SKKN phương pháp giải phương trình tích và một số bài toán liên quan

Phương pháp giải phương trình tích số toán liên quan I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Chun đề ' giải phương trình tích học kỹ chương trình lớp , có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích vấn đề quan trọng Nắm tinh thần q trình giảng dạy tốn tơi dày cơng tìm tòi; nghiên cứu để tìm phương pháp giải phương trình tích đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh SGK trình bày phương pháp phân tích vế trái thành tích đa thức phương pháp đặt nhân tử chung; tách hạng tử; phương pháp them bớt hạng tử; phương pháp đặt ẩn phụ để làm số dạng tập giải phương trình tích Khi học chun đề học sinh thích thú có ví dụ đa dạng, có nhiều vận dụng cách giải khác cuối đưa dạng tích từ giúp em học tập kiến thức giải số toán khó Mục tiêu nghiên cứu Trong nhiều năm tơi phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy Tơi tích lũy nhiều kiến thức dạng tốn “ giải phương trình tích “ dạng tập vận dụng đặc biệt hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học mơn tốn cách giải tốn theo mạch kiến thức mang tính logic - phương pháp dạy học loại tập “ Giải dạng phương trình đưa dạng phương trình tích “ Đổi phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số toán liên quan Cụ thể : - Tìm hiểu thực trạng học sinh - Những phương pháp thực - Những chuyển biến sau áp dụng - Rút học kinh nghiệm Đối tượng khách thể nghiên cứu Sách giáo khoa đại số lớp 8; sách giáo viên; sách tham khảo nâng cao; sách tập toán tập hai Học sinh lớp trường THCS Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu giải phương trình tích tập vận dụng chương trình học kỳ II môn đại số lớp Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số toán liên quan II NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong hoạt động giáo dục đồi hỏi học sinh cần phải tự học; tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến q trình giáo dục thành q trình tự giáo dục Như học sinh phát huy lực sáng tạo; tư khoa học từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để học sinh đạt điều mơn tốn ( cụ thể mơn đại số lớp ) khích lệ em sau tiếp thu thêm lượng kiến thức em cần khắc sâu tìm tòi tốn liên quan Để làm giáo viên cần gợi say mê học tập; tự nghiên cứu , đào sâu kiến thức em học sinh PHẦN 2: THỰC TRẠNG 2.1: a/ Thuận lợi : - Cơ sở vật chất nhà trường đầy đủ - Tài liệu tham khảo đa dạng; đội ngũ giáo viên có lực vững vàng, nhiệt tình - Đa số em ham học; thích nghiên cứu b/ Khó khăn : Lực học em không đồng Một số em học sinh tiếp thu chậm, khơng đáp ứng yêu cầu chương trình Điều kiện kinh tế gia đình học sinh nghèo nên có ảnh hưởng lớn đến chất lượng học tập học sinh 2.2: a/Thành công - Đa số em nhận thức đắn ý thức học tập cần phải hăng say học tập - Học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống; em nắm dạng tập phương pháp giải tập - Đã gợi say mê học tập em học sinh Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số toán liên quan b/ Hạn chế : Thời lượng thực giảng dạy hạn chế Một số em học sinh tiếp thu chậm - Thời gian thực tế lớp nên việc lồng ghép dạng tốn có liên quan khó khăn có tốn học sinh bỡ ngỡ chưa biết cách giải 2.3 : a/ Mặt mạnh : - Ban giám hiệu nhà trường đạo thường xuyên coi việc phát triển lực chuyên môn then chốt; nhà trường phát động nhiều phong trào nhằm đẩy mạnh công tác chuyên môn Tạo điều kiện thuận lợi để thầy giáo có điều kiện học hỏi đúc rút nhiều kinh nghiệm cho than - Đa số giáo viên nhiệt tình công tác giảng dạy; học sinh ham học - Cơ sở vật chất đầy đủ; đồ dung học tập phong phú b/ Mặt yếu : Chất lượng học sinh khơng đồng nên việc tiếp thu kiến thức hạn chế 2.4 : Các nguyên nhân; yếu tố tác động - Xuất phát từ thực trạng nói nguyên nhân chủ yếu nhằm giúp