Gíao trình Sức bền vật liệu GS TS Phan Kỳ Phùng

GS TSKHKT- PHAN KÌ PHÙNG Ths THÁI HỒNG PHONG GIÁO TRÌNH SỨC BỀN VẬT LIỆU TẬP I ĐÀ NẴNG 2005 LỜI NĨI ĐẦU Sức bền vật liệu mơn học sở, gạch nối mơn học đến môn học kỹ thuật cho ngành khí, động lực, cầu đường, xây dựng, thủy lợi, giao thông Để học tốt môn chun mơn ngành học nói cần phải nắm kiến thức môn học sở có mơn học Sức bền vật liệu Giáo trình Sức bền vật liệu (Tập I) nhằm cung cấp kiến thức phương pháp tính toán độ bền, độ cứng vững toán thường gặp toán kéo (nén), uốn, xoắn tổ hợp tốn Phần giới thiệu cách xác định xây dựng biểu đồ nội lực dạng tập Nhờ có ta biết nơi chịu lực nguy hiểm Vì phần sử dụng suốt giáo trình Sức bền vật liệu ứng dụng giáo trình chun mơn khác Tập Sức bền vật liệu trình bày cách nghiên cứu trạng thái ứng suất vật thể chịu tác dụng ngoại lực, trang bị kiến thức để học môn Sức bền vật liệu môn học khác lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, vật lý chất rắn Trong xu chung giáo dục đại học, mong muốn sinh viên tự nghiên cứu, tự học mơn Sức bền vật liệu, nên giáo trình sau trình bày Lý thuyết chúng tơi dẫn nhiều ví dụ để sinh viên dễ học tập Tác giả cảm ơn giảng viên cao cấp Phạm Văn Song Đại học Đà nẵng, giúp tác giả sửa chữa, chỉnh lí, vi tnh vă đóng góp nhiều ý kiến để giáo trình hồn chỉnh Chắc q trình biên tập khơng khỏi nhiều thiếu sót, mong nhận góp ý sinh viên độc giả để giáo trình ngày hoàn chỉnh đáp ứng yêu cầu học tập sinh viên bạn Trân trọng cám ơn ! Tác giả GS.TSKH Phan Kỳ Phùng MỤC LỤC Trang số Lời nói đầu Mục lục Chương mở đầu : NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 0.1 Khái quát 0.2 Các nguyên nhân tác dụng lên vật thể 11 0.3 Các giả thuyết 12 0.4 Lịch sử phát triển môn học 13 Chương 1: LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC 16 1.1 Nội lực - phương pháp mặt cắt 16 1.2 Các thành phần nội lực 17 1.3 Bài tóan phẳng, biểu đồ nội lực 18 1.4 Liên hệ tải trọng phân bố với lực cắt mô men uốn thẳng 27 1.5 Liên hệ tải trọng tập trung với độ lớn bước nhảy biểu đồ lực cắt, biểu đồ mô men uốn thẳng 27 1.6 Áp dụng 28 Chương 2: KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 33 2.1 Khái niệm 33 2.2 Ứng suất mặt cắt ngang 33 2.3 Biến dạng, hệ số poisson 35 38 2.4 Ứng suất mặt cắt nghiêng 2.5 Đặc trưng học vật liệu 39 2.6 Ứng suất cho phép - Hệ số an tồn - Ba tốn 42 2.7 Bài toán siêu tĩnh 45 2.8 Thế biến dạng đàn hồi 47 Chương 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 49 3.1 Khái niệm 49 3.2 Trạng thái ứng suất phẳng 50 3.3 Trạng thái trượt túy 58 3.4 Liên hệ ứng suất biến dạng - Định luật Hooke tổng quát 59 3.5 Các thuyết bền 64 Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG PHẲNG 70 4.1 Khái niệm chung 70 4.2 Mơ men tĩnh mơ men qn tính 70 4.3 Mơ men qn tính số hình đơn giản 74 4.4 Công thức chuyển trục mô men quán tính 75 4.5 Hệ trục quán tính - cơng thức xoay trục mơ men qn tính 77 4.6 Vòng tròn Mohr qn tính 78 4.7 Bán kính quán tính 79 Chương 5: UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG 84 5.1 Khái niệm 84 A Dầm chịu uốn túy phẳng 85 5.2 Ứng suất pháp mặt cắt ngang 85 89 5.3 Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp lớn 5.4 Điều kiện bền uốn túy phẳng 91 5.5 Khái niệm hình dáng hợp lý mặt cắt ngang 93 B 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 C 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 6.1 6.2 6.3 truyền 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 A 7.1 7.2 7.3 B 7.4 7.5 7.6 C 7.7 7.8 D 7.9 7.10 8.1 8.2 8.3 8.4 Dầm uốn ngang phẳng 94 Ứng suất pháp mặt cắt ngang dầm uốn ngang phẳng 94 Ứng suất tiếp mặt cắt ngang dầm chịu uốn ngang phẳng 95 Điều kiện bền dầm chịu uốn ngang phẳng 98 Các dạng toán 101 Khái niệm dầm chống uốn 104 Quỹ đạo ứng suất uốn 105 Thế biến dạng đàn hồi dầm chịu uốn ngang phẳng 106 Chuyển vị dầm chịu uốn 108 Khái niệm đường đàn hồi 108 Phương trình vi phân đường đàn hồi 109 Thiết lập phương trình đàn hồi bằngt tích phân bất định 110 Xác định độ võng góc xoay phương pháp tải trọng giả tạo 110 Phương pháp thông số ban đầu 116 Chương 6: XOẮN NHỮNG THANH THẲNG CĨ MẶT CẮT NGANG TRỊN Khái niệm chung 122 Mô men xoắn biểu đồ mô men xoắn 122 Liên hệ mô men xoắn ngoại lực với cơng suất số vòng quay trục 123 Ứng suất mặt cắt ngang tròn chịu xoắn 125 Biểu đồ ứng suất tiếp mặt cắt ngang 127 Biến dạng tròn chịu xoắn 128 Tính tròn chịu xoắn 130 Xoắn túy có mặt cắt ngang khơng tròn 131 Ngun tắc chung để giải tốn siêu tĩnh 132 Tính lò xo xoắn ốc hình trụ có bước ngắn 132 Sự phá hủy tròn chịu xoắn 136 Chương 7: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 138 Thanh chịu uốn xiên 138 Ứng suất pháp mặt cắt ngang 138 Điều kiện bền dầm chịu uốn xiên 142 Độ võng dầm chịu uốn xiên 145 Thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) tâm 147 Ứng suất pháp mặt cắt ngang 148 Thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm 149 Khái niệm lõi mặt cắt ngang 151 Thanh chịu uốn đồng thời với xoắn 155 Thanh có mặt cắt ngang tròn 155 Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật 155 Thanh chịu lực tổng qt 160 Thanh có mặt cắt ngang tròn 160 Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật 161 Chương : KHÁI NIỆM CHUNG VỀ TỪ BIẾN 164 Mở đầu 164 Những đường cong từ biến 165 Phân tích trình từ biến vật liệu 166 Phương pháp mơ hình hố từ biến 171 8.5 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 Những mơ hình Chương 9: NHỮNG LÍ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TỪ BIẾN Khái niệm chung Lí thuyết hố già Lí thuyết chảy dẻo Lí thuyết củng cố Lí thuyết di truyền Sự dão ứng suất bu lông,(kéo- nén tâm) Xoắn tròn Bài tốn uốn Từ biến cánh tuốc bin Phụ lục Tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Bùi Trọng Lực, Nguyên Y Tô Sức bền Vật liệu (T.1, 2) Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1964 2) Nguyễn Y Tô (Chủ biên) Sức bền vật liệu Nhà xuất Đại học TNCN, Hà Nội 1973 3) Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng Sức bền Vật liệu (T.1, 2, 3) Nhà xuất Đại học Giáo dục chuyên nghiệp, Hà Nội 1989 4) Nguyễn Y Tô Sức bền Vật liệu Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 1966 5) Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng Sức bền Vật liệu (T.1) 172 176 176 176 179 180 181 182 183 184 187 189 205 Nhà xuất Giáo dục 1997 6) Lê Ngọc Hồng Sức bền Vật liệu Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật ,Hà Nội 2000 7) Phan Kỳ Phùng, Đặng Việt Cương Lý thuyết dẻo Từ biến Nhà xuất Giáo dục, 1997 10 Chương mở đầu NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 0.1.KHÁI QUÁT 0.1.1 Nhiệm vụ mơn học Mơn học sức bền vật liệu có nhiệm vụ cung cấp kiến thức phương pháp tính tốn độ bền (nghĩa kết cấu, chi tiết máy không bị phá hủy tác dụng tải trọng) Xác định độ cứng vững (nghĩa thay đổi kích thước hình học kết cấu, chi tiết không vượt giới hạn cho phép) Tính tốn độ ổn định (nghĩa tính tốn cho kết cấu, chi tiết có khả bảo toàn trạng thái cân ban đầu), điều rõ gặp tóan ổn định Môn học đề cập đến số kiến thức để tính tốn cho hệ thanh, cho tấm, vỏ, thành mỏng Môn học đề cập đến tốn ứng suất tiếp xúc, ống v.v Điều có nghĩa giáo trình bao gồm kiến thức mơn học có liên quan "sức bền vật liệu", "cơ học kết cấu" "lý thuyết đàn hồi" Ngày nay, mà khoa học phát triển mơn học đan xen nhau, khơng ranh giới rõ rệt Các mơn học học vậy, nên vấn đề trình bày chúng tơi theo xu hướng đó, nhằm cung cấp kiến thức học có liên quan đến tính độ bền, độ cứng vững độ ổn định nói trên, lại phải tiết kiệm nhất, có lợi Nói cách khác phải giải vấn đề tối ưu sản xuất phải chọn kết cấu, chọn phương pháp tính, phải chọn vật liệu cho có lợi Trong chất tốn này, rõ ràng có