Tứ giác nội tiếp

Nội dung của chuyên đề phần 1: Phần mở đầu 1.Lý do chọn đề tài a) Cơ sở lý luận b) Cơ sở thực tiễn 2. Phạm vi, đối tượng, mục đích của đề tài Phần 2: nội dung của đề tài A. Nội dung của đề tài I. Cơ sở lí luận khoa học của đề tài II. Đối tượng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài III. Nội dung phương pháp nghiên cứu * Phương pháp nghiên cứu * Nội dung nghiên cứu * Một vài ví dụ minh hoạ IV. Kết quả của quá trình nghiên cứu V. Giải pháp mới và sáng tạo của đề tài B. ứng dụng vào thực tế công tác giảng dạy phần 3: Kết luận Phần 4: Những tài liệu tham khảo 1.Lý do chọn đề tài: Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, . Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, . Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 . Đây là việc làm hết sức quan trọng của giáo viên đối với học sinh. a.Cơ sở lý luận: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở định lý đảo Tứ giác nội tiếp Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đ đặc ã biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn. Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đ giải ở lớp 7, 8 để có cách ã giải hay cách lý giải căn cứ khác . Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đưa ra một số cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài Tứ giác nội tiếp một đường tròn Với tên gọi: 1. Lý do chọn đề tài: b.Cơ sở thực tiễn: Tổng kết một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn Phần 2: nội dung của đề tài A. Nội dung của đề tài I.Cơ sở lí luận khoa học của đề tài II. Đối tượng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài III. Nội dung phương pháp nghiên cứu * Phương pháp nghiên cứu * Nội dung nghiên cứu Nếu tứ giác ABCD có : A+C=2V hoặc B+D=2V A D C B x giả sử xAD = BCD thế thì vì xAD + DAB = 2V (kề bù) BCD + BAD = 2V => tứ giác ABCD nội tiếp O Gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp một đư ờng tròn. C B A D §Æc biÖt ho¸ bµi to¸n tø gi¸c ABCD cã ∠BAD = ∠BCD = 0 90 0 90 0 90 0 180 =>Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD. ThÕ th× ∠BAD + ∠BCD = + = A B C d - Xét tứ giác ABCD có DAC = DBC Với A, B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa DC ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp . - Khi cho = ta có DAC = DBC = Và A, B cùng một nửa mặt phẳng bờ DC thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC. 0 90 0 180 0 90 0 0 vì do DC cố định nên A, B nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc) Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp . Thật vậy, giả sử DAC = DBC = ( < < ) A B C D Đảo lại: Nếu tam giác MAC và tam giác MDB đồng dạng với A thuộc đoạn BM và D thuộc đoạn MC thì tứ giác ABCD nội tiếp. + Theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD đồng dạng với tam giác MCB suy ra: MA . MB = MC . MD Thật vậy, vì tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB suy ra ABD = DCA => tứ giác ABCD nội tiếp ( B, C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AD và nhìn AD dưới hai góc bằng nhau ) + Từ đó nếu có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, ABM, D MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp. Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức: MA . MB = MC . MD, A BM, D MC => Tứ giác ABCD nội tiếp. Giả sử AB cắt DC tại M A B C D M - Lại xét tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn : MB MD MC MA = ta suy ra được ABD = ACD vậy là tam giác MAC và MDB đồng dạng A 1 + C 1 = + Cách 3 OA = OB = OC = OD Cách 1 Hình vẽ minh hoạHệ thức Cách chứng minh A C D B Cách 2 0 0 2 1 1 1 B D 180 2.a) A C 180 2.b) A C + = + = = C A B D x 1 1 2 0 90 0 90 C A B D 1 1 bảng hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn (H×nh bªn ph¶i tø gi¸c ACBD néi tiÕp) MA . MB = MC . MD C¸ch 6 C¸ch 4 H×nh vÏ minh ho¹HÖ thøc Thø tù c¸ch chøng minh C¸ch 5       ∠=∠ ∠=∠ ∠=∠ ∠=∠ 11 22 22 11 CD CB DA BA D A B C A B C D M A B C D M O 0 1 1 A B 90 ∠ = ∠ = 1 1 C D 1 A B 1 1 2 2 1 2 2 [...]...Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thức trên Với cách hệ thống hoá như trên học sinh được ghi nhớ một cách lôgic và từ đó nhận biết nhanh được tứ giác nội tiếp một đường tròn và cũng từ đó sử dụng nhanh các tính chất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình học Ngoài ra,... AC? C D O K A I H B Từ tứ giác BIOD nội tiếp suy ra BDI = BOI = OCB + OBC = 2OCB = ACB mà hai BDI và ACB ở vị trí đồng vị nên DI // AC 3 Quan hệ giữa CD và DI? C D O K A I H B Ta có: OID = OBD (do tứ giác BIOD nội tiếp) OID = ICD tam giác DIC cân tại D DC=DI 4 Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, O là tâm đư ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABI Chứng minh rằng 4... gặp nhau ở A và B, tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) gặp (O) ở M ; tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) gặp (O) tại N Lấy điểm E đối xứng với A qua B Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp một đường tròn Phân tích: C/m tứ giác ANEM nội tiếp một đư ờng tròn (1) mà ta thấy E đối xứng với A qua B Vậy là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm trên đường trung trực của đoạn AE, và như thế tâm của đường... giác góc HBD) tứ giác BIOD nội tiếp D B C D O K A I H B Sơ đồ cách 1: Chứng minh tứ giác BIOD nội tiếp KOH = DBI (có IBO = HBI ) KOH = IBH (góc KOI phụ góc OIK, góc HBI phụ HIB) OIK = BIH (đối đỉnh) Cách 2 : Dùng phương pháp chứng minh 2 góc đối diện bằng 180 0 Thật vậy, có: DOI = OKI + OIK = 900 + HIB = 900 + 900 HBI = 1800 IBD ( DOI + IBD = 180 0 tứ giác BIOD nội tiếp C D O K... thẳng hàng (1): (1) K1 = K 2 (2) Thật vậy, các tứ giác MEAK, MKFC, AMCB, EMFB nội tiếp => M 2 = K 2 (3), M =K (4) M = M (5) (cùng cộng góc AMF và ABC cho 1800) Từ (3), (4), (5) => (2) => (1) 1 1 2 1 K 1 O B F C ii) Điều kiện đủ: Có (1) => M(O) (6) tứ giác MABC nội tiếp (7) Thật vậy: từ giả thiết và từ các tứ giác MEAK, MKFC và MEBF nội tiếp => M 1 = K1 M 2 =K 2 K1 = (đối đỉnh) , , ... bốn điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn O Ví dụ 3 (tr 10-TL): Cho tam giác ABC vuông ở A Kẻ đường cao AH Gọi I, K tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH Đường thẳng IK cắt AC tại N Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được Phân tích: A 0 Từ giả thiết dễ thấy HIK = A = 90 (1) R giả sử tứ giác HCNK nội tiếp thì K1= NCH (2) M B thế thì HIK và ABC đồng dạng (3) I S 1 C H HA AB =... điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn là AB.CD + BC.AD=AC.BD (nh lý P.Tụlờmờ) A B D C Bài toán 3 Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắt CD tại F Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác 2 ABCD nội tiếp là EA.ED+FA.FB= EF A F B D C E *Một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1 (tr 9-TL): Cho hai đường tròn (O) và (O) gặp nhau ở A và B, tiếp tuyến tại A của đường... đúng không? C C D D I K O OI A H A H B B + C = 600 thì tam giác ABC đều nên O I, do đó bốn điểm B, I, O, D cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp tam giác BOD + C > 600 thì I nằm giữa C và O, chứng minh tương tự trên, ta có tứ giác BOID nội tiếp một đường tròn + Bài toán mở rộng: Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC (AC=BC), D là điểm nằm trên BC sao cho OD BI Chứng... Từ (1), (2) và (3) suy ra OPO / = OQO / = Điều này chứng tỏ P và Q cùng thuộc cung chứa góc nhìn OO' dưới góc Hay tứ giác OPQO nội tiếp đựơc (*) P Q Xét tứ giác BOPO có OPO / = OAP và OBO / = OAO / Do đó A OPO / + OBO / = OAP + OAO / = 180 0 suy ra tứ giác BOPO nội tiếp được (**) O O Từ (*) và (**) suy ra 5 điểm B, O, P, Q, O cùng thuộc một đường tròn B M N Vấn đề 2: Đồng chí có ý kiến... OIBO là tứ giác nội tiếp (theo cách 4) nhưng N I B M OI = AO = OB => OIBO là hình thang cân => IB//OO (3) => IBAB=>IB là đư ờng trung trực của AE => IA=IN=IE=IM=>(2) => (1) đpcm E Chú ý: Cũng có thể chứng minh IB//OO (3) bằng cách chứng minh OO là đường trung bình của tam giác AIB A O K H I O B N M E Cách 2: Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN A Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN . đó nếu có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, ABM, D MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp. Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ. chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp,