Giáo trình sức bền vật liệu ( tập 2 ) ths thái hoàng phong

GS TSKHKT- PHAN KÌ PHÙNG Ths THÁI HOÀNG PHONG GIÁO TRÌNH SỨC BỀN VẬT LIỆU TẬP II ĐÀ NẴNG 2005 LỜI NÓI ĐẦU Ở tập I trình bày toán môn học sức bền vật liệu Ngày nay, ngành công trình, giao thông khí phải giải nhiều toán học phức tạp, đòi hỏi kĩ sư phải biết nhiều kiến thức rộng hơn, nhìn nhận giải toán phức tạp có liên quan đến kiến thức đàn hồi, lí thuyết dẻo, lí thuyết từ biến Các đối tượng nghiên cứu đề cập phần I giáo trình này, gặp vật thể đàn hồi khác như, tấm, vỏ, dầm đàn hồi, kết cấu thành mỏng, toán tiếp xúc Mỗi vấn đề chuyên đề, nghiên cứu sách dày hàng trăm trang Chúng thiết nghỉ với mở rộng, môn học sức bền vật liệu cần đề cập đến vần đề khối lượng định để trình bày kiến thức tối thiểu nhằm giúp bạn tìm hiểu vấn đề mà trình học tập công tác gặp phải Trong trình biên soạn nhận giúp đỡ tận tình giảng viên cao cấp Phạm Văn Song Đại học Đà nẳng Ông Phạm Văn Song đóng góp nhiều ý kiến hay để sửa chữa,chỉnh lí vă vi tnh giáo trình Các tác giả thành thật cảm ơn Với khối lượng không nhỏ, dù có cố gắng không tránh khỏi thiếu sót nội dung hình thức Chúng mong đóng góp độc giả Xin chân thành cảm ơn Các tác giả 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 MỤC LỤC Lời nói đầu Chương 10: Uốn ngang uốn dọc đồng thời Khái niệm ổn định hệ đàn hồi Xác định lực tới hạn chịu nén tâm Giới hạn áp dụng công thức Phương pháp thực hành để tính toán chịu nén Khái niệm hình dáng hợp lí mặt cắt ngang vật liệu ổn định Ổn định dầm chịu nén Ổn định vành chịu áp suất bên Trang 10 10 11 13 15 17 18 20 11.1 11.2 11.3 11.4 Chương 11: Uốn ngang uốn dọc đồng thời Khái niệm chung Xác định nội lực theo phương pháp tắc Biểu thức mô men uốn lực cắt phương pháp gần Kiểm tra bền 24 24 25 29 31 Chương 12: Thanh cong phẳng 12.1 Khái niệm chung 12.2 Ứng suất pháp cong phẳng 12.2.1 Thanh cong chịu uốn túy 12.2.2 Thanh cong chịu uốn đồng thời với kéo (nén tâm) 33 33 33 33 36 Chương 13: Tính chuyển vị hệ 13.1 Nguyên lí chuyển vị 13.2 Công thức Mohr để xác định chuyển vị 13.3 Một số định lí quan trọng 13.3.1 Định lí công tương hổ (còn gọi định lí Beti) 13.3.2 Định lí chuyển vị tương hổ 13.4 Phương pháp nhân biểu đồ VêrêSaghin 39 39 40 44 44 44 46 Chương 14 : Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực 14.1 Khái niệm hệ siêu tĩnh 14.2 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực 14.2.1 Hệ 14.2.2 Hệ tương đương 14.2.3 Hệ phương trình tắc 14.3 Tính hệ siêu tĩnh đối xứng 14.3.1 Hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng đối xứng 14.3.2 Hệ siêu tĩnh đối xứng, chịu tải trọng phản đối xứng 14.3.3 Hệ siêu tĩnh đối xứng tải trọng 14.4 Tính hệ siêu tĩnh chịu tác dụng lực thay đổi 14.5 Tính dầm liên tục 53 53 53 54 55 55 58 60 61 61 62 70 Chương 15: Tính độ bền ứng suất thay đổi 15.1 Khái niệm 15.2 Các đặc trưng chu trình ứng suất 78 78 79 15.3 Giới hạn mỏi biểu đồ giới hạn mỏi 15.31 Giới hạn mỏi 15.3.2 Biểu đồ giới hạn mỏi 15.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến giới hạn mỏi 15.4.1 Anh hưởng tập trung ứng suất 15.4.2 Anh hưởng độ bóng bề mặt kích thước chi tiết 15.5 Hệ số an toàn trường hợp chịu ứng suất thay đổi theo thời gian 15.6 Những biện pháp nâng cao giới hạn mỏi 80 80 82 85 85 88 90 97 Chương 16: Tải trọng động 16.1 Chuyển động thẳng với gia tốc không đổi 16.2 Chuyển động quay với vận tốc góc không đổi 16.3 Dao động hệ đàn hồi có bậc tự 16.3.1 Phương trình vi phân dao động 16.3.2 Dao động tự lực cản 16.3.3 Dao động tự có lực cản 16.3.4 Dao động cưởng chịu lực kích thích tuần hoàn 16.4 Dao động xoắn 16.5 Phương pháp thu gọn khối lượng 16.6 Tốc độ tới hạn trục quay 16.7 Va chạm đứng hệ bậc tự 16.8 Va chạm ngang hệ bậc tự 98 98 100 102 103 105 106 108 112 113 118 119 122 Chương 17: Ống dày 17.1 Ứng suất biến dạng 17.2 Ống dày chịu áp suất bên (Pb=0 ; Pa=P) 17.3 Ống dày chịu áp suất bên (Pb=0 ; Pa=P) 17.4 Bài toán ghép ống 17.4.1 Đặt vấn đề 17.4.2 Xác định quan hệ áp suất mặt ghép Pc độ dôi Chương 18: Dây mềm 18.1 Khái niệm 18.2 Phương trình đường dây võng 18.3 Lực căng 18.4 Tính chiều dài dây 18.5 Anh hưởng nhiệt độ tải trọng thay đổi dây mềm 127 127 130 132 132 132 134 140 140 140 141 143 144 Chương 19: Dầm đàn hồi 19.1 Khái niệm chung 19.2 Phương trình vi phân độ võng dầm 19.3 Dầm dài vô hạn 19.4 Dầm dài vô hạn chịu tải trọng phân bố 19.4.1 Điểm nghiên cứu phạm vi tác dụng tải trọng 19.4.2 Điểm nghiên cứu phạm vi tác dụng tải trọng 19.5 Dầm dài vô hạn chịu tải trọng tập trung P0 mô men tập trung M0 19.6 Dầm dài hữu hạn 147 147 148 149 151 152 152 152 153 Chương 20: Tính độ bền kết cấu theo trạng thái giới hạn 20.1 Khái niệm trạng thái giới hạn 20.1.1 Khái niệm chung 20.1.2 Phương pháp tính theo trạng thái giới hạn 20.2 Bài toán kéo nén 20.2.1 Ví dụ 1:Bài toán tĩnh định 20.2.2 Hệ siêu tĩnh 20.3 Tính trục tròn chịu xoắn 20.4 Thanh chịu uốn tuý 20.5 Thanh chịu uốn ngang phẳng Khớp dẻo 159 159 159 161 161 161 159 165 166 169 Chương 21: Tấm vỏ 21.1 Tấm tròn chịu uốn 21.2 Tấm chữ nhật chịu uốn 21.2.1 Xét tương quan chuyển vị, biến dạng ứng suất 21.2.2 Các thành phần nội lực phương trình cân 21.2.3 Các điều kiện biên 21.3 Vỏ mỏng tròn xoay 21.4 Lí thuyết tổng quát vỏ đối xứng 21.4.1 Phương trình cân 21.4.2 Phương trình tương thích chuyển vị biến dạng 21.4.3 Tương quan giũa ứng lực biến dạng 21.4.4 Đưa hệ phương trình dạng đối xứng 21.4.5 Điều kiện biên 21.5 Ứng suất uốn vỏ trụ chịu áp suất bên 176 176 185 186 187 190 196 205 205 207 208 209 210 214 Chương 22: Kết cấu thành mỏng 22.1 Khái niệm 22.2 Đặc trưng quạt mặt cắt ngang thành mỏng 22.2.1 Toạ độ quạt 22.2.2 Toạ độ quạt hệ trục vuông góc 22.2.3 Đặc trưng quạt cách xác định chúng 22.3 Ứng suất tiếp thành mỏng chịu uốn ngang 22.4 Bài toán xoắn thành mỏng 22.5 Độ vênh mặt cắt ngang bị uốn 22.6 Xoắn kiềm chế thành mỏng có mặt cắt hở 22.7 Trường hợp chịu lực tổng quát thành mỏng hở 22.7.1 Khái niệm Bimomen 22.7.2 Trường hợp chịu lực tổng quát thành mỏng 224 224 225 225 226 227 232 236 240 242 247 247 248 Chương 23: Bài toán tiếp xúc 23.1 Bài toán tiếp xúc Hezt 23.1.1 Quan hệ hình học bề mặt hai vật thể tiếp xúc 23.1.2 Kích thước diện tích tiếp xúc, độ dịch gần giá trị áp suất cực đại 23.2 Tiếp xúc