mâu thuẫn ví chi tiết có kích thước lớn bền, cứng vững ổn định lại không kinh tế không thỏa mãn yêu cầu khác Chính mâu thuẫn chắn yếu tố thúc đẩy phát triển kỹ thuật tính tốn, chế tạo vật liệu Môn sức bền vật liệu phải phát triển để đưa mơ hình tính tốn, phương pháp tính tốn hợp lý, để thỏa mãn điều kiện 0.1.2 Đối tượng nghiên cứu môn học Môn sức bền vật liệu môn học nằm ngành Cơ học vật rắn biến dạng Khác với Cơ lý thuyết, nhằm khảo sát cân chuyển động vật rắn tuyệt đối, môn Sức bền vật liệu khảo sát vật thể thực, tức vật rắn có biến dạng + Hình dạng vật thể nghiên cứu Sức bên vật liệu: Vật thể thực có kích thước theo ba phương phân làm ba loại: - Khối: Kích thước theo ba phương khơng nhiều (hình 0.1a) - Tấm, vỏ: Kích thước theo hai phương lớn kich thước theo phương lại nhiều (hình 0.1b, 0.1c) - Thanh: Kích thước theo phương lớn kích thước theo hai phương nhiều Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu hệ + Định nghĩa thanh: Một diện tích F hữu hạn di động cho trọng tâm O trượt đường cong (C) thẳng góc (C), F qt khơng gian hình khối gọi có diện tích mặt cắt ngang F Trong đó: (C)- Trục thanh; F- Diện tích mặt cắt ngang + Các loại thanh: Thanh có trục (C) thẳng ta gọi thẳng, trục (C) cong ta gọi cong Mặt cắt không đổi suốt chiều dài thanh, mặt cắt thay đổi + Khung: Hệ gồm nhiều ghép lại, có hai loại: khung phẳng khung b) a) c) d′ ) d) e′) e) f) h) i) VA g) R k) VA j) VA MA HA m) VA HA n) o) Hình 0.1: i t ng nghiên c u c a S c b n v t li u a-Kh i; b, c-T m v ;d- d ′ ,e- e′ -Thanh cách bi u di n tính tóan; f,h,i,g- Khung; j,k-G i di ng;m,n-Kh p c nh;o-Ngàm khơng gian Trong tính tốn thường biểu diễn trục (hình 0.1d', hình 0.1e') Từ nhiệm vụ đối tượng nghiên cứu nói ta thấy sức bền vật liệu có tốn sau: a) Kiểm tra điều kiện độ bền, độ cứng vững, độ ổn định b) Xác định kích thước mặt cắt ngang, hình dáng hợp lý cơng trình hay chi tiết c) Xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên vật thể 10 P P P P Hình 8.15: Một loại mơ hình tổ hợp Hình 8.16: Một loại mơ hình tổ hợp CÂU HỎI TỰ HỌC 8.1 Thế tượng từ biến, tượng bò tượng dão ? 8.2 Nói quan hệ biến dạng, ứng suất với thời gian tượng từ biến 8.3 Cách xác định số thực nghiệm ? 8.4 Nói phần tử Hooke, Newton Xanh -vơ -năng 8.5 Cách mơ hình hố phương trình rút từ chúng - - Chương NHỮNG LÍ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TỪ BIẾN 9.1 KHÁI NIỆM CHUNG 174 Để thiết lập mối quan hệ biến dạng, ứng suất, tốc độ biến dạng thay đổi chúng theo thời gian trường hợp kéo (nén) đơn người ta đưa lí thuyết nhằm chọn thơng số đưa mối quan hệ tốn học chúng Những đề nghị gọi lí thuyết từ biến Rõ ràng có nhiều phương án để chọn số thơng số thơng số đưa nhiều biểu thức giải tích khác để thể mối liên hệ thông số chọn, tồn nhiều lí thuyết từ biến Cũng nói người ta vào số liệu thí nghiệm từ biến trạng thái ứng suất đơn (kéo nén tâm) để đưa mối quan hệ ứng suất, biến dạng, tốc độ biến dạng thời gian Mối liên hệ thường gọi phương trình trạng thái vật thể từ biến Đây tốn khó tượng từ biến phức tạp chưa nghiên cứu đầy đủ Khi thiết lập quan hệ ứng suất, biến dạng, tốc độ biến dạng thời gian vấn đề trước tiên cần giải thông số chọn chúng có liên hệ biểu thức chúng Trong thời đại nay, tồn nhiều lí thuyết từ biến, tiêu chuẩn để đánh giá đắn lí thuyết là phụ hợp với số liệu thí nghiệm Sự kiểm tra thực nghiệm tiến hành nhiều phương pháp khác Hoặc thí nghiệm từ biến hay dão ứng suất thay đổi biến dạng thay đổi với số liệu lí thuyết sở lí thuyết từ biến đưa Thế người ta thấy phương pháp đơn giản xác hết kiểm tra độ bền cách tiến hành thí nghiệm dão ứng suất chuẩn để đánh giá lí thuyết từ biến Cần nói rằng, chưa có lí thuyết hồn tồn phù hợp với số liệu thực nghiệm Dưới đưa số lí thuyết từ biến thường dùng 9.2 LÍ THUYẾT HỐ GIÀ Theo lí thuyết người ta đề nghị đưa mối liên hệ biến dạng, ứng suất thời gian Lí thuyết cho nhiệt độ định đại lượng nói q trình từ biến tồn mối quan hệ hàm số định Theo lí thuyết biến dạng từ biến biểu diễn biểu thức toán học: ε P = f (σ , t ) (9-1) Khi kể đến thành phần biến dạng đàn hồi chung ta có: σ + f (σ , t ) (9-2) E Hiện có nhiều biểu thức giải tích biểu diễn mối liên hệ biến dạng dẻo, ứng suất thời gian Một biểu thức là: ε P = Q(σ ) ⋅ Ω(t ) (9-3) Trong đó: Q(σ ) - Hàm ứng suất; Ω(t ) - Hàm thời gian Việc chọn hàm số Q(σ ) dạng hàm số mũ sử dụng rộng rãi cả: ε P = σ n ⋅ Ω (t ) (9-4) ε= Vậy: ε= σ + σ n ⋅ Ω (t ) E Trong thực tế có nhiều cách biểu diễn hàm số ứng suất Quan hệ (9-1) viết dạng: ε P = Q1 (σ )Ω(t ) + Q(σ )t 175 (9-5) (9-6) Trong Q1 (σ ) hàm số ứng suất, có dạng giống Q(t) hàm số thời gian Một phương án lí thuyết hố già H.M Beleev đề Mối liên hệ biến dạng dẻo từ biến ông đưa là: ε P = ψσ (9-7) t Đối với ψ hàm số biểu diễn biểu thức: ψ = a ∫ σ n −1dt (9-8) Trong a, n số vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ vậy: t ε P = aσ ∫ σ n −1dt (9-9) (9-10) Với đề nghị σ =const, có: ε P = aσ n t Như trường hợp sau tác dụng đơn ε giản biến dạng quan hệ bậc yếu tố thời gian tốc độ biến dạng số Trên hình 9.1 biểu diễn quan hệ biến dạng thời gian trường hợp từ biến Đường đường cong thực tế từ biến đường biểu diễn lí thuyết t theo (9-1) Hình 9.1: Quan hệ Chúng ta thấy lí thuyết thực nghiệm biến dạng với thời sai khác nhiều gian từ biến Để khắc phục phần sai lệch nói trên, H H.Malinhine đề nghị thay biểu thức (9-8) t hàm số ψ có dạng: ψ = σ ∫ B(t )σ n −1 ⋅ dt (9-11) Trong B(t) hàm số giảm dần thời gian Chúng ta đưa biểu thức (9-11) vào biểu thức (9-7) nhận mối liên hệ biến dạng dẻo phụ thuộc vào ứng suất thời gian: t ε P = σ ∫ B(t )σ n −1 ⋅ dt (9-12) Nếu để ý đến đại lượng biến dạng đàn hồi ta phải cộng thêm giá trị biến dạng theo định luật Hooke Phương trình (9-12) phương trình tổng quát phương trình (9-9) Đối với trường hợp sau tác dụng đơn giản (σ =const) đường cong ứng với giá trị ứng suất khác xác định phương trình sau: ε P = σ n Ω (t ) (9-13) t Trong : Ω(t ) = ∫ B(t ) ⋅ dt (9-14) Những đường cong theo (9-13) đồng dạng theo lập luận H.H Malinhine giải loạt toán từ biến dạng mặt cắt ngang có chu vi khép kín Y.N.Rabotnov đưa phương án lí thuyết hoá già Mối liên hệ ứng suất, biến dạng thời gian biểu thị dạng: σ = f (ε ⋅ t ) (9-15) 176 Cách giải Y.N.Rabotnov trình bày tóm tắt sau: Dựa vào đường cong từ biến ứng suất không đổi (xem hình 9.2a) xây dựng đường cong t0, t1, tn hệ toạ độ σ, ε Làm nhận loạt đường cong σ = σ (ε ) biểu diễn hình 9.2b ε σ t0=0 t1 t2 t3 t t1 t2 t t3 Hình 9.2a: Đường cong quan hệ ε t Hình 9.2b: Đường cong quan hệ σ t Những đường cong sử dụng việc giải toán từ biến toán dẻo Y.N.Rabotnov cho hay đường cong hệ trục σ, ε đường cong đồng dạng Vì cần xây dựng đường nhân tung độ với giá trị hàm số thời gian, có đường cong tương ứng Điều làm cho khối lượng việc xây dựng đường cong giảm nhiều Như liên hệ (9-15) biểu diễn dạng tích hai hàm số biến dạng thời gian σ = ϕ (ε ) × θ (t ) Trong đó: ϕ (ε ) -là hàm số biến dạng; θ (t ) -là hàm số thời gian Khi t=0 đường cong σ, ε biểu đồ kéo nén đơn giản Như nói trên, việc đắn lí thuyết từ biến xác định số liệu thí nghiệm Một phương pháp đơn giản để kiểm tra so sánh số liệu thí nghiệm lí thuyết trường hợp dão ứng suất Theo lí thuyết hố già, vào (9-4) đường cong dão ứng suất xác định từ phương trình có dạng: σ σ (0) Ω(t )σ n + = (9-16) E E σ (0) Trong đó: = ε (0) độ dão ban đầu xem cố định trình dão ứng E suất Từ biểu thức (9-16), có: E × σ n −1 (0)Ω(t ) = 1− σ σ (0) n ⎡ σ ⎤ ⎢σ (0) ⎥ ⎣ ⎦ Từ thấy ứng suất σ ngày tiến tới Bởi Ω phương trình đồng biến thời gian Tương tự nhận quy luật dão ứng suất cách sử dụng phương trình (9-12) 177 Đường cong dão ứng suất có dễ dàng có đường cong từ biến ε, t ứng với giá trị ứng suất khác nhau, lúc ta vẽ đường song song với trục hoành cách đoạn ε(0) Những giao điểm đường thẳng với đường cong cho ta toạ độ đường cong hệ trục ε, t 9.3 LÍ THUYẾT CHẢY DẺO Những người xây dựng lí thuyết đưa mối liên hệ tốc độ biến dạng dẻo, ứng suất thời gian trình từ biến nhiệt độ xác định: ε&P = f (σ , t ) (9-17) Một biểu thức giải tích sử dụng rộng rãi theo lí thuyết dạng hàm số ứng suất: ε&P = B(t )σ n (9-18) Trong n hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ loại vật liệu và: d B(t ) = Ω(t ) dt Sau giai đoạn đầu từ biến xem tốc độ từ biến có dạng: ε&P = aσ n Biểu thức (9-18) dùng rộng rãi cơng trình LM.Katrnov Lí thuyết chảy dẻo theo biểu thức gọi lí thuyết chảy dẻo L.M.Katranov Nếu ta có tính đến biến dạng đàn hồi tốc độ biến dạng toàn phần là: dσ (9-19) ε&P = + B(t )σ n E dt Quy luật dão ứng suất theo lí thuyết là: dε =0 ε& = dt Bởi biến dạng tồn phần ε = const (biến dạng không đổi, ứng suất giảm dần), dσ nên sở (9-19) có: + B(t )σ n = E dt Sau sử dụng lí thuyết L.M.Katranov phát triển phương pháp biến phân phương pháp gần để giải loạt toán từ biến ổn định khơng ổn định 9.4 LÍ THUYẾT CỦNG CỐ Lí thuyết củng cố lập quan hệ hàm số ứng suất, biến dạng dẻo tốc độ biến dạng dẻo Một biểu thức giải tích lí thuyết củng cố : σV ε& P = α β (9-20) εP Trong đó: α, β, v số phụ thuộc vào nhiệt độ vật liệu Biểu thức (9-20) Devier đưa Cũng có mối quan hệ đưa ε& ⋅ ε c σ = b ln P P (9-21) dạng: a 178 Trong đó: a, b, c hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ ứng suất với vật liệu; σ ε&P ⋅ ε Pc = a Tích phân (9-21) σ = const, có biểu thức đường cong từ biến: σ ε dε P = ρ b dt c P (9-22) Sau tích phân (9-22) với điều kiện σ=0 t=0, có được: mσ b m ⎛a⎞ ⎟ ρ ⎝m⎠ εP = ⎜ ⋅ tm (9-23) 1+ c Phương trình (9-23) biểu diễn đường cong sau biến dạng đơn giản đường cong đồng dạng hình học Để có quy luật dão ứng suất thay εP từ công thức (9-23): σ (t ) σ = + εP E E Và dựa vào cơng thức (9-22) Sau tiến hành tích phân với điều kiện ban đầu σ = σ (0) t=0 Những phương trình lí thuyết củng cố phức tạp việc sử dụng vào tốn từ biến gặp phải khó khăn lớn mặt tốn học Trong đó: m = 9.5 LÍ THUYẾT DI TRUYỀN Y.N.Rabotrov đưa biểu thức liên hệ ứng suất, biến dạng thời gian có t dạng: ϕ (ε ) = σ (t ) + ∫ k (t − τ )σ (τ )dε (9-24) Trong đó: ϕ(ε) hàm số biến dạng đặc trưng biểu đồ kéo tâm vật liệu; σ(t) hàm số ứng suất phụ thuộc vào thời gian; K(t-τ) nhân (hoặc lõi) phương trình tích phân; τ biến số thời gian thay đổi từ đến t Đối với σ(t) phương trình (9-24) phương trinhg tích phân VonTer loại hai Biểu thức liên hệ ứng suất, biến dạng thời gian công thức (9-23) cho phép mơ tả hồn tồn q trình từ biến Nếu thời gian t nhỏ biến dạng sau tác dụng σ = ϕ (ε ) nhỏ lúc đó: Phương trình (9-24) diễn tả q trình sau tác dụng, cho ta dạng đường cong tương tự, dạng đương cong ϕ (ε ) = σ Viết lại phương trình (9-24) với σ(t): t σ (t ) = ϕ (ε ) − ∫ F(t − τ )ϕ (τ )dτ (9-25) Trong F(t-τ) giải thức k(t-τ) Nhân k(t-τ) tìm theo phương trình thực nghiệm tượng sau tác dụng Đối với tượng sau tác dụng (σ=const), từ phương trình (9-24) có: ϕ(ε ) = [1 + G (t )]σ (9-26) 179 t Trong dùng kí hiệu: G (t ) = ∫ K (t − τ )dτ Bằng cách kiểm tra từ thực nghiệm, người ta thấy phương trình thời gian G(t) (9-27) biểu thức (9-26) có dạng phù hợp cả: G (t ) = at β Trong đó: a, β hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ Như thấy đạo hàm theo thời gian G(t) K(t): G (t ) = K (t ) Khi thừa nhận dạng phương trình G(t) theo (9-27) nhân (lõi) phương trình tích phân K(t-τ) có dạng sau: β −1 K (t − τ ) = aβ (t − τ ) (9-28) Trong trường hợp dão đơn giản ε=const=ε(0) Từ phương trình (9-25), có: σ (t ) = [1 − R (t )]ϕ [ε (0)] t Trong dùng kí hiệu : R (t ) = ∫ F(t − τ )dτ Nếu ứng suất kéo ban đầu σ (0 ) = ϕ [ε (0 )] phương trình đường cong dão ứng σ (t ) suất viết dạng sau: = t − R (t ) σ (0 ) Lí thuyết Y.N Rabotnov dùng rộng rãi Nó thể nhiều mặt tượng từ biến tương đối phù hợp với số liệu thí nghiệm Nhược điểm lí thuyết đòi hỏi kiến thức tốn học nhiều việc tính tốn phức tạp 9.6 SỰ DÃO ỨNG SUẤT TRONG CÁC BU LÔNG.(kéo- nén tâm) Như ta thường thấy cần phải siết bu lông mối nối nồi hơi khỏi thoát sau thời gian định, lực kéo đàn hồi lúc ban đầu không giảm xuống qua thời hạn cho trước Chúng ta sử dụng mặt bích tuyệt đối cứng (xem biến dạng nhỏ khơng đáng kể) lúc biến dạng bu lông ứng suất ban đầu xuất gây giá trị biến dạng không đổi Người ta cho biến dạng đàn hồi từ biến chuyển sang dẻo hậu ứng suất bu lơng giảm Thật chúng σ σ (0 ) ta có: εy + εP = + εP = = const E E Lấy vi phân phương trình theo thời gian, nhận được: dσ dε P ⋅ + =0 E dt dt Bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định biểu diễn tốc độ biến dạng từ biến giai đoạn hai theo biểu thức (9-1) ε P = aσ n , tìm thấy: dσ ⋅ + aσ n = E dt dσ = − Eadt Hoặc là: n σ Sau tích phân, được: 180 = Eat + C (9-29) (n − 1) ⋅ σ n −1 Hằng số tích phân C tìm từ điều kiện σ=σ(0) t=0 C= (n − 1) ⋅ σ [0]n −1 Thay giá trị C vào biểu thức (9-29) tìm giá trị σ phụ thuộc vào σ (0) thời gian t: (9-30) σ= n −1 ( n −1) + (n − 1) ⋅ Eaσ [0] t Khi biết đại lượng a, E vật liệu nhiệt độ định, sử dụng cơng thức (9-30) Giá trị ứng suất bu lông sau thời gian vào giảm ứng suất thời gian để tiến hành siết chặt thêm bu lông giá trị ứng suất bu lơng khơng giá trị ứng suất cần thiết phải có Bởi quan niệm mặt bích khơng biến đổi tính tốn bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định bu lơng nên lời giải có tính chất gần [ ] 9.7 XOẮN THANH TRÒN Trong phần nghiên cứu tượng từ biến ổn định tròn chịu xoắn mơ men M Bài tốn xét cơng trình N.M Beleeb, L.M.Katranov, N.N Malinhine Chúng ta cho giả thiết mặt cắt phẳng y tốn xoắn miền đàn hồi với tốn xoắn τr tròn điều kiện từ biến Trong trường hợp biến dạng góc γ (xem hình 6.8, x r chương 6) khoảng cách r kể từ tâm γ = r ⋅ θ R (xem hình 9.3), θ góc xoay tỉ đối dγ dθ Lúc tốc độ biến dạng góc là: γ& = =r dt dt Hình 9.3: Xác Bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định cho tốc độ biến dạng giai đoạn từ biến ổn định là: định γ n γ& = aτ r (9-31) Chú ý giá trị hệ số a, n khác với giá trị biểu thức ε P = aσ n (trong kéo nén tâm) dθ Từ biểu thức γ có được: aτ n = r dt Vậy : ⎡ dθ ⎤ n n γ =⎢ ⎥ ⋅r ⎣ a dt ⎦ 1 ⎡ dθ ⎤ n φ& = ⎢ ⋅ ⎥ Chúng ta kí hiệu: ⎣ a dt ⎦ Biểu thức để tính giá tri ứng suất tiếp τ tính: 181 (9-32) γ = φ& ⋅ r n Điều kiện cân nội lực ngoại lực với toán xoắn là: (9-33) R M = 2π ∫ r 2τdr (9-34) Chúng ta đưa giá trị τ theo biểu thức (9-33) vào (9-34), có: R M = 2πφ∫ r 2+ n (9-35) dr R Chúng ta kí hiệu: 2πφ∫ r 2+ n 2πn dr = ⋅R 3n + (3 n +1) n = Jn M (9-36) Jn Đưa đại lượng φ vào cơng thức (9-33), có: M τ = ⋅rn (9-37) Jn Như thấy từ công thức (9-37) phân bố ứng suất tiếp mặt cắt trục tròn điều kiện từ biến khơng tuyến tính tốn đàn hồi Hậu tượng từ biến làm cho phân bố ứng suất mặt cắt ngang đặn (hình 9.4) Dựa theo cơng thức (9-32) (9-36) xác r định tốc độ biến dạng góc xoắn tương đối trục là: Trên sơ (9-35), có: φ= ⎡ dθ ⎤ n M ⎢⎣ a ⋅ dt ⎥⎦ = J n τđàn hồi n ⎛M⎞ dθ θ& = = a ⎜⎜ ⎟⎟ dt ⎝ Jn ⎠ Sau tích phân theo t nhận biểu thức tính tốn góc xoắn tương đối: n τtừ biến τ Hình 9.4: Phân bố ứng suất theo bán kính ⎛M⎞ θ = a ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ t + C ⎝ Jn ⎠ M , t=0 Hằng số C đươc tìm từ điều kiện: θ=θđàn hồi= GJ P n ⎛M⎞ M + a ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ t θ= GJ P ⎝ Jn ⎠ Như góc xoắn tương đối trục tăng dần theo thời gian Để xét tượng từ biến khơng ổn định tròn xoắn mơ men xoắn không đổi cần phải thay biểu thức (9-31) tốc độ biến dạng biểu thức tương dτ đương (9-9), lúc có: ⋅ + B(t )τ n = rθ Q dt 182 2h Trong θ hàm số thời gian chưa biết Bổ sung vào phương trình điều kiện (9-34), nhận phương trình cần thiết để xác định τ θ từ biến không ổn định Bài tốn giải số y 9.8 BÀI TOÁN UỐN Chúng ta xét tượng từ biến ổn định dầm chịu uốn mà mặt cắt ngang chúng có hai b(y trục đối xứng Mô men uốn tác dụng mặt phẳng yz ) x z (xem hình 9.5) Trong dầm mà chiều dài lớn chiều dài khác mặt cắt ngang nhiều ứng suất tiếp xuất dầm nhỏ bỏ qua so với giá trị ứng suất pháp mơ men uốn gây nên Điều Hình 9.5: Mặt cắt giống toán uốn lĩnh vực ngang uốn đàn hồi Khi tính tốn giai đoạn từ biến ổn định, người ta thừa nhận qua giai đoạn sau chịu tải, tốc độ biến dạng ứng suất không thay đổi Chúng ta kí hiệu chiều rộng mặt cắt ngang b(y), chiều cao tối đa 2h Chúng ta xét trường hợp uốn tuý Giả thiết mặt cắt phẳng sử dụng toán từ biến (Điều kiểm nghiệm số liệu thực nghiệm) Trên sở giả thiết này, biến dạng tỉ đối thớ dọc cách lớp trung hồ y ε= đoạn y tính bởi: ρ ρ bán kính cong trục dầm Khi quy luật từ biến thời kì ổn định, sử dụng dạng sau đây: ε P = aσ n Bỏ qua phần biến dạng đàn hồi, có: d ⎛1⎞ aσ n = y ⎜⎜ ⎟⎟ dt ⎝ ρ ⎠ Từ đây: ⎡ d ⎛ ⎞⎤ n σ = ⎢ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎣ a dt ⎝ ρ ⎠⎦ ⎡ d ⎛ ⎞⎤ n φ = ⎢ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎥ Chúng ta kí hiệu: ⎣ a dt ⎝ ρ ⎠⎦ Biểu thức ứng suất σ viết dạng: (9-38) n σ = φy Từ điều kiện cân mô men nội lực ngoại lực có: h h 0 M = ∫ σb( y)ydy = 2φ ∫ b( y) y h Chúng ta kí hiệu: J n = ∫ b( y)y 183 1+ n dy 1+ n dy (9-39) (9-40) M (9-41) Jn Biểu thức (9-39) viết dạng nhờ (9-41): M n σ = ⋅y (9-42) Jn Từ (9-42) thấy phân bố ứng suất pháp theo chiều cao mặt cắt theo quy luật phi tuyến (xem hình 9.6) Đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật có bề rộng b chiều cao 2h: h 1+ 2nb 2n + J n = 2b ∫ y n dy = h× 2n + n y Trên sở (9-42), có: φ= Cuối có: 2n + y n (9-43) σ= ⋅ n +1 2nb h n Ứng suất pháp cực đại từ biến trường hợp trục uốn dầm có mặt cắt hình chữ nhật là: σdh σth 2n + M n + 6M σ ⋅ = ⋅ (9-44) 2n bh 3n b(2h ) Hình 9.6: Sự phân bố Bởi n>1 nên ứng suất cực đại nhỏ ứng suất pháp theo 6M/b(2h)2 giá trị ứng suất trường hợp đàn hồi chiều cao mặt cắt với điều kiện tương tự theo quy luật phi tuyến Bây tiến hành xác định độ võng d2y dầm Đối với độ võng dầm sử dụng biểu thức gần đúng: = ρ dz Lấy vi phân theo thời gian, viết: d ⎛ ⎞ d ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟= (9-45) ⎜ ⎟ dt ⎜⎝ ρ ⎟⎠ dz ⎝ dt ⎠ Từ phương trinh (9-38) (9-41), có: σ= ⎛M⎞ d ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = a ⎜⎜ ⎟⎟ dt ⎝ ρ ⎠ ⎝ Jn ⎠ Đưa biểu thức vào (9-45), có: n n ⎛M⎞ d ⎛ dy ⎞ ⋅ (9-46) ⎟ = a ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ dz ⎝ dt ⎠ ⎝ Jn ⎠ Phương trình (9-46) cho phép xác định tốc độ phát triển độ võng từ tính độ võng từ biến ổn định giá trị sau khoảng thời gian t Để có độ võng tồn cần phải bổ sung vào đại lượng võng đàn hồi Khi uốn t M=const tích phân (9-46) theo z có: n ⎛ M ⎞ z2 dy = d⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ + C1 z + C dt ⎝ Jn ⎠ 184 (9-47) Trong C1và C2 số tích phân Những điều kiện biên chúng là: dy z=0 =0 dt d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dy ⎞ l z = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟=0 dt ⎝ dt ⎠ dz ⎝ dt ⎠ Trong đó: l-là chiều dài dầm C1 C2 theo điều kiện có giá trị sau: n al ⎛ M ⎞ C1 = − ⎜⎜ ⎟⎟ ; C2=0 ⎝ Jn ⎠ Tích phân biểu thức (9-47) thay số vào, xác định độ võng theo thời gian t Độ võng lớn khi: n l2 ⎛ M ⎞ (9-48) y max = − a ⎜⎜ ⎟⎟ t + C ⎝ Jn ⎠ Hằng số C3 thể giá trị độ võng đàn hồi t=0 Do độ võng lớn sau n Ml l ⎛ M ⎞ y max = − − a⎜ ⎟ t (9-49) thời gian t là: 8EJ ⎜⎝ J n ⎟⎠ Đối với dầm chịu uốn lực thẳng góc với trục mơ men M hàm số l Đưa giá trị mô men vào phương trình (9-46) tích phân xác định số tích phân từ điều kiện biên lúc nhận biểu thức tính độ võng dầm trường hợp khác Ví dầm đặt hai gối tựa tự P chịu tải trọng lực tập trung P đặt dầm ( M = z ), độ võng cực đại sau thời n+2 Pl al Pn y max = − − ⋅ t gian t là: 48EJ (n + 2)2 2( n +1) J nn Tương tự nhận giá trị độ võng dầm có liên kết khác chịu tải khác 9.9 TỪ BIẾN CỦA CÁNH TUỐC BIN Chúng ta xét tượng từ biến cánh tuốc bin có mặt cắt thay đổi chịu lực li tâm (xem hình 9.7) Bài toán V.I Pozenly nghiên cứu Từ biến cánh tuốc bin có kể đến uốn N.N Malinhine nghiên cứu P Để đặt trưng cho quy luật từ biến, người ta sử dụng biểu thức (9-18): ε& = B(t )σ n dz Kí hiệu V dịch chuyển phân tử b cánh tuốc bin theo phương z, lúc viết: z dV n (9-50) = ε&P = B(t )σ dz a Và từ ta có : Tâm z quay (9-51) V = B(t )∫ σ n (z )dξ Hình 9.7:Đầu cánh tuốc bin Ở ξ biến số tích phân 185 Ta tích phân (9-51) theo thời gian, có biểu thức độ dịch chuyển là: z V = Ω(t )∫ σ n (z )dξ (9-52) Phương trình cân phân tử cánh dz có dạng: γ d(Pσ ) = −F ω (a + z )dz (9-53) g Trong đó: F=F(z) diện tích mặt cắt thay đổi; a-là khoảng cách mép cánh tuốc bin đến trục quay (xem hình 9.7); z- khoảng cách mặt tính đến mép trong; ω-là tốc độ góc; γ/g- khối lượng vật thể Trên sở công thức (9-53) tính ứng suất gần điểm đặt lực ly tâm P: l P γ ω2 (9-54) σ= + ⋅ F(ξ )(a + ξ )dξ F g F ∫o Thay biểu thức (9-54) vào (9-52) có biểu thức chuyển vị Chuyển n vị cánh tuốc bin là: γ ⎡ ⎤ ω J(ξ ) ⎥ l ⎢P + g ⎥ dξ V(l ) = Ω(t )∫ ⎢ F ⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ (9-55) l Trong kí hiệu: J (ξ ) = ∫ F(ξ )(a + ξ )dξ z Đối với trường hợp cánh tuốc bin có mặt cắt đối xứng cơng thức (9-55) đơn giản CÂU HỎI TỰ HỌC 9.1 Giới thiệu tóm tắt thuyết từ biến 9.2 Sự khác thuyết từ biến biết ? 9.3 Bài toán kéo (nén) tâm 9.4 Bài toán xoắn 9.5 Bài toán uốn 9.6 Bài toán cánh tuốc bin 9.7 Sự khác phân bố ứng suất đàn hồi từ biến Nhận xét ? -E - 186 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Y Tô Sức bền vật liệu (tập 1, 2) Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà nội,1964 Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vuợng Sức bền vật liệu (tập 1, 2, 3) Nhà xuất Giáo dục, 1997 Lê Ngọc Hồng Sức bền vật liệu Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà nội, 2000 Phan kì Phùng, Đặng Việt Cương Lí thuyết dẻo từ biến Nhà xuất Giáo dục, 1997 5.L.M KacHarop (Người dịch: Lê Minh Khanh Ngơ Thành Phong) Cơ sở lí thuyết dẻo Nhà xuất Đại học Trung học chun nghiệpHà nội, 1987 Vũ Đình Cự Vật lí chất rắn Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà nội, 1997 Nguyễn Văn Vượng Lí thuyết đàn hồi ứng dụng Nhà xuất Giáo dục,1999 Nguyễn Xuân Lựu Lí thuyết đàn hồi Nhà xuất giao thông vận tải, 2002 Lê Công Trung Đàn hồi ứng dụng Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà nội, 1999 10.X.P.Timosenko, X.Voinopski-Krige Các Người dịch: Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Nghuyễn Khải, Đoàn Hữu Quang Tấm vỏ Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà nội, 1971 11.N.I BeĐukhop (Người dịch: Phan Ngọc Châu) Cơ sở lí thuyết đàn hồi Lí thuyết từ biến Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà nội, 1978 12 Đào Huy Bích Lí thuyết trình đàn dẻo Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nộ, 1999 - - 272 273 ... Hà Nội 19 89 4) Nguyễn Y Tô Sức bền Vật liệu Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 19 66 5) Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng Sức bền Vật liệu (T .1) 17 2 17 6 17 6 17 6 17 9 18 0 18 1 18 2 18 3 18 4 18 7 18 9 205... hình 1. 20) Biểu đồ hình 1. 20 1, 5 1, 0 0,5 A C B D Q (ql) 55 10 9 16 3 217 2 71 325 379 433 0, 51, 01, 5 l l l 1, 5 1, 0 0,5 0,5 -1 , 0 M 87 44 -1 , 5 17 3 259 345 4 31 130 216 302 388 Hình 1. 20: Biểu đồ biểu thị... +VB - p - q 10 = (2) ΣmA = => 1 10 ⋅5-M-VB 18 + P⋅24 = (3) => VB = 27 kN => VA = 3kN Thế VB vào (1) Tính nội lực mặt cắt 1- 1 (xem hình 1. 15) Dùng mặt cắt 1- 1 xét cân phần trái: Σy = => -VA +q 10 +Qy