Giáo trình sức bền vật liệu tập 2 phan 2 lê quang minh, nguyễn văn lượng

Tiếp nối phần 1, phần 2 Giáo trình Sức bền vật liệu (Tập 2) gồm nội dung chương 19 đến chương 25. Nội dung phần này trình bày các nội dung: Tải trọng động, tính độ bền khi ứng suất biến đổi có chu kì, ôn định, thanh thành mỏng, ống dày, vỏ, ứng suất tiếp xúc

Chương 19

TAI TRONG DONG

§19-1 KHAI NIEM

Trong các chương trước đây chúng ta chỉ mới xét đến tải trọng tĩnh, nghĩa là tải trọng tác động lên hệ được tăng lên một cách từ từ để không xuất hiện lực quán tính Trong thực

tế nhiều khi tải trọng tăng lên đột ngột, như khi hệ bị va chạm, hay biến đổi theo thời gian

như trong hệ đao động hay trong các chuyển động có gia tốc Những trường hợp đó ta gọi là

tải trọng động

Nhiều công trình hay chỉ tiết được tính với một hệ số an toàn rất cao đối với tải trọng tĩnh nhưng vẫn bị phá hỏng vì tải trọng động Ngược lại có những kết cấu hay chỉ tiết, thoạt nhìn tưởng răng yếu ớt nhưng trong thực tế lại có khả năng làm việc lâu đài đưới tác dụng của tải trọng động Vì vậy đòi hỏi người thiết kế phải chú ý nghiên cứu về lĩnh vực này Trước hết ta hãy xét đến trường hợp dao động của hệ đàn hồi

§19-2 BẬC TỰ DO

Ta có định nghĩa về bậc tự do của hệ đàn hồi khi dao động như sau :

Bác tự do của một hệ dàn hải khi dao động là thông xố độc lập để xác định vị trí của hệ

Ví dụ các hệ trên hình I9—la, b nếu bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm hay của lò

xo, xem chúng là những liên kết đàn hỏi không có khối lượng và xem bài toán là phẳng thì

đó là những hệ có một bậc tự do vì để xác định vị trí của hệ ta chỉ cần biết độ võng y hay hoành độ x của M Với các hệ trên hình 19—lc, d để xác định được vị trí của hệ phải biết các độ võng V¡, y› của Mì, Mạ và các góc xoay @¡, @2 của các bánh xe Mạ, M¿ Các hệ đó

là các hệ có hai bậc tự do Với hệ trên hình (h.!9—1e), tuy ta chí có một khối lượng M, nhưng để xác định được vị trí trọng tâm của M ta phải có hai tọa độ Nếu như mômen quán tính của M đối với trọng tâm là không đáng kể thì đó là hệ có hai bậc tự do, nếu còn

fe SSR dS RS A

c) d) — e}

Hình 19-1

123

phải để ý đến mômen quán tính của M đối với trọng tâm của M thì đó là 3 bậc tự do vì ngoài hai tọa độ thẳng ta còn phải để ý đến sự quay của M khi hệ dao động trong mặt

phẳng của khung

Số bậc tự do là tùy thuộc vào sơ đồ lựa chọn dé tinh : vi du khi không thể bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm thì hệ sẽ trở thành vô số bậc tự do Cách giải là luôn luôn tìm cách đưa hệ về một hệ có bậc tự do ít hơn để tính dễ hơn Dĩ nhiên với cách đó ta chỉ đạt được kết quả gần đúng

§19-3 PHUONG TRINH VI PHAN DAO ĐỘNG

Giả sử xét hệ đàn hồi có một bậc tự do, Ví dụ hệ trên hình {9-2 Ta xem dam như một

liên kết đàn hồi không có khối lượng

Độ võng y của M là do các lực sau đây gây nên :

— Ngoại lực P(t) gay nên dao động Ta gọi lực này là lực kích thích

— Lực quán tính Fi do gia tốc ÿ của M gây nên Lực quán tính đó luôn luôn ngược chiều với gia tốc Trị số của F; la:

F;=-Mỹ

— Luc can Fr do môi trường gây nên Một cách gần đúng ta có thể xem lực cân là tí lệ với vận tốc ÿ của M

Trị số của F, là:

F, = -B y

trong đó § là hệ số tỉ lệ Nếu gọi ồ;, là chuyển vị theo phương chuyển động của M do lực đơn vỊ gây nên (h.I9—3) thì y được tính với biểu thức :

y =5,,(P(t)- My -By]

Hay có thể viết lại dưới dạng :

P(t)

vẻ 2, _ FW _

B

trong đó 2œ = M là hệ số tượng trưng cho lực cản của môi trường, o = 5M" có một ý nghĩa vật lý rõ rệt mà ta sẽ nói trong mục tới

