Chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng – lư sĩ pháp

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG LỜI NĨI ĐẦU Q đọc giả, q thầy em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn giải toán trọng tâm lớp 10 Nội dung tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo quy định Nội dung gồm phần Phần Kiến thức cần nắm Phần Dạng tập có hướng dẫn giải tập làm tương tự Phần Phần câu hỏi trắc nghiệm Cuốn tài liệu xây dựng có khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý, đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh Mọi góp ý xin gọi số 0355.334.679 – 0916.620.899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn Lư Sĩ Pháp MỤC LỤC CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ o ĐẾN 180o – §2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – 19 §3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC - 20 – 29 ÔN TẬP CHƯƠNG II 29 – 38 Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG -o0o §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 0o ĐẾN 180o KIẾN THỨC CẦN NẮM Định nghĩa: Với góc  (00    1800 ) ta xác định điểm M đường tròn đơn vị cho  xOM   giả sử điểm M có tọa độ M  x ; y  Khi ta định nghĩa: 0  sin góc  y0 , kí hiệu sin   y0  cơsin góc  x0 , kí hiệu cos   x0 y y  tan góc  ( x0  0) , kí hiệu tan   x0 x0 x x  cơtan góc  ( y0  0) , kí hiệu cot   y0 y0 Các số sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác góc  Chú ý:  Nếu  góc tù cos   0, tan   0, cot    tan  xác định   900 , cot  xác định   00   1800 Các hệ thức lượng giác a Giá trị lượng giác hai góc bù  sin 180     sin   cos 1800      cos   tan 1800      tan   cot 1800      cot  Lưu ý: Hai góc bù có sin côsin, tang, cotang đối b Các hệ thức lượng giác Từ định nghĩa giá trị lượng giác góc  ta suy hệ thức: sin  cos   sin   cos    tan    cot   (  900 ) (  00 ;1800 ) cos  sin  1  tan  cot     tan     cot   cos  sin  Giá trị lượng giác góc đặt biệt  00 300 450 600 900 1800      HSLG sin  2 2 3 cos  tan  cot  || 3 2 3 0 1 || 0 || || : Không xác định Chương Tích vơ hương hai vectơ 0916620899 Tốn 10 I Love Math Góc hai vectơ    Cho hai vectơ a, b khác Từ điểm O bất     kì, ta vẽ OA  a OB  b Khi góc  AOB với B 0 số đo từ đến 180 gọi góc hai vcetơ     a b Kí hiệu a, b GV Lư Sĩ Pháp   b O Lưu ý:      a, b  b, a    00  a, b  1800     a A        a, b  900  a  b   CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN V ấn đề Tính giá trị lượng giác số góc đặt biệt Phương pháp: Áp dụng định nghĩa hệ thức lượng giác Bài Cho góc   1350 Tính sin  , cos  , tan  cot  HD Giải Ta có:  sin1350  sin 1800  1350   sin 450  2  cos1350   cos 1800  1350    cos 450   sin   1 cos   cot1350   co 1800  1350    co 450  1 hay cot    1 tan  Bài tập tương tự: Bài a) Cho góc   1200 Tính sin  , cos  , tan  cot  b) Cho góc   1500 Tính sin  , cos  , tan  cot   C   150 Hãy tính giá trị lượng giác góc A Bài Cho tam giác cân ABC có B HD Giải  C   1800    C   1800  300  1500 A B A  1800  B Ta có:   tan1350   tan 1800  1350    tan 450  1 hay tan    Vậy:  sin A  sin 1800  1500   s in300    cos A   cos 1800  1500    cos 300   sin  cot     cos  tan  Bài tập tương tự: Bài Tính giá trị biểu thức a) A  sin 300  3cos 450  sin 600 b) B  cos 300  3sin 450  cos 600 c) C  sin1200  cos1800  tan 600 d) D  cot 600 tan 600  cos 300  sin 300  Bài 5.Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A  cos 2  2sin   tan(  150 )  cos 6 biết   300 b) B  sin 600  3cos 30  tan 450 2sin 300 c) C  cot 300  sin 600  cos 300 d) D   cos 300 e) E  3sin 900  cos 00  3cos 600  10 cos1800 ấn đề Chứng minh hệ thức giá trị lượng giác Phương pháp:  Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác góc  (00    1800 )  tan   V Chương Tích vơ hương hai vectơ 0916620899 Tốn 10 I Love Math  Dựa vào tính chất tổng ba góc tam giác 1800  Sửa dụng công thức lượng giác Bài Cho góc  Chứng minh sin   cos   sin   HD Giải GV Lư Sĩ Pháp Ta có: sin   cos   sin    (cos  )   sin   1  sin    sin    2sin   sin   2sin   Cách khác: sin   cos    sin   cos   sin   cos    sin   (1  sin  )  sin   Bài tập tương tự: 1 b)  cot   ,   900 ,   00 ;1800 cos  sin  Bài Cho tam giác ABC Chứng minh A BC a) sin A  sin( B  C ) b) cos  sin c) tan A   tan( B  C ) 2 Bài Chứng minh với 00  x  1800 ta có: a) (sin x  cos x)2   2sin x cos x b) (sin x  cos x)2   2sin x cos x c) sin x  