Giáo trình sức bền vật liệu tập 2 phan 2 lê quang minh, nguyễn văn lượng

Tiếp nối phần 1, phần 2 Giáo trình Sức bền vật liệu (Tập 2) gồm nội dung chương 19 đến chương 25. Nội dung phần này trình bày các nội dung: Tải trọng động, tính độ bền khi ứng suất biến đổi có chu kì, ôn định, thanh thành mỏng, ống dày, vỏ, ứng suất tiếp xúc

Trang 1

Chương 19

TAI TRONG DONG

§19-1 KHAI NIEM

Trong các chương trước đây chúng ta chỉ mới xét đến tải trọng tĩnh, nghĩa là tải trọng tác động lên hệ được tăng lên một cách từ từ để không xuất hiện lực quán tính Trong thực tế nhiều khi tải trọng tăng lên đột ngột, như khi hệ bị va chạm, hay biến đổi theo thời gian

như trong hệ đao động hay trong các chuyển động có gia tốc Những trường hợp đó ta gọi là

tải trọng động

Nhiều công trình hay chỉ tiết được tính với một hệ số an toàn rất cao đối với tải trọng tĩnh nhưng vẫn bị phá hỏng vì tải trọng động Ngược lại có những kết cấu hay chỉ tiết, thoạt nhìn tưởng răng yếu ớt nhưng trong thực tế lại có khả năng làm việc lâu đài đưới tác dụng của tải trọng động Vì vậy đòi hỏi người thiết kế phải chú ý nghiên cứu về lĩnh vực này

Trước hết ta hãy xét đến trường hợp dao động của hệ đàn hồi

§19-2 BẬC TỰ DO

Ta có định nghĩa về bậc tự do của hệ đàn hồi khi dao động như sau :

Bác tự do của một hệ dàn hải khi dao động là thông xố độc lập để xác định vị trí của hệ

Ví dụ các hệ trên hình I9—la, b nếu bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm hay của lò

xo, xem chúng là những liên kết đàn hỏi không có khối lượng và xem bài toán là phẳng thì

Trang 2

phải để ý đến mômen quán tính của M đối với trọng tâm của M thì đó là 3 bậc tự do vì ngoài hai tọa độ thẳng ta còn phải để ý đến sự quay của M khi hệ dao động trong mặt

phẳng của khung

Số bậc tự do là tùy thuộc vào sơ đồ lựa chọn dé tinh : vi du khi không thể bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm thì hệ sẽ trở thành vô số bậc tự do Cách giải là luôn luôn tìm cách đưa hệ về một hệ có bậc tự do ít hơn để tính dễ hơn Dĩ nhiên với cách đó ta chỉ đạt được kết quả gần đúng

§19-3 PHUONG TRINH VI PHAN DAO ĐỘNG

Giả sử xét hệ đàn hồi có một bậc tự do, Ví dụ hệ trên hình {9-2 Ta xem dam như một

liên kết đàn hồi không có khối lượng

Độ võng y của M là do các lực sau đây gây nên :

— Ngoại lực P(t) gay nên dao động Ta gọi lực này là lực kích thích

— Lực quán tính Fi do gia tốc ÿ của M gây nên Lực quán tính đó luôn luôn ngược chiều với gia tốc Trị số của F; la: F;=-Mỹ — Luc can Fr do môi trường gây nên Một cách gần đúng ta có thể xem lực cân là tí lệ với vận tốc ÿ của M Hình 19—2 Hình 19-3 Trị số của F, là: F, = -B y

trong đó § là hệ số tỉ lệ Nếu gọi ồ;, là chuyển vị theo phương chuyển động của M do lực đơn vỊ gây nên (h.I9—3) thì y được tính với biểu thức : y =5,,(P(t)- My -By] Hay có thể viết lại dưới dạng : P(t) vẻ 2, _ FW _ y+2ay+o’*y = M (19-1) B

trong đó 2œ = M là hệ số tượng trưng cho lực cản của môi trường, o = 5M" có một ý nghĩa vật lý rõ rệt mà ta sẽ nói trong mục tới

Trang 3

Ở đây ta chỉ xét trường hợp hàm P() là một hàm số điều hòa dưới dạng :

P(Ð) = P,sinÔt (19-2)

P„ được gọi là biên độ của lực kích thích ; |

Q 1a số lần dao động của lực kích thích trong 2z giây, nên gọi là tần số võng của lực

kích thích

Để giải hệ (19—1) phải tìm nghiệm tổng quất của phương trình vi phân thuần nhất khỏòng có vế phải vì vậy ta xét các trường hợp riêng sau đây :

§19-4 DAO DONG TU DO

Ta giả thiết sau khi P(t) kich thich cho hé dao dong xong thì bị triệt tiéu Nghia 1a P(t) chi tồn tại một khoảnh khắc rất bé ban đầu, sau đó ta có thể xem P(t) = 0 Sự đao động của hệ là do lực đàn hồi sinh ra và được gọi là dao động tự do

4) Dao động tự do không có lực cản Xem lực cản của môi trường là bằng không, nghĩa là œ=0 Phương trình vi phân dao động có dạng :

ÿ +œ2y=0 (19-3)

Nghiệm của phương trình là :

y(t) = Asin(œt + @} (19-4)

A là biên độ của dao động, @ 1a pha ban đầu Các trị số đó được xác định từ điều kiện ban dau cua đao động, T phương trình (I19—4) tạ thấy rõ Ý nghĩa của @, đó la tan số vòng của dạo động, (0 được gọi là tấn số vòng riêng của hệ Trị số của (@ được vác định tử biên thức : 2 i Qo = — Mỗi -_ L1 fe _ |e - “ “Mã, VQã, VAt 42-3)

Trang 4

Nghiệm tổng quát của phương trình này là : y() = Ae “'sin(@it+ @¡)

œ¡ và @¡ là tần số vòng riêng của hệ khi kể đến lực cản và góc pha ban đầu của dao động Tương quan giữa œ và œ¡ như sau :

©, = vo? — œ2 (19-8) ó

“ aÍ

Ta thấy œ¡ bé hon @ Bién độ của dao NZ

động là một hàm số phụ thuộc theo thời gian ` TRO Ae ”! nghĩa là biên độ càng ngày càng nhỏ [\ /

đi Sau mỗi chu kì, biên độ đó sẽ nhỏ đi với t ~ ` nm [X 7 a - wa ZZ một hệ số là : _„ —at ~“ e QT x7

aay =f e a(+T) = const Ẫ „ T—

Ta nhận thấy dao động tắt rất nhanh Đồ thị của dao động được biểu diễn như trên

hình 19-4 Hình 19-4

§19—5 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC VỚI P(t) = PpSINAt

Phương trình vị phân dao động có dạng :

ÿ+ 2œÿ + wy = Tơ snfƠr (19-9)

Trang 5

va thay 511 = > thì biểu thức y, có dạng : w Pôii 2 [ _ s] + 4a7Q? @F a -al y, = Aysin(Qt — y) = sin(Qt — )

Nghiệm toàn phan sé la: y= Ae sin(@ t+ @) + y;

Nphiệm đó biểu diễn hai dao động Số hạng đầu biểu diễn dao động tự do tắt dần Số hạng thứ hai biểu diễn đao động cưỡng bức gây ra do lực kích thích Dao động tự do sẽ mất đi sau một thời gian nhất định, lúc đó sẽ dao động theo tần số É2 của lực kích thích Biên độ đao động là : Pd) l 2 I Q? 4u?Q? I r| +—2 6) 0

