tích phân đổi biến

Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến số Trong phơng pháp đổi biến số để tính tích phân I = ( ) b a f x dx ta thờng dùng ẩn phụ, quy trình gồm các bớc: Bớc 1: Chọn x = u(t) hoặc t = v(x) với u(t) và v(x) là các hàm số thích hợp Bớc 2: Lấy vi phân dx = u(t)dt hoặc dt =v(x)dx Bớc 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử là g(t)dt sau đó tính các cận , tơng ứng theo a và b B4 : Tính tích phân I= ( )g t dt thay cho việc tính tích phân trên Nh vậy vấn đề ở đây là bài toán dạng nào thì vận dụng đợc phơng pháp đổi biến số này và việc chọn ẩn phụ dựa vào các dấu hiệu gì? ta phải tìm hiểu bài toán đã cho để phát hiện ra điều đó. Việc đặt ẩn phụ rất đa dạng tuỳ thuộc vào hàm số đã cho dới dấu tích phân; nhiều khi còn phụ thuộc vào cận a và b nữa. Dới đây là một số dấu hiệu và các gợi ý đặt ẩn phụ khi dạy học sinh giải bài tập tính tích phân : * Phép đổi biến số dạng 1: Khi đặt x = u(t): Cần chú ý các vấn đề sau: + f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] + x=u(t) là hàm đơn điệu, khả vi liên tục trên đoạn [; ] + Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn [; ] + u() = a ; u() = b Khi đó ta có: ( ). ( ( )). '( ). b a f x dx f u t u t dt = ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán: + Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn + Phát hiện và đặt x = u(t) cho đúng là vấn đề then chốt của phơng pháp giải bài toán tính tích phân. Giáo viên cho học sinh nhận xét giả thiết để tăng cờng khả năng phát hiện lời giải dựa trên một số gợi ý: - Những bài toán có dạng nh thế nào thì vận dụng phơng pháp đổi biến số đợc. - Các dạng quen thuộc nào để vận dụng phơng pháp đổi biến số Sau đây là một số dấu hiệu đổi biến số cần rèn luyện cho học sinh: STT Dấu hiệu của hàm dới dấu tích phân Gợi ý cách đổi biến số trong giải toán 1 f( 2 2 a x ) x= | a |.sint hoặc x=| a |.cost 2 f( 2 2 x a ) x sin a t = hoặc x a cost = 3 f( 2 2 a x + ) x= | a |.tant hoặc x=| a |.cott 4 f( a x a x + ) f( a x a x + ) x=a.cos2t Một số ví dụ khai thác giả thiết trong bài toán tính tích phân bằng phép đổi biến số dạng 1 Bài toán 1. Tính tích phân sau: 1 2 1 2 1 .I x dx = HD Giải: Vấn đề then chốt của các bài toán dạng này là đặt ẩn phụ thế nào? tại sao lại nghĩ đến việc đặt ẩn phụ? Giáo viên có thể dẫn dắt học sinh dựa vào đặc điểm của các hàm số dới dấu tích phân cụ thể đối với hàm số y= 2 1 x có tập xác định [ -1; 1 ] ta liên tởng đến tập giá trị của hàm số lợng giác sinx hoặc cosx. Chẳng hạn cách đặt ẩn phụ và dẫn đến việc đổi biến số tính tích phân nh sau: Đặt x = sint, ta có dx = costdt với t ; 6 2 Khi đó: 2 2 6 1 sin .cos .I t t dt = 2 6 cos .cos .t t dt = 2 2 6 cos .t dt = 2 6 1 2 . 