cos x   sin x cos x c) sin x  cos x   3sin x cos x Bài 10 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào  : 2 a) A   sin   cos     sin   cos   b) B  sin   cos   sin   Bài Chứng minh rằng: a)  tan   V ấn đề Cho biết giá trị lượng giác góc  , tìm giá trị lượng giác cịn lại  Phương pháp: Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc  cơng thức lượng giác Với 00    1800 suy ra:  sin    cos   00    900 cos   900    1800  tan   00    900 tan   900    1800  cot   00    900 cot   900    1800 Bài 11 Cho góc x , với cos x  Tính P  3sin x  cos x HD Giải 25 1 Ta có: P  3sin x  cos x  1  cos x   cos x   cos x        Bài 12 Cho cos    Tính sin  , tan  cot  HD Giải 0 Vì cos   nên 90    180 , suy sin   0, tan   0, cot    2 Ta có:  sin   cos    sin    cos         sin    3 sin   tan   cot     tan  cos  0 Bài 13 Cho góc  biết    90 tan   Tính sin  cos  HD Giải 0 Vì    90 , suy sin   0, cos   sin  Ta có: tan     sin   cos  cos  1 Mặt khác: sin   cos    5cos    cos    cos   5 Như vậy: cos   , sin   cos   5 Chương Tích vơ hương hai vectơ 0916620899 Toán 10 Bài tập tương tự: I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Hãy tính sin  , tan  , cot  b) Cho góc  biết tan   2 Hãy tính sin  , tan  , cot  a) Cho góc  biết cos   Bài 14 c) Cho góc  biết 00    900 tan   2 Hãy tính sin  , tan  , cot  3sin   cos  Bài 15 a) Biết tan   Tính A  sin   cos  cot   tan  b) Biết sin   Tính B  cot   tan  3cos   4sin  c) Biết tan   2 Tính C  sin   cos  ấn đề Xác định góc hai vectơ Phương pháp: Áp dụng định nghĩa góc hai vectơ       Lưu ý:  00  a , b  1800  a , b  900  a  b V     Bài 16 Cho tam giác ABC vng A có góc Bˆ  500 Xác định góc cặp vectơ             a) BA, BC b) AB, BC c) CA, CB d) AC , BC e) AC , CB f) AC , BA             HD Giải Ta có:   a) BA, BC  500   c) CA, CB  400   e) AC , CB  1400      b) AB, BC  1300   d) AC , BC  400   f) AC , BA  900          C 50o A Bài tập tương tự:       Bài 17 Cho hình vng ABCD Tính cos AC , BA , sin AC , BD , cos AB, CD      B  Bài 18 Cho tam giác ABC vng A có góc Bˆ  300 Tính giá trị biểu thức sau   AC , CB     a) cos AB, BC  sin BA, BC  tan       b) sin AB, AC  cos BC , BA  cos CA, BA       Bài 19 Cho tam giác ABC Tổng AB, BC  BC , CA  CA, AB nhận giá trị giá trị                   sau: 900 , 1800 , 2700 , 3600 Chương Tích vơ hương hai vectơ 0916620899 Tốn 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Khẳng định sau đúng? A cos145  cos125 C cos95  cos100 B sin 90  sin100 D tan 85  tan125       Câu Cho hình vng ABCD tâm O Tính tổng AB, DC  AD, CB  CO, DC       A 225 B 405 C 315 D 450 Câu Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? 3 A tan150O   B cot150O  C sin150O   D cos150O  2       Câu Cho tam giác ABC Tính P  cos AB, BC  cos BC , CA  cos CA, AB       3 3 3 A P   B P   C P  D P  2 2 Câu Cho  góc tù Khẳng định sau đúng? A cot   B sin   C cos   D tan   Câu Cho hai góc   với     90 Tính giá trị biểu thức P  sin  cos   sin  cos  A P  B P  C P  1 D P  Câu Giá trị tan 300  cot 300 bao nhiêu? 1 A B C D 3 Câu Cho hai góc   với     90 Tính giá trị biểu thức P  cos  cos   sin  sin  A P  1 B P  C P  D P  Câu Khẳng định sau sai? A cos 75  cos50 B sin 80  sin 50 C tan 45  tan 60 D cos30  sin 60 Câu 10 Cho tam giác ABC Tính P  sin A.cos  B  C   cos A.sin  B  C  A P  B P  C P  1 D P         Câu 11 Tam giác ABC có góc A 100 có trực tâm H Tính tổng HA, HB  HB, HC  HC , HA      A 80 B 160 C 360 D 180 Câu 12 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng?    A sin  B sin BAH C cos BAH D sin  AHC  ABC  2 Câu 13 Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A cos 30O  sin120O B sin 60O  cos120O C cos 45O  sin 45O D cos 45O  sin135O      Câu 14 Cho tam giác ABC với A  60 Tính tổng AB, BC  BC , CA      B 360 C 270 D 240 cot   tan  Câu 15 Cho biết cos    Giá trị P  ? cot   tan  25 19 19 25 A P   B P   C P  D P  13 13 13 13 sin   cos  Câu 16 Cho biết tan   3 Giá trị P  ? cos   sin  5 A P   B P   C P  D P  3 3       Câu 17 Cho tam giác ABC Tính tổng AB, BC  BC , CA  CA, AB A 120    A 120 B 180 Chương Tích vơ hương hai vectơ      C 360 0916620899 D 270  Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp O Câu 18 Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau 120 ?         