Bài toán tối ưu kết cấu dàn phẳng sử dụng phân tích trực tiếp có xét đến điều kiện ràng buộc về tần số dao động riêng

Bài viết trình bày cách thiết lập và giải quyết bài toán tối ưu dàn thép chịu các tổ hợp tải trọng khác nhau có xét đến điều kiện ràng buộc về tần số dao động riêng. Phân tích trực tiếp được sử dụng để xét đến các ứng xử phi tuyến tính, phi đàn hồi của kết cấu. Hàm mục tiêu của bài toán tối ưu là tổng giá thành của công trình được đơn giản hóa như hàm tổng khối lượng. Các điều kiện ràng buộc của bài toán tối ưu gồm các yêu cầu về cường độ, sử dụng và tần số dao động riêng. Thuật toán tiến hóa vi phân được sử dụng để giải bài toán tối ưu đề ra. Dàn thép phẳng 10 thanh được xem xét để minh họa cho nghiên cứu này.

Khoa học Kỹ thuật Cơng nghệ Bài tốn tối ưu kết cấu dàn phẳng sử dụng phân tích trực tiếp có xét đến điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng Hà Mạnh Hùng1*, Trương Việt Hùng2 Khoa Xây dựng dân dụng công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng Khoa Cơng trình, Trường Đại học Thủy lợi Ngày nhận 17/2/2020; ngày chuyển phản biện 21/2/2020; ngày nhận phản biện 27/3/2020; ngày chấp nhận đăng 10/4/2020 Tóm tắt: Trong báo này, tác giả trình bày cách thiết lập giải toán tối ưu dàn thép chịu tổ hợp tải trọng khác có xét đến điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng Phân tích trực tiếp sử dụng để xét đến ứng xử phi tuyến tính, phi đàn hồi kết cấu Hàm mục tiêu toán tối ưu tổng giá thành cơng trình đơn giản hóa hàm tổng khối lượng Các điều kiện ràng buộc toán tối ưu gồm yêu cầu cường độ, sử dụng tần số dao động riêng Thuật toán tiến hóa vi phân sử dụng để giải tốn tối ưu đề Dàn thép phẳng 10 xem xét để minh họa cho nghiên cứu Từ khóa: dàn thép, phân tích trực tiếp, tiến hóa vi phân, tối ưu Chỉ số phân loại: 2.1 Đặt vấn đề Kết cấu dàn loại kết cấu sử dụng phổ biến nhờ khả vượt nhịp lớn, hình thức đẹp phong phú, phát huy tối đa khả vật liệu nên khối lượng nhẹ… Việc thiết kế dàn thép thường áp dụng theo cách tiếp cận gián tiếp với bước thiết kế nhằm xét đến tính chất phi tuyến hình học kết cấu phi đàn hồi vật liệu Ở bước đầu tiên, nội lực dàn xác định dựa phân tích tuyến tính đàn hồi Từ nội lực tính tốn này, bước thứ hai dàn thiết kế riêng lẻ việc áp dụng cơng thức có xét đến ứng xử phi tuyến kết cấu cung cấp tiêu chuẩn hành AISC LRFD [1], Eurocode [2] Phương pháp thiết kế truyền thống có nhiều ưu điểm thiết kế nhanh, đơn giản kết có độ xác chấp nhận Tuy nhiên, việc tiếp cận gián tiếp khiến cho ứng xử toàn kết cấu khơng mơ tả cách xác Ngồi ra, tính tương thích phần tử riêng lẻ tồn hệ thống khơng đảm bảo Để khắc phục nhược điểm này, gần phương pháp phân tích trực tiếp nhiều nhà khoa học ý nghiên cứu, mở hướng thiết kế kết cấu dàn thép nói riêng cơng trình xây dựng nói chung Ưu điểm phân tích trực tiếp tính tốn khả chịu tải tồn cơng trình ứng xử phi tuyến cơng trình giai đoạn đàn hồi đàn hồi [3-6] * Để phát huy hiệu công tác thiết kế, thiết kế tối ưu quan tâm nghiên cứu áp dụng rộng rãi kết cấu dàn thép Ưu điểm thiết kế tối ưu cho phép đưa giải pháp thiết kế có chi phí xây dựng thấp nhiều so với phương pháp thiết kế thông thường mà yêu cầu thiết kế