Nghiệm riêng của phương trình (19—1) tùy thuộc dạng hàm P(()

124

Ở đây ta chỉ xét trường hợp hàm P() là một hàm số điều hòa dưới dạng :

P„ được gọi là biên độ của lực kích thích ; |

Q 1a số lần dao động của lực kích thích trong 2z giây, nên gọi là tần số võng của lực

kích thích

Để giải hệ (19—1) phải tìm nghiệm tổng quất của phương trình vi phân thuần nhất khỏòng có vế phải vì vậy ta xét các trường hợp riêng sau đây :

§19-4 DAO DONG TU DO

Ta giả thiết sau khi P(t) kich thich cho hé dao dong xong thì bị triệt tiéu Nghia 1a P(t) chi tồn tại một khoảnh khắc rất bé ban đầu, sau đó ta có thể xem P(t) = 0 Sự đao động của

hệ là do lực đàn hồi sinh ra và được gọi là dao động tự do

4) Dao động tự do không có lực cản Xem lực cản của môi trường là bằng không, nghĩa

là œ=0 Phương trình vi phân dao động có dạng :

Nghiệm của phương trình là :

A là biên độ của dao động, @ 1a pha ban đầu Các trị số đó được xác định từ điều kiện ban dau cua đao động, T phương trình (I19—4) tạ thấy rõ Ý nghĩa của @, đó la tan số vòng của dạo động, (0 được gọi là tấn số vòng riêng của hệ Trị số của (@ được vác định tử biên thức :

Qo = —

Mỗi

trong đó : g là gia tốc trọng trường : Q là trọng lượng của M và At là độ võng tính do Q gay nên đối với hệ đã cho

hay

Chu kì T của dao động sẽ là :

cD §

b) Dao động tự do có lực cán

Phương trình vị phân dao động có dạng :

¡25

Nghiệm tổng quát của phương trình này là :

y() = Ae “'sin(@it+ @¡) œ¡ và @¡ là tần số vòng riêng của hệ khi kể đến lực cản và góc pha ban đầu của dao động Tương quan giữa œ và œ¡ như sau :

“ aÍ

Ta thấy œ¡ bé hon @ Bién độ của dao NZ

động là một hàm số phụ thuộc theo thời gian ` TRO

Ae ”! nghĩa là biên độ càng ngày càng nhỏ [\ /

~ `

nm

[X 7

a

-

e QT x7

Ta nhận thấy dao động tắt rất nhanh Đồ

thị của dao động được biểu diễn như trên

§19—5 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC VỚI P(t) = PpSINAt

Phương trình vị phân dao động có dạng :

Nghiệm tổng quát sẽ là tổng của một nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất không vế phải Để hệ có đao động ta chọn nghiệm riêng dưới dạng :

Lấy đạo hàm liên tiếp của y đối với t và thay vào (19-9) ta xác định được các hằng số

C, va C, nhu sau :

C= Pa œ2 - QŸ ' M (0ˆ - Q2} + 407?

“ M'(œ2_— Q23? + 4020?

Đặt

siny =

Vio? — 22)? + 4020?

w? - 9

cosy =

Vo? — 02)? + 40202

126

va thay 511 = > thì biểu thức y, có dạng :

w

Pôii

2

[ _ s] + 4a7Q?

-al

Nghiệm toàn phan sé la: y= Ae sin(@ t+ @) + y;

Nphiệm đó biểu diễn hai dao động Số hạng đầu biểu diễn dao động tự do tắt dần Số hạng thứ hai biểu diễn đao động cưỡng bức gây ra do lực kích thích Dao động tự do sẽ mất

đi sau một thời gian nhất định, lúc đó sẽ dao động theo tần số É2 của lực kích thích

Biên độ đao động là :

Pd) l

2

I r| +—2 6) 0

Tích số Piô¡¡ biểu điển chuyển vị do biên độ của lực kích thích đặt một cách tính gây nên tại mặt cắt mang khối lượng M theo phương dao động Kí hiệu chuyển vị đó là y, và đặt :

kạ= : 2 (19-11)