A MN , NP B MO, ON C MN , OP D MN , MP         Câu 19 Cho hai góc nhọn      Khẳng định sau sai? A tan   tan   B sin   sin  C cot   cot  D cos   cos    50 Hệ thức sau sai? Câu 20 Tam giác ABC vng A có góc B         A AC , CB  40 B AB, BC  1300 C BC , AC  400 D AB, CB  500         Câu 21 Cho biết 2cos   sin   , 00    900 Tính giá trị cot  A cot   B cot   C cot   D cot   4 Câu 22 Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A sin 180     cos  B sin 180      sin  C sin 180     sin  D sin 180      cos    Câu 23 Cho hình vng ABCD Tính cos AC , BA     A cos AC , BA  B cos AC , BA  1      C cos  AC , BA        D cos  AC , BA    2 2 Câu 24 Cho hai góc nhọn   phụ Hệ thức sau sai? A cot   tan  B sin    cos  C cos   sin  D tan   cot  2 Câu 25 Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos   sin   1?      A  cos  sin   B cos  sin  5 3      C cos  sin  D cos  sin  4 2 Câu 26 Tính giá trị biểu thức P  sin 30 cos15  sin150 cos165 A P   B P  C P  D P  Câu 27 Cho biết cos   sin   Giá trị P  tan   cot  ? 11 A P  B P  C P  D P  4 4 4 Câu 28 Cho biết sin   cos   Giá trị P  sin   cos  ? 15 17 19 B P  C P  D 5 Câu 29 Tính giá trị biểu thức S  sin 15  cos 20  sin 75  cos 110 A S  B S  C S  D Câu 30 Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? A sin120O  cos 30O  B sin 45O  cos 45O  C sin 30O  cos 60O  D sin 60O  cos150O  Câu 31 Giá trị cos 450  sin 450 bao nhiêu? A B C D     Câu 32 Tính giá trị biểu thức P  sin 30 cos 60  sin 60 cos 30 A P  B P   C P  D A P  Chương Tích vơ hương hai vectơ 0916620899 P 21 S  P  Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp , C  tam giác ABC có số đo cạnh 7, 9, 12 Bài 24 Tính S , R, r ,  A, B Bài 25 Cho ABC   580 , a  72cm Tính C  , cạnh b, cạnh c đường cao h A  900 , B a) Biết  a b) Biết a  52,1 cm, b  85 cm c  54cm Tính góc A, B, C c) Biết a  3, b  4, c  Tính diện tích ABC d) Biết a  8, b  10, c  13 Tam giác có góc tù khơng? Và tính ma ABC Bài 26 Cho tam giác ABC có cạnh 6cm Một điểm M nằm cạnh BC cho BM  2cm  a) Tính độ dài đoạn thẳng AM tính cosin góc BAM b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABM c) Tính độ dài trung tuyến vẽ từ đỉnh C tam giác ACM d) Tính diện tích tam giác ABM Bài 27 Cho tam giác ABC có  A  600 , a  30 , bán kính đường trịn nội tiếp r  a) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R b) Tính độ dài cạnh b, c Bài 28 Cho ABC có AB = 10, AC = A  600 a) Tính chu vi tanC ABC b) Trên tia đối AB lấy điểm D cho AD  , tia AC lấy điểm E cho AE  x Tìm x để BE tiếp tuyến đường tròn  ADE  V ấn đề Ứng dụng vào việc đo đạc Phương pháp: Vận dụng linh hoạt hệ thức lượng Bài 29 Giả sử CD  h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất     630 , CBD     480 Tính chiều cho ba điểm A, B C thẳng hàng Ta đo AB  24 m , CAD cao h tháp HD Giải AD AB Trong tam giác ABD , ta có:  sin  sin D AB.sin  AB.sin  24.sin 480  AD     68,91 sin D sin     sin150 Bài 30 Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A B nhìn thấy điểm C Giả sử ta đo khoảng cách     700 Như khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc     450 CBA AB  40 m , CAB C bao nhiêu? HD Giải AC AB Trong tam giác ABC , ta có:  sin B sin C AB sin B AB sin  40.sin 700  AC     41, 47 m sin C sin(   ) sin1150 Chương Tích vơ hương hai vectơ 24 0916620899 Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Bài 31 Hai tàu thủy P Q cách 300 m Từ P Q thẳng hàng với chân A tháp hải đăng   480 Tính chiều   350 BQA AB bờ biển, người ta nhìn chiều cao AB tháp góc BPA cao tháp HD Giải 0  Ta có: PBQ  48  35  13 Xét tam giác BPQ : B BQ PQ PQ.sin P 300.sin 35   BQ    764,935 m sin P sin B sin B sin130 Xét tam giác ABQ , ta có: AB  BQ.sin 480  764,935.sin 480  568, 457 m Ta có: p 350 P 480 300 m b h Q A Bài tập tương tự Bài 32 Giả sử ta cần đo chiều cao CD tháp với C chân tháp, D đỉnh tháp Vì khơng thể đến chân tháp nên từ hai điểm A, B có khoảng cách AB  30 m cho ba điểm A, B, C thẳng hàng người ta   430 , CBD   670 Hãy tính chiều cao CD tháp đo góc CAD Bài 33 Trên đồi có tháp cao 100 m Đỉnh tháp B chân tháp C nhìn điểm A chân đồi góc tương ứng 300 600 so với phương thẳng đứng Xác định chiều cao HA đồi CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Tam giác ABC có AB  2, AC  A  60 Độ dài cạnh BC A BC  B BC  D BC  C BC    45 Độ dài cạnh BC Câu Tam giác ABC có AB  2, AC  C 6 6 C BC  D BC  2 Câu Trên tịa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăng-ten góc 500 400 so