cơng trình đảm bảo Tùy thuộc vào mục đích nhà thiết kế mà tốn tối ưu dàn chia làm loại tối ưu tiết diện (sizing optimization), tối ưu hình học (shape optimization) hay tối ưu vật liệu (topology optimization) Trong toán tối ưu tiết diện, tiết diện dàn biến thiết kế lựa chọn cho tổng giá thành xây dựng tổng khối lượng hệ tối thiểu hóa mà đảm bảo điều kiện thiết kế Bài toán tối ưu kết cấu dàn trở nên phức tạp với độ phi tuyến cao ứng xử phi tuyến tính, phi đàn hồi cơng trình xét đến Trong trường hợp này, thuật tốn meta hơ-rít-tíc thường sử dụng để giải toán tối ưu [7-9] Một số thuật tốn meta hơ-rít-tíc hiệu cao việc giải toán tối ưu tiết diện dàn thép là: tiến hóa vi phân (Differential Evolution - DE), tối ưu bầy đàn (Particle Swarm Optimization - PSO), giải thuật di truyền (Genetic Algorithm - GA), thuật toán bầy ong (Bee) Các điều kiện ràng buộc toán tối ưu tiết diện dàn thép thường giới hạn điều kiện chuyển vị cường độ theo tổ hợp tải trọng quy định tiêu chuẩn Bên cạnh đó, để cải thiện hiệu suất làm việc cấu trúc ngăn chặn tượng cộng hưởng, Tác giả liên hệ: Email: hunghm@nuce.edu.vn 62(6) 6.2020 24 Khoa học Kỹ thuật Công nghệ Optimisation of planar trusses using direct design considering frequency constraints Manh Hung Ha1*, Viet Hung Truong2 Faculty of Building and Industrial Construction, National University of Civil Engineering Faculty of Civil Engineering, Thuyloi University Received 17 Febuary 2020; accepted 10 April 2020 Abstract: ràng buộc động cần xét đến toán tối ưu [10] Để thực điều này, điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng kết cấu xét đến Một số nghiên cứu bật toán tối ưu dàn thép có điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng kể đến P.H Anh [11], Kaveh Zolghadr [12], Farshchin cs [13]… Tuy số lượng nghiên cứu tối ưu dàn thép chịu điều kiện ràng buộc tổ hợp tải trọng tần số dao động riêng kết cấu nhiều, theo hiểu biết tác giả chưa có nghiên cứu xét đến điều kiện ràng buộc nêu cách đồng thời Điều khiến cho nghiên cứu tối ưu kết cấu dàn có khoảng trống cần bổ khuyết In this paper, the authors presented the method to establish and solve the optimisation of steel trusses subjected to several load combinations and frequency constraints A direct design was employed to account for the non-geometric non-linear behaviour of the structure The objective function of the optimisation problem was the total cost of the structure which was simplified as a function of total weight The constraints of the optimisation included the strength and serviceability conditions, and structural frequency requirements The differential evolution algorithm was applied to solve the proposed optimisation problem A 10-bar planar truss was studied to illustrate this work Trong nghiên cứu này, tác giả trình bày tốn tối ưu dàn thép có điều kiện ràng buộc, gồm điều kiện ràng buộc chuyển vị cường độ tổ hợp tải trọng khác điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng kết cấu Hàm mục tiêu tốn tối ưu đơn giản hóa hàm tổng khối lượng Các điều kiện ràng buộc cường độ sử dụng xác định dựa vào phân tích trực tiếp cho phép xét đến tính chất phi tuyến hình học kết cấu phi tuyến vật liệu Thuật