Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán cân bằng vectơ được Blum - Oettli đưa ra năm 1994. Lớp các bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng như: bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bài toán điểm bất động, bài toán bù vectơ, bài toán cân bằng Nash vectơ.
−intD, tn Hệ 3.2 Cho x ∈ S B sở đóng, bị chặn C Giả sử đạo hàm Studniarski dS Fx (x; v) dS g(x; v) tồn theo phương v ∈ X Khi đó, x nghiệm siêu hữu hiệu địa phương (CVEP) ∀ v ∈ TA (x) thỏa mãn dS g(x; v) ∈ −intK, tồn (ξ, η) ∈ (Y × Z)∗ cho ξ ∈ intC + , η ∈ K + nên tồn N4 > cho ∀ n ≥ N4 , ξ, dS Fx (x; v) + η, dS g(x; v) ≥ Fx (x + tn ) − Fx (x) ∈ −intD hay Fx (x + tn ) ∈ −intD ∀ n ≥ N4 Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.1 ta nhận kết Chọn N = max{N3 , N4 }, từ (3.9) suy x + tn ∈ S ∩ B(x, δ) ∀ n ≥ N, (3.10) Fx (x + tn ) ∈ −intD ∀ n ≥ N (3.11) Kết hợp (3.10)-(3.11) mâu thuẫn với điều kiện (3.4) Do với v ∈ TA (x) thỏa mãn dS g(x; v) ∈ −intK ta có {dS Fx (x; v)} ∩ (−intD) = ∅ http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Đầu tiên chọn d = ∈ K, ξ ∈ D+ \ {0} = [cone(U+B)]+ \ {0} sau chọn c = 0, η ∈ K + Chú ý ξ = giả thiết dS g(x; v) ∈ −intK suy điều phải chứng minh Trong trường hợp nón C có sở đóng bị chặn B, ta có x + tn ∈ S ∩ B(x, δ) ∀ n ≥ max{N1 , N2 } x + tn ∈ S ∩ B(x, δ) ∀ n ≥ N3 ξ, c + η, d ≥ ∀ c ∈ D, d ∈ K Tiếp theo áp dụng kết thu cho toán (CVVI) Định lí 3.3 Cho x ∈ S B sở nón C Giả sử T : X → L(X, Y ) ánh xạ giá trị vectơ dS g(x; v) tồn theo phương v ∈ X Nếu x nghiệm hữu hiệu Henig địa phương (t.ứ siêu hữu hiệu địa phương thêm B đóng bị chặn) (CVVI) 551 Đinh Diệu Hằng Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN ∀ v ∈ TA (x) thỏa mãn dS g(x; v) ∈ −intK, tồn (ξ, η) ∈ (Y × Z)∗ cho ξ ∈ C ∆ (B) (t.ứ ξ ∈ int C + ), η ∈ K + , ξ, T x, v + η, dS g(x; v) ≥ Chứng minh Áp dụng Định lí 3.1 Hệ 3.2 với dS Fx (x; v) = T x, v , ta nhận kết cần chứng minh Chú ý 3.4 Phát biểu Định lí 3.1, 3.3 Hệ 3.2 ta thay nón tiếp liên TA (x) ∼ nón tiếp liên phần ITA (x) T A (x) tương ứng KẾT LUẬN Bài báo xây dựng điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu Henig siêu hữu hiệu địa phương toán cân vectơ có ràng buộc tập bất đẳng thức tổng quát theo ngôn ngữ đạo hàm Studniarski không gian Banach Kết nhận chưa nghiên cứu trước thêm nữa, chúng áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc Tài liệu [1] M Bianchi, N Hadjisavvas, and S Schaible, "Vector equilibrium problems with generalized monotone bifunctions", J Optim.Theory Appl., 92, pp.527-542, 1997 [2] Y Feng, and Q Qiu, "Optimality conditions for vector equilibrium problems with constraints in Banach spaces", Optim Lett., 8, pp.1931-1944, 2004 225(06): 548 - 552 [3] X H Gong , "Optimality conditions for vector equilibrium problems", J Math Anal Appl., 342, pp.1455-1466, 2008 [4] X H Gong, "Scalarization and optimality conditions for vector equilibrium problems", Nonlinear Analysis, 73, pp.3598-3612, 2010 [5] X J Long, Y Q Huang, and Z Y Peng, "Optimality conditions for the Henig efficient solution of vector equilibrium problems with constraints", Optim Letter, 5, pp.717-728, 2011 [6] V L Do, and D H Dinh, "On efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems with equlibrium constraints", Numer Funct Anal Optim., 36, pp.1622-1642, 2015 [7] D H Dinh, and V S Tran, "On optimality conditions for Henig efficient solution and supperefficient solution of contrained vector equilibrium problems", TNU Journal of Science and Technology, 181(5), pp.237-242, 2018 [8] M Studniaski, "Necessary and sufficient conditions for isolated local minima of nonsmooth functions", SIAM J cont/optim., 24, pp.10441049, 1986 [9] V L Do, "Higher-order necessary and sufficient conditions for strict local Pareto minima in terms of Studniarski’s derivatives", Optimization, 57, pp.593-605, 2008 [10] G Giorgi, and A Guerraggio, "On the notion of tangent cone in mathematical programming", Optim., 25, pp.11-23, 1992 [11] R.T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, 1970 Lời cảm ơn Bài báo sản phẩm Đề tài với mã số T2019-07-01 552 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn ... tương ứng KẾT LUẬN Bài báo xây dựng điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu Henig siêu hữu hiệu địa phương tốn cân vectơ có ràng buộc tập bất đẳng thức tổng quát theo ngôn ngữ đạo hàm Studniarski không... Studniarski không gian Banach Kết nhận chưa nghiên cứu trước thêm nữa, chúng áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc Tài liệu [1] M Bianchi, N Hadjisavvas, and S Schaible, "Vector equilibrium... tồn (ξ, η) ∈ (Y × Z)∗ cho ξ ∈ C ∆ (B) (t.ứ ξ ∈ int C + ), η ∈ K + , ξ, T x, v + η, dS g(x; v) ≥ Chứng minh Áp dụng Định lí 3.1 Hệ 3.2 với dS Fx (x; v) = T x, v , ta nhận kết cần chứng minh Chú ý