với phương nằm ngang Chiều cao tòa nhà gần với giá trị đây? A 12 m B 19 m A BC  B BC  C 24 m D 29 m   30,  ACB  75 Diện tích tam giác ABC Câu Tam giác ABC có AC  4, BAC A S ABC  B SABC  C SABC  D SABC    30 Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB  Độ dài Câu Cho góc xOy lớn đoạn OB A 2 B C D Câu Tam giác ABC có AB  6cm, AC  8cm BC  10cm Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác A 5cm B 3cm C 7cm D 4cm Chương Tích vơ hương hai vectơ 25 0916620899 Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Câu Giả sử CD  h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất   630 , CBD   480 cho ba điểm A, B C thẳng hàng Ta đo AB  24 m , CAD Chiều cao h tháp gần với giá trị đây? A 60m B 60,5m C 18m D 18,5m Câu Tam giác ABC vuông A , đường cao AH  32 cm Hai cạnh AB AC tỉ lệ với Cạnh nhỏ tam giác có độ dài bao nhiêu? A 38 cm B 40 cm C 42 cm D 45 cm Câu Tam giác ABC vuông A có AB  AC  a Độ dài đường trung tuyến BM tam giác cho a A BM  B BM  1,5a C BM  a D BM  a Câu 10 Cho tam giác ABC có AB  3, BC  CA  Gọi D trung điểm BC Bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD 9 A R  B R  C R  D R  3   450 Câu 11 Từ vị trí A người ta quan sát cao (hình vẽ) Biết AH  m, HB  20 m, BAC Chiều cao gần với giá trị đây? A 16,5 m B 16 m C 17, m D 17 m   30 Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB  Khi Câu 12 Cho góc xOy OB có độ dài lớn độ dài đoạn OA A B C 2 D 2 Câu 13 Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A B nhìn thấy điểm C Ta đo khoảng cách AB  40m ,   450 CBA   700 CAB Vậy sau đo đạc tính tốn khoảng cách AC gần với giá trị đây? A 41 m B 30 m C 41,5 m D 53 m Câu 14 Tam giác ABC có AB  4, BC  6, AC  Điểm M thuộc đoạn BC cho MC  MB Độ dài cạnh AM A AM  B AM  C AM  D AM  Câu 15 Tam giác ABC có BC  21 cm, CA  17 cm, AB  10 cm Bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chương Tích vơ hương hai vectơ 26 0916620899 Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp 85 85 B R  cm C R  cm D R  cm cm 2 Câu 16 Xác định chiều cao tháp mà không cần lên đỉnh tháp Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp khoảng CD  60 m , giả sử chiều cao giác kế OC  m Quay giác kế cho ngắm theo ta nhình thấy đỉnh A tháp Đọc giác kế số đo góc  AOB  600 A R  Chiều cao tháp gần với giá trị ? A 105 m B 110 m C 40 m D 114 m Câu 17 Tam giác ABC có BC  10  A  30O Bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 10 A R  10 B R  10 C R  D R  Câu 18 Tam giác ABC có AB  c, BC  a, CA  b Các cạnh a, b, c liên hệ với đẳng thức  b  b  a   c  a  c  Khi góc BAC A 90 B 45 C 60 D 30 Câu 19 Tam giác ABC vng A có AB  cm , BC  10 cm Bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho A r  cm B r  cm C r  cm D r  cm   60, C   45 AB  Độ dài cạnh AC Câu 20 Tam giác ABC có B D AC  Câu 21 Tam giác ABC có AB  cm , AC  12 cm BC  15 cm Độ dài đường trung tuyến AM tam giác cho 13 15 A AM  cm B AM  10 cm C AM  cm D AM  cm 2 6 A Câu 22 Tam giác ABC có AB  , BC  3, CA  Gọi D chân đường phân giác góc  Khi góc  ADB A AC  B AC  10 C AC  A 45 B 60 C 75 D 90 a Câu 23 Bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cạnh a a a a A r  B r  C r  D r  Câu 24 Tam giác cạnh a nội tiếp đường tròn bán kính R Khi bán kính R a a a a A R  B R  C R  D R  3 Câu 25 Tam giác ABC có a  21, b  17, c  10 Diện tích tam giác ABC A S ABC  84 B SABC  48 C SABC  24 D SABC  16 15 Câu 26 Tam giác ABC cân C , có AB  cm AC  cm Gọi D điểm đối xứng B qua C Độ dài cạnh AD A AD  12 cm B AD  cm C AD  cm D AD  12 cm Chương Tích vơ hương hai vectơ 27 0916620899 Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp   60 Độ dài đường cao h tam giác Câu 27 Tam giác A 1;3 , B  5; 1 có AB  3, AC  6, BAC a A  Câu 28 Tam giác A sin A  Câu 29 Tam giác C  3 D  ABC có AB  cm, AC  18 cm có diện tích 64 cm Giá trị sin A B sin A  C sin A  D sin A    60 Diện tích tam giác ABC A 1;3 , B  5; 1 có AB  3, AC  6, BAC B  9 B SABC  C S ABC  D S ABC  2   600 Bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác Câu 30 Tam giác ABC có AB  5, AC  BAC cho A r  B r  C r  D r   , EPF  , FPQ  Câu 31 Tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F cho góc MPE A S ABC  Đặt MP  q, PQ  m, PE  x, PF  y Trong hệ thức đây, hệ thức đúng? A ME  EF  FQ B ME  q  x  xq C MF  q  y  yq D MQ  q  m2  2qm Câu 32 Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 