tốn tiến hóa vi phân sử dụng để giải toán tối ưu đề Dàn thép phẳng 10 xem xét để minh họa cho nghiên cứu Keywords: differential evolution, direct design, optimisation, steel truss Tổng khối lượng kết cấu chọn hàm mục tiêu toán tối thiểu hóa theo phương trình (1) Thiết lập tốn tối ưu dàn thép Classification number: 2.1 Min W ( Y ) = ρ d  di ∑ y ∑ L i =i =j  ij    (1) ρ khối lượng riêng vật liệu; Y = ( y1 , y2 , , yd ) vec tơ biến thiết kế, diện tích tiết diện dàn; d số lượng biến thiết kế; di số dàn nhóm phần tử thứ i; Lij chiều dài dàn thứ j nhóm phần tử thứ i Trong tốn thiết kế có biến biến liên tục biến thiết kế yi ( i = 1, , d ) lowb upb chọn khoảng giá trị cho trước  yi , yi  Trong tốn thiết kế có biến biến rời rạc yi chọn từ tập hợp giá trị rời rạc cho trước Đối với tổ hợp trạng thái giới hạn cường độ, việc sử dụng phân tích trực tiếp cho phép tính tốn khả chịu tải cơng trình, điều kiện ràng buộc thể công thức (2) Rk (2) Ckstr =− ≤ S k Rk khả chịu tải kết cấu tổ hợp tải trọng thứ k S k hiệu ứng tổ hợp tải trọng cường độ thứ k gây 62(6) 6.2020 25 Khoa học Kỹ thuật Công nghệ Đối với tổ hợp trạng thái giới hạn sử dụng, điều kiện chuyển vị xem xét thông qua công thức (3) C disp j ,= l ∆ j ,l − ≤ , j = 1, , nn ∆ uj ,l (3) nn số nút dàn xét điều kiện chuyển vị, ∆ j ,l ∆ uj ,l chuyển vị giới hạn chuyển vị nút thứ j tương ứng với tổ hợp trạng thái giới hạn sử dụng thứ l Điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng kết cấu thể (4) Cmfre = f j ,m f ju,m − ≤ 0, j = 1, , nm (4) nm số tần số dao động riêng xét đến, f j ,m u f j ,m tần số dao động riêng thứ j kết cấu giá trị cho phép Đối với tốn tối ưu có điều kiện ràng buộc trên, để áp dụng thuật toán meta hơ-rít-tíc cần sử dụng kỹ thuật để xử lý điều kiện ràng buộc Trong nghiên cứu này, phương pháp hàm phạt sử dụng kỹ thuật đơn giản hiệu tốt cho hầu hết loại ràng buộc khác Khi đó, hàm mục tiêu tốn viết lại sau:  d  Wuncstr ( Y ) = ρ ∑  yi ∑ Lij  (1 + α str β1 + α disp β2 + α fre β3 ) ×= i 1=  j1  d i (5) đó: β1 = ∑ ( m ax ( Ckstr ,0 ) )  nn   j =1  β = ∑  ∑ max ( C disp j ,l ,0 )   nm    (6) Thuật tốn tối ưu tiến hóa vi phân Thuật tốn tiến hóa vi phân (DE) Storn và Price phát minh [14] ứng dụng thành công nhiều dạng toán tối ưu khác nhau, có tốn tối ưu dàn [3, 11, 15] Nội dung thuật tốn DE tóm tắt sau Giả thiết cần tối thiểu hóa hàm mục tiêu (7): f (x) : R n → R, x= với α str , α disp α fre tham số phạt tương ứng với điều kiện ràng buộc cường độ, chuyển vị tần số dao động riêng Công thức (5) cho thấy rằng, thiết kế mà vi phạm điều kiện ràng buộc hàm mục tiêu tương ứng cộng thêm giá trị gọi giá trị phạt tương ứng cho vi phạm Do q trình tối ưu tối thiểu hóa hàm mục tiêu, thiết kế vi phạm điều kiện ràng buộc bị loại bỏ Giá trị tham số phạt không phụ thuộc vào toán tối ưu, nhiên thường lấy giá trị đủ lớn nhằm loại bỏ thiết kế bị vi phạm lại thiết kế thỏa mãn tất điều kiện ràng buộc Trong nghiên cứu này, tham số phạt lấy 10.000 62(6) 6.2020 1, , d (7) d số lượng biến, xi,min xi,max giá trị biên biên biến xi Để giải toán tối ưu thuật toán DE, quần thể ban đầu gồm NP cá thể tạo ra, xk(0), k = 1, , NP, theo công thức (8): xk ,i (0) =xi ,min + rand [0,1] × ( xi ,max − xi ,min ), i =1,, d (8) đó, rand[0,1] là số thực chọn ngẫu nhiên khoảng từ đến Ở hệ thứ (t+1), tương ứng với cá thể thứ k quần thể, xk(t), cá thể tạo phép đột biến sau: = u x r1 (t ) + F ×  x r2 (t ) − x r3 (t)  (9) đó, r1,r2,r3 là ba số tự nhiên được chọn ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện 1≤ r1 ≠ r2 ≠ r3 ≠ k ≤ NP; F hệ số khuếch đại thường chọn khoảng (0,1) Trong nghiên cứu chọn F = 0,7 Trong công thức (9), xảy trường hợp biến số uj véc tơ u vượt ngồi khoảng giá trị [ xi ,min , xi ,max ] uj nhận giá trị biên vi phạm Từ cá thể u, cá thể mới, v, tạo cách lai ghép với xk(t) theo nguyên tắc sau: khi((rand rand[0,1] [0,1]≤≤Cr Cr))  uuii i vvii i == x ( t ) ( rand [0,1] > Cr)) x ( t ) ( rand [0,1] > Cr  kkk,,ii,i β = ∑  ∑ max ( C jfre,m ,0 )  j =1 { xi } , xi ∈ [ xi ,min , xi ,max ], =i (10) đó Cr là tham sớ lai ghép có giá trị khoảng (0,1) Thực hiện so sánh hàm mục tiêu v xk(t), cá thể có giá trị hàm mục tiêu nhỏ cá thể thứ k quần thể hệ thứ (t+1) Lưu ý rằng, phương trình (9), cá thể x r1 (t ) chọn ngẫu nhiên quần thể Tương ứng với trường hợp ta gọi kỹ thuật ‘DE/rand/1’ Tuy nhiên, x r1 (t ) chọn cá thể tốt quần thể ta có kỹ thuật ‘DE/best/1’ Đây kỹ thuật đột biến sử dụng rộng rãi Điểm khác biệt kỹ thuật khả tìm kiếm tổng quát tốc độ hội tụ trình tối ưu Cụ thể, kỹ thuật ‘DE/rand/1’ trì tốt đa dạng quần thể khả tìm kiếm tồn miền tốt kỹ thuật ‘DE/best/1’ Tuy nhiên, khả tìm kiếm địa 26 Khoa học Kỹ thuật Công nghệ phương tốc độ hội tụ kỹ thuật ‘DE/rand/1’ lại ‘DE/best/1’ Ví dụ minh họa Dàn phẳng 10 Để minh họa cho tốn tối ưu có xét đến điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng, phần xem xét dàn phẳng 10 hình Nhịp dàn 9.144 (mm) Tải trọng tác dụng gồm tĩnh tải DL , hoạt tải LL tải trọng gió W quy thành tải tập trung nút dàn Giá trị DL , LL W 400 (kN), 300 (kN) 300 (kN) Vật liệu có cường độ chảy Fy = 344,7 MPa mô đun đàn hồi E = 200 GPa Tải trọng khối tập trung, mass, dùng để tính tần số dao động riêng kết cấu giả thiết đặt nút dàn có khối lượng 454 (kg) Khối lượng riêng vật liệu 7.850 (kg/m3) Bài tốn tối ưu có 10 biến thiết kế tiết diện dàn chọn khoảng giá trị [64,5; 22.580,6] (mm2) Điều kiện ràng buộc gồm: điều kiện cường độ tương ứng với tổ hợp tải trọng (1,6 DL + 1, 2LL ) (1, DL + 1,6W + 0,5LL ) ; điều kiện chuyển vị tương ứng với tổ hợp (1,0 DL + 0,7W + 0,5LL ) với giới hạn chuyển vị nút dàn theo phương ngang không vượt h/400 = 22,86 (mm) với h chiều cao tầng; điều kiện tần số dao động riêng: f1 ≥ , f ≥ 15 f ≥ 20 ( Hz ) với f1 , f f3 tần số dao động riêng kết cấu Các tổ hợp tải trọng xét đến toán dựa theo tiêu chuẩn AISC-LRFD Mỹ [1] Phần mềm phân tích phi tuyến PAAP sử dụng để tính toán ứng xử phi tuyến kết cấu nhằm đánh giá điều kiện ràng buộc Chi tiết phần mềm PAAP độc giả tìm đọc tài liệu [3, 4, 8, 9] Các thông số áp dụng thuật toán DE lựa chọn sau: số biến thiết kế (d) 10, quy mô quần thể (NP) 25, số hệ tối đa (MaxIteration) 4.000, biên độ đột biến (F) 0,7, xác suất lai ghép (Cr) 0,6 Lưu ý rằng, việc lựa chọn tham số NP, F Cr có ảnh hưởng đến kết chương trình tối ưu Ví dụ, NP chọn lớn giúp trình tối ưu tránh bị tối ưu cục tốt lại hội tụ chậm tốn nhiều thời