Tích số Piô¡¡ biểu điển chuyển vị do biên độ của lực kích thích đặt một cách tính gây nên tại mặt cắt mang khối lượng M theo phương dao động Kí hiệu chuyển vị đó là y, và đặt : kạ= : 2 (19-11) Q7 40°? I~—r| +—+— (@ (@ ta có thể viết : Ys =Yikg (19-12) A; = Vậy : Độ tống động bằng dé véng tinh nhdn voi hé sé kj ¬ Hệ số động phụ thuộc vào t1 số — và hệ số œ Mối tương quan đó được biểu diễn trên 2B — 0 1o hình 19-3 40 2a 0 % 70,15 Khi > I tức là khi tần số của lực kích 30 | 20 0,20 : 2d _ thích trùng với tần số dao động riêng của hệ xa 036 a thi ta cé hién tuong cong huéng Khia =0 zo MY |e = 240 ee ` SL: ` : NA: |Zo_

thì kạ sẽ tiến tới vô cùng và khi œ # 0 thì k„ @ = 0,80

sẽ có trị số cực đại hữu hạn Khi đó độ vống 10 động lớn hơn rất nhiều so với độ võng tĩnh và do đó kết cấu hay công trình dễ bị phá hỏng

Nhìn qua các đường biểu diễn chúng ta nhận 0 0,5 1,0 15 2,0 29

, - ỒN 3 ` ` 3 œ

thay hiện tượng cộng hưởng hình thành cả

một miền khi tần số lực kích thích không Hình 19-5

Trang 6

khác nhiều so với tần số dao động riêng của hệ Ngược lại tỉ số — tăng lên thì hệ số động a)

còn nhỏ hơn cả đơn vị, do đó, người ta có thể giảm độ cứng của công trình để giảm tần số vòng riêng của hệ hay tăng tần số của lực kích thích lên Khi đóng mở máy, một lúc nào đó tần số của lực kích thích có thể trùng với tần số riêng, cần tăng nhanh tốc độ máy để làm tăng tan số của lực kích thích làm cho hiện tượng cộng hướng không kịp xảy ra

Người ta cũng thường dùng các bộ phận giảm chấn để tăng độ cản œ nếu như hệ phải ` ve 2 4 `" “ + “ Q + 4 “ 4 ` - lam việc trong miền cộng hướng lâu dài Ta thấy tí số — có trị số lớn hơn 2 thì những (D đường cong kạ sẽ trùng nhau Lúc đó có thể xem œ = Ô và trị số của kụ sẽ là : kạ= Oo? (19-13) I¬— (œ Biết hệ số ka ta có thể tìm được ứng suất động bằng các biểu thức sau đây : Ga = kạG, (19-14) Tg = kgt,

trong đó ơa và ra là ứng suất do tải trọng động gây nén, ơ, và +, là ứng suất do biên độ của lực kích thích gây nên với giả thiết lực này được đặt một cách tĩnh lên hệ Nếu trên hệ còn có các tải trọng fĩnh khác tác dụng trước khi đao động thì ứng suất toàn phần trên mặt cắt

nào đó là tổng ứng suất động và ứng suất do tải trọng tĩnh đó gây nên

Ví dụ 1 Một động cơ điện có trọng lượng Q = 24.000N đặt trên hai dầm chữ I : Số hiệu 24a, dầm dài 3m

1 Tính tần số vòng riêng của hệ Không kể đến trọng lượng bản thân của dầm

2 Tính ứng suất lớn nhất trên dầm Cho biết động cơ quay 1200 víph, khối lượng lệch tam nang là 200N, độ lệch tâm e = 0,3cm, luc can không đáng kể ; không kể đến trọng lượng-của dầm E=2.10’N/em?; g=9,8m/s" Bài giải 1 Biết dầm chữ 1 số hiệu 24a có J, = 3800cm' ; W, = 317cm” Tần số vòng riêng của hệ là :

Trang 7

w= 2,8 = 1052

8.107 s

2 Ta xem rằng mỗi vòng quay của động cơ lực quán tinh li tam cia khéi luong léch tâm kích thích xuống đầm một lần Vậy tần số lực kích thích trong 27 giây sẽ là :

27.1200 ]

Q = —— = 125,6- 60 6 $ €2 cũng đồng thời là tốc độ góc của động cơ

Cường độ của lực quán tinh li tam 1a: F, =mQ*r= oe (125,6)".0,003 = 972N Hệ số động là : ky = 4 os = 2,32 2] | 025,67] wo” (105 Mômen uốn lớn nhất trên đảm do biên độ của lực kích thích F¡ gây nên là : M, = “ = = = 729Nin Ứng suất tĩnh là : _ My _ 729.107 _ 2 5%“ ty" =~ziz- = H15 N/em X Trị số ứng suất động sẽ là : 64 =O ky = 115.2,32 = 267 N/cmˆ Ứng suất do trọng lượng của môtơ gây nên là : I2000.3.107 2 | = 493 = 1400 N/cm _ Ce Z

Vay ứng suất toàn phần sẽ là :

Ví dụ 2 Một đĩa tròn gắn chặt trên một thanh tròn với một

đầu ngàm Gọi ï là mômen quán tính của đĩa đối với trục của ,

thanh (h.I9-7), thanh có chiều dài / và độ cứng chống xoắn là —nT | LUT GJ,, bo qua trong luong của thanh Xác định tần số vòng riêng

Trang 8

Bãi giải

Gọi @ là góc xoắn của hệ Ta bỏ qua lực cản và xem mômen kích thích là bằng không thì ~ gay nên là do mòmen của lực quán tính Mômen này luôn luôn ngược chiều với gla tốc góc

Từ đó ta có :

di

@ =ồin a °| dete (a)

ở đây : 5,, la géc xo4n momen don vị đặt trong mặt phẳng của đĩa gây nên : | Ồii“ = GJ, Phương trình (a) được viết lại dưới đạng : d2 P+ ao =0 (b) dtˆ , 2 | trong do (0= > Nghiệm tổng quát của (b) có dạng : (= Ấsin(@( + ®) Vậy tần số vòng riêng dao động xoắn của hệ là : k joe (19-15) oO= al I §19-6 PHƯƠNG PHÁP THU GỌN KHỐI LƯỢNG

Việc bỏ qua trọng lượng bản thân của các liên kết đàn hồi như trên trong nhiều trường hợp cho những kết quả khá phù hợp với thực tế Song để có được những kết quả có độ chính xác cao hơn thì phải tính đến cả trọng lượng bản thân của các liên kết đàn hồi Tất nhiên, trong thực tế có những trường hợp không thể không kể đến trọng lượng bản thân của những liên kết này

Phương pháp đơn giản nhất là phương pháp thu gọn khối lượng Ta tưởng tượng một hệ tương đương với hệ đã cho có khối lượng tập trung ở một nơi nào đó (nghĩa là hệ có một bậc tự do), sao cho năng lượng dao động trong hệ tương đương bằng năng lượng dao động trong hệ thực

!9—8 Nếu phải kể đến trọng lượng bản thân của 'v

dim thì ta tưởng tượng thu gọn khối lượng của Ÿn

Trang 9

lượng mới sao cho năng lượng dao động của hệ mới này bằng toàn bộ năng lượng dao động của hệ cũ, cách làm như sau : Ta so sánh độ võng tại mặt cát z nào đó đối với độ võng ngay tại M do lực P đặt tại đó gây nên Gia sử vị trí của M là điểm giữa của đầm

Với phép nhân Vêrêsaghin fa tìm thấy (h.19-9) : _ PF _ ”ˆ 48EJ, y= (P,P) 1 16 12 JEJ, SUR , ; Vậy : | 2 | Px = 1 Z zỶ = —— Ä— z(- Z) Vận tốc của các chất điểm tại mặt cắt này là : dy, Z z” dy CoC = — — 4— — 44 p | dt Hinh 19-9 Goi q la trong lượng của dầm trên một đơn vị dài Động năng của một phân tố đz tại mặt cát đó sẽ là : T TU)

