CHUN ĐỀ GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN BÀI TỨ GIÁC NỘI TIẾP I Định nghĩa Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn (O) Cả điểm : A, B, C, D thuộc (O) II Tính chất Trong tứ giác nội tiếp, tổng góc đối 1800 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => 𝐴 + 𝐶 = 1800 𝐵 + 𝐷 = 1800 (t/c tứ giác nội tiếp) III Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp 1) Dấu hiệu Xét tứ giác ABCD có: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! 𝐵𝐴𝐷 + 𝐵𝐶𝐷 = 1800 Mà 𝐵𝐴𝐷 𝑣à 𝐵𝐶𝐷 góc đối => Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) 2) Dấu hiệu Xét tứ giác ABCD có: 𝐴𝐵𝐷 = 𝐴𝐶𝐷 Mà B, C đỉnh kề => Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) 3) Dấu hiệu Tứ giác có đỉnh thuộc đường tròn tứ giác nội tiếp 4) Dấu hiệu Tứ giác có đỉnh cách điểm cho trước tứ giác nội tiếp Bài Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN tới (O) a) CMR: Tứ giác OBAC tứ giác nội tiếp b) Gọi H trung điểm M, N Chứng minh rằng: điểm O, H, A, C thuộc đường tròn Giải a) Ta có: OB ⊥ AB (AB tiếp tuyến đường tròn (O) ) => 𝑂𝐵𝐴 = 900 OC ⊥ AC (AC tiếp tuyến đường tròn (O) ) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! => 𝑂𝐶𝐴 = 900 => 𝑂𝐵𝐴 + 𝑂𝐶𝐴 = 1800 Xét tứ giác OBAC có: 𝑂𝐵𝐴 + 𝑂𝐶𝐴 = 1800 (chứng minh trên) Mà 𝑂𝐵𝐴 𝑣à 𝑂𝐶𝐴 góc đối => Tứ giác OBAC tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) b) Xét đường tròn (O) có: H trung điểm MN (gt) => OH ⊥ MN (quan hệ vng góc đường kính dây) => 𝑂𝐻𝐴 = 900 Mà 𝑂𝐵𝐴 = 900 => 𝑂𝐻𝐴 = 𝑂𝐵𝐴 Xét tứ giác OHBA có: 𝑂𝐻𝐴 = 𝑂𝐵𝐴 (𝑐𝑚𝑡) Mà H B đỉnh kề => Tứ giác OHBA tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) => O, H, B, A thuộc đường tròn Bài Cho tam giác ABC nhọn đường tròn (O, điểm H 𝐴𝐵 ) cắt AC, BC E, D BE giao với AD a) Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: 𝐸𝐶𝐻 = 𝑂𝐸𝐵 Giải a) Xét đường tròn (O) có: 𝐴𝐸𝐵 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! => 𝐶𝐸𝐻 = 900 (kề bù 𝐴𝐸𝐻 ) Tương tự: 𝐶𝐷𝐻 = 900 => 𝐶𝐸𝐻 + 𝐶𝐷𝐻 = 1800 Xét tứ giác CEHD có: 𝐶𝐸𝐻 + 𝐶𝐷𝐻 = 1800 (cmt) Mà 𝐶𝐸𝐻 𝑣à 𝐶𝐷𝐻 góc đối => Tứ giác CEHD tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEHD có: 𝐸𝐶𝐻 = 𝐸𝐷𝐻 (2 góc nội tiếp chắn cung EH) (1) Xét đường tròn (O) có: 𝐸𝐷𝐴 = 𝐸𝐵𝐴 Xét tam giác EOB có: (2 góc nội tiếp chắn cung AE) (2) OE = OB = R => ∆ EOB cân O (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) => 𝑂𝐵𝐸 = 𝑂𝐸𝐵 (tính chất tam giác cân) Từ (1) (2) (3) ta có: 𝐸𝐶𝐻 = 𝑂𝐸𝐵 (3) (đpcm) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! ... => Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) 2) Dấu hiệu Xét tứ giác ABCD có: