7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN Một phương pháp học toán sau toán cần tìm “điểm nhấn “ để hiểu vấn đề cách “ thông thái “ hơn. Vậy để làm điều đó, người học toán cần điều gì? 1. Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo vấn đề đặt ra. 2. Tìm mối liên hệ kiến thức xung quanh vấn đề đó. 3. Tự đặt câu hỏi xung quanh vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp. Chúc bạn thành công ! ! Xin phân tích qua toán nhỏ sau: Bài toán : Tính tích phân I = π sin x ∫ sin x + cos x dx Nhận xét 1: Quan sát thấy hàm số dấu tích phân có dạng phân thức. Vậy kiến thức sử dụng cho hàm phân thức gì? Chắc chắn nghĩ đến nguyên hàm ∫ dx = ln | x | +C x Vậy để sử dụng công thức cần phải tìm cách biến đổi dạng ! Nhận xét 2: Ở xuất hàm số lượng giác sinx cosx . Vậy có cách biểu diễn thông qua yếu tố không ? Ta tìm kiếm kiến thức để giải quyết. - Hướng 1: Chia tử mẫu cho cosx ta f ( x) = sinx tgx tgx + − 1 = = = 1− từ đặt t= tgx sinx + cos x tgx + tgx + tgx + tdt Bt + C A = ∫ dx − ∫ dt + ∫ dt ⇒ I = ∫ dx − ∫ (1 + t )(1 + t ) + t t +1 x 2t 1- t t = tan ; cosx= - Hướng 2: Đặt sin x = 1+ t 1+ t2 Với hướng ta tính tích phân có dạng tổng quát sau: b I =∫ a a1 sin x + b1 cos x + c1 dx a2 sin x + b2 cos x + c2 Các bạn làm toán tự nghĩ đề giải nhé! Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ sinx cosx . Điều đặc biệt cận tích phân ? dx = −dt π π - Hướng 3: Đặt x= − t ⇒ x = : t = ( cách đặt ẩn phụ mà không làm thay đổi 2 π x = : t = cận tích phân có dịp trao đổi bạn). π π π sin x co s t co s x dx = ∫ dt = ∫ dx sin x + cos x sin t + cos t sin x + cos x 0 Khi : I = ∫ π π π sin x co s x π π dx + ∫ dx = ∫ dx = ⇒ I = sin x + cos x sin x + cos x 0 ⇒ 2I = ∫ Thật đáng kinh ngạc !!!!! π Với hướng ta tính tích phân tổng quát sau: I = ∫n n sin m x sin m x + n co s m x Các bạn làm toán tự nghĩ đề giải nhé! Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác ? π π sin x + − π 4 1 = 1 − cot g x + ta tính bình - Hướng 4: Biến đổi f(x) = π 2 sin x + 4 thường. - Hướng 5: Biến đổi − cos x sin x − f(x) = sin x(cos x − sin x) = tg x − + 1 = 2 cos x − sin x cos x 2 cos x ta tính với tích phân bình thường hàm lượng giác. Nhận xét 6: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên ta biến đổi tử thức để tìm cách viết qua mẫu số đạo hàm mẫu hay ! - Hướng 6: Biến đổi f ( x) = sinx sinx + cos x + sinx − cos x cos x − sinx = = − sinx + cos x 2( sinx + cos x) 2( sinx + cos x) Nhận xét 7: Quan sát ticsh phân cần tìm ta thấy sai khác tử số mẫu số, ta tìm tích phân khác có “họ hàng” với ? Trả lời câu hỏi ta xét tích phân π co s x dx ( gọi tích phân liên kết tích phân I) . sin x + cos x J =∫ I + J = tìm I . I − J = Từ hai tích phân ta giải hệ : . 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra những “điểm nhấn “ để có thể hiểu vấn đề một cách “ thông. Tự đặt câu hỏi xung quanh một vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp. Chúc các bạn thành công ! ! Xin phân tích qua một bài toán nhỏ sau: Bài toán : Tính tích phân I = 2 0 sin sin cos x dx x. lượng giác. Nhận xét 6: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên nếu ta biến đổi tử thức để tìm cách viết được qua mẫu số và đạo hàm của mẫu thì hay quá ! - Hướng 6: Biến đổi cos cos 1 cos ( ) cos