Toán lớp 12: 13 tích phân đổi biến (tiết 1)

BÀI GIẢNG TÍCH PHÂN BIẾN ĐỔI (TIẾT 1) CHUYÊN ĐỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM I LÝ THUYẾT b Biến đổi bình thường: I =  f ( x)dx a B1: Đặt f  x   t  Đổi cận B2: Vi phân vế thay tích phân  Ví dụ đề minh họa 2017 Tính tích phân: I   cos3 x.sin xdx Giải x   t  Đặt cos x  t ta có:   x    t  1   sin xdx  dt 1 t4  I   t  dt    t dt  1  1 1  0 4 Ví dụ Tính tích phân: 2x 1 0  x  1dx a) b)  ln x3 4 x dx c) e 2x e x  1dx ln Giải x   t  x   t ta có:  x   t  a) Đặt  2dx  2tdt  dx  tdt 3  t2  t t2 I  tdt   dt   t   dt    t  ln t   1 t t 1 t 1 2 1 1 9  1      ln      ln    ln 2  2  b) Đặt  x   t   x  t ta có:   x   t    x  t  2 xdx  2tdt   xdx  tdt Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! I     t   t  dt  t  t3   t dt  t     3  2 3  16  8           3 3   3   x  ln  t  e x   t ta có:   x  ln  t  c) Đặt  e x   t  e x dx  2tdt  2t 2t   I    t  1 t.2tdt    2t  2t  dt     2  2 3  243 2.27   32 2.8  1076            15  Biến đổi lượng giác: (1) a  x  Đặt x  a sin t (2) a  x  Đặt x  a tan t (3) x  a  Đặt x  a dt cos t Ví dụ Tính tích phân sau: a)   b)  x2 d) dx  4 x dx c) dx e) x2  x    x2  x2 dx x2 1 Giải a)  dx  x2 x   t   Đặt x  sin t ta có:    x   t   dx  cos tdt   6 I  1  sin t cos tdt    cos t  cos tdt   1dt  t 06   Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! b)   x2 x   t   Đặt x  2sin t ta có:    x   t   dx  2cos tdt   I    2 c)   2  4sin t cos tdt   cos tdt   1  cos 2t  dt   t  sin 2t     0 0 x2 dx  x2   Gợi ý: Đặt x  2sin t  t   0;   dx  2cos tdt  6   4sin t I  4sin t   0 4sin t cos tdt cos t cos tdt     4sin tdt     cos 2t dt   1  cos 2t  dt   6    t  sin 2t     0 x2  Đáp án:  x2 d)  dx  dx x  2x  =   dx  ( x  1)  1  x  1  t   Đặt x   tan t ta có:    x   t     dx   dt   cos t  => I =     4 4  dt   2 4(tan t  1) cos t 1 dt = cos t cos t 0 cos t dt =  cos t cos t dt  0 cos2 t 0  sin t dt Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! t   u   Đặt sint  u ta được:   t   u    costdt  du I  2  1 du  1 u 2  1 u    ln   u  e)  2 dx x2   1  du    ln  u  ln  u  1 u 1 u 2  ln   ln 2 2 1 Đặt x  1 cost  dx   dt sin t sin t    x   t  Đổi biến:  x   t     I      cos t cos t cos t dt 2 2 sin t   sin t dt   sin t dt cos t 1  sin t    6 sin t sin t sin t    2 sin t sin t  dt   dt   dt  sin t  sin t   cos t 6 Đặt u  cos t ta có du   sin tdt  t  Đổi cận:  t    u   u 0 du du u 1     ln Khi ta có I    1 u u  1 u  1 u 1  3    1   ln    ln  2     ln  - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!  ... 1076            15  Biến đổi lượng giác: (1) a  x  Đặt x  a sin t (2) a  x  Đặt x  a tan t (3) x  a  Đặt x  a dt cos t Ví dụ Tính tích phân sau: a)   b)  x2 d) dx  4... dx x  2x  =   dx  ( x  1)  1  x  1  t   Đặt x   tan t ta có:    x   t     dx   dt   cos t  => I =     4 4  dt   2 4(tan t  1) cos t 1 dt = cos t cos t... u  1 u 1 u 2  ln   ln 2 2 1 Đặt x  1 cost  dx   dt sin t sin t    x   t  Đổi biến:  x   t     I      cos t cos t cos t dt 2 2 sin t   sin t dt   sin t