Chuyên đề tích vô hướng của hai vecto

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUN ĐỀ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTO Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 177 Website: tailieumontoan.com GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ Định nghĩa    Với góc ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM giả sử điểm M có tọa độ M  x ; y0  Khi ta có định nghĩa:  sin góc  y0 , kí hiệu sin   y0 ; y  cosin góc  x , kí hiệu cos   x ;  tang góc  M y0  x  , x0 y0  y0 ; x0 kí hiệu tan   x0 1 x x  cotang góc   y0  0, kí hiệu cot   y0 y0 x O Tính chất    Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM   180   Ta có y  y  y , x  x  x Do xON M N M N y sin   sin 180    cos    cos 180    tan    tan 180    y0 N M cot    cot 180    Giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị  lượng giác x  x x0 O 00 30 450 60 90 180 sin  2 cos  2 2 1 tan   cot    3 1 3 Trong bảng kí hiệu "  " để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC thể suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn: sin120  sin 180  60   sin 60  cos1350  cos 180  450    cos 450   Góc hai vectơ a) Định nghĩa        Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA  a OB  b    với số đo từ 0 đến 180 gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc Góc AOB         hai vectơ a b a, b Nếu a, b  90 ta nói a b vng góc với nhau,     kí hiệu a  b b  a  A b  a   B a b     O     b) Chú ý Từ định nghĩa ta có a, b  b, a     CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu Giá trị cos 450  sin 450 bao nhiêu? A B 0 C D Câu Giá trị tan 30  cot 30 bao nhiêu? 1 D C 3 Câu Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? A B A sin150O   C tan150O   B cos150O  D cot150O  Câu Tính giá trị biểu thức P  cos 30 cos 60  sin 30 sin 60 A P  B P  C P  Câu Tính giá trị biểu thức P  sin 30 cos 60  sin 60 cos 30 A P  B P  C P  Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? 178 D P  D P   179 Website: tailieumontoan.com O O O A sin 45  cos 45  B sin 30  cos 60O  A sin 0O  cos 0O  B sin 90O  cos 90O  C sin 60O  cos150O  D sin120O  cos 30O  Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? D sin 60O  cos 60O  C sin180O  cos180O  1 1 Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A cos 45O  sin 45O B cos 45O  sin135O C cos 30O  sin120O D sin 60O  cos120O   30 Khẳng định sau sai? Câu Tam giác ABC vng A có góc B A cos B  B sin C  C cos C  D sin B  Câu 10 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng?  A sin BAH  B cos BAH  C sin ABC   D sin AHC Vấn đề HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11 Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? B sin 180     sin  A sin 180     cos  C sin 180    sin  D sin 180    cos  Câu 12 Cho   hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A sin   sin  B cos    cos  C tan    tan  D cot   cot  Câu 13 Tính giá trị biểu thức P  sin 30 cos15  sin150 cos165 A P   B P  Câu 14 Cho hai góc  P  cos  cos   sin  sin  A P  B P  A P  B P   C P  D P  với     180 Tính giá trị biểu thức C P  1 D P  C P  1 D P  Câu 15 Cho tam giác ABC Tính P  sin A.cos  B  C   cos A.sin  B  C  Câu 16 Cho tam giác ABC Tính P  cos A.cos  B  C   sin A.sin  B  C  A P  B P  C P  1 D P  Câu 17 Cho hai góc nhọn   phụ Hệ thức sau sai? A sin    cos  B cos   sin  C tan   cot  2 D cot   tan  Câu 18 Tính giá trị biểu thức S  sin 15  cos 20  sin 75  cos 110 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC A S  B S  Câu 19 Cho hai góc  P  sin  cos   sin  cos  A P  B P  Câu 20 Cho hai góc  P  cos  cos   sin  sin    với với C S  D S      90 Tính giá trị biểu thức C P  1 D P      90 Tính giá trị biểu thức A P  B P  C P  1 D P  Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC A cos   cos  B sin   sin  Câu 21 Cho  góc tù Khẳng định sau đúng? A sin   B cos   C tan   D cot   Câu 22 Cho hai góc nhọn      Khẳng định sau sai? Câu 23 Khẳng định sau sai? A cos75  cos 50 C tan 45  tan 60 Câu 24 Khẳng định sau đúng? A sin 90  sin100 C tan 85  tan125 Câu 25 Khẳng định sau đúng? A sin 90  sin150 C cos 9030   cos100 C cot   cot  B sin 80  sin 50 D cos 30  sin 60 D tan   tan   B cos 95  cos100 D cos145  cos125 B sin 9015  sin 9030  D cos150  cos120 Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26 Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos   sin   1?     