2 cos t dt + = 2 6 sin 2 3 ( ) / 2 4 3 8 t t = + = + . Bài toán 2. Tính tích phân sau: 2 2 2 0 . . a I x a x dx = với a >0 HD Giải: Bài toán tích phân này có biểu thức hàm số phức tạp hơn tổng quát hơn trớc hết phải cho học sinh thấy thành phần nào cần quan tâm đến khi tìm hớng giải bài toán này, có liên hệ đợc gì với bài toán trên hay không? từ đó học sinh có thể liên hệ giữa các biểu thức 2 1 x và 2 2 a x khi giả thiết cho a > 0 . Đặt x= a.sint ta có dx = a.cost.dt với t 0; 2 khi đó: 2 2 2 2 2 0 .sin . sin . .cos . a I a t a a t a t dt = 4 4 4 2 2 0 0 1 . . (1 4 ). .( .sin 4 ) / 8 8 4 16 a a a cos t dt t t = = = . Bài toán 3. Tính tích phân sau: 1 2 0 1 dx I x = + HD Giải: Với bài toán này hàm số dới dấu tích phân ta liên hệ với các công thức: 2 2 1 1 tan cos + = và (tan ) = 2 1 cos Nhờ các dấu hiệu trên ta có suy nghĩ tới việc đổi biến số nh sau: Đặt x = tant ta có dx = 2 2 1 . (1 tan )dt t dt cos t = + với t 0; 4 Khi đó: 1 2 4 4 2 2 0 0 0 1 tan . 1 1 tan 4 dx t I dt dt x t + = = = = + + . Bài toán 4. Tính tích phân sau: 0 . a a x I dx a x + = với a >0 HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân với tập xác định [-a; a) ta liên hệ với công thức : 1 cos 2 cot 1 2 + + = = a x t t a x cos t từ đó có cách đổi biến số nh sau: Đặt x= a.cos2t. Khi x = -a thì t= 2 . Khi x= 0 thì t = 4 Và dx = -2a.sin2t.dt Suy ra: 4 4 2 2 2 2 . cot .sin 2 . 4 . = = I a t t dt a cos t dt 2 2 4 4 1 2 2 (1 2 ). 2 ( .sin 2 ) / .( ) 2 2 a cos t dt a t t a = + = + = . Bài toán 5. Tính tích phân sau: 2 2 2 3 1 dx I x x = HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân có tập xác định +( ;1) (1; ) ta có < 1 1 x ta liên tởng đến sinx và cosx cũng có tập giá trị [-1; 1]. khi đó ta có cách đổi biến số của bài toán nh sau: Đặt 1 cos x t = với t ; 6 4 2 1 .sin .dx t dt cos t = Suy ra: = 2 4 6 2 1 .sin . 1 1 . 1 cos t dt cos t I t cos t = 2 4 6 1 .sin . sin 1 . cos t dt cos t t t cost = 4 4 6 6 / 12 dt t = = . *Bài toán tơng tự: Các bài toán này khi khai thác giả thiết với các hàm số cho dới biểu thức tích phân ta cũng hớng đến cách giải tơng tự. Bài 1. Tính tích phân sau: 1 2 2 0 . 4 x I dx x = . HD : Đặt x= 2.cost hoặc x= 2.sint Bài 2. Tính tích phân sau: 2 2 2 0 ( ) a dx I a x = + a>0. HD: Đặt x = a.tant Bài 3. Tính tích phân sau: 3 2 2 2 3 2 9 2 . x I dx x + = . HD: Đặt 2. 3.tanx t = Bài 4. Tính tích phân sau: 1 3 2 3 0 . (1 ) x I dx x = + HD: Đặt x = tant. Bài 5. Tính tích phân sau: 1 2 0 ln(1 ) . 1 x I dx x + = + HD: Đặt x = tant * Phép đổi biến số dạng 2 Khi đặt t = u(x): Cần chú ý các vấn đề sau: . f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] với các biến là: u(a) và u(b). . Hàm số t = u(x) đơn điệu, khả vi liên tục trên đoạn [a;b] . . Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn [; ]. . Các giá trị u(a) = ; u(b) = . Khi đó ta có: ( ( )). '( ) ( ). = b a f u x u x dx f t dt . ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán: + Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn. + Phát hiện và đặt t = u(x) cho đúng vấn đề của phơng pháp giải bài toán. Trong phơng pháp này chủ yếu là học sinh xác định đợc thành phần nào là f(u(x)), thành phần nào là u(x). Do vậy giáo viên cần dẫn dắt học sinh nhận biết các thành phần đó trong mỗi bài toán tính tích phân. Giáo viên cho học sinh phát hiện các dấu hiệu đặc trng khi chọn hàm u(x) trong phép đổi biến số. Một số dấu hiệu đặt ẩn phụ dạng 2 theo bảng gợi ý sau: STT Dấu hiệu của hàm dới dấu tích phân Gợi ý cách đặt ẩn phụ trong giải toán 1 f(ax+b) t = ax+b 2 f(x n+1 )x n t = x n+1 3 f( x ). 1 2 x t = x 4 f(lnx) 1 x t = lnx 5 f(cosx).sinx t = cosx 6 f(sinx).cosx t = sinx 7 f(tanx) 2 1 cos x t = tanx 8 f(cotx) 2 1 sin x t =cotx 9 f(e x )e x t = e x 10 f( 1 x x )( 2 1 1 x m ) t = 1 x x Một số ví dụ khai thác giả thiết trong bài toán tính tích phân bằng phép đổi biến số dạng 2: Bài toán1. Tính tích phân sau: 1 2007 0 (1 ) .I x dx = + . HD Giải: Do d(x+1) = dx nên vai trò của x+1 tơng tự x khi lấy vi phân mà đã biết nguyên hàm của x 2007 . Đặt 1+x = t ta có: dt = dx, t [ ] 1;2 Khi đó: 2008 2 2 2007 2008 1 1 1 2 1 . . / 2008 2008 I t dt t = = = Bài toán này có thể liên hệ tới nguyên hàm của hàm hợp từ đó dẫn đến việc tính tích phân. Các thành phần khác có thể thay đổi thành các bài toán khác hay ta có thể giải bài toán tổng quát sau: Tính tích phân sau: (1 . ) . với n N b n a I x dx = + Bài toán 2. Tính tích phân sau: 2 1 2 . 1 dx I x x = + HD Giải: Với bài toán này hàm số dới dấu tích phân cho ta thấy mối quan hệ giữa biểu thức trong căn và biểu thức bên ngoài cụ thể khi lấy vi phân ta có: d(x 2 +1) = 2x.dx suy ra 2 1 . ( 1) 2 x dx d x= + từ đó ta có giải pháp sau: Đặt 2 1t x= + . Khi đó 2 2 2 2 1 ; x 1, x.dx=t.dtt x t= + = Suy ra: + = = + 5 2 1 1 ( 5 ).( 2 1) .ln ln 2 1 2 t t Bài toán 3. Tính tích phân sau: 2 1 ln . (ln ) 1 e x I dx x x = + HD Giải: Ta nhận thấy rằng (lnx) = 1 x khi đó dễ nhận ra u(x) = lnx việc còn lại là vận dụng phơng pháp đổi biến số. Đặt t = lnx t [ ] 0;1 , 1 .dt dx x = . Khi đó 2 1 1 1 2 2 2 0 0 0 . 1 (1 ) 1 1 . .ln( 1)/ .ln2 1 2 1 2 2 t dt d t I t t t + = = = + = + + . Bài toán 4. Tính tích phân sau: = + 1 2 0 . sin 7.sin 10 cosx dx I x x HD Giải: Ta nhận xét thấy hàm số dới dấu tích phân có chứa cosx và các lũy thừa của sinx và (sinx) = cosx nên ta nhận thấy: u(x) = sinx do đó cách giải bài toán nh sau: Đặt t = sinx thì t [ ] 0;1 = = 1 0 1 1 1 1 8 . ( ). .ln 3 5 2 3 5 I dt t t Bài toán 5. Tính tích phân sau: = 4 2 0 tan ( ) . (0 < x < ) (1 tan ).cos 4 t x I t dx x x HD Giải: Ta cũng nhận thấy rằng (tanx) = 2 1 cos x . Khi đó dễ nhận ra u(x) = tanx . Suy ra cách giải bài toán bằng phơng phơng pháp đổi biến số nh sau: Đặt t = tanx ta có 2 1 .dt dx cos x = suy ra: 4 tan tan 2 2 2 0 0 1 ( ) . ( 1 ). 1 1 t t t I t dt t dt t t = = + + tan 3 0 1 1 1 1 ( .ln ) / tan tan .lntan( ) 3 2 1 3 2 4 t t t t t t t t = + + = + + . Bài toán 6. Tính tích phân sau: ln3 0 1 x dx I e = + . HD Giải: Vấn đề làm mất căn thức trong các biểu thức hàm số bằng cách đặt biến mới cũng là một ý tởng gợi cho học sinh cho việc đổi biến số trong bài toán này. Đặt 2 x 2 1 t 1 e 1 x x t e e t= + = + = 2 2 . 