Gián án Tích phân đổi biến

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN VÀ Ứng dụng Phương pháp đổi biến số Phương pháp đổi biến số  Đổi biến số dạng 1: Đổi biến số dạng 1: +Quy tắc: +Quy tắc: Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp ) Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp ) Bước 2: - Lấy vi phân Bước 2: - Lấy vi phân - Đổi cận : Giả sử - Đổi cận : Giả sử Khi đó Khi đó Bước 3: Tính Bước 3: Tính ( )x u t= '( )dx u t dt= x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = ( ). '( )I f ut u t dt β α = ∫ ( ). '( )I f ut u t dt β α = ∫ ( ) b a I f x dx= ∫ Tính Tính Đổi biến số dạng 1 Đổi biến số dạng 1  Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chon Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chon u(t) u(t) 2 2 a x− [ ] sin , - ; 2 2 cos , 0; x a t t x a t t π π π    = ∈        = ∈  2 2 a x+ ( ) tan , - ; 2 2 cot , 0; x a t t x a t t π π π    = ∈  ÷      = ∈  2 2 ( )a x+ Dấu hiệu Cách chọn Bài 1: Tính các tích phân sau Bài 1: Tính các tích phân sau 1 2 3 1 0 1I x x dx= − ∫ 2 3 2 1 2 2 dx I x x = − + ∫ I. Phương pháp đổi biến số 2 2 2 1 4 dx I x = − ∫ 1 2 4 0 1I x x dx= + ∫ 2 3 ( 1 )t x= − ( 2sin )x t= ( )x tgt= ( 1 )x tgt− = 2 2 1 ( 1) 1 dx x = − + ∫ 2 ( 1)t x= + Bài giải Bài giải Đặt: Đặt: 2 3 2 2 3 3 1 1 1t x t x x t= − ⇒ = − ⇒ = − Ta có: 2 2 3xdx t dt= − 0 1 1 0 x t x t = ⇒ = = ⇒ = Vậy: 0 2 1 1 3 ( ) 2 I t t dt= − ∫ 1 2 3 1 0 1I x x dx= − ∫ 1 3 0 3 2 t dt= ∫ 4 1 0 3 8 t= 2 3 2 xdx t dt⇒ = − 3 8 = Cách 2 Cách 2 1 2 3 1 0 1I x x dx= − ∫ 1 1 2 2 3 0 1 (1 ) (1 ) 2 x d x= − − − ∫ 4 2 1 3 0 3 (1 ) 8 x= − − 3 8 = 2 2 2 1 dx 4 I x = − ∫ 2sin , t - ; 2 2 x t π π   = ∈     2 6 2 2 2cos 4 4sin tdt I t π π = − ∫ 1 ; 2 6 2 2cos x t x t dx tdt π π = ⇒ = = ⇒ = = Đặt: Ta có: Vậy: 2 2 6 2cos 2 1 sin tdt t π π = − ∫ 2 6 2cos = 2cos tdt t π π ∫ 2 2 6 6 2 6 3 dt t π π π π π π π = = = − = ∫ 1 , t ; 2 2 x tgt π π   − = ∈ −  ÷   ( ) 2 2 1 0 1 1 co ; 2 4 s dx dt tg t dt x x t x t π = = + = ⇒ = = ⇒ = Đặt: Ta có: Vậy : 2 2 4 4 4 0 2 2 1 0 0 (1 ) ( 1) 1 1 4 dx tg t dt dt t x tg t π π π π + = = = = − + + ∫ ∫ ∫ 2 2 3 2 2 1 1 2 2 ( 1) 1 dx dx I x x x = = − + − + ∫ ∫ 1 2 4 0 1I x x dx= + ∫ , ; 2 2 x tgt t π π   = ∈ −  ÷   0 0 1 4 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 2 1 cos dx dt t = Đặt: Ta có: Vậy: 4 2 4 2 0 1 1 cos I tgt tg t dt t π = + ∫ 4 4 0 (cos ) cos d t t π = − ∫ 2 4 0 sin cos xdx x π = ∫ 4 0 3 1 3cos t π = 2 2 1 3 − = 1 2 4 0 1I x x dx= + ∫ 2 1t x= + 2 2 1t x⇒ = + 2 2tdt xdx= Đặt: Ta có: xdx tdt⇒ = 0 1 1 2 x t x t = ⇒ = = ⇒ = Vậy: 2 4 1 .I t tdt= ∫ 2 2 1 t dt= ∫ 3 2 1 1 3 t= 1 (2 2 1) 3 = − [...]