Đang tải... (xem toàn văn)
“Tam thức bậc hai” xuất hiện trong nhiều cuốn sách.Tuy nhiên các tác giả chỉ đề cập một cách tổng quan, chung chung, chứ chưa đi sâu vào từng vấn đề, ứng dụng cụ thể của nó. Vì vậy nhóm nghiên cứu đã lựa chọn đề tài “Ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị của hàm số”. Đây là một trong những ứng dụng đặc sắc của tam thức bậc hai. Nhằm cụ thể hóa các dạng bài tập trên cơ sở ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị của hàm số.
Lời nói đầu Có lẽ “tam thức bậc hai” là một khía cạnh khá quen thuộc đối với chúng ta: những người học tốn ,nghiên cứu tốn…Nó xun suốt trong chương trình Trung học phổ thơng,tam thức bậc hai có rất nhiều ứng dụng,việc sử dụng cơng cụ này giúp chúng ta giải quyết một loạt các bài tốn trong giải tích,hình học,cũng như trong lượng giác “Tam thức bậc hai” xuất hiện trong nhiều cuốn sách.Tuy nhiên các tác giả chỉ đề cập một cách tổng quan,chung chung ,chứ chưa đi sâu vàotừng vấn đề,ứng dụng cụ thể của nó Vì vậy nhóm nghiên cứu chúng tơi đã lựa chọn đề tài “Ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị của hàm số”_Đây là một trong những ứng dụng đặc sắc của tam thức bậc hai.Nhằm cụ thể hóa các dạng bài tập trên cơ sở ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị của hàm số Trong đề tài này ,chúng tơi chia làm hai phần chính: Phần 1: Nêu ra những cơ sở lý thuyết trọng tâm Phần 2:Đưa ra hệ thống bài tập bao gồm 6 dạng từ dễ đến khó Dạng 1: Hàm số y = f(x) = ax + bx + c Dạng 2: Hàm số y = f (x) = ax + bx + c a ' x + b' x + c' Dạng 3: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và hàm số chứa căn thức Dạng 4: Hàm số lượng giác Dạng 5: Tìm { ax + bx + c + mx + n} x ﾡ và mx ax { ax + bx + c + mx + n} ﾡ { ax + bx + c + mx + n } Dạng 6: Tìm x ﾡ { ax + bx + c + mx + n } và mx ax ﾡ Trong mỗi dạng ,chúng tơi đã lựa chọn để đưa ra một số bài tập có giải mẫu từ đơn giản đến phức tạp và một số bài tập tự giải.Đặc biệt ở dạng 5 và 6 là những dạng bài tập rất hay vì mặc dù nó cồng kềnh nhưng với việc ứng dụng tam thức bậc hai ta thấy lời giải thật gọn nhẹ Vì thời gian và khả năng cịng hạn chế nên chắc chắn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót .Chúng tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn để đề tài chúng tơi được hồn thiên hơn Chúng tơi cung xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy giáo Dương Thanh Vỹ đã hướng dẫn chúng tơi trong q trình làm đề tài này Phần I: MỘT SỐ KIẾN THỨC TRANG BỊ Xét dấu tam thức bậc hai có dạng f(x) = ax + bx + c ( a ) Đặt ∆ = b − 4ac −b Khi ∆ ta đặt x1,2 = ∆ 2a Ta có f(x1)=f(x2)=0 thì x1, x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai ( cũng là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = ) Định lý Viét thuận: Nếu phương trình bậc hai :ax2+bx+c=0 (a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1,x2 ( giả sử x1 x2 a b S = − > � x1 < x2 a c P= x2 > ( hai nghiệm đều dương ) b S =− >0 a P= Tính chất đồ thị (P): y = f(x) = ax + bx + c là một parabol có đỉnh S = (− Trong đó xS = − b là nghiệm kép của tam thức bậc hai 2a b là trục đối xứng của (P) 2a b ∆ ; ) 2a 4a S ∆/4a Bằng đồ thị chúng ta vẫn có thể ghi nhớ được định lý trên và cịn tìm được giá trị O ỏb/2a lớn nhất và giá trị nh nhất của tam thức bậc hai như sau: x1 O b/2a x2 x x2 ∆/4a a > 0 S a b/2a b/2a ∆/4a O S O ∆/4a S b/2a ∆ = b/2a O S ∆/4a O ∆ � af ( x ) < 0; ∀x �( x1; x2 ) + Nếu ∆ = � af �− ﾡ Định lý đảo Nếu tồn tại số thực α thỏa mãn af (α ) < thì tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và x1 < α < x2 ﾡ Hệ quả Nếu tồn tại hai số α và β sao cho f (α ) f ( β ) < , thì tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và có một nghiệm nằm ngồi khoảng ( α , β ) (với α < β ) ﾡ Cách nhớ Với ∆ > x − x1 x2 + f ( x) = ax + bx + c cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a Với ∆ = x − x1= x2 = − b + 2a f ( x) = ax + bx + c cùng dấu a 0 cùng dấu a Với ∆ < x − + f ( x) = ax + bx + c cùng dấu a ﾡ So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số α cho trước TH1: af (α ) < � x1 < α < x2 Khơng cần xét dấu ∆ và ln có ∆ > TH2: ∆ < việc so sánh không đặt ra ∆>0 TH3: af ( α ) > � α < x1 < x2 S −α > TH4: ∆>0 af ( α ) > � x1 < x2 < α S −α < II/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTLN và GTNN) Tìm GTLN – GTNN của hàm số bằng cách áp dụng tam thức bậc hai Cơ sở của phương pháp này là sự dụng sự đánh giá của hàm số bằng ba cơng cụ sau đây của tam thức bậc hai Thứ nhất là: i, f(x) = [ u ( x)] + a a � ∃u ( x0 ) = : f ( x0 ) = a f ( x) = f ( x0 ) = a � x R ii, f(x) = b − [ u ( x)] b � ∃u ( x0 ) = : f ( x0 ) = b f ( x) = f ( x0 ) = b � mx ax R Thứ hai là: Để tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) ta thực hiện từng bước như sau Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Chuyển (1) về dạng (1) � g ( x) = [ a( y )] x + [ b( y ) ] x + c( y ) = (ﾡ) Trong (ﾡ) ta xem y như là một tham số, x là ẩn số và xét các trường hợp sau: TH1: a(y) = 0 TH2: a(y) Để tìm điều kiện của y để phương trình (ﾡ) có nghiệm trên tập xác định Thứ ba là: sử dụng tính chất định tính, định hình của tam thức bậc hai để xác định GTLN – GTNN Xét hàm số f(x) = ax + bx + c trên đoạn [ α , β ] * Giả sử a > 0 ta cần xét ba trường hợp TH1: Hoành độ đỉnh của parabol x0 = − b 2a [ α , β ] thì GTNN của hàm số là f = f ( x0 ) đạt được khi x = x0 GTLN của hàm số là f max = f max { f (α ), f ( β )} b < α < β thì GTNN là: f = f ( α ) đạt được khi x = α 2a GTLN là: f m ax = f ( β ) đạt được khi x = β TH2: Nếu x0 = − b > β > α thì GTNN là: f = f ( β ) đạt được khi x = β 2a GTLN là: f m ax = f ( α ) đạt được khi x = α TH3: Nếu x0 = − * Giả sử a 0 thì đồ thị của hàm số y = f(x) là parabol quay bề lõm lên trên, �a �2 � � đỉnh S = � ; −2a � a Bây giờ ta xét 3 vị trí của xS = so với đoạn [ −2;0] a TH1: −2 < < Quan sát đồ thị ta thấy f ( x) = f ( xS ) = −2a = [ −2;0] a = −1 � a = −1 −4 < a < a TH2: xS = < −2 � a < −4 Quan sát đồ thị ta thấy f ( x ) = f ( −2) = a + 6a + 16 = [ −2;0] a < −4 � a �� a + 6a + 16 = a TH3: xS = > � a > Quan sát đồ thị ta thấy f ( x) = f (0) = a − 2a = − 2;0 [ ] a>0 a − 2a + = a>0 a =1 � a = 1+ Vậy kết hợp ba trường hợp ta thấy a = −1; a = + thỏa u cầu bài tốn Bài 2:[1] Cho phương trình với tham số a ≥1 như sau: x2+2(a3)x+ a13 =0 (1) Tìm những giá trị a để nghiệm lớn của phương trình đã cho đạt giá trị lớn nhất Giải: Ta có: ∆’=(a3)2(a13)=a27a+22 (2) =(a7/2)2+39/4 >0 ; a≥1 Phương trình (1) có hai nghiệm: x1 = − a − a − 7a + 22 x = − a + a − 7a + 22 Xét nghiệm lớn x = x (a) = − a + a − 7a + 22 x (a) = −1 + 2a − a − 7a + 22 = 2a − − a − 7a + 22 a − 7a + 22 Để ý rằng : 2a – 72 a − 7a + 22 >0 � a − 7a + 22 < 2a − 2a − > 4(a − 7a + 22) < (2a − 7) do ∆>0 2a − > (vô lý) 88 < 49 � a �� Do đó x2’(a) 0 y f(0) = 7y 9 f(1) = 18y 14 = a) f(0).f(1) 0 y b) không tồn tại y Vậy Max y = khi t = 0 x = 8 Min y = khi t = 1 x = 1 Bài 3:[4] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y = f(x) = x + trên khoảng (0, + ) Giải: y0 là một giá trị của hàm số y = f(x) pt sau y0 = x + (1) có nghiệm x > 0 (y0 x)2 = x2 + có nghiệm x > 0 y02 2y0x + x2 = x2 + có nghiệm x > 0 2y0x2 y02x + 1 = 0 có nghiệm x > 0 Tam thức bậc hai F(x) = 2y0x2 y02x + 1 = 0 có nghiệm x > 0 Ta có = y04 8y0 = y0(y03 8) F Vì y0 = x + > 0, x > 0 nên 0 F y03 8 0 y0 2 Tam thức bậc 2 F(x) vó 2 nghiệm khi y0 2 và lúc đó 2 nghiệm đều dương f(x) = 2 tại x = Dạng 4: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1:[1] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = (3sinx + 4 cosx)(3cosx 4 sinx) + 1 Giải: y = 12 cos2x 7sinxcosx 12sin2x + 1 y = 12 cos2x sin2x + 1 y0 là một giá trị của hàm số 24cos2x 7sin2x + 2 2y = 0 có nghiệm x R 242 + (7)2 (2y 2)2 (2y 2)2 252 25 2y 2 25 y Lúc đó Bài 2:[4] Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: y = f(x) = , x R Giải: Xét hàm số: y = g(x), x R phương trình sau có nghiệm: y0(sinx + 2) = sinx + cosx + 1 phương trình: (y0 1)sinx cosx + 2y0 1 = 0 có nghiệm (y0 1)2 + 1 (2y0 1)2 3y02 2y0 1 0 y0 1 g(x) = 1; g(x) = f(x) = 1 tại x = 2k , k Z Vì f(x) 0 x R và f(x) = 0 Bài 3:[2] Tùy theo m, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y = f(x) = sin4x + cos4x + msinxcosx ; x, m Giải: Ta có: y = f(x) = (sin2x + cos2x)2 2sin2xcos2x + msinxcosx y = f(x) = sin22x + sin2x + 1 Đặt: sin2x = t | t | 1 u cầu bài tốn bây giờ quy về việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: g(t) = t2 + t + 1 ; | t | 1, m g(t’) = t + Xét 3 trường hợp: TH 1: 1 m 2 t 1 1 + g’(t) + 0 g(t) TH 2: 1 0 x R (ycbt) Bài 2: [3] Tìm giá trị của tham số sao cho GTNN của hàm số Biết rằng : y = f(x) = Giải: Để ý rằng : y = f(x)= y = f(x) (đẳng thức xảy ra khi x= m) y = f(x) Gọi là đỉnh của các Parabol : Như sau: f = f (x) ta xét: Để x R TH1: m = f (x) = f (0) = − 2m x R m TH2: m = f (x) = f (2) = 2m − x R m TH3: f (x) = f (m) = (m − 1) x R 0