Sci Paris Sér I Math 315, pp 649-653 [57]F Bien, A Borel (1992), “Sous-groupes épimorphiques de groupes linéaires algébriques II”, C R Acad Sci Paris Sér I Math 315, pp 13411346 [58] A Borel (1969), Introduction aux groupes arithmétiques, Hermann, Paris, 125 pp [59] A Borel, J Tits (1965), “Groupes réductifs”, Publ Math I H E S 27, pp 55-150 [60] A Borel, J Tits (1971), “Complements l’article “Groupes réductifs””, Publ Math I H E S 41, pp 253-276 [61] F Châtelet (1944), “Variations sur un thème de H Poincaré”, Annales Sci E N S 61, pp 249-300 136 [62] C Chevalley (2005), Classification des groupes algébriques semi-simples, Collected works Vol 3, Edited and with a preface by P Cartier With the collaboration of P Cartier, A Grothendieck and M Lazard Springer-Verlag, Berlin, 2005 xiv+276 pp [63] M Demazure et P Gabriel (1970), Groupes algébriques, Tome I, Paris, Mas-son, xxvi+700 pp [64] M Demazure, A Grothendieck (1970), Schémas en groupes I-III, Séminaire de Géometrie Algébrique Du Bois Marie (SGA3) 1962-1964, Lecture Notes in Math 151-153, Springer-Verlag [65] J -C Douai (1976), “2-Cohomologie galoisienne des groupes semi-simples”, Thèse, Université des Sciences et Tech de Lille [66] P Gille, L Moret-Bailly, “Action algébriques des groupes arithmétiques” (to appear)= Appendix to paper by E Ullmo and A Yafaev, “Galois orbits and equidistribution of special varieties subvarieties: towards the André-Oort con-jecture” (to appear) [67] J Giraud (1971), Cohomologies non abélienne, Grundlehren der math Wiss., Bd 179 Berlin-Gottingen-Heidelberg, ix+467 pp [68] J Oesterlé (1984), “Nombre de Tamagawa et groupes unipotents en caracter-istique p”, Invent Math 78, pp 13-88 [69]M Raynaud (1981), “Fibrés vectoriels instables-applications aux surfaces (d’après Bogomolov)”, in Surface algébriques (Orsay, 1976-78), pp 293-314, Lecture Notes in Math 868, Springer, Berlin-New York [70] G Rousseau (1981), “Instabilité dans les espaces vectoriels (d’après Bogo-molov)”, in Surface algébriques (Orsay, 1976-78), pp 263-276, Lecture Notes in Math 868, Springer, BerlinNew York [71] G Rousseau (1981), “Instabilité dans les fibrés vectoriels (d’après Bogo-molov)”, in Surface algébriques (Orsay, 1976-78), pp 277-292, Lecture Notes in Math 868, Springer, Berlin-New York [72] G Rousseau (1978), “Immeubles sphériques et théorie des invariants”, C R Acad Sci Paris Sér A-B 286, n 5, pp A247-250 [73] J -P Serre (1962), Corps locaux, Hermann, Paris, 243 pp 137 [74] Séminaire C Chevalley, Anneaux de Chow et applications, Notes polycopieés, I H P., Paris, 1958 [75]J Tits (1971), “Représentations linéaires irréductibles d’un groupe réductif sur un corps quelconque”, J reine und angew Math., Bd 247, pp 196-220 Tiếng Việt [76] N D Tân (2008), Về số học đối đồng điều Galois nhóm lũy đơn trường hàm địa phương tồn cục, Luận án Tiến sĩ toán học 138 ... Bảng số ký hiệu N Z Q R C tập số tự nhiên vành số nguyên trường số hữu tỷ trường số thực trường số phức Fq trường hữu hạn gồm q phần tử Qp trường số p-adic Zp vành số nguyên p-adic Fq((T )) trường. .. nghiệm đa thức trường đóng đại số (“bài tốn hình học? ??) trường khơng đóng đại số (“bài toán số học? ??) Để hiểu rõ tính chất quỹ đạo, việc nghiên cứu nhóm dừng quan trọng Có số lớp nhóm quan trọng việc... cứu quan trọng nằm Lý thuyết nhóm đại số tuyến tính Hình học Đại số Lý thuyết bất biến hình học Một phần chủ yếu lý thuyết nghiên cứu tác động (cấu xạ) nhóm đại số tuyến tính lên đa tạp đại số