đường 23.3 Một số toán tiếp xúc thường gặp 23.3.1.Tính ổ bi chịu tải trọng tĩnh 251 251 251 253 259 261 261 23.3.2 Tính tiếp xúc hình cầu phẳng 23.3.3 Tính tiếp xúc hai hình trụ Tài liệu tham khảo 266 268 272 Chương 10 ỔN ĐỊNH 10.1 KHÁI NIỆM VỀ SỰ MẤT ỔN ĐỊNH CỦA MỘT HỆ ĐÀN HỒI Những toán trước trình bày, để ý đến việc tính toán độ bền, độ cứng cho có loại biến dạng khác Trong chương trình bày cách tính ổn định thanh, nhiệm vụ môn học Sức bền Vật liệu Trong thực tế chi tiết máy phận công trình đảm bảo điều kiện bền, điều kiện cứng không thỏa mãn điều kiện ổn định, làm việc Để có khái niệm ổn định hệ đàn hồi ta xét ví dụ sau Giả sử có dài, mặt cắt ngang hình chữ nhật bị ngàm đầu (hình 10.1) Thanh chịu nén tâm lực P Khi P nhỏ giới hạn xem thẳng chịu nén túy Nếu ta a b xô ngang lực R nhỏ (hình ) P P P ) 10.1a), (lực có tác dụng kích thích) R R bị lệch khỏi vị trí thẳng đứng Nhưng ta tác dụng lực R trở vị trí thẳng đứng ban đầu Ta nói làm x việc trạng thái cân bền hay gọi ổn y định Nếu ta tiếp tục tăng lực P lặp lại trình đến lúc giá trị P đủ lớn cần thiết, dù ta tác dụng lực R, Hình 10.1: không trở vị trí cân thẳng đứng ban Thanh chịu nén không đầu Ta nói lúc bắt đầu ổn tâm định hay gọi trạng thái tới hạn Lực P ứng với thời điểm gọi lực tới hạn ký hiệu Pth Dĩ nhiên lực P>Pth hoàn toàn ổn định Trong thực tế không cần có lực xô ngang R nói gió, tính không đồng vật liệu nên tự tạo thành tác dụng lực xô ngang Hơn lực P không tác dụng tâm Cần lưu ý thêm kết cấu hình 10.1 có khả ổn định theo phương y khó ổn định theo phương x Trong thực tế có nhiều ví dụ khác chịu nén, vỏ chịu áp lực xảy ổn định tương tự Trong chương xét tượng ổn định thẳng chịu nén Một chịu nén tâm để đảm bảo ổn định lực nén P cực đại phải thỏa P mãn điều kiện sau: Pmax ≤ th k od định, thường Kod>n (n-hệ số an toàn Trong đó: Kod hệ số an toàn mặt ổn tính toán độ bền) Vì để giải toán ổn định ,việc xác định tải trọng tới hạn Pth 10.2 XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM (Bài toán Euler) Euler năm 1774 ông xác định lực Pth có chiều dài l đặt gối tựa, chịu nén tâm (hình vẽ 10.2) 10 l z Ta giả sử P đạt tới giá trị Pth bắt đầu ổn định Thanh võng theo phương y độ võng thay đổi theo z (chọn hệ tọa độ hình vẽ 10.2) Tại mặt cắt cách gốc tọa độ O đoạn z, có độ võng y(z) mô men uốn M mặt cắt (bỏ qua trọng lượng thân thanh), ta tính mô men là: M = Pth × y(z ) (a) Ta giả thiết làm việc miền đàn hồi sử dụng phương trình vi phân gần thiết lập đường đàn hồi uốn M Pt Vậy: y ′′(z ) = − x (b) h EJ x y Thay (a) vào (b), ta được: o y(z) P ⋅ y(z ) y ′′(z ) = − th EJ x P Hay y ′′(z ) + th ⋅ y(z ) = EJ x Pth y (c) Ta đặt = α2 EJ x phương trình (10-1) có dạng: x z y" (z) + α y(z) = (10-2) Nghiệm tổng quát phương trình (10-2) là: Hình 10.2: Sơ đồ tính lực tới hạn y(z) = C1 sin α ⋅ z + C cos α ⋅ z (10-3) Các giá trị C1 C2 số tích phân xác định nhờ điều kiện biên toán Cụ thể là: Khi z = y = = C1 sin0 + C2cos0=C1× 0+C2× Khi z=l y = = C1 sinα⋅l + C2cosα⋅l Từ điều kiện thứ nhất, ta có: C2 = Vậy y = C1 sinα.z (10-4) Từ điều kiện thứ 2, ta có: C1 sin α.l = Nếu C1 = phương trình (8-3) luôn không, điều trái với thực tế trừ hai vị trí z = z = l y(z) ≠ Vậy (10-4) thỏa mãn sin α⋅l = Hay αl = n.π (n=1.2.3 ) nπ (d) ⇒α = l Thay (d) vào (10-4) ta phương trình đường đàn hồi ổn định đường hình sin Vì đường đàn hồi sinh lực dọc lực vuông góc với trục uốn ngang phẳng, nên người ta gọi tượng uốn dọc Thay (d) vào (c), ta tìm lực tới hạn: n π EJ x (10-5) Pth = l2 Ta để ý thấy giá trị Jx nhỏ nhất, tức Jx= Jmin , nên (10-5) viết: 11 n π EJ (10-6) l2 Với giá trị khác n ta có lực Pth khác nhau, ta gặp π EJ n = và: Pth = (10-7) l2 Lực tới hạn gọi lực Euler (PEuler) b) c) Pt Công thức (10-7) cho ta tính Pth a) h trường hợp đặt hai gối tựa Với có liên kết khác ta tính toán tương tự để có giá trị Pth chúng Nhưng suy từ (10-7) cho có liên kết khác việc để ý đến dạng đường đàn hồi chúng Nhìn lên hình vẽ 10.3, ta thấy đặt hai gối tựa dạng đường đàn hồi 1/2 bước sóng hình sin (hình 10.3a) Với liên kết ngàm đầu đầu tự (hình 10.3b) muốn có 1/2 bước sóng ta phải có chiều dài gấp đôi đặt hai gối tựa Đối với ngàm chặt đầu ta cần 1/2 chiều dài có Hình 10.3:Tính lực tới dạng đường đàn hồi 1/2 bước sóng Như hạn với dạng công thức (10-7) suy rộng cho liên kết khác khác cách thêm hệ số m vào mẫu số Hệ số n π EJ x Pth = m phụ thuộc vào dạng liên kết: (ml)2 (10- 8) Nếu liên kết khớp đầu, m = 1; liên kết ngàm đầu, m = 2; liên kết ngàm đầu, m = 0,5 ngàm đầu đầu đặt gối tựa, m = 0,7 Khi tính lực Pth ta tính ứng suất tới hạn xuất thanh, ta ý lực P = Pth vị trí thẳng đứng nên ứng suất tính nén P π EJ tâm: (10-9) σ th = th = F (ml) ⋅ F l/ l l l Pth = Ta đặt gọi: (10-9) thành: J = i bán kính quán tính cực tiểu mặt cắt ngang, F π2E (10-10) σ th = ⎛ ml ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ i ⎠ ml π2E = λ , (10-10) có dạng: σ th = (10-11) Tiếp tục đặt i λ λ số hạng phụ thuộc vào liên kết thanh, phụ thuộc vào hình dáng kích thước (chiều dài l mặt cắt ngang) Nếu λ lớn σth nhỏ, có nghĩa dễ ổn định; λ nhỏ σth lớn, có nghĩa khó ổn định hơn, nên ta gọi λ độ mãnh Thanh có độ mãnh lớn lợi 12 Ví dụ 3: Cho hai hình trụ tròn có bán kính R1=R2=R có trục vuông góc với hình 23.8 chịu lực ép tập trung P Xác định bán kính lớn a,b, cường độ áp lực tâm P0 diện tích tiếp xúc độ dịch gần δ Bài giải: Như ta có: ∑ K = ⋅ trường hợp thì:A/B=1 R Tra hình 23.5 với e=0, vào biểu thức có phần thì: ⎫ ⎪ a = b = 0,9086 ⋅ K PR ⎪ ⎪ P ⎪ P0 = 0,5784 ⋅ (23-22) ⎬ (K ) R ⎪ ⎪ (K P )2 ⎪ δ = 0,8255 ⋅ ⎪⎭ R Nếu hai vật thể tiếp xúc vật liệu, tức E1 = E2= E µ1 =µ2 = µ (23-22) đưa dạng: PR ⎫ ⎪ E ⎪ ⎪ R2 E ⎪ ⎛ ⎞ (23-23) P0 = 0,388 ⋅ P⎜ ⎟ ⎬ R1 ⎝R⎠ ⎪ ⎪ Hình 23.8:Hai mặt trụ P ⎛ ⎞ δ = 1,231 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎪ tiếp xúc có trục vuông ⎝ E ⎠ R ⎪⎭ góc với 23.2 TẾP XÚC ĐƯỜNG Xét hai hình trụ tròn có bán kính R1 R2, có trục song song tiếp xúc với hình 23.9 Chúng tiếp xúc với theo đường thời điểm chưa chịu lực gọi tiếp xúc đường Mở rộng lí thuyết tiếp xúc điểm, theo (23-6) ta R1 tính đại lượng A B sau: R2 A=0 1⎛ 1 ⎞ Hình 23.9:Hai ⎟ + B = ⎜⎜ ⎝ R R ⎟⎠ hình trụ tiếp xúc có đường truc Từ đồ thị hình 23.5, A/B=0 tâm sai song song với