gian tính tốn Do vậy, tùy thuộc vào tốn tối ưu khác mà giá trị cần lựa chọn cách thích hợp Trong trường hợp nghiên cứu này, giá trị tham số lựa chọn dựa tham khảo tài liệu [3] Điều kiện dừng lại chương trình tối ưu số hệ tối đa đạt đến giá trị cho trước, giá trị hàm mục tiêu không thay đổi 1.000 hệ liên tục 62(6) 6.2020 Hình Dàn phẳng 10 Kết tính toán trao đổi Ba trường hợp toán tối ưu xem xét là: (1) Tất điều kiện ràng buộc xét, (2) Các điều kiện ràng buộc tần số không xét đến (3) Chỉ xét điều kiện ràng buộc tần số Để xét đến yếu tố ngẫu nhiên giải thuật meta hơ-rít-tíc, chương trình tối ưu chạy 10 lần độc lập Chỉ kết tối ưu tốt trình bày bảng Dựa vào bảng ta thấy rằng, xét tất điều kiện ràng buộc, giá trị tối ưu tìm dàn 675,54 (kg), lớn nhiều so với hai trường hợp lại Điều cho thấy rằng, tốn tối ưu khơng chịu ảnh hưởng lớn tất điều kiện ràng buộc cường độ, chuyển vị tần số dao động riêng Hay nói cách khác, điều kiện ràng buộc đóng vai trị quan trọng tốn tối ưu xét Do đó, việc xét đến tất điều kiện cường độ, chuyển vị tần số dao động riêng cần thiết toán tối ưu kết cấu dàn Bảng Kết tối ưu tốt Phần tử Tất điều kiện ràng buộc xét Không xét điều kiện Chỉ xét điều kiện ràng buộc vể tần số ràng buộc tần số 597,55 64,50 1.143,60 365,33 64,50 520,33 2.763,90 370,95 1.131,10 733,74 126,45 483,73 499,06 276,05 64,50 64,50 64,50 150,34 1.339,60 226,25 727,75 817,69 64,50 794,48 490,71 70,39 437,94 10 454,19 64,50 419,85 Khối lượng tối ưu dàn (kg) 675,54 112,62 492,38 27 Khoa học Kỹ thuật Cơng nghệ Hình trình bày đường cong hội tụ toán tối ưu Bài toán xét điều kiện ràng buộc tần số có tốc độ tối ưu nhanh toán dừng lại số vịng lặp q trình tối ưu khoảng 1.000 lần Bài toán xét tất điều kiện ràng buộc hội tụ chậm dừng lại số vịng lặp 3.500 Điều có nghĩa là, việc xét đến điều kiện ràng buộc bao gồm tần số dao động riêng, cường độ chuyển vị khiến cho toán tối ưu trở nên phức tạp nhiều so với việc xét tần số dao động riêng Nói cách khác, tốn tối ưu xem xét báo có tính phức tạp cao nhiều so với toán tối ưu xét tần số dao động riêng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] AISC-LRFD (1999), “Manual of steel construction - load and resistance factor design”, Chicago (IL): American Institute of Steel Construction [2] EN 1993-1-1 Eurocode (2005), “Design of steel structures - part 1-1: general rules and rules for building”, Brussels: European Committee for Standardization [3] T.V Hung, S.E Kim (2018), “Reliability-based design optimization of nonlinear inelastic trusses using improved differential evolution algorithm”, Advances in Engineering Software, 121, pp.5974 [4] T.H Tai, S.E Kim (2011), “Nonlinear inelastic time-history analysis of truss structures”, Journal of Constructional Steel Research, 67(12), pp.1966-1972 [5] H Shi, H Salim, F Wei (2015), “Geometric and material nonlinear static and dynamic analysis of space truss structures”, Mechanics Based Design of Structures and Machines: An International Journal, 43(1), pp.38-56 [6] H Saffari, N.M Mirzai, I Mansouri, M.H Bagheripour (2013), “Efficient numerical method in second-order inelastic analysis of space trusses”, Journal of Computing in Civil Engineering, 