A cos  sin  B cos  sin  2 3      C cos  sin  D cos  sin     4 5 Câu 27 Cho biết sin A P  105 25     Giá trị P  sin  cos ? 3 111 107 109 B P  C P  D P  25 25 25 Câu 28 Cho biết tan   3 Giá trị P  A P  B P  sin   cos  ? cos   sin  C P   D P   cot   tan  Câu 29 Cho biết cos    Giá trị P  ? cot   tan  180 181 Website: tailieumontoan.com A P   19 13 B P  19 13 C P  25 13 D P   25 13 Câu 30 Cho biết cot   Giá trị P  cos   sin  cos   ? A P  10 26 B P  100 26 C P  50 26 D P  101 26 Câu 31 Cho biết cos   sin   , 0    90 Giá trị tan  A tan   3 B tan   D tan   4 C tan   Câu 32 Cho biết cos   sin   , 0    90 Tính giá trị cot  B cot   C cot   4 Câu 33 Cho biết sin   cos   a Tính giá trị sin  cos  D cot   A cot   A sin  cos   a B sin  cos   2a C sin  cos   a2 1 D sin  cos   a  11 Câu 34 Cho biết cos   sin   Giá trị P  tan   cot  ? 11 A P  B P  C P  D P  4 4 Câu 35 Cho biết sin   cos   Giá trị P  sin   cos  ? A P  15 B P  17 19 C P  D P  Vấn đề GÓC GIỮA HAI VECTƠ 21 Câu 36 Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau 120O ?         A MN , NP B MO , ON C MN , OP D MN , MP                Câu 37 Cho tam giác ABC Tính P  cos AB, BC  cos BC , CA  cos CA, AB  3   C P     Câu 38 Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính AH , BA A P  A 30 B P    D P   C 120 D 150   50 Hệ thức sau sai? Câu 39 Tam giác ABC vng A có góc B     A AB, BC  130 B BC , AC  40   B 60   Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038  3  TÀI LIỆU TOÁN HỌC   C AB, CB  50    D AC , CB  40      Câu 40 Tam giác ABC vng A có BC  AC Tính cos AC , CB    A cos AC , CB    C cos AC , CB     B cos AC , CB     D cos AC , CB         Câu 41 Cho tam giác ABC Tính tổng AB, BC  BC , CA  CA, AB           A 180 B 360 C 270 A 120 B 360 C 270     D 120       60 Tính tổng AB, BC  BC , CA Câu 42 Cho tam giác ABC với A  Câu 43 Tam giác ABC có góc       HA, HB  HB, HC  HC , HA       C 80    D 240 A 100 có trực tâm H Tính tổng D 160   Câu 44 Cho hình vng ABCD Tính cos AC , BA A 360 B 180     A cos AC , BA    C cos AC , BA    B cos AC , BA     D cos AC , BA  1 A 450 C 3150               Câu 45 Cho hình vng ABCD tâm O Tính tổng  AB, DC    AD, CB   CO , DC  B 4050 D 2250 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTO Định nghĩa      Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b số, kí hiệu  a.b, xác định công thức sau:      a.b  a b cos a, b       Trường hợp hai vectơ a b vectơ ta quy ước a.b  Chú ý        Với a b khác vectơ ta có a.b   a  b      Khi a  b tích vơ hướng a.a kí hiệu a số gọi bình phương vơ  hướng vectơ a Ta có: 182 183 Website: tailieumontoan.com 2   2 a  a a cos 0  a Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng:    Với ba vectơ a, b, c số k ta có:    a.b  b.a (tính chất giao hốn);       a b  c  a.b  a.c (tính chất phân phối);         ka b  k a.b  a kb ;     2 2     a  0, a   a  Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra:   2   2  a  b  a  2a.b  b ;        2   2 2  a  b   a  2a.b  b ; 2  a  b a  b   a  b Biểu thức tọa độ tích vơ hướng    Trên mặt phẳng tọa độ O ; i ; j , cho hai vectơ a  a1 ; a2 , b  b1 ; b2  Khi tích vơ  hướng a.b là:    a.b  a1b1  a2b2    Nhận xét Hai vectơ a  a1 ; a2 , b  b1 ; b2  khác vectơ vng góc với a1b1  a2 b2  Ứng dụng a) Độ dài vectơ  Độ dài vectơ a  a1 ; a2  tính theo công thức:  a  a12  a22 b) Góc hai vectơ   Từ định nghĩa tích vô hướng hai vectơ ta suy a  a1 ; a2  b  b1 ; b2   khác ta có Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC    a1b1  a2 b2 a.b cos a; b     a1  a22 b12  b22 a.b   c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A  x A ; y A  B  x B ; y B  tính theo công thức: 2 AB   x B  x A    y B  y A  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ    Câu Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng?         A a.b  a b B a.b  C a.b  1 D a.b   a b      Câu Cho hai vectơ a b khác Xác định góc  hai vectơ a b    a.b   a b A   180 B   0 C   90 D   450      Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn a  3, b  a b  3 Xác định góc  hai   vectơ a b A   30 B   450 C   60 D   120          2 Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn a  b  hai vectơ u  a  3b v  a  b   vng góc với Xác định góc  hai vectơ a b B   180 C   60 D   450   Câu Cho hai vectơ a b Đẳng thức sau sai?   1     2   1     2 A a b   a  b  a  b  B a b   a  b  a  b    2 2       2 2       1  1  C a b   a  b  a  b  D a b   a  b  a  b        Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB AC     a     a2 a2 A AB AC  2a B AB AC   D AB AC  C AB AC   2   Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.BC   a   a     a2 A AB.BC  a B AB.BC  C AB.BC   D AB.BC  2 Câu Gọi G trọng tâm tam giác ABC có cạnh a Mệnh đề sau sai? A   90 184 185 Website: tailieumontoan.com         a A AB AC  a B AC CB   a C GA.GB  D AB AG  a 2 Câu Cho tam giác ABC có cạnh a chiều cao AH Mệnh đề sau sai?     a   a   A AH BC  B AB, HA  150 C AB AC  D AC CB  2   Câu 10 Cho tam giác ABC vng cân A có AB  AC  a Tính AB.BC     a 2     a2 D AB.BC  A AB.BC  a B AB.BC  a C AB.BC   2   Câu 11 Cho tam giác ABC vng A có AB  c , AC  b Tính BA.BC         A BA.BC  b B BA.BC  c C BA.BC  b  c D BA.BC  b  c   Câu 12 Cho tam giác ABC có AB  cm, BC  cm, CA  cm Tính CA.CB         A CA.CB  13 B CA.CB  15 C CA.CB  17 D CA.CB  19    Câu 13 Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c Tính P  AB  AC BC    A P  b  c B P  c  b2 C P  c  b2  a2  D P  c  b2  a2 Câu 14 Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c Gọi M trung điểm cạnh BC Tính   AM BC   c  b   b  c A AM BC  B AM BC  2   c  b  a   c  b  a C AM BC  D AM BC  Câu 15 Cho ba điểm O , A, B không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để tích vơ hướng    OA  OB AB    A tam giác OAB B tam giác OAB cân O C tam giác OAB vuông O D tam giác OAB vuông cân O Câu 16 Cho M , N , P , Q bốn điểm tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức sai?            A MN NP  PQ  MN NP  MN PQ B MP MN  MN MP       C MN PQ  PQ.MN     D MN  PQ MN  PQ  MN  PQ   Câu 17 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB AC         2 A AB AC  a B AB AC  a 2 C AB AC  D AB AC  a a 2    Câu 18 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính P  AC CD  CA    Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038   TÀI LIỆU TỐN HỌC 187   MA.MB  16 là: A điểm B đường thẳng Website: tailieumontoan.com C đoạn thẳng D đường tròn Vấn đề BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG HAI VECTƠ Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định A  x A ; y A , B  x B ; y B , C  xC ; yC   x  x B y A  y B  • Trung điểm I đoạn AB  ;  I  A   2   x  x B  xC y A  y B  yC  • Trọng tâm G  ;  G  A   3   HA.BC   • Trực tâm H       HB.CA    AE  BE • Tâm đường trịn ngoại tiếp E   EA  EB  EC    AE  CE      AK BC  • Chân đường cao K hạ từ đỉnh A         BK  k BC  AB  • Chân đường phân giác góc A điểm D  DC  DB   AC • Chu vi: P  AB  BC  CA 1 AB AC sin A  AB AC  cos A 2   • Góc A : cos A  cos AB, AC • Diện tích: S       AB AC   • Tam giác ABC vuông cân A    AB  AC  Câu 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 3; 1, B 2;10, C 4;2 Tính tích vơ   hướng AB AC         A AB AC  40 B AB AC  40 C AB AC  26 D AB AC  26 Câu 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 3; 1 B 2;10 Tính tích vơ hướng   AO.OB         A AO.OB  4 B AO.OB  C AO.OB  D AO.OB  16       Câu 33 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a  4i  j b  3i  j Tính tích vô  hướng a.b     A a.b  30 B a.b  C a.b  30 D a.b  43 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC   Câu 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a  3;2 b  1; 7 Tìm tọa độ    vectơ c biết c a  c b  20     A c  1; 3 B c  1;3 C c  1; 3 D c  1;3    Câu 35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a  1;2, b  4;3 c  2;3    Tính P  a b  c  A P   B P  18 C P  20 D P  28   Câu 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a  1;1 b  2;0 Tính cosin   góc hai vectơ a b     A cos a, b  B cos a, b   2     1 C cos a, b   D cos a, b  2   Câu 37 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a  2; 1 b  4; 3 Tính cosin   góc hai vectơ a b     5 A cos a, b   B cos a, b  5     C cos a, b  D cos a, b  2   Câu 38 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a  4;3 b  1;7 Tính góc    hai vectơ a b                 A   90O B   60O C   45O D   30O   Câu 39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x  1;2 y  3; 1 Tính góc    hai vectơ x y A   45O B   60O C   90O D   135O   Câu 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a  2;5 b  3; 7 Tính góc    hai vectơ a b A   30O B   45O C   60O D   135O  Câu 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a  9;3 Vectơ sau khơng vng  góc với vectơ a ?     A v1  1; 3 B v2  2; 6 C v3  1;3 D v  1;3 Câu 42 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;2, B 1;1 C 5; 1 Tính cosin   góc hai vectơ AB AC 188 189 Website: tailieumontoan.com   B cos AB, AC    D cos AB, AC     A cos AB, AC     C cos AB, AC           Câu 43 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 6;0, B 3;1 C 1; 1 Tính số đo góc B tam giác cho A 15O B 60O C 120O D 135O Câu 44 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 8;0, B 0;4 , C 2;0 D 3; 5 Khẳng định sau đúng?  phụ  BCD A Hai góc BAD     C cos AB, AD  cos CB, CD      góc nhọn B Góc BCD  bù  BCD D Hai góc BAD  1     Câu 45 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u  i  j v  ki  j Tìm k để   vectơ u vng góc với v A k  20 B k  20 C k  40 D k  40  1     Câu 46 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u  i  j v  ki  j Tìm k để   vectơ u vectơ v có độ dài 37 37 37 D k       Câu 47 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a  2;3, b  4;1 c  ka  mb với    k, m   Biết vectơ c vng góc với vectơ a  b Khẳng định sau đúng? A k  B k  C k    A k  2m  C k  3m  D 3k  2m     Câu 48 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a  2;3 b  4;1 Tìm vectơ d     biết a.d  b.d  2             A d   ;  B d   ;  C d   ;   D d   ;    7   7   7   7       Câu 49 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u  4;1, v  1;4  a  u  m.v với  m   Tìm m để a vng góc với trục hồnh A m  B m  4 C m  2 D m    Câu 50 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u  4;1 v  1;4  Tìm m để vectơ       a  m.u  v tạo với vectơ b  i  j góc 450 A m  B 3k  2m 1 B m   C m   Vấn đề CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 D m  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Câu 51 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách hai điểm M 1;  2 N  3;4  A MN  B MN  C MN  D MN  13 Câu 52 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;4 , B 3;2, C 5;4  Tính chu vi P tam giác cho A P   2 B P   C P   D P   2     3  Câu 53 Trong hệ tọa độ O ; i ; j , cho vectơ a   i  j Độ dài vectơ a 5 A B  C  D   Câu 54 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u  3;4  v   8;6 Khẳng định sau đúng?   A u  v   C u vng góc với v   B u v phương   D u   v  3 Câu 55 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 1;2, B  2;  , C 0;1 D 1;   2 Mệnh đề sau ?     A AB phương với CD B AB  CD     C AB  CD D AB  CD Câu 56 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 7; 3, B 8;4 , C 1;5 D 0; 2 Khẳng định sau đúng?   A AC  CB B Tam giác ABC C Tứ giác ABCD hình vng D Tứ giác ABCD khơng nội tiếp đường trịn Câu 57 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 1;1, B 0;2, C 3;1 D 0; 2 Khẳng định sau đúng? A Tứ giác ABCD hình bình hành B Tứ giác ABCD hình thoi C Tứ giác ABCD hình thang cân D Tứ giác ABCD khơng nội tiếp đường trịn Câu 58 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;1, B 1;3 C 1; 1 Khẳng định sau ? A Tam giác ABC C Tam giác ABC cân B B Tam giác ABC có ba góc nhọn D Tam giác ABC vuông cân A Câu 59 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 10;5, B 3;2 C 6; 5 190 191 Website: tailieumontoan.com Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC C Tam giác ABC vuông cân B B Tam giác ABC vng cân A D Tam giác ABC có góc A tù A Tam giác ABC C Tam giác ABC vuông B B Tam giác ABC vuông cân A D Tam giác ABC vuông cân C Câu 60 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 2; 1, B 1; 1 C 2;2 Khẳng định sau đúng? Vấn đề TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 61 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;4  B 8;4  Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hồnh cho tam giác ABC vng C A C 6;0 B C 0;0, C 6;0 C C 0;0 D C 1;0 Câu 62 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 B 3;1 Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung cho tam giác ABC vuông A A C 0;6 B C 5;0 C C 3;1 D C 0; 6 A M  –2;0 B M 2;0 C M  –4;0 D M  –5;0 A P 0;4  B P 0; –4  C P  –4;0 D P 4;0 A M 1;0 B M 1;0, M 3;0 C M 3;0 Câu 63 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A  –4;0, B  –5;0 C 3;0 Tìm điểm     M thuộc trục hoành cho MA  MB  MC  Câu 64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M  –2;2 N 1;1 Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành cho ba điểm M , N , P thẳng hàng Câu 65 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hồnh để khoảng cách từ đến điểm N 1;4  D M 1;0, M 3;0 Câu 66 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;3 B 4;2 Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành cho C cách hai điểm A B     5  A C  ;0 B C  ;0 C C  ;0       3  D C  ;0   Câu 67 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;2, B 5;  2 Tìm điểm M thuộc   90 ? trục hoàng cho AMB A M 0;1 B M 6;0 C M 1;6 D M 0;6  1 C M 0;     1 D M 0;    2 Câu 68 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 1 B 3;2 Tìm M thuộc trục tung cho MA  MB nhỏ A M 0;1 B M 0; 1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Câu 69 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A 2;0, B 2;5, C 6;2 Tìm tọa độ điểm D A D 2; 3 B D 2;3 C D 2; 3 D D 2;3 C G 2;5  10  D G  ;   3  Câu 70 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;3, B 2;4 , C 5;3 Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác cho  10   10  A G 2;  B G  ;      3 Câu 71 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;1, B 2;4 , C 2; 2 Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác cho 1     1 A I  ;1 B I  ;1 C I 1;         1 D I 1;    4 Câu 72 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;0, B 3;0 C 2;6 Gọi H a; b  tọa độ trực tâm tam giác cho Tính a  6b A a  6b  B a  6b  C a  6b  D a  6b  Câu 73 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;3, B 2;7 C  3;  8 Tìm toạ độ chân đường cao A ' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC A A ' 1;   B A ' 1;4  C A ' 1;4  D A ' 4;1 Câu 74 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 2;4 , B 3;1, C 3; 1 Tìm tọa độ chân đường cao A ' vẽ từ đỉnh A tam giác cho 3 1  1 3 1  1 A A '  ;  B A '  ;   C A '  ;  D A '  ;    5   5   5   5  Câu 75 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A 3; 2, B 3;6 C 11;0 Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình vng A D 5;  8 B D 8;5 C D  5;8 D D  8;5 Câu 76 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;4  B 1;1 Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân B A C 4;0 B C 2;2 C C 4;0, C 2;2 