Trang 10

Bài giải | Trọng lượng của đầm sau khi nhân với hệ số thu gọn 1a: Q = 22 x294 x 3x2=B82N Độ võng tĩnh khi kể đến trọng lượng của đầm là : _(Q+Q9Ÿ _ (12000 + 882)3°.10° At = = 0,095 cm A8EJ,, 48.2.107.2800 Tần số vòng riêng của hệ sẽ là : @' = 2.8 x =l10I I 95.10 5 2 Hệ số động sẽ là : ky = = = 1,85 Ứng suất động sẽ là : Ga = G¡kạ = 115.185 =213 N/cm”

So sánh với vi du ! ta thấy kạ có trị số nhỏ hơn ; ứng suất động cũng vậy Điều đó cũng dễ hiểu vì năng lượng dao động còn phải dành một phân lớn để làm dao động toàn thanh

§19—7 DAO ĐỘNG CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO

Chúng ta hãy xét trường hợp hệ có hai bậc tự do Ví dụ xét trường hợp dầm mang hai khối lượng (h.19—10)

Goi 8,;, 55,, a2 và ô¡¿ là các chuyển vị đơn vị do các lực đơn vị đặt tại mị và mạ gây nên Ta kí hiệu ð,¡ với chỉ số đầu để chỉ vị trí

và chỉ số thứ hai để chỉ lực đơn vị gây nên biến dạng my mạ ae - oe a) § —§ ⁄ Theo định lí Betti chúng ta luôn luôn có : So Ben —!+—!'——!— ðj= Ôi — 1 Gia sử vị trí các khối lượng được đặt như — TÍNH Ị

trên hình (19—10) Các biểu đồ mômen đo lực

đơn vị (không có thứ nguyên) Mi va M2 9 CÔ TM” M;

được biểu diễn như trên hình 19—10b, c Các 2,

3

‘chuyén vi don vi duoc tinh theo phép nhan

Trang 11

4p ca - TỪ

OF} ! “1 18EJ

Bỏ qua ảnh hưởng của lực cản đối với các khối lượng khi dao động Như vậy chỉ còn lực quán tính của các khối lượng gây nên các độ võng Từ đó chúng ta có các phương trình vi phân đao động :

5), = 57 =

yị =ði¡(Cm; ÿŸ¡) + ỗi›(—m; Ÿ; )

Y¿ =ðzi(m) Ÿ¡ ) + ð2a(m;Ÿ; ) (19-16)

y¡ và ya là độ võng tai m, và ma

ÿ¡ và ÿ› là các gia tốc tại các điểm đó

Nghiệm của hệ phương trình vi phan (19-16) duoc chon dudi dạng :

Vị = À¡sin(@t + @), y„= A>sin(at + @) (19-17)

Tính đạo hàm và thay vao (19-16) Sau khi ude lược sin(@t + @) ta được hệ phương trình thuần nhất A¡(Šð¡¡m,ø@ˆ— 1) + Asỗ¡zmzø°= 0 Aiỗz¡mi@ + As(ỗszm›øˆ — 1) =0 (19-18) Dé À¡, A2 có nghiệm khác kh6ng thi dinh thttc cla hé phai bang 0 Ta cé : 8,;m,o~ —1 ỗ¡m2øˆ =0 (19-19) ỗz¿m,@F ỗzama@” -1 Từ đó ta có phương trình bậc 4 đối với œ : w*.m,m}(5; 599 — 87)) — ©7(5;;m, +5y,m,) + 1 = 0 Phương trình đó cho hai trị số của tân số dao động riêng a? = ¡mi + ôm; + vim — ỗzzmz)” + 4m,m;ð12 (19-20) 2m, M4 (5; 1343 — 812)" |

Trong trường hợp mị = m› = m và kích thước, vị trí của các khối lượng đặt trên đầm

như hình vẽ 19—10a thì các tần số dao động riêng đó là :

_ 90EJ

_ 59m

Trang 12

Tương tự như vậy thay @“ ở phương trình thứ hai bằng œ2, đồng thời thay ỗạy và ồạ;

vào phương trình đó sẽ tìm được :

Như vậy với œ = œ¡ nghiệm cua (19-17) c6é dang :

yị= Asin(œit+ 0); y> = Ásin(@¡t + @) VỚI @ = 0+ nghiệm của (]9—17) sẽ là :

Vị = Asim(02t + @); y> = —Asin(wt + @) Hệ có thể có hai dạng dao dong nhu hinh (19-11)

Trường hợp ở hình 19—[ la là khi hai khối

lượng dao động đồng pha và trường hợp thứ hai a) ooo là khi hai khối lượng dao động nghịch pha

b

Dựa vào dạng nghiệm đó ta có thể thiết lập mt m;

nghiệm tổng quát của hệ phương trinh (19-16)

dưới dạng Hình 19-11

Y¡= Asimm(@0it + @¡) + Bsin(@s2f + 02)

y2 = Asin(@,t + ©) — Bsin(0+f + @2) (19-21) Các hàng số A, B và @¡, 02 được xác định từ các điều kiện ban đầu nghĩa là từ vận tốc, vị trí ban đầu của các khối lượng

Đối với hệ có hai bậc tự do ta có hai tần số đao động riêng Đối với hệ có ba bậc tự do ta có ba tần số đao động riêng Để xác định chúng ta phải giải phương trình bậc ba Như vậy càng có nhiều bậc tự đo thì định thức dạng (19—19) là phương trình bậc càng cao, càng khó giải

Ví dụ 4

Xác định tần số dao động riêng của một khối lượng đặt ở đầu thanh của khung đàn hồi như h.19—12 Cho biết độ cứng khi uốn và khi xoắn của các thanh là EJ và GI,

Bài giải

Ở đây ta thấy khối lượng m có khả năng di

chuyển theo ba phương Ê¡, É›, É: vậy bài toán có ba

bậc tự do Gọi š¡, É+, &3 là các độ chuyển dịch theo ba Hình 19-12 phương đó Nếu bỏ qua lực ma sát, chỉ kể đến lực

Trang 14

Tần số thứ ba được tính trực tiếp với công thức : o = 1 1 l my; - me 2 | 3EJ GJ, Chú ý đến các hệ phương trình (1916) và (19—18) Các hệ đó có thể viết lại đưới dạng ma trận như sau : ph BE XD — Yo} [82 52; ||0 my || Ÿ2 (19 -22) ole in 0 Eị pe 53, Say [LO m;| |0 1 J]L^¿ Trong đó ma trận có các thành phần là những chuyển vị đơn vị được gọi là ma trận mềm và được kí hiệu : Ồ Ồ IDI= 11 a 55, a9 Ma trận gồm các khối lượng thì được gọi là ma trận khối lượng và được kí hiệu là : iM] = mạ 0 “|0 m4 Ma trận đơn vị được kí hiệu là : HỊ= ] 0 0 | Với các kí hiệu đó biểu thức (19—22) có thể viết gọn lại như sau : {y} + [DJ[IM]{y} = {0} | (19-23) {@ [D][M] - [I])(A) = {0} Để vectơ {A} có nghiệm thì định thức của phương trình thứ hai của (19-23) phải bằng không Ta có : lo tD)(M] - HI]Ị=0 _ (19-24)

Giai (19-24) ta sé có được các tần sế đao động riêng của hệ (0

Cách giải chúng ta thực hiện trên đây đã dựa vào ma trận mềm vì vậy cách giải đó được gọi là phương pháp tính tần số dao động riêng theo ma trận mềm

Trang 15

[M] = m2 0 Ũ mạ 1 0 0 0 0 0 0 te 0 0 0 ‘ie ] Ta chỉ cần thay các ma trận đó vào (19-24) sẽ được một hệ phương trình để xác 5 đình œ”

Ta cũng có thể viết phương trình thứ hai của (1923) dưới một dạng khác : Viết một phương trình thứ k nào đó của hệ phương trình đó Ta có :

m lỖy ¡60 Ay + m2ỗ,30”.A2 + + (111, 34,00 —1).A, + m, bj n0-Ay =0 Dem chia ca hai vé cho A, ta CÓ :

Trang 16

§19-8 MA TRAN CUNG 1 Dinh nghia Giả sử có dầm tĩnh định AB Tại C ta dat mot lực P, Nếu P, đủ lớn để gây — ——D kem nên một độ võng bằng đơn vị thì lúc đó độ cứng a 1 1 Pr của dầm tai € là : r= P, Hinh 19-14

Ta nhận thấy độ cứng và độ mềm là hai khái niệm ngược nhau nhưng cùng thể hiện bản chất đàn hồi của đầm Thực vậy nếu lấy P¿ = 1 thi dé ving tai C 14 8, ,, 5, tuong trung cho độ mềm của đầm Đem độ võng đơn vị do Pạ = rị¡ gây nên chia cho õ¡¿ thì trị số đó đúng bằng rị Ta có : - - I i= (19-27) 81)

Bay giờ ta xét độ tương quan kháng lực giữa hai điểm CD bất kì nào đó Nếu tại D ta đặt một lực P; đủ lớn để tạo nên một độ võng bằng đơn vị thì độ cứng tại đó sẽ là :

Ip) = Py

Nếu lấy P, = 1 thi ta cé dé véng tai dé 14 855 Tương quan giữa ra; va 55, là :

l

122 - 555

Goi 5,5 va 54, 1a cac dé vGng don vi tai | va 2 do cdc luc don vi dat tai 2 va | gay nén Theo dinh li Betti ta luén cé 6, = 83)

Trang 17

Chú ý : Chúng ta phải tính từng thành phần riêng biệt vì độ cứng rịy và rạ› là độ cứng riêng biệt của các điểm C và D Không thể đem chia lực nơi này cho độ cứng nơi khác

Trong các hệ thức của (19-28), các hệ số :

T12 = 199-649

To) =) 1-09]

được gọi là hệ số độ cứng ảnh hưởng Chúng nêu lên ảnh hưởng của lực ở nơi này đối với nơi khác Cụ thể ở đây là sự ảnh hưởng của P; đối với điểm 1 và ngược lại ảnh hưởng của

P¿ đối với điểm 2 Biểu thức (19—28) được viết đưới dạng ma trận như sau :

lạ — i ap] (19-29)

Rp "21 T22 || Y2

Ma trận thừa số đó được gọi là ma trận độ cứng Các thành phần của ma trận độ cứng được suy ra từ ma trận độ mềm là như sau :

l

Vij = TÔ (19-30)

Nhân vét

I, Ma trận độ cứng có các thành phần trên đường chéo chính là những lượng nghịch đảo đối với các thành phần trên đường chéo chính của ma trận mềm

2 Ma trận cứng không phải là đối xứng vì 4; = 5, nhưng rị # rị (Độ cứng ở mỗi vị trí trên dầm là khác nhau) Vậy tích của chúng không thể bằng nhau được Do đó :

tị + Ti

Như vậy ma trận cứng không phải là nghịch đảo của ma trận mềm

2 Xác định tần số đao động riêng bằng ma trận cứng

Giả sử có hai khối lượng mị và mạ đặt tại C và D Khi dao động các khối lượng nay tao nén những lực quán tính —m¡ÿ,¡ và —msÿ„ Các lực quán tính đó phải cân bằng với các lực

đàn hồi Re và Rp tính với biểu thức (19-29) Từ đó ta có hệ phương trình vi phân :

— m¿ÿ, +Yifịi * Yarịa =O

— 2ÿ; + yifa; + Y2r;; = Ô (19-31)

Nghiệm của hệ phương trình được chọn dưới dang :

Yyị= A¡sin(@t +(@) va yz =Ay,sin(wt + @)

Trang 18

Đạo hàm hai lần và thay vào hai phương

trình trên với chú ý chọn dấu của Á¡ và A› cho i Ro phù hợp với điều kiện cân bằng của các lực, ta s3 a ẤT đi đến hệ phương trình sau :

140

Aris + Agr) —m, aA, = 0 Fy F2

2

An + AsFa2 — mt+@ As=0 (19-32) Hinh 19-15

Ta có thể viết đưới dạng ma trận như sau : lh 5| can 0 |Jrar=i0 \ DỊ l22 0 m2 ([R] — @ “[M]){A] = 0) Hay : Để (A} có nghiệm, định thức của hệ phương trình phải bằng không Ta có : - IỊR] - œ [MỊI =0 (19-33)

Giải phương trình đó ta có các tần số dao động riêng œ Vi du với hai khối lượng đang xét ta có : 2 fh, — @“m 11 1 T 12 =0 2 DỊ 12 — 0 My Từ đó ta có phương trình bậc 4 4 2

‘ m¡1m2ú) + (Mr), + M19 Joo — TỊiÏl22 +TIa.ra¡= Ö

Trang 19

Với A, A (AI={ 7 Ay Cũng giống như đối với ma trận mềm ta có thể sử dụng các trị : _Ar., _Azs 1, _ An b= > 3) = A, 3 Val = A, đề thu gọn phương trình Khi đó ta có : (R]~ ø [M]){$] = {0} l Trong d6 vecto {} = oi

§19-9 DAO DONG CUGNG BỨC Chúng ta vẫn bắt đầu xét với hệ có hai khối lượng như các mục trước (h.19—I6) Lực kích thích

P(t) có thể là một lực cũng có thể là nhiều lực Gọi can

Trang 20

Sau đây chúng ta sẽ lần lượt đề cập đến các phương pháp đó :

1 Phương pháp ma trận mềm

Hệ phương trình vi phân dao động tự do được viết như biểu thức (I9—16) Vì có thêm lực kích thích P(t) nên hệ phương trình vi phân dao động sẽ có dạng :

y + m,5)4 Ÿn + m2ŠI2ÿ„ = Pd, ,sin@t

V2 + m5, y\ +m 7599 7, = Pt+2¡sinƠt (19-35)

Nghiệm của hệ phương trình sẽ là nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất không vế phải, nghĩa là nghiệm tổng quát của dao động tự do, cộng với một nghiệm riêng của hệ có vế phải

y(t) = y(t) + y(t)

Như vậy sự dao động của hệ là tổng của hai dao động — Dao động tự do với tần s6 dao dong riéng y,(t)

— Dao động cưỡng bức với tần số dao động của lực kích thích Dao động tự do với tần số dao động riêng sẽ nhanh chóng tắt đi vì sức cản của môi trường Sau một thời gian sự dao động của hệ là sự dao động với tân số của lực kích thích Như vậy chúng ta chọn nghiệm của hệ phương trình vi phân dưới đạng :

yị =€,sinÔt và y› =C›sinÔt (19-36)

Đạo hàm hai lần rồi thay vao (19-35) Sau khi ước lược cả hai vế cho sinÔt ta được hệ

phương trình :

C¡ ~ 6ˆ8¡¡mC¡ — 6ŸŠ¡am2C; = Phụô| ¡

Cạ — 6”ôzym,C¡ — 6ˆöazm2C; = Pigỗ (19-37)