cho em học sinh có ý thức học tập đắn; tạo ham mê học tập giúp em có điều kiện lĩnh hội số kiến thức để em học tập sau tốt - Xuát phát từ ham học hỏi học sinh ham mê nghiên cứu lòng yêu nghề than - Sự đạo sát cấp chuyên môn phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy PHẦN 3: BIỆN PHÁP 3.1: Mục tiêu giải pháp , biện pháp Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình đưa dạng “ Phương trình tích” Đồng thời vận dụng phương pháp để giải tốn hay khó - Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử phân tích đa thức đưa dạng tích Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích dạng tập vận dụng vận dụng Phân tích vế trái thành tích ( thừa số ) biến đổi vế trái thành tích đa thức; đơn thức khác ẩn vế phải 3.2: Nội dung phương pháp thực G/V ? : Một tích ? Trong tích có thừa số tích ? - Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải có thừa số - Trong tích có thừa số tích Ví dụ : Giải phương trình : ( 2x – ) ( x + ) = ( I ) Phương pháp giải: Tính chất nêu phép nhân viết ab = � a = b = ( với a ; b số ) Đối với phương trình ta có : ( 2x – ) ( x + ) = � 2x – = Hoặc x+1=0 Do để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình 1/ 2x – = � x  � x  1,5 2/ x + = � x = - Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = 1,5 x = - Và ta viết tập hợp nghiệm phương trình : S =  1,5; 1 Giải phương trình gọi giải phương trình tích Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau GV?: Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) …………….A(x n ) = 0( II ) ta cần giải phương trình ? HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải phương trình sau: A( x ) = (1) A( x ) = (2) …………………… A ( xn ) = (n) Nghiệm phương trình ( ) ; ( ) …….( n ) nghiệm phương trình ( II ) Với giá trị x thỏa mãn điều phương trình ( II ) SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN VÍ DỤ 1: Giải phương trình (x+1)(x+4)=(2–x)(2+x) Nhận xét : Hai tích khơng có nhân tử chung thi ta phải khai triển thu gọn để tìm cách đưa dạng tích, để giải phương trình ta cần thực hai bước: Bước 1: Đưa phương trình cho dạng phương trình tích cách chuyển tất hạng tử từ vế phải sang vế trái đổi dấu hạng tử đó; vế phải 0; áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích Ta có : ( x + ) ( x + ) = ( – x ) ( + x ) � (x+1)(x+4)–(2–x)(2+x)=0 � x  x  x   22  x  � x  x  � x(2 x  5)  Bước : Giải phương trình tích vừa tìm kết luận nghiệm Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số toán liên quan �x  �x  �x  � �� �� x ( 2x + ) = � � 2x   x  5 x   � � � � � 5� 0;  � Vậy tập nghiệm phương trình : S = � � VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x   x  3x   7 Tương tự ví dụ ta thực phép chuyển vế ta có : 3 x   x  3x   � x   x  x  7 7 � 3 � �3 x   x  x  � � x  x �   x   7 � �7 � �3 � x   x     x   �   x  � x  1� �7 � 1 x  � �x  � � � �3 �� x 1  x � � �7 � � 7� 1; � Vậy tập nghiệm phương trình là: S = � �3 VÍ DỤ : Giải phương trình : x  x    Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi vế trái dựa vào đẳng thức Giải : x2  x      � x2  x    �  x  1  22  �  x 1  2  x 1  2  �  x  3  x  1  Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan �x   �x  �� �� �x   �x  1 Vậy tập nghiệm phương trình S =  1;3 VÍ DỤ 4: Giải phương trình :  x  1   x  1  x     x    2 Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận đẳng thức bình phương tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức phân tích thành nhân tử Ta xem ( x- ) =A ; ( x + ) = B � phương trình có dạng ( A + B ) = Giải : ta có  x  1   x  1  x     x    2 ��  x  1   x   � � � ��  x  1   x   � � � �  x   x  2  � 2x 1  � x  1 � x   � 1� �2 Vậy tập nghiệm phương trình : S = � � VÍ DỤ : Giải phương trình :     x 2x 1  Đây phương trình tích có chứa thức bậc hai Để tránh cho học sinh hiểu