600 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí? Kết gần với số đây? A 21 hải lí B 18 hải lí C 61 hải lí D 36 hải lí Câu 33 Tam giác ABC có a  21, b  17, c  10 Gọi B ' hình chiếu vng góc B cạnh AC Độ dài BB ' 168 84 84 A BB '  B BB '  C BB '  D BB '  17 17 Câu 34 Tam giác ABC có a  21, b  17, c  10 Bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho A r  B r  16 C r  D r   Câu 35 Tam giác ABC có AB  3, AC  A  60 Bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A R  B R  3 C R  D R   Câu 36 Cho hình thoi ABCD cạnh cm có BAD  60 Độ dài cạnh AC A AC  B AC  C AC  D AC   Câu 37 Tam giác ABC vuông A , có AB  c, AC  b Gọi  a độ dài đoạn phân giác góc BAC Tính  a theo b c b  c  b  c  2bc 2bc B  a  C  a  D  a  bc bc bc bc ACB  60 Độ dài đường cao h xuất phát từ đỉnh A tam giác Câu 38 Tam giác ABC có AC  4,  A  a  A h  B h  C h  D h    450 Khi hình bình hành có diện tích Câu 39 Hình bình hành ABCD có AB  a, BC  a BAD Chương Tích vơ hương hai vectơ 28 0916620899 Toán 10 I Love Math A a GV Lư Sĩ Pháp C a 2 B 2a D a Câu 40 Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC , cạnh AB   ACB  60 Độ dài cạnh cạnh BC  33 A BC  B BC   C BC   D BC  12 AB Câu 41 Tam giác ABC vng A có đường cao AH  cm  Bán kính R đường trịn AC ngoại tiếp tam giác ABC A R  3,5 cm B R  2,5 cm C R  1, cm D R  cm Câu 42 Tam giác ABC có AB  5, BC  7, CA  Số đo góc A A 90 B 30 C 45 D 60 Câu 43 Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB  70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 300 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15030 ' Ngọn núi có độ cao so với mặt đất gần với giá trị sau đây? A 195 m B 234 m C 165 m D 135 m Câu 44 Tam giác ABC có AB  3, BC  Gọi M trung điểm BC Biết cos  AMB  Độ dài cạnh AC A AC  B AC  13 13 AM  26 D AC  13 C AC  ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Chương Tích vơ hương hai vectơ 29 0916620899 Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp ƠN TẬP CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG KIẾN THỨC CẦN NẮM Định nghĩa: Với góc  (00    1800 ) ta xác định điểm M đường tròn đơn vị cho  xOM   giả sử điểm M có tọa độ M  x ; y  Khi ta định nghĩa: 0  sin góc  y0 , kí hiệu sin   y0  cơsin góc  x0 , kí hiệu cos   x0 y y  tan góc  ( x0  0) , kí hiệu tan   x0 x0 x x  cơtan góc  ( y0  0) , kí hiệu cot   y0 y0 Các số sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác góc  Chú ý:  Nếu  góc tù cos   0, tan   0, cot    tan  xác định   900 , cot  xác định   00   1800 Các hệ thức lượng giác a Tính chất  sin 1800     sin   cos 1800      cos   tan 1800      tan   cot 1800      cot  Lưu ý: Hai góc bù có sin cơsin, tang, cotang đối b Các hệ thức lượng giác Từ định nghĩa giá trị lượng giác góc  ta suy hệ thức: sin  cos   sin   cos    tan    cot   (  900 ) (  00 ;1800 ) cos  sin  1  tan  cot     tan     cot   cos  sin  Các giá trị lượng giác góc đặt biệt  00 300 450 600 900 1800      HSLG sin  2 2 3 cos tan  cot  || 3 2 3 0 1 || 0 || || : Không xác định Chương Tích vơ hương hai vectơ 30 0916620899 Tốn 10 I Love Math Góc hai vectơ    Cho hai vectơ a, b khác Từ điểm O bất     kì, ta vẽ OA  a OB  b Khi góc  AOB với B 0 số đo từ đến 180 gọi góc hai vcetơ     a b Kí hiệu a, b GV Lư Sĩ Pháp   O     Lưu ý:  a, b  b, a a A b        00  a, b  1800  a, b  900  a  b         Tích vơ hướng hai vectơ       a Định nghĩa: Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a.b, xác định công thức sau:      a.b  a b cos a, b     Trường hợp hai vectơ a b vectơ ta quy ước a.b  Chú ý        Với a b khác vectơ ta có a.b   a  b       Khi a  b tích vơ hướng a.a kí hiệu a số gọi bình phương vơ hướng vectơ a 2   2 Ta có: a  a a cos 00  a   b Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng:    Với ba vectơ a, b, c số k ta có:    a.b  b.a (tính chất giao hốn);       a b  c  a.b  a.c (tính chất phân phối);       ka b  k a.b  a kb ; 2 2   a  0, a   a          Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra:   2   2  a  b  a  2a.b  b ;   2   2  a  b  a  2a.b  b ;     2 2  a b a b  a b        c Biểu thức tọa độ tích vơ hướng     Trên mặt phẳng tọa độ O; i; j , cho hai vectơ a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  Khi tích vơ hướng a.b là:  a.b  a1b1  a2b2    Nhận xét Hai vectơ a   a1 ; a2  , b   b1; b2  khác vectơ vuông góc với   a1b1  a2b2  d Ứng dụng