Chuyên đề Tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng

Bài toán 2 : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn.. được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn I... Chứng minh rằng điểm M ở ngoài đường tròn ngọai tiếp tam giác

Trang 1

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa

Trang 2

Chương 2 Tích vô hướng và ứng dụng

1 Góc giữa hai vectơ :

a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạo bởi hai tia có chung gốc Số đo a ( tính bằng độ )

của một góc hình học thỏa : 0o ≤ ≤a 180o

• Nếu và a không phải là góc đặc biệt càc giá trị

lượng giác của a được tính bằng máy tính bỏ túi

b) Góc giữa hai vectơ : Cho 2 vectơ aG ; bG ( 0≠ )G ;

Vẽ các vectơ OAJJJG=a OB bG JJJG G; = Góc AOB được gọi là góc giữa 2 vectơ a bG G;

Ký hiệu : ( , )a bG JJG

2 Tích vô hướng của hai vectơ :

a ) Định nghĩa : Tích vô hướng của hai vectơ a bG G, ký hiệu là a bG G là một số xác định bởi :

a b a bJGG= G G a bG G, )

c) Công thức hình chiếu : Cho hai vectơ bất kỳ , JJJG JJJGAB CD; Gọi E , F lần lượt là hình chiếu

vuông góc của C , D xuống đường thẳng AB Ta có công thức :

O x

y

aGb

Trang 3

Bài toán 2 : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn tâm I , bán kính R và một điểm M Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt đường tròn taị A và B Biểu thức MA MBJJJ JG JJG được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (I)

a) Ấn liên tíêp các phím : sin 6 5 o’” 4 3 o’” 3 6 o’” = 0,9115

b) Ấn liên tiếp các phím :tan 6 2 o’” 2 5 o’” 1 6 o’” = 1,9145

c) Ấn liên tiếp các phím : 1 ÷ tan 4 2 o’” 1 2 o’” = 1,1028

Vậy sin 65 43'36" 0,9115; tan(62 25'16") 1,9145;cot(42 12') 1,1028o = o = o =

Ví dụ 2 : Tính x biết : a) sinx = 0,3502 b) tanx = 2 c) cotx = 2,619

Trang 4

www.saosangsong.com.vn/

4 a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin 0 3 5 0 2 = o’” màn hình hiện lên

E

N M

Ví dụ 1 : Cho hình vuông ABCD ; tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau :

cos( , ) cos 45

2tan( , ) tan 45 1 cot( , )

AD

= = = ⇒ =( , ) ( , ) ; ( )

Dạng toán 3 : Tinh tích vô hướng

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3a

M , N là hai điểm thuộc cạnh AC sao cho AM = MN = NC

Tính những tích vô hướng sau :

Trang 6

Vậy điểm M’ cố định ( vì A’ cố định và BC khôngđổi )

Do đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với BC tại M’

Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có ba đường cao là : AA’ , BB’ ,CC’ Gọi M , N , P lần lượt là

trung điểm của BC , CA , AB Chứng minh : ' JJJJJGA M BC B N CA C P ABG+ ' JG JJJG+ ' G G=0

lần lư

JJJ JJJJ JJJJ JJJ

Giải :

Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm của tam giác , ta có :

A’ , B’ , C’ lần lượt là hìmh chiếu của H xuống BC , CA , AB

M , N , P ợt là hìmh chiếu của O xuông BC , CA , AB

Dạng toán 5 : Chứng minh một hệ thức giữa các độ dài

Ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng và tính chất JAJJGB2 =AB2

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có góc BAC = 120o ; AB =3 ; AC = 6 Tính cạnh BC

Gọi M là trung điểm của BC , ta có :

2

AG= b + c − a

Trang 7

Ví dụ 2 : Cho hình thang vuông ABCD có 2 đáy là AD = 2a ; BC = 4a ; đường cao AB =

2a 2 Chứng minh rằng hai đừơng chéo AC và BD thì vuông góc với nhau

Vậy hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau

Dạng toán 7 : Sử dụng công thức về tọa độ

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vớí A( 10 , 5 ) ; B( 3 , 2 ) ; C( 6 , -5 ) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B

Giải : JJJ

Ta có : ABG= −(3 10, 2 5) ( 7, 3) ;− = − − JJJGBC=(6 3, 5 2) ( 3, 7)− − − = − −

Trang 8

www.saosangsong.com.vn/

8

Suy ra : JJJG JJJGAB BC = −( 7).(3) ( 3).( 7) 0+ − − = ⇒JJJGAB⊥BCJJJG Vậy tam giác ABC vuông tại B

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có A( 3 , 1 ) ; B( -1 , -1 ) ; C( 6 , 0 )

a) Tính góc A của tam giác ABC

*b) Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn

JJJG JJJGJJJJG JJJJG

Vậ y có hai giao điểm M : M1(1,− 5) ;M2(1, 5)

1 (1)

JG G

Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có A( 5 , 3 ) ; B( 2 , - 1 ) ; C( -1 , 5 )

a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác

b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A

Giải :

a) JJJ Gọi H( x , y ) là tọa độ trực tâm , ta có : JJJ JJJ

Vậy tọa độ trực tâm H là : H( 3 , 2 )

b) Gọi A’( x , y ) là tọa độ chân đường cao vẽ từ A , ta có : JJJ JJJ

a MA MB MC MB

+ =JJJG JJJG JJJJG JJJGJJJG JJJG

Trang 9

Giải :

a) Ta có : MA MBJJJG JJJG+ =2MI MC MB BCJJJG JJJJG JJJG JJJG; − = ( I là trung điểm của AB )

( 1 ) ⇔2MI BCJJJG JJJG = ⇔0 MI ⊥BC : Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) qua I và vuông góc với BC

*Ví dụ 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Tìm tập hợp các điểm M thỏa :

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng

6 6 2 6 6 2 14426

Trang 10

Ví dụ 2 : Cho 4 điểm A( - 2 , - 1 ) ; B( - 1 , 4 ) ; C( 4 , 3 ) ; M( 5 ,- 2 ) Chứng minh rằng điểm M ở

ngoài đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC ( T là tiếp điểm )

và các tích vô hướng sau :JJJGAB BC.JJJG ; JJJAC BCJGJJJG

2 3 Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB = 3 , AC = 4 Trên tia AB lấy điểm D sao cho

BD = 4 Tính các tích vô hướng sau :JJJJG GBC BD AC BI ; JJG JG

, c nh ng a , G là trọn

)

JJJ J J

( I là trung điểm của CD )

2 4 Cho tam giác ABC đều ạ bằ g tâm tam giác ; M là một điểm bất

kỳ Chứng minh rằng T = ( MA GB MB GC MC GAJJJ JG JJG +JJJ JG JJG +JJJJG JJJG có giá trị không đổi Tính giá trị

Trang 11

2 10 Cho tam giác ABC vuông tại A Trên tia đối của tia AB ,lấy điểm D sao cho AD =

AC ; trên tia đối của tia AC , lấy điểm E saocho AE = AB

Chứng minh rằng đường trung tuyến của tam giác ADE thì vuông góc với BC

2 11 Cho : aG =6 ; bG =3 Định x để hai vectơ sau vuông góc với nhau (a xbG+ G); (a xbG− JJG)

2 12 Cho tam giác ABC vuông tại A ; D thuộc tia AC và AD = 3AC Chứng minh rằng

2 1 2

( 16

9

2)

AG = AB + AC (G là trọng tâm tam giác BCD )

* 2 13 Cho tứ giác ABCD

Trang 12

I M'

Theo giả thiết :

Trang 13

2 10 Gọi AI là trung tuyến của tam giác ADE , ta có :

Trang 14

( I , J lần lượt là trung điểm của AB , CI ) Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn ( J ,

1 Định lý cosin : Trong một tam giác ABC , bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương

của hai cạnh còn lại trừ đi tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng

2 Định lý sin : Trong một tam giác ABC , tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện cạnh đó

bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

3 Công thức tính độ dài đường trung tuyến

2 2 2 2

c a b m

a b c m

Trang 15

5 Giải tam giác :

Giải tam iác là tìm một số yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó

ậy góc nhỏ nhất của tam giác ABC là góc B và B =

góc B , D , A của tam giác ABD ; bán kính đường tròn tiếp và diện tích của tam giác này

Giải

Ta có

cos

18 55'o B

Trang 16

Trang 17

2 2

( )

2 6 2 ; 3 5 ; 45

3 5 3 102sin 2 2

6sin 0,8944 63 25'

AE

m ACE

AD

AED AE

a

Do đó , theo định lý sin tam giá

Trang 18

ABC ABD ADC

m b2+m c2 =5m m m m a2( a, b, clà 3 trung tuyến vẽ từ A,B,C )

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Ví dụ 10 : Cho tam giác ABC có AB = c = 45 ; AC = b = 32 ; BAC = 87 Tính các cạnh và các góc còn lại

Giải :

o

Trang 19

2 21 Cho tam giác ABC nhọn có AB = 3cm ; AC = 4cm và diện tích S = Tính

ủa tam giác này

b c a

=+ −

B

tan

2 24 Cho tam giác ABC có : BAC=60 ;o BC= 7 ; AC=2 Tính cạnh AB và các góc

giác này

B = c và các cạnh này thỏa điều kiện

2 Chứng minh rằng hai trung tuyến vẽ từ B và C thì vuông góc với nhau

2 26 Cho tam giác ABC có : AB = 3cm ; AC = 2x(cm) ; BC = 5cm

a) Định điều kiện của x (để ABC là một tam giác )

b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 6 Trên đường thẳng BC lấy 2 điểm D

và E sao cho BD = BE = 1 Chứng minh rằng AD2+AE2+2AC2 =74

2 28 Cho hình thang vuông ABCD ( A = B = )và AB =4cm ;AD = 3cm ; BC = 11cm Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác BCD

D Hướng dẫn giải hay đáp số

2 18

90o

Trang 20

( )( )( ) 20.10.7.3 10 42 64,8010.13.17 221

8,52

4 4.10 42 4 42

10 42

3, 2420

S AH

BC

2 22 Ta có :

Trang 21

7 4 2 .2 2 3 0 3: 3

2

sin 60 3sin 0,6546

với CN ta chỉ cần chứng minh tam giác BGC vuôn

B

G

C

M N

=

12( ) 2( )9

Vậy tam giác BGC vuông tại G

2 26 a) Điều kiện để ABC là một tam giác là :

Trang 22

DC DBC

Trang 23

BC =AB +AC + AB AC Góc A của tam giác gần bằng

góc nào dưới đây nhất :

9 Trong một tam giác , nếu tổng bình phương 3 đường trung tuyến bằng 30 thí tổng bình ph

3 cạnh của tam giác sẽ bằng :

4a E là một điểm thuộc tia đố

11 Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = 2a ; BC =

BC Nếu bán kính đường tròn ngọai tiếp của tam giác AC

đối của tia BC lấy điểm D sao nào dưới đây nhất :

3,4a b 3,5a

c 3,6a d 3,7a

ọi R ,R’ lần lượt là bán kính đường tròn ngọai tiếp

15 Tam giác ABC vuông tại A và có AB = a ; BC = 2a Trên tia

cho BD = 3a Đoạn AD gần bằng đoạn

a

16 Cho tam giác ABC có AB = 3 ; AC = 5 G

c a tam giác ABM và tam giác ACM ( M là mộ

a R = 0,5R’ b R =

Trang 24

21cos( , ) ( , ) 120

Trang 25

⇔ =

2 22

Trang 26

60o 60o

17c Giả thiết cho A=

BC = AB +AC ) hức hai cho :

=

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	1,15 MB