tốn mơt cách phức tạp phương trình có chứa bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh thực cách giải thơng thường 2; 3; coi hệ số thông thường Giải: Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan     x 2x 1  � �x  � �3  x  � �� �� x   �x  � � � 1 2 � 1 � Vậy tập nghiệm phương trình là: S = � ; � �5 2� II/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ : Giải phương trình : x3  x  x  Đối với phương trình học sinh có cách giải khác chẳng hạn ta tham khảo hai cách giải sau: 2 Cách : Ta có : x  x  x  � x  x  x    � x  x  x  x    ( tách 3x = x + 2x )   � � x� �x  x   x   � ( nhóm hạng tử ) � x� x  x  1   x  1 � � � ( đặt nhân tử chung ) � x  x  1  x    ( đặt nhân tử chung ) �x  �x  � � � �x   � �x  1 �x   �x  2 � � Vậy tập nghiệm phương trình : S =  0; 1; 2 CÁCH 2: Giải: x3  x  x  � x3  x  x  x  ( tách 3x  x  x ) �  x  x    x  x   � x  x  1  x  x  1  Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan �  x  1  x  x   �  x  1 x  x    ( đặt nhân tử chung ) �x   �x  1 � � � �x  � �x  �x   �x  2 � � Vậy tập nghiệm phương trình : S =  0; 1; 2 VÍ DỤ 2: Giai phương trình : x  19 x  30  phương trình chưa xuất nhân tử chung; không dạng đẳng thức Do giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x Giải : Ta có : x3  19 x  30  � x3  x  10 x  30  �  x3  x    10 x  30   � x  x    10  x  3    � x x  32  10  x  3  � x  x  3  x  3  10  x  3    �  x  3 � x  x  3  10 � � � �  x  3 x  3x  10    �  x  3 x  x  x  10  �  x   � ( x  x)   x  10  � � � �  x  3 � x  x  5   x  5 � � � �  x  3  x    x    �x   �x  3 � � � �x   � �x  �x   �x  2 � � Vậy tập nghiệm phương trình : S =  3; 2;5 VÍ DỤ : Giải phương trình : x  x   Đối với phương trình ta tách hạng tử 5x = 6x – x Giải : Ta có : Trang 10 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số toán liên quan x  x  20  � x  x  x  20    � x  x   x  20   � x  x     x    �x   �x  4 �  x    x  5  � � �� �x   �x  5 Vậy tập nghiệm phương trình : S =  4; 5 VÍ DỤ 6: Giải phương trình : x2  x   Ta biến đổi vế trái phương trình thành tích cách tách hạng tử Tử x = 3x – 2x sau nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Giải : Ta có : x  x   � x  3x  x     � x  3x   x    � x  x  3   x  3  �x   �x  3 �  x  3  x    � � �� �x   �x  Vậy tập nghiệm phương trình : S =  3; 2 VÍ DỤ 7: Giải phương trình : x  x   Đối với phương trình có nhiều cách giải khác Sau số cách giải: Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x Ta có : x  3x   � x  x  x     � x  x   x    � x  x  1   x  1  �x   �x  �  x  1  x    � � �� �x   �x  Vậy tập nghiệm phương trình : S =  1; 2 Cách : Tách hạng tử = - + Ta có : x  x   � x  3x    Trang 12 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan   � x    3x    �  x    x     x    �  x  2 �  x    3� � � �  x    x  1  �x   �� � x   � �x  � �x  Vậy tập nghiệm phương trình : S =  1; 2 Cách : Biến đổi 3 x  x Ta có : ; 2  4 x  3x   � x  x    4 2 �2 9� �3 �� �1 � �2 � �x  x  �  � � x  x  � �� � � 4� �2 �� �2 � � � 2 � � � �1 � � � �� � 3� 1� � �x  � � � � � �x  � �� �x  � � 2 � � �� � � �� � � 2� � � 1� � 1� � �x   � �x   � �  x  1  x    � 2� � 2� �x   �� � �x   �x  � �x  Vậy tập nghiệm phương trình : S =  1; 2 III/DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ 1: Giải phương trình x  13 x  36  Đây phương trình bậc ẩn x để giải dạng phương trình ta cần đặt biến phụ sau tìm giá tri biến phụ ta lắp giá trị vào biểu thức lien quan ban đầu để tìm nghiệm Ở ta đặt x  a ta có cách giải sau: Trang 13 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan Giải :Ta có : x  13x  36  � a  13a  36  � a  4a  9a  36  �  a  4a    9a  36   � a  a  4   a  4  �  a  4  a  9  a1  a4 0 � � �� �� a 9  a2  � � Vì ta đặt �x  �x  �2 x a�� �� �x  �x  �3 2; �3 Vậy tập nghiệm phương trình : S =  � VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x  