D C 2;0 C D 2; 3, D 0;1 D D 2; 3 Câu 77 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A 1; 1 B 3;0 Tìm tọa độ điểm D , biết D có tung độ âm A D 0; 1 B D 2; 3 Câu 78 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 1;2, B 1;3, C  2; 1 D 0;  2 Mệnh đề sau ? A ABCD hình vng C ABCD hình thoi B ABCD hình chữ nhật D ABCD hình bình hành Câu 79 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A 1;3 B 4;2 Tìm tọa độ điểm E chân đường phân giác góc O tam giác OAB 192 193 Website: tailieumontoan.com 5 5 A E   ;   2  3 1 B E   ;    2     C E  2  2;4   D E  2  2;4  Câu 80 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2;0, B 0;2 C 0;7 Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D hình thang cân ABCD C D 0;7, D 9;2 B D 7;0, D 2;9 A D 7;0 D D 9;2 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b AB  c A Ta có a  b  c  2bc cos A; b c b  c  a  2ca.cos B ; c  a  b  2ab.cos C Hệ cos A  a B 2 b  c a ; 2bc cos B  2 c  a b ; 2ca cos C  a b c 2ab Định lí sin Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b , AB  c R bán kính đường trịn ngoại tiếp Ta có a b c    2R sin A sin B sin C Độ dài đường trung tuyến C A b c I a B C Cho tam giác ABC có ma , mb , mc trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có b2  c a2  ; m  2  a c b  ; mb2  2  a b c  mc2  A a mb B b ma c a mc C Cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● , hb , hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC , CA, AB ; ● R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác; ● r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác; Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC a b c nửa chu vi tam giác; ● S diện tích tam giác Khi ta có: 1 S  aha  bhb  chc 2 1  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 abc  4R  pr ● p  p  p  a  p  b  p  c  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIẢI TAM GIÁC  bằng: Câu Tam giác ABC có AB  5, BC  7, CA  Số đo góc A A 30 B 45 C 60 D 90   60 Tính độ dài cạnh BC Câu Tam giác ABC có AB  2, AC  A A BC  B BC  C BC  D BC  Câu Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC , cạnh AB    60 Tính độ dài cạnh cạnh BC ACB A BC   B BC   C BC  D BC   33 Câu Tam giác ABC có AB  2, AC  C  45 Tính độ dài cạnh BC 6 6 C BC  D BC  2   60, C  45 AB  Tính độ dài cạnh AC Câu Tam giác ABC có B A BC  A AC  B BC  B AC  C AC  D AC  10 A AC  B AC  C AC  D AC  A AM  B AM  C AM  D AM    60 Tính độ dài cạnh AC Câu Cho hình thoi ABCD cạnh cm có BAD Câu Tam giác ABC có AB  4, BC  6, AC  Điểm M thuộc đoạn BC cho MC  MB Tính độ dài cạnh AM 6 , BC  3, CA  Gọi D chân đường phân  Khi góc ADB  độ? giác góc A Câu Tam giác ABC có AB  194 195 Website: tailieumontoan.com A 45 B 60 C 75 D 90 Câu Tam giác ABC vuông A , đường cao AH  32 cm Hai cạnh AB AC tỉ lệ với Cạnh nhỏ tam giác có độ dài bao nhiêu? A 38 cm B 40 cm C 42 cm D 45 cm Câu 10 Tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F cho góc  , EPF  , FPQ  Đặt MP  q, PQ  m, PE  x , PF  y Trong hệ thức MPE sau, hệ thức đúng? A ME  EF  FQ B ME  q  x  xq C MF  q  y  yq D MQ  q  m  2qm   30 Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho Câu 11 Cho góc xOy AB  Độ dài lớn đoạn OB bằng: A B C 2 D   30 Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho Câu 12 Cho góc xOy AB  Khi OB có độ dài lớn độ dài đoạn OA bằng: C 2 D B Câu 13 Tam giác ABC có AB  c , BC  a, CA  b Các cạnh a, b, c liên hệ với  độ? đẳng thức b b  a   c a  c  Khi góc BAC A A 30 B 45 C 60 D 90 Câu 14 Tam giác ABC vuông A , có AB  c , AC  b Gọi  a độ dài đoạn phân giác  Tính  theo b c góc BAC a b  c  b  c  2bc 2bc B  a  C  a  D  a  bc b c b c bc Câu 15 Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí? Kết gần với số sau đây? A 61 hải lí B 36 hải lí C 21 hải lí D 18 hải lí A  a  Câu 16 Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A B nhìn thấy điểm   450 CBA   70 C Ta đo khoảng cách AB  40m , CAB Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Vậy sau đo đạc tính tốn khoảng cách AC gần với giá trị sau đây? A 53 m B 30 m C 41,5 m D 41 m Câu 17 Từ vị trí A người ta quan sát cao (hình vẽ)   450 Biết AH  4m, HB  20m, BAC Chiều cao gần với giá trị sau đây? A 17,5m B 17m C 16,5m D 16m Câu 18 Giả sử CD  h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất cho ba điểm A, B C thẳng hàng Ta đo AB  24 m ,   480   630 , CBD CAD Chiều cao h tháp gần với giá trị sau đây? A 18m B 18,5m C 60m D 60,5m Câu 19 Trên tịa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăng-ten góc 50 40 so với phương nằm ngang Chiều cao tòa nhà gần với giá trị sau đây? A 12m B 19m C 24m D 29m Câu 20 Xác định chiều cao tháp mà không cần lên đỉnh tháp Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp khoảng CD  60m , giả sử chiều cao giác kế OC  1m Quay giác kế cho ngắm theo ta A nhình thấy đỉnh A tháp Đọc giác kế số   60 Chiều cao tháp đo góc AOB gần với giá trị sau đây: 196 197 Website: tailieumontoan.com A 40m B 114m C 105m D 110m Câu 21 Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB  70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 150 30 ' Ngọn núi có độ cao so với mặt đất gần với giá trị sau đây? A 135m B 234m C 165m D 195m Vấn đề ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Câu 22 Tam giác ABC có AB  6cm, AC  8cm BC  10cm Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác bằng: A 4cm B 3cm C 7cm D 5cm Câu 23 Tam giác ABC vng A có AB  AC  a Tính độ dài đường trung tuyến BM tam giác cho a Câu 24 Tam giác ABC có AB  cm, AC  12 cm BC  15 cm Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác cho B BM  a C BM  a D BM  B AM  10 cm C AM  cm D AM  B AD  cm C AD  12 cm D AD  12 cm A AC  13 B AC  C AC  13 A AB  11 B AB  13 C AB  11 A BM  1,5a A AM  15 cm Câu 25 Tam giác ABC cân C , có AB  9cm AC  B qua C Tính độ dài cạnh AD A AD  cm Câu 26 Tam giác ABC  cos AMB có AB  3, BC  Gọi M 13 AM  Tính độ dài cạnh AC 26 13 cm 15 cm Gọi D điểm đối xứng trung điểm BC Biết D AC    120 Câu 27* Tam giác ABC có trọng tâm G Hai trung tuyến BM  , CN  BGC Tính độ dài cạnh AB D AB  13 Câu 28** Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến 9; 12; 15 Diện tích tam giác ABC bằng: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC A 24 B 24 C 72 D 72 C 2a D 3a Câu 29* Cho tam giác ABC có AB  c , BC  a, CA  b Nếu a, b, c có liên hệ b  c  2a độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác tính theo a bằng: A a B a Câu 30* Cho hình bình hành ABCD có AB  a, BC  b, BD  m AC  n Trong biểu thức sau, biểu thức đúng: A m  n  a  b  C m  n   a  b B m  n  a  b  D m  n   a  b Câu 31** Tam giác ABC có AB  c , BC  a, CA  b Các cạnh a, b, c liên hệ với đẳng thức a  b  5c Góc hai trung tuyến AM BN góc nào? A 30 B 450 C 60 D 90 Câu 32** Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma , mb , mc thỏa mãn 5ma2  mb2  mc2 Khi tam giác tam giác gì? A Tam giác cân B Tam giác C Tam giác vuông D Tam giác vuông cân Câu 33** Tam giác ABC có AB  c , BC  a, CA  b Gọi ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm Xét khẳng định sau: a  b  c  Trong khẳng định cho có I ma2  mb2  mc2  II GA  GB  GC  A I  B Chỉ II  C Cả hai sai A R  B R  10 C R  a  b  c  D Cả hai Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP   30O Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp Câu 34 Tam giác ABC có BC  10 A tam giác ABC 10 D R  10   60 Tính bán kính R đường trịn Câu 35 Tam giác ABC có AB  3, AC  A ngoại tiếp tam giác ABC A R  B R  3 C R  D R  Câu 36 Tam giác ABC có BC  21cm, CA  17cm, AB  10cm Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 85 7 85 B R  cm C R  cm D R  cm cm 2 Câu 37 Tam giác cạnh a nội tiếp đường tròn bán kính R Khi bán kính R bằng: A R  198 199 A R  Website: tailieumontoan.com a B R  a C R  a Câu 38 Tam giác ABC vng A có đường cao AH  D R  a 12 AB cm  Tính bán kính AC R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R  2,5cm B R  1,5cm C R  2cm D R  3,5cm Câu 39 Cho tam giác ABC có AB  3, BC  CA  Gọi D trung điểm BC Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD 9 A R  B R  C R  3 D R  '   Câu 40** Tam giác nhọn ABC có AC  b, BC  a , BB ' đường cao kẻ từ B CBB Bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC tính theo a, b  là: A R  C R  a  b  2ab cos  sin  a  b  2ab cos  cos  B R  D R  a  b  2ab cos  sin  a  b  2ab cos  cos  Vấn đề DIỆN TÍCH TAM GIÁC   60 Tính diện tích tam giác ABC Câu 41 Tam giác ABC có AB  3, AC  6, BAC 9 C SABC  D SABC  2   Câu 42 Tam giác ABC có AC  4, BAC  30, ACB  75 Tính diện tích tam giác ABC A SABC  B SABC  A SABC  B SABC  C SABC  D SABC  Câu 43 Tam giác ABC có a  21, b  17, c  10 Diện tích tam giác ABC bằng: A SABC  16 B SABC  48 C SABC  24 D SABC  84   60 Tính độ dài đường cao h tam Câu 44 Tam giác ABC có AB  3, AC  6, BAC a giác A  3 B  C  D   Câu 45 Tam giác ABC có AC  4, ACB  60 Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A tam giác A h  B h  C h  D h  Câu 46 Tam giác ABC có a  21, b  17, c  10 Gọi B ' hình chiếu vng góc B cạnh AC Tính BB ' 168 84 84 A BB '  B BB '  C BB '  D BB '  17 17 Câu 47 Tam giác ABC có AB  cm, AC  18 cm có diện tích 64 cm Giá trị sin A ằng: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC D sin A   Câu 48 Hình bình hành ABCD có AB  a, BC  a BAD  45 Khi hình bình hành có diện tích bằng: A sin A  B sin A  C sin A  A 2a B a 2 C a D a Câu 49* Tam giác ABC vng A có AB  AC  30 cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện tích tam giác GFC bằng: A 50 cm B 50 cm C 75 cm D 15 105 cm Câu 50* Tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R  cm có diện tích bằng: A 13 cm B 13 cm C 12 cm D 15 cm Câu 51* Tam giác ABC có BC  3, AC  AB độ dài đường cao AH  Tính độ dài cạnh AB A AB  C AB  AB  21 B AB  D AB  AB  Câu 52* Tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c có diện tích S Nếu tăng cạnh BC lên lần đồng thời tăng cạnh AC lên lần giữ ngun độ lớn góc C diện tích tam giác tạo nên bằng: A 2S B 3S C 4S D 6S Câu 53* Tam giác ABC có BC  a CA  b Tam giác ABC có diện tích lớn góc C bằng: A 60 B 90 C 150 D 120 Câu 54* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN vng góc với có   30 Tính diện tích tam giác ABC BC  , góc BAC A SABC  3 B SABC  C SABC  D SABC  3 Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP   60 Tính bán kính r đường trịn Câu 55 Tam giác ABC có AB  5, AC  BAC nội tiếp tam giác cho A r  B r  C r  D r  Câu 56 Tam giác ABC có a  21, b  17, c  10 Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho A r  16 B r  C r  D r  Câu 57 Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cạnh a A r  a B r  a C r  a D r  a Câu 58 Tam giác ABC vuông A có AB  cm, BC  10 cm Tính bán kính r đường 200 201 Website: tailieumontoan.com trịn nội tiếp tam giác cho A r  cm B r  cm C r  cm D r  cm Câu 59 Tam giác ABC vng cân A , có AB  a Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho a a a a A r  B r  C r  D r  2 Câu 60 Tam giác ABC vuông cân A nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Gọi r R bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Khi tỉ số bằng: r A  B 2 C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 1 D 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... tổng  AB, DC    AD, CB   CO , DC  B 4050 D 2250 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO Định nghĩa      Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b số, kí hiệu  a.b, xác định công thức sau:... Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A  x A ; y A  B  x B ; y B  tính theo cơng thức: 2 AB   x B  x A    y B  y A  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ  ... chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra:   2   2  a  b  a  2a.b  b ;        2   2 2  a  b   a  2a.b  b ; 2  a  b a  b   a  b Biểu thức tọa độ tích vơ hướng