e=1.Với giá trị tra bảng tích phân enliptic ta D(e)=∞, K(e)-D(e)=L(e)=1 Từ biểu thức (23-17) ta suy hình enlip trở thành dải giới hạn hai đường thẳng song song có a=∞ chiều rộng hẹp 2b hình x (23.10) Áp lực enlipxoít: a = b = 1,193 ⋅ 2 P0 + ⎛x⎞ ⎛ y⎞ ⎛ξ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⎝a ⎠ ⎝b⎠ ⎝c⎠ y b b z 258 Hình 23.10:Khi a=∞ b hẹp, enlip thành dải trở thành hình trụ enlíptic: 2 ⎛ y⎞ ⎛ξ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⎝b⎠ ⎝c⎠ Lúc áp lực phân bố chiều rộng 2b theo quy luật: ξ ⎛ y⎞ P = P0 ⋅ = P0 − ⎜ ⎟ c ⎝b⎠ Trong P0 áp suất lớn đường trung bình dải Vậy quy áp suất đường theo chiều dài hình trụ (từ lực phân bố mặt chuyển thành lực phân bố đường mô hình tính toán) ta có: b b −b −b q = ∫ Pdy = P0 ∫ ⎛y⎞ − ⎜ ⎟ ⋅ dy ⎝b⎠ Suy πb (23-24) Gọi P tổng lực ép hai hình trụ từ biểu thức (23-13) (23-24) ta có quan hệ P q là: P = q⋅a (23-25) Chú ý: Trong thực tế a lớn vô cùng, nên P xác định Từ kết ta có biểu thức sau để xác định đại lượng cần thiết: K ⋅q 4⎛ A⎞ a = ⎜1 + ⎟D(e ) π⎝ B⎠ ∑K q = P0 B= K ⋅q 4⎛ A⎞ ⎜1 + ⎟[K (e ) − D(e )] π⎝ B⎠ ∑K Trong trường hợp tiếp xúc đường e=1 nên D(e)=∞; K(e)-D(e) = L(e)=1, bán kính a xem ∞ bán kính trục b là: K q b=3 ⋅ π ∑K Từ giá trị ta tính giá trị áp lực lớn nhất: P0 = ∑K ⋅q πK Nếu hai vật thể vật liệu ta có K = b = 1,522 ⋅ q E∑ K Và giá trị áp suất lớn là: P0 = 0,518 ⋅ q ⋅ E ∑ K 259 1,82 chiều rộng b là: E (23-26) Chú ý: Những biểu thức ta vừa thiết lập dựa sở hai hình trụ dài vô hạn, tức xem a=∞, thực tế a hữu hạn nên người ta sử dụng chúng Trị số độ dịch gần δ hai hình trụ đại lượng hữu hạn Nó phu thuộc vào biến dạng cục miền tiếp xúc mà phụ thuộc vào biến dạng toàn thể vật thể Vì độ dịch gần hai hình trụ có chiều dài hữu hạn bị ép hai phía tải trọng phân bố sử dụng kết Covanski B.S đưa ra: q ⎡1 − µ12 ⎛ 2R ⎞⎤ ⎞ − µ ⎛ 2R + 0,407 ⎟⎥ δ= ⎢ + 0,407 ⎟ + ⎜ ln ⎜ ln π ⎣ E1 ⎝ b E2 ⎝ b ⎠⎦ ⎠ Trong b tính theo biểu thức (23-24) Nếu hai hình trụ vật liệu µ=3, thì: q ⎡ 4R ⋅ R ⎤ δ = 0,579 ⎢ln 2 + 0,814⎥ E⎣ b ⎦ Các công thức xác định P0, b, δ sử dụng cho trường hợp riêng lẽ sau : 1- Hình trụ có bán kính R2 tiếp xúc với mặt trụ lõm bán kính R1>R2 (xem hình R −R 1 23.11a) Ta tính được: ∑ K = R − R = R1 ⋅ R 2 1 2- Hình trụ bán kính R2 tiếp xúc với mặt phẳng hình 23.11b, lúc xem R1=∞, nên ∑ K = R2 R2 o1 o2 R2 R1 b) a) Hình 23.11:Trường hợp riêng a-Hình trụ tiếp xúc với mặt trụ lõm R1>R2 b-Hình trụ tiếp xúc với mặt 23.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN TIẾP XÚC THƯỜNG GẶP 23.3.1.Tính ổ bi chịu tải trọng tĩnh Ổ bi biểu diễn hình vẽ 23.12 sơ Q đồ chịu lực biểu diễn hình vẽ Ổ bi gồm có vành (ca trong), vành γ (ca ngoài), vòng cách viên bi 2γ c Trên vành người ta tạo nên rãnh hình lòng 3γ b2 máng để làm đường trượt cho viên bi Các P2 a c P2 b1 b P1 P1 P0 260 Hình 23.12: Ổ bi sơ đồ chịu vòng cách giữ cho viên bi có vị trí tương Ổ bi chịu tải trọng Q Tải trọng truyền xuống viên bi qua vành từ viên bi chuyển xuống vành tác dụng lên thành máy Dễ dàng nhận thấy viên bi vị trí thấp viên bi chịu tải trọng lớn Chúng ta phải xác định trị số tải trọng Để đơn giản toán ta