x   Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ : Đặt x  a nên ta có cách giải sau : Giải :Ta có : x  x   � 2a  5a     � 2a  4a  a   � 2a  4a   a    ( tách 5a = 4a + a ) � 2a  a     a    �  a    2a  1  ( nhóm đặt NTC ) a  2 � a20 � � �� �� a   a � � � �x  � Vì đặt x  a � �2 x  � � Điều khơng thể xẩy x �0 với giá trị x phương trình cho vơ nghiệm : tập hợp nghiệm phương trình : S =  VÍ DỤ : Giải phương trình : x  x   ta biến đổi vế trái cách đặt ẩn phụ x  a để đưa dạng tích Trang 14 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan Giải : Ta có : x  x   � 9a  6a   �  3a   2.3a  12  �  3a  1  2 � 3a   � a   1 Vì đặt x2  a � x2   Vì x �0 với giá trị x Vậy phương trình vơ nghiệm Trường hợp xẩy Tập hợp nghiệm phương trình : S =  VÍ DỤ 4: Giải phương trình : x  x   Đặt x  a Ta có cách giải sau x  x   � 2a  a     � a  8a  a   � a  a   a    � 2a  a     a    �  a    2a  1  a4 � a40 � � �� �� a   a   � � � Vì đặt x  a � x  � x  � 2 Và : x   (Loại) Vậy tập nghiệm phương trình : S =  �2 VÍ DỤ : Giải phương trình : x  20 x  18  Đặt x  a nên ta có cách giải sau: x  20 x  18  � 2a  20 x  18  �  a  10a    �  a  9a  a    Trang 15 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan   � � � 2� a a  a  9   a  9 � � �  9a   a   � � � a9  � �a  �  a    a  1  � � �� a 1  � �a  Vì đặt x  a � x  � x  �3 Và : x  � x  � 3 Vậy tập nghiệm phương trình : S =  �1; � IV: DẠNG BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Đây dạng phương trình mà giải ta cần phải tìm điều kiện xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình tìm giá trị ẩn để mẫu thức khác không Sau số ví dụ dạng phương trình VÍ DỤ 1: Gi ải phương trình : x2   x  x x  x  2 (I) �x �0 �x �0 �� �x  �0 �x �2 Điều kiện xác định phương trình : � Giải : Ta có (I) �  x  2 x   x  2  x2   � x  x x  x  2 x  x  2 x  x  2 �  x  2 x   x  2  � x2  2x  x   �x  �x  � x  x  � x  x  1  � � �� �x   �x  1 Vì điều kiện xác định phương trình : x �0 x �2 Nên với x = loại Do nghiệm phương trình : S =  1 Trang 16 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan VÍ DỤ 2: Giải phương trình :  x  11 x2 ( II )   x2 x2 x 4 ĐKXĐ: x �� Giải : Ta có :  x  11 x2   x2 x2 x 4 (II) �  x     x     x  11 �  x  2  x  2  x  2  x  2 �  x     x     x  11 Quy đồng mẫu hai vế (Nhân hai vế với  x    x   khử mẫu ) Khai triển chuyển vế thu gọn ta � x  x  20  � x  x  x  20  ( tách -9x = - 4x – 5x )   � x  x   x  20   � x  x     x    �x   �x  �  x    x  5  � � �� x   � �x  Vì x = ; x = Thuộc tập xác định phương trình Vậy tập nghiệm phương trình : S =  4;5 VÍ DỤ : Giải phương trình : x2  2x  x2  x ( III) ĐKXĐ : x �2 Giải : Ta có : (III) � x2  2x 1 x2 x�  x2 2x   x  x  2 x2 �  x   x  x ( nhân hai vế với x – khử mẫu ) � x2  x   �  x  2  � x20 � x  (Loại x = khơng thỏa mãn ĐKXĐ phương trình Trang 17 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan Vậy tập hợp nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ : Giải phương trình : x  1  x2  x x  ( IV ) ĐKXĐ : x �0 x3  x x  ( IV ) �  � x3  x  x  x x � x3  x   x  �  x3  x     x    � x3   x     x   � (1  x) x     �  x  1  x  1 x  x   �  x  1 Vì x 2 x   x 1  1 � 1�  x   x  x    �x  2.x  � 4 � 4�  �x  �  � � � 2� nên  x  1 x   x   �  x  1  � x   � x  Thỏa mãn điều kiện toán Vậy tập nghiệm phương trình : S =  1 V- MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo dạng phương trình mà ta có cách biến đổi khác để đưa phương trình cho dạng phương trình tích Sau dạng phương trình đặc trưng Ví dụ I: Giải phương trình : 2x 2001 1  1 x 2002  x 2003 Đây phương trình áp dụng cách giải thơng thường gặp nhiều khó khăn Do để giải phương trình ta sử dụng phương pháp sau: Để biến đổi đưa phương trình cho dạng phương trình tích đơn giản Trang 18 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan Ta cộng thêm vào hai vế phương trình biến đổi phương trình sau 2 x 1 x x 2 x �1  x � � x � 1   � 1  �  1� �  1� 2001 2002 2003 2001 �2002 � �2003 � � 2003  x 2003  x 2003  x 2003  x 2003  x 2003  x   �   0 2001 2002 2003 2001 2002 2003 1 � �1 �  2003  x  �   � � 2003  x  � x  2003 2001 2003 2003 � � Vì : 2001  2002  2003 �0 Vậy tập nghiệm phương trình : S =  2003 VÍ DỤ : Giải phương trình : x 1 x  x  x  x  x       94 93 92 91 90 89 Cộng thêm (3) vào hai vế phương trình ta �x  � �x  � �x  � �x  � �x  � �x  �  1� �  1� �  1� �  1� �  1� �  1� � �94 � �93 � �92 � � 91 � �90 � �89 � � x  95 x  95 x  95 x  95 x  95 x  95      94 93 92 91 90 89 � x  95 x  95 x  95 x  95 x  95 x  95      0 94 93 92 91 90 89 1 1 � �1 �  x  95 �      � �94 93 92 91 90 89 � � x  95  � x  95 Vì : 1 1 1      �0 94 93 92 91 90 89 Vậy nghiệm phương trình : S =  95 VÍ DỤ 3: Giải phương trình : 59  x 57  x 55  x 53  x 51  x      5 41 43 45 47 49 Trang 19 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan Đối với phương trình ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái tách thành hạng tử hạng tử đơn vị nên ta có cách giải sau 59  x 57  x 55  x 53  x 51  x      5 41 43 45 47 49 �59  x � �57  x � �55  x � �53  x � �51  x � ��  1� �  1� �  1� �  1� �  1� � 41 � � 43 � � 45 � � 47 � � 49 � � 100  x 100  x 100  x 100  x 100  x     0 41 43 45 47 49 1 1 � �1 �  100  x  �     � �41 43 45 47 49 � � 100  x  � x  100 Vì : 41  43  45  47  49 �0 Vậy tập nghiệm phương trình : S =  100 VÍ DỤ : Giải phương trình : x 1 x  x  x  x  x       59 58 57 56 55 54 Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng thêm vào hai vế phương trình tách thành nhóm sau: x 1 x  x  x  x  x       59 58 57 56 55 54 �x  � �x  � �x  � �x  � �x  � �x  � ��  1� �  1� �  1� �  1� �  1� �  1� �59 � �58 � �57 � �56 � �55 � �54 � � x  60 x  60 x  60 x  60 x  60 x  60      59 58 57 56 55 54 � x  60 x  60 x  60 x  60 x  60 x  60      0 59 58 57 56 55 54 1 1 � �1 �  x  60  �      � �59 58 57 56 55 54 � Trang 20 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan � x  60  � x  60 Vì :  59 58  57  56  55  54 �0 Vậy tập nghiệm phương trình : S =  60 VÍ DỤ 5: Giải phương trình : x  x  15 x  25 x  1990 x  1980 x  1970      1990 1980 1970 15 25 Đối với phương trình giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai vế đơn vị tách phần ta có cách giải sau Giải: x  x  15 x  25 x  1990 x  1980 x  1970      1990 1980 1970 15 25 �x  � �x  15 � �x  � �x  1990 � �x  1980 � �x  1970 � ��  1� �  1� �  1� �  1� �  1� �  1� 1990 � �1980 1970 � � � �� � � 15 � � 25 � � x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995      1990 1980 1970 15 25 � x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995      0 1990 1980 1970 15 25 1 1 � �1 �  x  1995  �      � 1990 1980 1970 15 25 � � � x  1995  � x  1995 Vì : 1990  1980  1970   15  25 �0 Vậy tập nghiệm phương trình là: S =  1995 3.3: Điều kiện thực giải pháp; biện pháp - Được góp ý bổ sung ; xếp thời gian tổ chun mơn tổ chức ngoại khóa Trang 21 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan - Thực q trình giảng dạy thông qua tiết học lớp ; tiết giải tập - Biện pháp tổ chức thực tập trung phân theo nhóm đối tượng học sinh 3.4 : Mối quan hệ giải pháp biện pháp Với phương pháp biến đổi giải phương trình tích đơn giản; phương pháp tách hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ; phương pháp quy đồng mẫu khử mẫu; phương pháp cộng vào hai vế; nhóm quy đồng đưa hạng tử có tử giống để đặt nhân tử chung có mục đích chung đưa phương trình dạng phương trình tích 3.5 : Kết khảo nghiệm giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu Trên số kinh nghiệm việc dạy học mơn tốn giải phương trình ứng dụng số phương pháp biến đổi khác trình giải để đưa dạng phương trình tích qua việc thực kết đạt học sinh tiếp thu tốt nhiều so với chưa thực phương pháp 3.6 : Kết thu qua khảo nghiệm ; giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu Kết trước sau thực kinh nghiệm dạy phương trình tích khảo sát sau sau: Khi chưa thực dạy phương pháp giải phương trình tích Khảo sát 20 em kết đạt sau: Lớp 8A2 8A3 GIỎI SL TL 0% 0% KHÁ SL TL 5% 10% TB SL 10 TL 50% 45% YẾU SL TL 35% 40% KÉM SL TL 10% 5% Kết sau thực giảng dạy phương pháp giải phương trình tích là: LỚP Giỏi KHÁ TB Trang 22 / 26 YẾU KÉM Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan 8A2 8A3 SL TL 20% 25% SL TL 25% 20% SL TL 45% 40% SL TL 10% 15% SL 0 TL 0% 0% III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 3.1: Kết luận Việc áp dụng phương pháp biến đổi phương trình để đưa dạng phương trình tích có hiệu Làm cho học sinh thay đổi tính tư duy; Trang 23 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan nhận thức nhanh hơn; nhìn nhận vấn đề sâu rộng hơn; chắn học sinh biết phân tích biến đổi nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Kết khảo sát cao nhiều so với chưa áp dụng phương pháp Trong trình thực thân tránh khỏi khiếm khuyết thiếu sót Tính lơgic hệ thống phương trình nên thân tơi mong đóng góp ý kiến q báu từ q thầy giáo nói chung q thầy giáo mơn tốn nói riêng Nhất đồng chí tổ chuyên môn để thân đúc rút nhiều kinh nghiệm q trình dạy học nói chung việc dạy học mơn tốn nói riêng có việc dạy học giải phương trình tích thân Xin chân thành cảm ơn! 3.2 : Kiến nghị : - Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian để em tham dự chuyên đề rút từ kinh nghiệm - Nhà trường cần tạo điều kiện thuận lợi kinh phí để thực chun đề có tính chất liên quan TÀI LIỆU THAM KHẢO TT TÊN SÁCH TÁC GIẢ Sách giáo khoa đại số Phan Đức Chính Trang 24 / 26 NHÀ XUẤT BẢN Nhà xuất giáo Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan tập II dục Sách hướng dẫn giáo viên Nguyễn Huy Đoan đại số tập II Tôn Thân Lê văn Hồng Nhà xuất giáo Sách tập đại số tập II dục Vũ Hữu Bình Nhà xuất giáo dục Ôn tập đại số Lê Đình Phi Các tốn hay đại số Nguyễn Ngọc Đạm Các toán chọn lọc Nguyễn Quang Nhà xuất giáo (Bồi dưỡng học sinh ; Hanh dục giỏi ) Đại học quốc gia hà Ngô long hậu nội Nguyễn đức Tấn 405 Bài tập đại số Phan Hoàng Ngân Nhà xuất đại học Nguyễn Anh Hoàng sư phạm hà nội Nguyễn Đức Hòa Nhà xuất đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh MỤC LỤC I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 1.Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Trang 25 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số tốn liên quan Đối tượng khách thể nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu II NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN PHẦN 2: THỰC TRẠNG PHẦN 3: BIỆN PHÁP 3.1: Mục tiêu giải pháp , biện pháp .5 3.2: Nội dung phương pháp thực .9 3.3 : Điều kiện thực giải pháp ; biện pháp 23 3.4 : Mối quan hệ giải pháp biện pháp 23 3.5 : Kết khảo nghiệm giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu 23 3.6: Kết thu qua khảo nghiệm ; giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu 24 III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .25 Trang 26 / 26 ... BIỆN PHÁP 3.1: Mục tiêu giải pháp , biện pháp Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số toán liên quan - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình. .. đổi đưa phương trình cho dạng phương trình tích đơn giản Trang 18 / 26 Phương pháp giải phương trình tích số toán liên quan Ta cộng thêm vào hai vế phương trình biến đổi phương trình sau 2 x... trình gọi giải phương trình tích Trang / 26 Phương pháp giải phương trình tích số toán liên quan Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau GV?: Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) …………….A(x