I~—r| +—+— (@ (@

A; =

Vậy : Độ tống động bằng dé véng tinh nhdn voi hé sé kj

¬

Khi > I tức là khi tần số của lực kích 30 | 20 0,20

: 2d _

thích trùng với tần số dao động riêng của hệ xa 036

a

thi ta cé hién tuong cong huéng Khia =0 zo MY |e = 240

thì kạ sẽ tiến tới vô cùng và khi œ # 0 thì k„ @ = 0,80

sẽ có trị số cực đại hữu hạn Khi đó độ vống 10

động lớn hơn rất nhiều so với độ võng tĩnh và

do đó kết cấu hay công trình dễ bị phá hỏng

Nhìn qua các đường biểu diễn chúng ta nhận 0 0,5 1,0 15 2,0 29

thay hiện tượng cộng hưởng hình thành cả

một miền khi tần số lực kích thích không Hình 19-5

127

khác nhiều so với tần số dao động riêng của hệ Ngược lại tỉ số — tăng lên thì hệ số động

a) còn nhỏ hơn cả đơn vị, do đó, người ta có thể giảm độ cứng của công trình để giảm tần số vòng riêng của hệ hay tăng tần số của lực kích thích lên Khi đóng mở máy, một lúc nào đó tần số của lực kích thích có thể trùng với tần số riêng, cần tăng nhanh tốc độ máy để làm tăng tan số của lực kích thích làm cho hiện tượng cộng hướng không kịp xảy ra

Người ta cũng thường dùng các bộ phận giảm chấn để tăng độ cản œ nếu như hệ phải

lam việc trong miền cộng hướng lâu dài Ta thấy tí số — có trị số lớn hơn 2 thì những

(D đường cong kạ sẽ trùng nhau Lúc đó có thể xem œ = Ô và trị số của kụ sẽ là :

I¬—

(œ Biết hệ số ka ta có thể tìm được ứng suất động bằng các biểu thức sau đây :

Tg = kgt, trong đó ơa và ra là ứng suất do tải trọng động gây nén, ơ, và +, là ứng suất do biên độ của lực kích thích gây nên với giả thiết lực này được đặt một cách tĩnh lên hệ Nếu trên hệ còn

có các tải trọng fĩnh khác tác dụng trước khi đao động thì ứng suất toàn phần trên mặt cắt

nào đó là tổng ứng suất động và ứng suất do tải trọng tĩnh đó gây nên

Ví dụ 1 Một động cơ điện có trọng lượng Q = 24.000N đặt trên hai dầm chữ I : Số hiệu 24a, dầm dài 3m

1 Tính tần số vòng riêng của hệ Không kể đến trọng lượng bản thân của dầm

2 Tính ứng suất lớn nhất trên dầm Cho biết động cơ quay 1200 víph, khối lượng lệch tam nang là 200N, độ lệch tâm e = 0,3cm, luc can không đáng kể ; không kể đến trọng lượng-của dầm

E=2.10’N/em?; g=9,8m/s"

Bài giải

1 Biết dầm chữ 1 số hiệu 24a có J, = 3800cm' ; W, = 317cm”

Tần số vòng riêng của hệ là :

At là độ võng tinh đo trọng lượng

của Q gây nên trên một dầm

chữ I là :

Ate QU _ 12000.3*.100° :

48HI, 48.21073800

128

w= 2,8 = 1052

8.107 s

2 Ta xem rằng mỗi vòng quay của động cơ lực quán tinh li tam cia khéi luong léch tâm kích thích xuống đầm một lần Vậy tần số lực kích thích trong 27 giây sẽ là :

Q = —— = 125,6- 60 6 $

€2 cũng đồng thời là tốc độ góc của động cơ

Cường độ của lực quán tinh li tam 1a:

F, =mQ*r= oe (125,6)".0,003 = 972N

Hệ số động là :

ky = 4 os = 2,32

2] | 025,67]

wo” (105

Mômen uốn lớn nhất trên đảm do biên độ của lực kích thích F¡ gây nên là :

M, = “ = = = 729Nin Ứng suất tĩnh là :

_ My _ 729.107 _ 2 5%“ ty" =~ziz- = H15 N/em

X

Trị số ứng suất động sẽ là :

64 =O ky = 115.2,32 = 267 N/cmˆ

Ứng suất do trọng lượng của môtơ gây nên là :

= 493 = 1400 N/cm _ Ce Z

Vay ứng suất toàn phần sẽ là :

Ví dụ 2 Một đĩa tròn gắn chặt trên một thanh tròn với một

đầu ngàm Gọi ï là mômen quán tính của đĩa đối với trục của ,

thanh (h.I9-7), thanh có chiều dài / và độ cứng chống xoắn là —nT | LUT GJ,, bo qua trong luong của thanh Xác định tần số vòng riêng

|

|

|

Bãi giải

Gọi @ là góc xoắn của hệ Ta bỏ qua lực cản và xem mômen kích thích là bằng không thì ~ gay nên là do mòmen của lực quán tính Mômen này luôn luôn ngược chiều với gla tốc góc

Từ đó ta có :

di

@ =ồin a °| dete (a)

ở đây : 5,, la géc xo4n momen don vị đặt trong mặt phẳng của đĩa gây nên :

|

Phương trình (a) được viết lại dưới đạng :

d2

dtˆ

Nghiệm tổng quát của (b) có dạng :

(= AÁsin(@( + ®) Vậy tần số vòng riêng dao động xoắn của hệ là :

k joe (19-15)

oO= al I

§19-6 PHƯƠNG PHÁP THU GỌN KHỐI LƯỢNG

Việc bỏ qua trọng lượng bản thân của các liên kết đàn hồi như trên trong nhiều trường hợp cho những kết quả khá phù hợp với thực tế Song để có được những kết quả có độ chính xác cao hơn thì phải tính đến cả trọng lượng bản thân của các liên kết đàn hồi Tất nhiên, trong thực tế có những trường hợp không thể không kể đến trọng lượng bản thân của những liên kết này

Phương pháp đơn giản nhất là phương pháp thu gọn khối lượng Ta tưởng tượng một hệ tương đương với hệ đã cho có khối lượng tập trung ở một nơi nào đó (nghĩa là hệ có một bậc tự do), sao cho năng lượng dao động trong hệ tương đương bằng năng lượng dao động trong hệ thực

!9—8 Nếu phải kể đến trọng lượng bản thân của 'v

dim thì ta tưởng tượng thu gọn khối lượng của Ÿn

đầm về ngay tại M Nghĩa là tại M có một khối

Ví dụ xét dam mang khối lượng như trên hình | ? 2

V

Hinh 19-8

lượng mới sao cho năng lượng dao động của hệ mới này bằng toàn bộ năng lượng dao động của hệ cũ, cách làm như sau : Ta so sánh độ võng tại mặt cát z nào đó đối với độ võng ngay tại M do lực P đặt tại đó gây nên Gia sử vị trí của M là điểm giữa của đầm

Với phép nhân Vêrêsaghin fa tìm thấy (h.19-9) :

_ PF _

”ˆ 48EJ,

Z zỶ

= —— Ä— z(- Z)

Vận tốc của các chất điểm tại mặt cắt này là :

CoC = — — 4— —

44 p | dt

Hinh 19-9

Goi q la trong lượng của dầm trên một đơn vị dài Động năng của một phân tố đz tại mặt cát đó sẽ là :

T TU)

Ta xem T như động năng của một khối lượng có trị số là sẽ 2 đặt tại giữa đầm

Nói một cách khác, hệ tương đương là hệ có khối lượng tập trung tại giữa nhịp với trị

số là :

I7 qi

=Mx+_—.—

35

Ví dụ 3 Giải ví dụ l khi có kể đến trọng lượng bản thân của đảm Cho biết

q = 294N/m

Hệ số h = — được gọi là hệ số thu gọn của khỏi lượng h của dâm: về tại giữa nhịp

13)

Bài giải

| Trọng lượng của đầm sau khi nhân với hệ số thu gọn 1a:

Q = 22 x294 x 3x2=B82N

Độ võng tĩnh khi kể đến trọng lượng của đầm là :

_(Q+Q9Ÿ _ (12000 + 882)3°.10°

A8EJ,, 48.2.107.2800 Tần số vòng riêng của hệ sẽ là :

@' = 2.8 x =l10I I

2 Hệ số động sẽ là :

ky = = = 1,85

Ứng suất động sẽ là :

Ga = G¡kạ = 115.185 =213 N/cm”

So sánh với vi du ! ta thấy kạ có trị số nhỏ hơn ; ứng suất động cũng vậy Điều đó cũng

dễ hiểu vì năng lượng dao động còn phải dành một phân lớn để làm dao động toàn thanh

§19—7 DAO ĐỘNG CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO

Chúng ta hãy xét trường hợp hệ có hai bậc tự do Ví dụ xét trường hợp dầm mang hai khối lượng (h.19—10)

Goi 8,;, 55,, a2 và ô¡¿ là các chuyển vị đơn vị do các lực đơn vị đặt tại mị và mạ gây nên Ta kí hiệu ð,¡ với chỉ số đầu để chỉ vị trí

và chỉ số thứ hai để chỉ lực đơn vị gây nên

Theo định lí Betti chúng ta luôn luôn có : So Ben

—!+—!'——!—

1

Gia sử vị trí các khối lượng được đặt như — TÍNH

Ị

trên hình (19—10) Các biểu đồ mômen đo lực

đơn vị (không có thứ nguyên) Mi va M2 9 CÔ TM” M;

3

‘chuyén vi don vi duoc tinh theo phép nhan

Vêrêsaghin như sau :

Ey=c®

Hình 19-10

132