27(2), pp.129-138 [7] T.V Hung, S.E Kim (2017), “An efficient method for reliability-based design optimization of nonlinear inelastic steel space frames”, Struct Multidisc Optim., 56, pp.331-351 [8] H.M Hung, V.Q Anh, T.V Hung (2018), “Optimum design of stay cables of steel cable-stayed bridges using nonlinear inelastic analysis and genetic algorithm”, Structures, 16, pp.288-302 Hình Đường cong hội tụ toán tối ưu hệ dàn 10 Kết luận Nghiên cứu trình bày dạng tốn tối ưu cho dàn thép có xét đến điều kiện ràng buộc chuyển vị cường độ tổ hợp tải trọng khác điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng kết cấu Hàm mục tiêu toán tối ưu hàm tổng khối lượng Các điều kiện ràng buộc cường độ sử dụng xác định dựa vào phân tích trực tiếp cho phép xét đến tính chất phi tuyến hình học kết cấu phi tuyến vật liệu Thuật tốn tiến hóa vi phân sử dụng để giải toán tối ưu đề Kết phân tích dàn thép phẳng 10 cho thấy điều kiện ràng buộc cường độ, chuyển vị tần số dao động riêng ảnh hưởng lớn đến kết tối ưu cần phải xem xét Bên cạnh đó, tốn tối ưu có xét tất điều kiện ràng buộc chuyển vị, cường độ tần số dao động riêng có tính phức tạp cao nhiều so với toán xét tần số dao động riêng Điều mở lớp toán tối ưu kết cấu dàn có tính phức tạp cao thực tế so với tốn tối ưu xét đến trước 62(6) 6.2020 [9] H.M Hung, V.Q Viet, T.V Hung (2020), “Optimization of nonlinear inelastic steel frames considering panel zones”, Advances in Engineering Software, 142, pp.102771 [10] R Grandhi (1993), “Structural optimization with frequency constraints-a review”, AIAA J., 31(12), pp.2296-2303 [11] P.H Anh (2016), “Truss optimization with frequency constraints using enhanced differential evolution based on adaptive directional mutation and nearest neighbor comparison”, Advances in Engineering Software, 102, pp.142-154 [12] A Kaveh, A Zolghadr (2014), “Democratic PSO for truss layout and size optimization with frequency constraints”, Computers & Structures, 130, pp.10-21 [13] M Farshchin, C.V Camp, M Maniat (2016), “Multi-class teaching–learning-based optimization for truss design with frequency constraints”, Engineering Structures, 106, pp.355-369 [14] R Storn, K Price (1997), “Differential evolution - a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces”, Journal of Global Optimization, 11(4), pp.341-359 [15] X.Q Lieu, D.T.T Dieu, J.H Lee (2018), “An adaptive hybrid evolutionary firefly algorithm for shape and size optimization of truss structures with frequency constraints”, Computers & Structures, 195, pp.99-112 28 ... ràng buộc động cần xét đến toán tối ưu [10] Để thực điều này, điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng kết cấu xét đến Một số nghiên cứu bật toán tối ưu dàn thép có điều kiện ràng buộc tần số. .. đó, tốn tối ưu có xét tất điều kiện ràng buộc chuyển vị, cường độ tần số dao động riêng có tính phức tạp cao nhiều so với toán xét tần số dao động riêng Điều mở lớp toán tối ưu kết cấu dàn có tính... hạn sử dụng thứ l Điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng kết cấu thể (4) Cmfre = f j ,m f ju,m − ≤ 0, j = 1, , nm (4) nm số tần số dao động riêng xét đến, f j ,m u f j ,m tần số dao động riêng