... dụng phương pháp tích phân từng phần cần chú ý: 1, Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng 2, Tích phân sau phải đơn giản hơn tích phân trước Một số dạng cơ bản: b ∫ P( x)ln f ( x)dx Đặt: u = ln f ( x) a b ∫ P ( x )e αx dx a b ∫ P( x)sin α xdx a b u = P ( x) e Đặt: u =  sin β x αx ∫e a } Đặt: αx sin β xdx II Phương pháp tích phân từng phần Bài 3: Tính các tích phân sau 1 I1 =... Tính các tích phân sau 1 1, 3 x 5 1 − x 3 dx ∫ 2, 0 0 (t = 1 − x ) 3 (t = x + 1) π sin x cos 3 x 3, ∫ dx 2 1 + cos x 0 2 e 4, ∫ 1 5, ∫x 0 3 1 − x dx ( x = sin t ) 2 (t = 1 − x ) 2 1 + 3ln x ln x dx x (t = 1 + 3ln x ) (t = cos x + 1) 2 1 ∫ x2 + 1 dx x +1 3 6, ∫ 0 1 (1 + x ) 2 3 dx ( x = tgt ) Phương pháp tích phân từng phần b  b udv = uv b − ∫ vdu (1) a ∫ Sử dụng công a a thức: Bước Biến đổi tích phân. .. 2 0 π Với x = −t 0 Với I= 2π ∫ f ( x) dx 0 Với b I = ∫ f ( x)dx a Tính các tích phân sau: 1 I1 = ∫ x 2006 sin xdx −1 Đặt: x = −t Ta có:dx = − dt x = −1 ⇒ t = 1 x = 1 ⇒ t = -1 −1 1 Vậy: I1 = ∫ (−t ) 2006 sin(−t )(−dt ) = − ∫ t 2006 sin tdt −1 1 1 = −∫ x −1 2006 sin xdx = − I1 ⇒ 2 I1 = 0 ⇒ I1 = 0 (Tích phân không phụ thuộc vào biến) π 2 sin n x I2 = ∫ n dx n sin x + cos x 0 π Đặt: x = − t 2 π π Ta có:dx... dt x = 0 ⇒ t = ; x = ⇒ t = 0 n π sin ( − t ) 2 0 I2 = ∫ π 2 π 2 π n π sin ( − t ) + cos ( − t ) 2 2π n 2 2 (−dt ) 2 cos n t cos n x =∫ dt = ∫ dx n n n n cos t + sin t cos x + sin x 0 0 (Tích phân không phụ thuộc vào biến) π 2 π 2 n n sin x cos x Vậy: 2 I 2 = ∫ dx + ∫ dx n n n n cos x + sin x cos x + sin x 0 0 π 2 = ∫ dx = x 0 π ⇒ I2 = 4 π 2 0 π = 2 π I 3 = ∫ x cos x sin xdx 2 3 0 Đặt: x = π − t Ta có:... dv = cos 2 xdx v = sin 2 x  2 π 1 2x π 2x Ta I = e sin 2 x 0 − ∫ e sin 2 xdx = − I 4 2 có: 0 1 2π 1 Vậy: I 4 = − e + − I 4 2 2 1 1 2π ⇒ 2 I 4 = (1 − e ) ⇒ I 4 = (1 − e 2π ) 2 4 ' 4 Bài 4: Tính các tích phân sau ( Sử dụng pp từng phần ) e lnx I1 = ∫ dx 2 1 ( x + 1) 1 I3 = 0 e (u = ln x) I2 = 2π ∫ 0 x x sin dx 2 2 (u = x ) 2 ( x 2 + 2 x )e x dx ∫ (u = x + 2 x) 2 π 2 I 4 = ∫ e cos xdx 0 x 2 (u = e )... (1 − 2cos 2t + )dt 40 2 1 1 = (3t − 2sin 2t + sin 4t ) 8 4 2π 0 3π 1 = ∫ (3 − 4cos 2t + cos 4t )dt = 80 4 2π Vậy 3π ' : − I4 I 4 = 2π I 4 − I 4 = 2π 4 3π 2 ⇒ 2I4 = 2 3π 2 ⇒ I4 = 4 Bài tập:Tính các tích phân sau: π 2 1 cos x 1, ∫ x dx e +1 −1 2, ∫ 0 cos x dx sin x + cos x π 3, ∫ x cos 0 2 2π x sin xdx 4, ∫ x cos 0 3 xdx . PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN VÀ Ứng dụng Phương pháp đổi biến số Phương pháp đổi biến số  Đổi biến số dạng 1: Đổi biến số dạng 1: +Quy tắc: +Quy. pháp tích phân từng phần Phương pháp tích phân từng phần  Sử dụng công Sử dụng công thức: thức: b b b a a a udv uv vdu= − ∫ ∫ Bước 1: Biến đổi tích phân