i) Độ dài vectơ Chương Tích vơ hương hai vectơ 31 0916620899 Toán 10  Độ dài vectơ a   a1 ; a2  I Love Math  tính theo cơng thức: a  a12  a22 GV Lư Sĩ Pháp ii) Góc hai vectơ    Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy a   a1 ; a2  b   b1 ; b2  khác ta có    a1b1  a2b2 a.b cos a, b     a.b a12  a22 b12  b22   iii) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A  xA ; y A  B  xB ; yB  tính theo công thức: AB   xB  x A    y B  y A  Các hệ thức lượng tam giác a Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b AB  c A Ta có b c a  b  c  2bc.cos A; b  c  a  2ca.cos B; B c  a  b  2ab.cos C Hệ cos A  b2  c2  a2 ; 2bc cos B  c2  a2  b2 ; 2ca cos C  a  b2  c 2ab b Định lí sin Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b , AB  c R bán kính đường trịn ngoại tiếp a b c Ta có :    2R sin A sin B sin C A b c I a B c Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có ma , mb , mc trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có b2  c2 a2 a  c b2 a  b2 c ma2   ; mb2   ; mc2   4 c ma b M mc a mb B ● R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác; ● r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; abc ● p nửa chu vi tam giác; ● S diện tích tam giác, tính cơng thức sau 32 C A d Cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● , hb , hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC , CA, AB ; Chương Tích vơ hương hai vectơ C a 0916620899 C Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp 1 aha  bhb  chc 2 1  S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 abc  S 4R  S  pr  S  S p  p  a  p  b  p  c  (Công thức Hê-rông) BÀI TẬP Bài Cho tam giác ABC có A  600 , cạnh CA  cm, AB  cm a) Tính cạnh góc cịn lại b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính độ dài đường cao tam giác ABC d) Tính bán kính R, r tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có a  13 cm , b  14 cm, c  15 cm a) Tính diện tích tam giác ABC b) Góc B nhọn hay tù? Tính góc B c) Tính bán kính R, r tam giác ABC d) Tính , hb ; mb , mc Bài Chứng minh diện tích hình bình hành tích hai cạnh liên tiếp với sin góc xen chúng Bài Cho bốn điểm A  8;0  , B  0;  , C  2;  , D  3, 5  CMR tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Bài Cho tam giác ABC có cạnh 6cm Một điểm M nằm cạnh BC cho BM  2cm  a) Tính độ dài đoạn thẳng AM tính cosin góc BAM b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABM c) Tính độ dài trung tuyến vẽ từ đỉnh C tam giác ACM d) Tính diện tích tam giác ABM Bài Cho ABC có AB = 10, AC = A  600 a) Tính chu vi tan C ABC b) Trên tia đối AB lấy điểm D cho AD  , tia AC lấy điểm E cho AE  x Tìm x để BE tiếp tuyến đường tròn  ADE  Bài Cho tam giác ABC có A  600 , a  30 , bán kính đường trịn nội tiếp r  a) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R b) Tính độ dài cạnh b, c Bài Cho ABC có trọng tâm G Chứng hệ thức sau : a2  b2  c2 a) ma2  mb2  mc2  a  b  c b) GA2  GB  GC  c)  R sin B.sin C d) sin A  sin B cos C  cos B sin C   Bài Chứng minh tam giác ABC vuông A mb2  mc2  5ma2 Bài 10 Cho ABC thoả hệ thức bc cos A  ac cos B  ab cos C  a CMR: ABC vuông Bài 11 Chứng minh rằng: Nếu ABC thoả hệ thức sinA = 2sinBcosC ABC cân Bài 12 CMR tam giác ABC , ta có: a) b  c  a  b cos C  c cos B  b)  b  c  cos A  a  c cos C  b cos B  Bài 13 Cho ABC có BC  12, CA  13 , trung tuyến AM  Tính diện tích góc B ABC Bài 14 Trong ABC Tính A, B, C , R ma trường hợp sau: a) A  600 , b  8, c  c) a  6, b  2, c   Bài 15 Tính giá trị biểu thức sau: A  2sin 300  3cos 450 – sin 600 C  tan 50 tan100.tan150 tan 800 tan 850 Chương Tích vơ hương hai vectơ b) a  21, b  17, c  10 d) a  3, b  2, c  B  cos 450  3sin 600  cos 600 D  3sin 900  cos 00  3cos 600  10 cos1800 33 0916620899 Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp E  cos 00  cos 200  cos 400  cos 600   cos1400  cos1600  cos180 Bài 16 Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A  sin x  cos x tan x , biết cos x  b) B   sin x  cos x  sin x – cos x  , biết tan x  2 cot x  tan a c) C  , biết sin x  , (00  x  900 ) d) D  , biết cos a   , (900  a  1800 ) cot x  tan x  tan a 1 e) E  , biết tan x  2 sin x  sin x cos x  cos x f) F  cos 2  2sin   tan(  15 )  cos 6 biết   300 Bài 17 Cho tam giác ABC có cạnh BC  a, AB  c, AC  b   b  c  a a) Chứng minh: AB AC    b) Cho AB  5, BC  7, AC  Tính AB AC , suy giá trị