giả sử rằng: a) Ổ bi lắp khít, khe hở theo hướng kính vành trong, vành viên bi không b) Ta tính đến biến dạng bi vành điểm tiếp xúc Biến dạng độ uốn vành bỏ qua Bây ta tưởng tượng: tác dụng Q, vành xem vật rắn tuyệt đối, có chuyển vị δ0=ab theo phương lực Vành xem cứng tuyệt đối Do biến dạng viên bi tạo nên chuyển vị ab, a1b1, a2b2 theo phương tải trọng Q điểm tiếp xúc a, a1, a2 Các chuyển vị phải bằng: ab=a1b1=a2b2= =δ0 Từ tam giác a1b1c1, a2b2c2 v.v ta tìm thấy thành phần chuyển vị theo phương bán kính điểm tiếp xúc : δ1 = a 1c1 = δ cos γ ⎫ δ = a c = δ cos 2γ ⎪⎪ (23-25) ⎬ K ⎪ δ n = a n c n = δ cos nγ ⎪⎭ Ở góc γ, 2γ, , nγ góc làm phương lực Q phương bán kính qua tâm viên bi Ta nhận thấy góc lớn chúng phải nhỏ π⎛ π⎞ ⎜ nγ < ⎟ viên bi phía không chịu lực 2⎝ 2⎠ Các chuyển vị δ1, δ2, ,δn độ dịch gần vật thể tiếp xúc Chúng tính với công thức tổng quát sau: δ = n δ ⋅ ⋅ η2 ∑ k ⋅ P (23-26) H ⋅ π2 1 B D 1+ A Sử dụng công thức ta dễ dàng biểu diễn chuyển vị qua trị số lực tác dụng sau: δ = C ⋅ P02 ⎫ ⎪ δ1 = C ⋅ P12 ⎪ (23-27) ⎬ K ⎪ δ n = C ⋅ Pn2 ⎪⎭ Với biểu thức (23-25) (23-27) ta biểu diễn P1, P2, Pn theo P0 sau : với nδ = K ⋅ 261 ⋅ P1 = P0 cos γ ⎫ ⎪ P2 = P0 cos 2γ ⎪ ⎬ K ⎪ 32 Pn = P0 cos nγ ⎪⎭ Từ phương trình cân ta có: Q = P0 + 2P1 cos γ + 2P2 cos 2γ + + 2Pn cos nγ Thay (23-28) vào, ta có : Q = P0 + cos γ + cos 2γ + + cos nγ [ (23-28) ] Ta gọi k tỉ số: k= i (23-29) + cos γ + cos 2γ + + cos nγ Trong i số viên bi lắp vành.Tương quan P0 Q viết gọn lại dạng : Q (21-30) P0 = k ⋅ i Với phép toán cụ thể ta thấy thay đổi i từ 10 đến 20 trị số k không đổi Ta giả sử lấy i=10, đó: 10 k= = 4,38 52 + cos 30 + cos 60 Với i=20, ta tìm k=4,37 Nếu kể đến khe hở vành với bi kể đến độ biến dạng uốn vành hệ k nâng lên Thường người ta chọn k=5, vậy: Q P0 = ⋅ (23-31) i Diện tích tiếp xúc bi vành: Diện tích có dạng hình enlip.Các bán trục xác định sau: Với kích thước cho hình 23.13, ta có độ cong là: k 11 = k 12 = d0 rd Đối với vành độ cong k 21 = R B với r vành k 21 = R H Độ cong k22 hai vành k 22 = − r Diện tích tiếp xúc hình enlip Các bán Hình 23.13: kính a, b xác định công thức (23-17) Kích thước ổ Trị số áp suất lớn P0 xác định công bi thức (23-17) điều kiện bền bi : P0≤[P0] Ví dụ 4: Cho ổ bi số hiệu 217 với kích thước sau đây: đường kính d=85mm; đường kính D=150mm; bề rộng B=28mm; đường kính bi d0=19,84mm; số bi i=10; bán kính mặt cắt ngang lòng máng r=0,515d0= 10,23mm; tải trọng tác dụng lên ổ bi Q=34000N Cho biết [P0 ] = 35000 N cm 52 RB RH 52 262 Tính độ bền ổ bi Bài giải : Với kích thước cho, ta suy ra: Độ dày cực tiểu ổ bi dọc theo lòng máng là: 1⎛D−d ⎞ h= ⎜ − d ⎟ = (32,5 − 19,84 ) = 6,33mm 2⎝ ⎠ Bán kính lòng máng thuộc vành ngoài: D R H = − h = 75 − 6,33 = 68,67mm Bán kính lòng máng thuộc vành trong: d R B = + h = 42,5 + 6,33 = 48,33 mm Tải trọng đặt lên viên bi vị trí thấp là: Q 34000 P0 = ⋅ = ⋅ = 17000 N i 10 Bi vành làm vật liệu có mô đun đàn hồi E = 2,12 ⋅ 10 N cm hệ số poatxông µ=0,30 Vậy số đàn hồi có trị số là: 1− µ2 = 0,858 ⋅ 10 −7 cm N E Trị số độ cong : 2 k 11 = k 12 = = = 1,008 cm d 1,984 Với vành ngoài: 1 k 21 = − =− = −0,1456 cm RH 6,867 1 k 22 = − = − = −0,1456 cm r 6,867 1 k 21 = Với vành trong: = = 0,2048 cm R B 4,883 1 k 22 = − = − = −0,9775 cm r 1,023 Vậy với tiếp xúc bi với vành ta có : ∑ k = ⋅ 1,008 − 0,1456 − 0,9775 = 0,8929 cm η=2 Với số liệu dùng công thức (23-18), ta xác định hệ số: 0,9317 − 0,9303 (3,683 − 3,594) = 3,626 n a = 3,594 + 0,9342 − 0,9303 n b = 0,4253 − 0,3590 ⋅ 0,054 = 0,4234 n P = 0,6542 − 0,3590 ⋅ 0,0075 = 0,6515 Chú ý: Để tiện lợi tính toán người ta lập bảng để có n0, nb, nδ, nP thông qua tỉ số A/B 263 Từ ta có : 0,858 ⋅ 10 −7 ⋅ ⋅ 17000 = 0,489cm 0,8920 b = 0,4234 ⋅ 0,1348 = 0,0570cm a = 3,626 ⋅ 0,6515 ⎛ 0,8929 ⎞ P0 = ⋅ ⎜⎜ ⎟ ⋅ 17000 = 291000 N cm −7 ⎟ 3,14 ⎝ 0,858 ⋅ 10 ⎠ Với tiếp xúc bi vành ta có : ∑ k = ⋅ 1,008 + 0,2048 − 0,9775 = 1,243 cm Và tính hệ số là: n a = 4,156 ; n b = 0,3942 ; n P = 0,6104 Từ ta có : 0,858 ⋅ 10 −7 ⋅ ⋅ 17000 = 0,502 cm 1,243 b = 0,3942 ⋅ 0,1207 = 0,0476 cm a = 4,156 ⋅ 0,6104 3 ⎛ 1,243 ⎞ P0 = ⋅ ⎜⎜ ⎟ = 34000 N cm −7 ⎟ 3,14 ⎝ 0,858 ⋅ 10 ⎠ Đối với vật liệu làm bi vành [P0 ] = 35000 N cm Để tính độ bền ta so sánh P0 với [P0 ] Thực ta nói trên, điểm nguy hiểm lòng vật thể độ sâu b z=0,8b Trị số ứng suất tiếp cực đại τ max = 0,325P0 , tỉ số = 0,5 Với trị a b b số khác tỉ số , τmax có trị số xấp xỉ 0,325P0 Khi = 0,1 τ max = 0,310P0 a a b = τ max = 0,300P0 Ta phải so sánh trị số với [τ] a Song chúng khác số nên ta định [P0 ] từ [τ ] điều kiện bền vật thể là: P0 ≤ [P0 ] Để tiện lợi người ta đưa cách tính độ bền sau : Ta nhận thấy bán kính RB RH biểu diễn qua đường kính d0 bi Thực vậy, viết RB=αd0 RH=βd0; α β hệ số không thay đổi họ ổ bi có tỉ lệ kích thước định Vì áp suất bi vành lớn áp suất bi vành ngoài, ta vành để tính độ bền Tổng độ cong có trị số : 1 ⎛ 1⎞ ∑ k = ⋅ d + R − r = d ⎜⎜ + α − β ⎟⎟ ⎠ B ⎝ Hằng số đàn hồi là: 1− µ2 η=2 = 0,858 ⋅ 10 −7 cm N E Q P0 = ⋅ Tải trọng đặt lên bi là: i 264 sau : Thay đại lượng vào công thức (23-24), ta xác định biểu thức P0 P0 = c ⋅ Q id 02 (23-32) Hệ số C tính với biểu thức: 2 3⎛ 1 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎟ ⋅5 C = n P ⋅ ⋅ ⎜⎜ + − ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ π 2⎝ α β ⎠ ⎝ 0,858 ⎟⎠ Ví dụ với trường hợp ta xét : (23-33) 0,6104 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎟ ⋅ = 77000 C= ⋅ − ⎜4 + ⎟ ⋅⎜ 3,14 2⎝ 2,46 0,515 ⎠ ⎜⎝ 0,858 ⎟⎠ Công thức (23-32) viết lại dạng: Q (23-34) P0 = 77000 ⋅ id Đối với họ ổ bi, C số công thức (23-34) trở thành công thức chung cho họ ổ bi Nếu giả sử áp suất cho phép [P0 ] = 339000 N cm , ta đến biểu thức tính lực Q lớn đạt sau: ⎛ 339000 ⎞ 2 Q=⎜ ⎟ ⋅ i ⋅ d = 85i ⋅ d N ⎝ 77000 ⎠ Nếu giả sử sử dụng [P0 ] = 347000 N cm , ta được: (23-35) ⎛ 347000 ⎞ 2 Q=⎜ (23-36) ⎟ ⋅ i ⋅ d ≈ 92i ⋅ d N ⎝ 77000 ⎠ Các công thức (23-35) (23-36) công thức sử dụng sổ tay công nghệ chế tạo máy 23.3.2 Tính tiếp xúc hình cầu phẳng Ví dụ 5:Phôi tròn chịu nén lực Q=7500N lên ba điểm tựa có hình dạng mặt cầu bán kính R=15mm (xem hình 23.14) Cả ba gối tựa cầu đặt đường tròn đồng tâm với phôi cách theo góc 1800 Do Q phân bố gối tựa P Tính kích thước diện tích tiếp xúc áp lực lớn gối tựa tròn Xác định