1 t dx dt t = , t 2;2 Khi đổi biến nh vậy vấn đề khi chuyển về biến mới thì biểu thức hàm số trong tích phân mới không còn căn thức và dễ dàng tìm đợc nguyên hàm. Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 2 . ( ). ln / ln 1 1 1 1 3 t I dt dt t t t t + = = = = + + . Bài toán 7. Tính tích phân sau: 1 2 0 1 3 .ln . 9 3 x I dx x x + = Giải: Đặt 2 3 3-x 3+x 6.dx ln dt= .( )'.dx= 3 3+x 3-x 9-x x t x + = , t [ ] 0;ln2 Suy ra: 2 ln2 1 ln2 2 2 0 0 0 1 3 1 1 .ln . . . / .ln 2 9 3 6 12 12 x t I dx t dt x x + = = = = Bài toán 8. Tính tích phân sau: 2 2 4 1 1 . 1 x I dx x = + HD Giải: Nhờ các kết quả: = + + 2 2 4 2 2 1 1 1 với x 0 1 1 x x x x x ( 1 x x + ) = 2 1 1 x và ( 1 x x + ) 2 = 2 2 1 2x x + + Ta có 2 2 4 1 1 . 1 x I dx x + = + = 2 2 1 2 2 1 1 . 1 x dx x x + Đặt 2 2 2 2 1 1 1 dt=(1- ) t =x + +2 x x t x dx x = + t 5 2; 2 Khi đó 5 5 2 2 2 2 2 1 (t+ 2) ( 2) . . 2 2 2 ( 2).( 2) dt t I dt t t t = = + ( Đây là tích phân của hàm hữu tỷ quen thuộc) 5 2 2 1 2 1 (5 2 2).(2 2) ln / = .ln 2 2 2 2 2 6 2 t t + = + . Bài toán 9. Tính tích phân sau: 4 1 1 . 1 o x I dx x + = + . HD Giải: Dựa vào biểu thức của hàm số dới dấu tích phân ta xem xét việc làm mất căn thức trong biểu thức hàm số là mấu chốt cơ bản của vấn đề. Thông thờng các hàm số chứa căn thức thì một trong cách làm mất căn là đặt cả căn thức làm ẩn phụ vậy ta có cách đổi biến sau đây: Đặt 4 3 4 t , dx= 4t .t x x dt= = với t [ ] 0;1 Suy ra 3 1 1 2 2 2 2 0 0 (1 ). 1 2 1 4. = 4. (t 1 . ). 1 2 1 1 t t dt t I t dt t t t + = + + + + + 3 2 1 2 0 1 4.( .ln(1 ) arctan )/ 3 2 2 t t t t t= + + + 1 1 4.( .ln2 ) 4 2 6 = . Các bài toán tơng tự: Bài 1. Tính tích phân sau: 3 1 2 3 0 . ( 1) x dx I x = + HD: Từ biểu thức của hàm số dới dấu tích phân ta dẫn đến cách đổi biến quen thuộc: Cách 1: Đặt t= x 2 +1 Cách 2: Đặt x= tant Bài 2.Tính tích phân sau: [...]... + 5 2(2 x + 3) 4 x 2 + 12 x + 5 Đặt t = 4 x 2 + 12 x + 5 Bài 3 Tính tích phân sau: 2 sin x.cos x.dx I= a 2 cos2 x + b 2 sin 2 x 0 ( a; b 0 ) HD: Đặt t = a2 cos2 x + b 2 sin 2 x I= Bài 4 Tính tích phân sau: 2 dx 2 cos x + sin x + 3 0 HD: Đặt t = tan x 2 e x dx x 0 1+ e 1 I= Bài 5 Tính tích phân sau: HD: đặt u = 1 + e x Tính tích phân sau: 2 2 cos x.dx 0 3 + 2sin x I= HD: đặt t = sinx Qua các bài . Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến số Trong phơng pháp đổi biến số để tính tích phân I = ( ) b a f x dx ta thờng dùng ẩn phụ, quy trình. việc đổi biến số trong bài toán: + Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn + Phát hiện và đặt x = u(t) cho đúng là vấn đề then chốt của phơng pháp giải bài toán tính tích phân. Giáo. pháp đổi biến số đợc. - Các dạng quen thuộc nào để vận dụng phơng pháp đổi biến số Sau đây là một số dấu hiệu đổi biến số cần rèn luyện cho học sinh: STT Dấu hiệu của hàm dới dấu tích phân Gợi