góc A    Bài 18 Cho tam giác ABC có AB  a, AC  2a BC  a Tính AB AC , rối suy BAC Bài 19 Cho tam giác ABC có AB  4, BC  8, CA  a) Tính cos A , góc A nhọn hay tù ? b) Gọi G trọng tâm tam giác Tính AG Bài 20 Cho điểm A  2;3 , B  9;  , M  5; y  P  x;  a) Tìm y để tam giác AMB vng M b) Tìm x cho ba điểm A, P B thẳng hàng Bài 21 Trong mp Oxy cho điểm A  2;1 Gọi B điểm đối xứng với điểm A qua gốc toạ độ O Tìm toạ độ điểm C có tung độ cho ABC vng C Bài 22 Trong mp Oxy cho hai điểm A  3;  vàB  4;3 Tìm toạ độ : a) Điểm M trục Ox cho tam giác MAB vuông M b) Điểm N trục Oy cho NA  NB Bài 23 Trong mp Oxy cho hai điểm A 1; 1 B  3;0  hai đỉnh hình vng ABCD Tìm toạ độ đỉnh C D 2  Bài 24 Cho ABC vuông cân A , trung điểm BC M 1; 1 trọng tâm G  ;  3  Tìm toạ độ đỉnh A, B, C ABC Bài 25 Cho tam giác ABC có A  1;  , B  2;0  C  3;1 Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC Bài 26 Cho tam giác ABC có C  2; 4  trọng tâm G  0;  biết M  2;0  trung điểm BC Hãy tìm toạ độ A, B xác định tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Bài 27 Trong mp Oxy cho A 1; 2  B  3;3 Tìm điểm C  x; x   để ABC vuông C   1200 Tính a, b, C  Bài 28 Cho tam giác ABC biết c  35 cm, A  400 , C   1300 Tính c, A, Bài 29 Cho tam giác ABC biết a  cm, b  23 cm, C Bài 30 Cho tam giác ABC biết a  14 cm, b  18 cm, c  20 cm Tính  A,  B , C  B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Cho tam giác cạnh 3a Gọi H trung điểm BC , M điểm đoạn BC    BM  a Giá trị AB  AC AM   27a 3a 9a C D 2 2  Câu Trong tam giác ABC , cho a  (3; 4), b  (4; 3) Kết luận sau Sai ? A 9a B Chương Tích vơ hương hai vectơ 34 0916620899 Tốn 10  A a.b  I Love Math  C a.b    B a  b D GV Lư Sĩ Pháp   a b  Câu Cho tam giác ABC có A 10;5  , B  3;  vàC  6; 5  Khẳng định sau Đúng ? A ABC tam giác B ABC tam giác vuông cân B C ABC tam giác vuông cân A D ABC tam giác có góc tù A Câu Tìm khẳng định Sai khẳng định sau: A cos350 > cos100 B sin600 < sin800 C tan450 < tan 600 D cos 450  sin 450   300 Khẳng định sau Sai ? Câu Tam giác ABC vuông A có góc B 1 A cos C  B sin B  C cos B  D sin C  2 Câu Cho tam giác ABC có AB  8cm, AC  18cm có diện tích 64cm Giá trị sin A B C D Câu Cho   hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức Sai? A tan    tan  B cot   cot  C sin   sin  D cos    cos  Câu Cho tam giác ABC có AB  2, AC  3, BC  Trong đáp số sau, đáp số Sai ? A A Đường cao AH  15 16 B Trung tuyến AM  10 15 C cos A   D S ABC  4   Câu Cho hình vng ABCD cạnh a , có tâm O Giá trị AO AB a2 a2 a2 a2 A  B C  D 2 Câu 10 Cho ABC thoả b  c  2a Khẳng định sau Đúng ? A sin B  sin C  sin A B sin B  cos C  2sin A C sin B  sin C  2sin A D cos B  cos C  cos A Câu 11 Cho tam giác ABC có AB  4cm, BC  7cm, CA  9cm Giá trị cos A 2 A B C D  3 Câu 12 Giá trị cos 450  sin 450 A B C D 2 Câu 13 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc hai vectơ sau 1200 ?         A MN , MP B MN , NP C MO, ON D MN , OP         Câu 14 Cho tam giác ABC vuông cân A có AB  AC  30cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện tích GFC A 15 105 cm B 50 cm C 75 cm D 50 cm Câu 15 Cho hai góc nhọn   phụ Hệ thức sau Sai ? A tan  = cot  B cos  = sin  C cot  = tan  D sin  = - cos  Câu 16 Trong tam giác ABC Giá trị cos B b2  c  a a2  c2  b2 A B  sin B C cos  A  C  D 2bc 2ac Câu 17 Cho M , N , P, Q bốn điểm tuỳ ý Trong hệ thức sau, hệ thức Sai ?         A MN  PQ MN  PQ  MN  PQ B MP.MN   MN MP            C MN PQ  PQ.MN D MN NP  PQ  MN NP  MN PQ     Chương Tích vơ hương hai vectơ 35  0916620899 Toán 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp Câu 18 Cho tam giác ABC , có cạnh BC  a, CA  b, AB  c Khi đó, khẳng định Đúng là: A a  b  c  bc cos A B a  b  c  2bc cos A 2 C a  b  c  2bc cos A D a  b  c  bc cos A   300 hai điểm A, B di động Ox Oy cho AB  Độ dài lớn Câu 19 Cho góc xOy đoạn OB A B 1,5 C D 2 Câu 20 Cho tam giác DEF có DE  DF  10cm EF  12cm Gọi I trung điểm cạnh EF Đoạn thẳng DI có độ dài A 6, cm B cm C cm D cm Câu 21 Tam giác có ba cạnh 6, 10, Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bằng: A B C D Câu 22 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau Đúng ?     ABC  A sin  B sin BAH C cos BAH D sin  AHC  2 2 Câu 23 Trong tam giác ABC Độ dài đường trung tuyến mc là: A 2(b  a )  c B b2  a2  c2 b2  a c b2  a2 c D   4 Câu 24 Cho   hai góc nhọn  <  Khẳng định sau Sai? A tan  + tan  > B cos  < cos  C sin  < sin  D sin   cos       900 Câu 25 Cho  góc tù Khẳng định sau Đúng ? A tan  < B cot  > C sin  < D cos  > Câu 26 Cho tam giác ABC có A  1;1 , B 1;3 vàC 1; 1 Trong khẳng định đúng? A ABC có ba cạnh B ABC có ba góc nhọn C ABC cân B D ABC vuông cân A Câu 27 Trong đẳng thức sau, đẳng thức Đúng ? A sin  900      cos  B sin  900     sin  C C sin  900     cos  D cos  900      sin  Câu 28 Cho tam giác ABC có BC  10 , A  600 Bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC 10 A B 10 C D 10   450 Diện tích hbh ABCD Câu 29 Cho hình bình hành ABCD có AB  a , BC = a BAD A 2a  đvdt  B a 2 (đvdt) C a  đvdt  D a (đvdt) Câu 30 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính R  Diện tích ABC là: A 24 (đvdt) B 30(đvdt) C 26(đvdt) D 26 (đvdt) Câu 31 Trong hệ thức sau, hệ thức không Đúng ? A cos   sin   cos   sin  B cos   sin   2 C  sin   cos     2sin  cos  D  sin   cos     2sin  cos  Câu 32 Cho ABC vuông A Hệ thức liên hệ ba đường trung tuyến AD, BE CF : A BE  3CF  AD B 3BE  2CF  AD C BE  CF  AD D BE  CF  AD Câu 33 Trong khẳng định sau, khẳng định Đúng ? A sin 900  sin1500 B sin 90015'  sin 90030 ' Chương Tích vơ hương hai vectơ 36 0916620899 Toán 10 I Love Math C cos 90030'  cos1000 GV Lư Sĩ Pháp D cos1500  cos1200   600 , C   450 AB  Độ dài cạnh AC là: Câu 34 Cho tam giác ABC có B Câu 35 Cho hai điểm M 1; 2  N (3; ) Khoảng cách hai điểm M N A 10 B C D A 13 B C D Câu 36 Trong khẳng định sau, Khẳng định sau Đúng ? A tan   tan 1800    B cot   cot 1800    C sin   sin 1800    D cos   cos 1800    Câu 37 Cho tam giác ABC , có cạnh BC  a, CA  b, AB  c Mệnh đề sau Đúng ? A Nếu b  c  a < góc A  900 B Nếu b  c  a > góc A tù C Nếu b  c  a < góc A nhọn D Nếu b  c  a > góc A nhọn Câu 38 Trong khẳng định sau, khẳng định Sai? A sin 600  cos1200 B cos 450  sin1350 0 C cos 30  sin120 D cos 450  sin 450 Câu 39 Gọi S diện tích tam giác ABC Khẳng định sau Đúng ? abc A S  ab sin C B S  ab cos C C S  D S  aha 4R Câu 40 Cho tam giác có độ dài ba cạnh 5, 12 13 Diện tích tam giác ABC là: A 30(đvdt) B 20 (đvdt) C 10 (đvdt) D 20(đvdt)  Câu 41 Cho hai điểm A 1;  B  3;  Giá trị AB A B C Câu 42 Trong khẳng định sau, khẳng định Sai ? D 1 C sin 00  cos 00  D sin 900  cos 900    1200 độ dài cạnh MN ( làm tròn đến chữ số thập Câu 43 Nếu tam giác MNP có MP  5, PN  MPN phân thứ ) : A 12,0 B 11,4 C 12,4 D 7,0   Câu 44 Cho hai vectơ a , b hướng khác vectơ_không Trong khẳng định sau, khẳng định ?         A a.b   a b B a.b  a b C a.b  D a.b  1     Câu 45 Cho hai vectơ a  (4;3), b  (1; 7) Góc hai vectơ a b A 300 B 600 C 450 D 900 Câu 46 Trong hệ thức sau, hệ thức Đúng ? 2       2  A a   a B C D a.b  a b a a a  a A sin1800  cos1800  1 B sin 600  cos 600  Câu 47 Cho tam giác ABC cạnh 2a, nội tiếp đường tròn bán kính R Khi R là: 2a 2a a B R  C R  D R  3       Câu 48 Trong mp Oxy cho a  (1; 2), b  (3; 0) c  ( ;  ) Nếu c  a, b.c  : 1 1 A   1;    B   1;   C   1;   D   1;    2 2  Câu 49 Tam giác ABC vng A có góc B  50 Khẳng định sau Sai ? A R  a Chương Tích vơ hương hai vectơ 37 0916620899 Toán 10   A AB, BC  1300   B  I Love Math     C AB, CB  500 BC , AC  400    D  GV Lư Sĩ Pháp   AC , CB  1200  Câu 50 Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức Đúng ? 3 A sin1500   B cos1500  C tan1500   D cot1500  2 Câu 51 Cho tam giác ABC có AB  9cm, BC  15cm, CA  12cm Khi đường trung tuyến AM tam giác có độ dài : A 7,5cm B 10cm C 9cm D 8cm   Câu 52 Trong mp Oxy cho a   9;3 Vectơ không vuông góc với vectơ a ?     A t  1;3 B s   1;3 C u  1; 3 D v   2; 6  Câu 53 Cho tam giác ABC vuông cân A, AB  2a Đường trung tuyến BM có độ dài A 2a B a D 2a C 3a ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 Chương Tích vơ hương hai vectơ 38 0916620899 ... Chương Tích vơ hương hai vectơ 0916620899 Tốn 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp §2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ KIẾN THỨC CẦN NẮM Định nghĩa       Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a... – 0916.620.899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn Lư Sĩ Pháp MỤC LỤC CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ o ĐẾN 180o –. .. 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Chương Tích vơ hương hai vectơ 29 0916620899 Tốn 10 I Love Math GV Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG KIẾN THỨC CẦN NẮM Định nghĩa: