Sử dụng tam thức bậc 2 giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong phần cơ học lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI : SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG PHẦN CƠ HỌC LỚP 10 Người thực : Lê Hữu Vương Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc môn : Vật lí THANH HĨA NĂM 2017 MỤC LỤC I.MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài …………………………………………………………… 2.Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………………….1 Phương pháp nghiên cứu …………………………………………………… II.NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm…………………………………… Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…………… 3 Phương pháp tiến hành……………………………………………………… 3.1 Lý thuyết tam thức bậc hai………………………………………………….3 3.2 Một số toán vận dụng 3.2.1 Bài tốn tìm giá trị nhỏ 3.2.1 Bài tốn tìm giá trị lớn 10 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục………………14 III KẾT LUÂN, KIẾN NGHỊ 1.Kết luận 15 Kiến Nghị 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO I.MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài: Trong chương trình vật lý 10, phần học phần quan trọng, tập học đa dạng khó học sinh Một dạng toán phức tạp khó tốn tìm giá trị lớn nhỏ Bằng thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi qua số năm Tôi nhận thấy “bài tốn tìm giá trị lớn nhỏ học” toán mà em học sinh hay bắt gặp đề thi Khi gặp toán thực tế cho thấy em học sinh cịn gặp khó khăn dạng tốn khó Để giải tốn địi hỏi em khơng phải nắm tốt kiến thức Vật lí mà bên cạnh em phải có kiến thức tốn tương đối tốt Mặc dù dạng tốn khó sách tham khảo viết hướng dẫn cách giải dạng tốn Với lí trên, tơi xin trình bày đề tài: “Sử dụng tam tức bậc giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phần học lớp 10’’ 2.Mục đích nghiên cứu: Thơng qua đề tài, tơi muốn giúp học sinh có phương pháp để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phần học cách thuận lợi nhanh gọn Cũng qua đề tài, muốn giúp học sinh biết liên hệ tốt kiến thức vật lý phương trình tốn học để hiểu sâu kiến thức, đồng thời phát triển tư cách hoàn thiện Là tài liệu để đồng nghiệp tham khảo trình giảng dạy ơn luyện Đối tượng nghiên cứu Kiến thức Toán: Kiến thức tam thức bâc Kiến thức Vật lí: kiến thức động học, động lực học chất điểm phần học lớp 10 Học sinh: lớp 10G, 10M Phương pháp nghiên cứu: Để hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này, kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu khác Đầu tiên đọc làm nhiều tập liên quan đến tốn tìm gi trị lớn nhỏ Tiếp theo, phân loại toán tương ứng với kỹ thuật khác Cuối cùng, tơi hệ thống hóa kỹ thuật theo sơ đồ lôgic định Cụ thể sáng kiến kinh nghiệm này, tơi trình bày cách sơ lược hai dạng tập tương ứng với kỹ thuật vận dụng thuật toán tốn học, dùng tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn hay nhỏ đại lượng vật lý II.NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nhiệm vụ nhận thức học sinh với khối lượng kiến thức nhiều đòi hỏi em phải tập trung tư cao học Với vốn kinh nghiệm giải tập cịn ít, khả nhận thức học sinh khơng đều, số học sinh cịn máy móc dập khn lời giải có sẵn chưa phát huy tối đa lực giải tập Bên cạnh việc phải đổi phương pháp dạy học phù hợp với chương trình kiến thức sách giáo khoa nên ý đến kĩ giải tập học sinh Cần cho học sinh thấy dược hay tốn Vật lí Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phần học lớp 10 thường xuất tài liệu tham khảo, đề thi học sinh giỏi Tuy nhiên sách tham khảo tác giả chưa hướng dẫn học sinh cách cụ thể đề giải toán này, chưa phân dạng để em dễ nắm bắt.Vì tơi đưa phương pháp sử dụng tam thức bậc hai để giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ phần học lớp 10 vào trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi…Tôi nhận thấy em tiếp thu tốt, đồng thời giải toán tương tự cách nhanh chóng, dễ dàng Phương pháp tiến hành 3.1 Lý thuyết tam thức bậc Định nghĩa Tam thức bậc (một ẩn) đa thức có dạng f(x) = ax + bx + c x biến a, b, c số cho, với a ≠ Tính chất + a > ymin đỉnh Parabol + a < ymax đỉnh Parabol + Tọa độ đỉnh : x = - b ; y 2a ( = b2 - 4ac) 4a + Nếu = phương trình f(x) = ax2 + bx + c = có nghiệm kép + Nếu > phương trình f(x) = ax2 + bx + c = có nghiệm phân biệt 3.2 Một số tốn vận dụng 3.2.1 Bài tốn tìm giá trị nhỏ Bài 1:Hai xe môtô chạy theo hai đường vng góc với nhau, tiến phía ngã tư (giao điểm hai đường), xe A chạy từ hướng Đông sang hướng Tây với vận tốc 50 km/h; xe B chạy từ hướng Bắc hướng Nam với vận tốc 30 km/h Lúc sáng, A B cách ngã tư 4,4 km km Tìm thời điểm mà khoảng cách hai xe nhỏ Tính khoảng cách * Phân tích đề toán: + Chuyển động hai xe chuyển động thẳng nên phương trình chuyển động có dạng hàm bậc theo thời gian t + Hai xe chạy theo hai hướng vng góc với ngã tư, nên khoảng cách hai xe xác định theo định lí pitago tọa độ hai xe + Nghĩa là, khoảng cách L hai xe biểu diễn thông qua hàm bậc hai thời gian t Những nhận xét cho phép ta áp dụng dạng biến đổi tam thức bậc hai để tìm điều kiện Lmin * Giải chi tiết: Chọn hệ trục tọa độ xOy, với + trục Ox theo hướng từ Đông sang Tây; + trục Oy theo hướng từ Bắc Nam; + gốc tọa độ O ng tư y Chọn mốc thời gian lúc sáng Phương trình chuyển động xe lần vA O x0 lượt x vB + xe A: x = x0 + vAt = - 4,4 + 50t (km); y0 + xe B: y = y0 + vBt = - + 30t (km) Khoảng cch hai xe: L = x2 y2 = 3400t2 680t 35,36 (km) áp dụng dạng biến đổi tam thức bậc hai, ta được: L = 3400 t *Nhận xét: L 0,1 1,36 1,36 1,166 km = 1166 m  Lmin = 1166 m t = 0,1 h = pht Vậy: Lúc 8h 6phút sáng, khoảng cách hai xe đạt nhỏ 1166 m Bài 2:Một cầu thủ ghi bàn thắng phạt đền 11 m; bóng bay vơ chạm vào mép xà ngang bay vô gôn Biết xà ngang cao 2,5 m; khối lượng bóng 0,5 kg Hỏi góc bay bóng so với mặt sân cỏ phải để lượng mà cầu thủ truyền cho bóng nhỏ Bỏ qua sức cản khơng khí Lấy g = 10 m/s2 * Phân tích đề tốn : + Năng lượng cầu thủ truyền cho bóng chuyển thành động ban đầu bóng + Vì bỏ qua sức cản khơng khí nên chuyển động bóng chuyển động ném xiên Khi đó, phương trình quĩ đạo, y = f(x), bóng biểu diễn theo hàm bậc hai tan , với góc tạo vận tốc ban đầu bóng so với mặt sân cỏ + Khi bóng chạm xà ngang ta có được: y = h = 2,5 m x = L = 11 m; + Từ việc lập luận để tồn giá trị (theo tan ), ta tìm biểu thức dạng tam thức bậc hai v02 + Với lưu ý, v02 > ta tìm giá trị nhỏ Wđ0min góc * Giải chi tiết: Năng lượng mà cầu thủ truyền cho bóng chuyển thnh động ban đầu bóng, Wđ0 = mv02 Vì bỏ qua sức cản khơng khí nên chuyển động bóng chuyển động vật ném xiên Chọn hệ trục tọa độ xOy, với: + trục Ox nằm ngang hướng phía gơn; + trục Oy thẳng đứng hướng lên; + gốc tọa độ vị trí phạt 11 m Chọn mốc thời gian lúc bóng bắt đầu bay Phương trình chuyển động bóng theo hai trục tọa độ là: + theo phương Ox: x x0 v0 xt v0 c os t 1 + theo phương Oy: y y0 v0 yt at v0 sin t gt2 Phương trình quĩ đạo bóng có dạng: gx2 y = f(x) = (tan )x – 2v02 cos2 α g Hay: y = (tan )x - 2v02 (1 + tan2 )x2 Khi bóng chạm xà ngang bay vơ gôn, x = L = 11 m; y = h = 2,5 m gL2 (1 tan2 α) Ta có: h = L.tan - gL2 (1 tan2 α) v0 = 2v0 = L tan α h gL2 tan Nhận thấy: để tồn giá trị củathì phương trình cónghiệm tan a > α Ltan α h a phải h L = 22 Khi đó, tan2 - L.a.tan + + h.a = Hay, tan2 - 11a.tan + + 2,5a = Để thỏa mãn điều kiện thì: 52 121a2 – 10a – 121 a 121 a 509 121 amin = - 121 121 509 0 509 a 509 = tan 121 Ta lại nhận thấy: Wđ0min = 121a2 – 4(1 + 2,5a) v0min 121 509 a - = 11amin = 51 amin = 509 121 < (loại) 24’ 121 Vậy, 1 gL = 51024’ Wđ0min = mv0min2 = m 22 amin 34,5 J Bài 3: Từ hai bến A B bờ sơng có hai ca nô khởi hành Khi nước chảy sức đẩy động cơ, ca nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ A đến B với vận tốc 24km/h, cịn ca nơ từ B chạy vng góc với bờ có vận tốc 18 km/h Quãng đường AB dài 1km Hỏi khoảng cách nhỏ hai ca nơ q trình chuyển động nước chảy từ A đến B với vận tốc km/h Biết sức đẩy động không thay đổi A * B Phân tích đề tốn : + Khoảng cách hai xe trình chuyển động thay đổi theo thời gian nên ta chọn thời gian làm ẩn + Lựa chọn giải toán hệ quy chiếu (chọn hệ quy chiếu) + Gọi khoảng cách gữa hai xe trình chuyển động CD Biểu diễn độ dài đoạn CD theo t (Tìm mối quan hệ CD với t) * Giải chi tiết: Giải tốn hệ quy chiếu gắn với bờ sơng Vận tốc canô bờ sông vAO vA vBO Sin vO2 vB2 62 10 vO 10 10 v 10 10 10 BO BO v B 18 vB v Cos 182 v km / h vO 24 30 km / h BO Bv A v vAvAO o o Độ dài quãng đường hai ca nô thời gian t Ta có: AC vAO t 30.t D v BO A vAO C B H BD vBO t CB AB BH BD.Cos 10.t DH BD.Sin 10.t CH CB 10.t AC BH 30t 30t 10 6t 10 18t 6t 24t Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông CHD ta có: CD2 = CH2 + HD2 CD2 = 24t 18t CD2 = 900t2 – 48t + y = 900t2 – 48t + (1) (Trong CD2 = y) Đến ta gặp tốn: Tìm t dương để y đạt giá trị nhỏ Ta trình bày theo hai hướng  Hướng thứ nhất: Dựa vào điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Ta có: (1) 900t2 48t 1- y (2) Phương trình (2) có nghiệm ' 24 900 y y 0,36 ymin 0,36CD 0,6km Hướng thứ hai: Biến đổi VP(1) dạng A2 + B 24 24 24 Ta có: y 30t 2.30 .t 30 30t y y 25 ymin 42 25 30 30 0,36 0,36 CD 0,6km Giải toán hệ quy chiếu gắn với mặt nước Độ dài quãng đường mà hai canô sau thời gian t là: AA’ = v1t = 24t BB’ = v2t = 18t Áp dụng định lý Pitago Trong tam giác vuông A’BB’ ta có: BB A B ’’ v vA A’ A’B’2 = A’B2 + BB’2 A’B’2 =(AB–AA’)2+BB’2 A’B’2 = ( 1- 24t )2 + (18t )2 y = 900t2 – 48t + (1) Ngoài hai cách chọn hệ quy chiếu ta giải tốn mà hệ quy chiếu gắn với hai canô Chọn ca nô từ A làm mốc Dịng nước chuyển động ngược lại so với ca nô từ A với vận tốc v1 Vận tốc ca nô B so với ca nô A là: v21 = v22 v12 30 km / h B S2 BB' 30t BB' Ta có: HB’ = BB’.sin HB BB'.cosBB' ’ v1 v v 18t v v ’ v 21 21 24t A v B H 21 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vng AHB’ ta có: AB’2 = AH2 + HB’2 AB’2 = ( 1-24t )2 + ( 18t )2 y = 900t2 – 48t + (1) 3.2.1 Bài tốn tìm giá trị lớn Bài : Một bọ đậu đầu A cứng mảnh AB có chiều dài L dựng đứng cạnh tường thảng đứng (như hình vẽ) Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu trượt sang phải mặt sàn nằm ngang với vận tốc khơng đổi v bọ bắt đầu bị dọc theo với vận tốc u Trong q trình bị lên thanh, bọ đạt dược độ cao cực đại sàn Biết A đấu A ln tì lên tường thẳng đứng Con bọ B * Phân tích đề tốn : 10 + Chuyển động điểm B bọ chuyển động thẳng + Biểu diễn độ cao bọ ( H ) theo thời gian t + Sử dụng tính chất tam thức bậc hai tìm Hmax * Giải chi tiết: Gọi t thời gian bọ chuyển động L + Quãng đường bọ chuyển động : L u.t t u u + Quãng đường điểm B chuyển động: S v.t + Độ cao mà bọ đạt dược: H L.sin H u L2 t v 2.t4 L Với y v x u y L Hmax L2 x (trong x t u.t L v t L v y ymax 0) 0; L Ta thấy y tam thức bậc có hệ số a v Nên ta có ymax h L4 x L2 4v2 2v2 Vậy độ cao cực đại bọ đạt H max u y max L u L v Bài :Một người đứng độ cao h so với mặt đất ném đá với vận tốc ban đầu v0 , theo phương hợp với phương ngang góc Tìm để tầm xa mặt đất lớn * Phân tích đề tốn : Đây tốn chuyển động vật bị ném xiên nên tiến hành theo bước : + Chọn hệ trục xOy + Phân tích chuyển động theo phương Ox, Oy 11 + Biến đổi biểu thức tầm bay ( L) xa sử dụng tính chất tam thức bậc tìm Lmax * y Giải chi tiết: + Chon hệ trục tọa độ xOy hình vẽ Gốc O mặt đất h + Chuyển động vật chia thành hai thành phần : Theo Ox : x ( v0 cos )t Theo Oy : gt2 2v y h L tan nghiệm kép 1 tan cos2 có nghiệm với tan L mà (3) ; phương trình phải h 2v2 =L2- v0 cos gL 2v02 cos2 gL2 tan L tan L t + Khi chạm đất x L lúc (2) gL2 x (1) y h (v0 sin )t Thay t vào (2) ta V0 4gL 2v0 v g tan Vậy với gL 2v0 h v v gL v v v 2gh 2gh gL v v2 2gh L Max max tan 2 v0 g v0 v2 2gh Lúc phương trình (3) có 0 2gh tầm bay xa cực đại Bài : Một người đứng điểm A bờ hồ Người muốn đến điểm B mặt hồ nhanh Cho khoảng cách từ điểm B đến bờ d, khoảng cách từ điểm A đến H S hình Biết người chạy bờ vận tốc v 1, bơi có vận tốc v2 (v2 < v1 ) Hãy xác định phương án chuyển động người * B d Phân tích đề tốn : + Ta thấy có hai phương án chuyển động người 12 A S H Phương án 1: Bơi thẳng từ A đến B Phương án : Chạy bờ đoạn AD sau bơi từ D đến B + Chúng ta giả sử phương án thứ 2, tiến hành giải biện luận cho phương án *Giải chi tiết: Giả sử người chọn phương án chạy bờ đoạn AD ( AD = S - x ), B sau bơi từ D đến B S x d2 x2 d Thời gian người bơi từ A đến B : t = v v t= v1 d2 x2 v2x S vv v1 2 A S D P Đặt P = v1 d2 x2 v2x (1); t vv S; H x Tmin Pmin 2 Từ (1) P + v2x = v1 d x 2 v2 )x2 2pv x v2d2 p2 (v Để có nghiệm (với x < S) ' p2v22 v12v22d2 v14d2 v22p2 v12p2 2 v2d2 p2 ) p2 (v2 v2 )d2 v2 (v d Vậy Pmin = d v12 v22 x v2d 2 v1 v2 + Nếu x S tốn vơ nghiêm tức khơng tồn điểm D chọn phương án bơi thẳng từ A đến B + Nếu x < S người phải chạy đoạn AD = S v2d bờ v2 bơi từ D đến B Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục 13 v2 Trong năm học vừa qua áp dụng đề tài vào chương trình học lớp10 Tôi nhận thấy em học sinh hứng thú áp dụng đề tài tự giải nhanh tốn khó Đề tài góp phần nâng cao khả trực quan hố tư học sinh lơi nhiều học sinh tham gia vào trình giải tập giúp số học sinh không yêu thích khơng giỏi mơn vật lý cảm thấy đơn giản việc giải tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Qua nâng cao chất lượng giảng dạy môn vật lý trường THPT Thiệu Hóa, tạo động lực thúc đẩy tiến bộ, hiệu nghiệp giáo dục… Cụ thể thông qua khảo sát chất lượng học sinh sau hướng dẫn phương pháp “Sử dụng tam tức bậc giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ phần học lớp 10’’ thu kết sau:  Kết so sánh đối chứng * Kết khảo sát trước thực đề tài Lớp Sĩ Giỏi số % SL 11,1 30 % SL 66,7 % SL 17,8 % 4,4 2,5 25 37,5 12.5 10G 45 SL 10M 40 Khá 10 TB 15 * Kết khảo sát sau thực đề tài 14 Yếu - Kém Lớp Sĩ Giỏi 10G số 45 SL Khá % SL 15,6 33 TB % SL 73,3 Yếu % 8,9 SL % 2,2 10M 40 7,5 13 32,5 10 25 10 Qua so sánh đối chứng kết thấy tỉ lệ điểm: Khá, Giỏi tăng, điểm yếu giảm cụ thể là: III KẾT LUÂN, KIẾN NGHỊ Kết luận Đề tài: “Sử dụng tam tức bậc giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ phần học lớp 10’’ nhằm mục đích giúp em học sinh giải nhanh tốn tìm giá trị lớn nhỏ Sau thời gian áp dụng, đề tài mang lại kết mong muốn Chính q thầy giáo em học sinh tham khảo áp dụng vào thực tiễn, góp phần đổi phương pháp giảng dạy, đổi cách kiểm tra đánh giá kết học tập học sinh nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Kiến Nghị Theo định GD & ĐT từ năm học 2018 – 2019 đề thi THPT quốc gia mơn Vật lí thi kiến thức lớp 10, lớp 11, lớp 12 với hình thức trắc nghiệm khách quan ( không giống năm trước chủ yếu thi kiến thức chương trình lớp 12) Điều dẫn đến cần có đổi mạnh mẽ việc dạy học giáo viên học sinh Vì tơi có số đề nghị sau: 15 Đối với giáo viên: Giáo viên giảng dạy mơn Vật lí, giao viên dạy lớp 10, lớp 11 cần tiếp thu định hướng đổi kiểm tra đánh giá giáo dục đào tạo thông qua đợt tập huấn, sau tự hồn thiện kiến thức kỹ năng, tự rút cho phương pháp vận dụng vào thực tiễn qua hình thức thi trắc nghiệm nhằm đạt kết cao giảng dạy tinh thần nhiệt huyết với nghề Đối với tổ môn: Cần quán xuyến tốt giáo viên tổ, vận động giáo viên tổ mạnh dạn đề phương pháp đổi Thông qua buổi họp tổ chuyên môn cần tập trung thảo luận, triển khai vấn đề chuyên môn nhiều hơn… - Đối với lãnh đạo cấp ngành giáo dục cần quan tâm trang bị kĩ cho giáo viên tài liệu đổi phương pháp thông qua đợt tập huấn báo cáo chuyên đề… Đôn đốc, quán xuyến kiểm tra hoạt động tổ môn Cần tổ chức hình thành ngân hàng đề kiểm tra quy trình đựa theo định hướng đổi giáo dục Xác nhận quan Thiệu hóa, ngày 30 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan nội dung SKKN không chép người khác Người viết Lê Hữu Vương 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa ‘Tốn 9’- Tác giả Phan Đức Chính - Nhà xuất giáo dục Sách giáo khoa ‘VẬT LÝ 10’- Bộ giáo dục đào tạo - Nhà xuất giáo dục 17 ... 2pv x v2d2 p2 (v Để có nghiệm (với x < S) '' p2v 22 v12v22d2 v14d2 v22p2 v12p2 2 v2d2 p2 ) p2 (v2 v2 )d2 v2 (v d Vậy Pmin = d v 12 v 22 x v2d 2 v1 v2 + Nếu x S tốn vơ nghiêm tức không tồn điểm D... NGHỊ Kết luận Đề tài: ? ?Sử dụng tam tức bậc giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ phần học lớp 10? ??’ nhằm mục đích giúp em học sinh giải nhanh tốn tìm giá trị lớn nhỏ Sau thời gian áp dụng, đề tài mang lại... phương pháp sử dụng tam thức bậc hai để giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ phần học lớp 10 vào trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi…Tôi nhận thấy em tiếp thu tốt, đồng thời giải toán tương tự cách nhanh