độ chuyển dịch phôi biến dạng gối tựa tác dụng lực nén gây nên Vật liệu phôi Hình 23.14: gối tựa thép Hỏi phôi gang kết thay đổi Phôi tròn chịu lực ? Bài giải: Tải trọng lên gối tựa là: P = Q = 2500 N 265 Với thép ta có E = 2,12 ⋅ 10 N cm µ = 0,28 Vậy số đàn hồi vật liệu 1− µ2 = 0,878 ⋅ 10 −7 cm N E Ở tiếp xúc xem hình cầu mặt phẳng Ta có :R=R1 R2=∞ Bán kính diện tích tiếp xúc : a = 0,9086 ⋅ ηP ⋅ R = 6,3 ⋅ 10 −3 cm = 0,063mm η=2 tiếp xúc là: P ⋅ = 300.000 N cm 2 η R Chuyển dịch phôi độ dịch gần hai vật tiếp xúc: δ = 0,8255 ⋅ (ηP ) = 2,6 ⋅ 10 −3 cm = 0,026cm R Đối với thép hợp kim crôm áp suất P0 cho phép Nếu phôi gang ta có: E = 1,2 ⋅ 10 N cm µ=0,25 Hằng số đàn hồi có trị số là: Áp suất lớn tâm: P0 = 0,5784 ⋅ i − 0,28 − 0,25 = 1,22 ⋅ 10 −7 cm N + 7 2,1 ⋅ 10 1,2 ⋅ 10 -3 Ta tìm thấy: a=7⋅10 cm=0,07mm; P0≈230000N/cm2; δ=3,3⋅103cm=0,033mm Ví dụ 6: Ổ bi chặn có vành phẳng rãnh (hình 23.15) Hãy xác định: 1-Lực cho phép Q tác dụng lên chiều trục 2-Kích thước diện tích tiếp xúc bi vành 3-Độ dịch gần hai vành biến dạng đàn hồi gây nên Cho biết số bi i=20 viên, đường kính Hình 23.15:Ổ bi viên bi d0=1cm Vật liệu vành bi thép chặn hợp kim crôm Áp suất cho phép lớn [P0 ] = 350000 N cm Bài giải: Theo công thức (23-21) với µ=0,30, ta có: d0 η= ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ (1) P0 = 0,3880 ⋅ PE ⎜⎜ + ⎝ R1 R ⎠ Trong trường hợp xét ta có: 1 =0 = R2 R1 d0 Áp lực tác dụng lên viên bi tính với biểu thức : P P= (2) 0,8i Hệ số 0,8 thể phân bố không tải trọng lên viên bi Kết hợp (1) (2), ta tìm thấy: P03 ⋅ i ⋅ d 02 Q = 3,42 E2 Thay trị số vào ta có: 266 Q = 3,42 350000 ⋅ 20 ⋅ (2,12 ⋅ 10 ) = 6530 N Tải trọng tác dụng lên viên bi là: P 6530 P= = = 408N 0,8i 0,8 ⋅ 20 Bán kính diện tích tiếp xúc là: P d 408 a = b = 1,109 ⋅ ⋅ = 1,109 ⋅ ⋅ ≈ 0,024cm E 2,12 ⋅ 10 Độ dịch gần bi vành : ⎛ 408 ⎞ ⎛P⎞ δ = 1,231 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ = 1,231 ⋅ ⎜⎜ ⎟ ⋅ ≈ 0,0011cm ⎟ ⎝ E ⎠ d0 ⎝ 2,12 ⋅ 10 ⎠ Độ dịch gần hai vành là: 2δ=0,0022cm 23.3.3 Tính tiếp xúc hai hình trụ Ví dụ 7: Ổ bi lăn bánh xe tàu điện có kích thước 120×260×86mm Tính chiều rộng diện tích tiếp xúc lăn vành (xem hình 23.16) Các kích thước ổ bi sau: d0=36mm; L=58mm; D=154mm; số lượng lăn i=13; tải trọng tác dụng lên ổ bi Q=45000N Bài giải: Con lăn chịu tải trọng lớn Tải trọng tác dụng lên lăn tính với biểu thức: Q 45000 P = 4,6 ⋅ = 4,6 ⋅ = 15900 N i 13 Chiều dài làm việc lăn: l = L − 2λ = 58 − = 50cm Trong λ chiều rộng khe rãnh hai đầu lăn (hình 23.16) Vậy cường độ tải trọng đường là: L P 15900 q= = = 3180 N cm l Chiều rộng diện tích tiếp xúc vành q R R lăn : b = 1,522 ⋅ ⋅ λ E R1 + R d0 318 1,8 ⋅ 7,7 ⋅ = 0,0225cm 2,12 ⋅ 10 1,8 + 7,7 Chiều rộng dải tiếp xúc 2b=0,45mm Trị số bé so với bán kính lăn vành (R1=18mm; R2=77mm) Áp suất lớn diện tích tiếp xúc là: P0 = 0,4180 qE ⋅ D = 1522 ⋅ Hình 23.16:Ổ bi lăn bánh xe tàu điện R1 + R 1,8 + 7,7 = 0,4180 318 ⋅ 2,12 ⋅ 10 ⋅ = 89900 N cm R 1R 1,8 ⋅ 7,7 Thường thép ổ bi, áp suất cho phép [P0 ] = 250000 N cm Vậy ta thấy áp suất bé so với áp suất cho phép 267 ( 2 d2/ d1/ Ví dụ 8: Xác định áp suất lớn hai bánh trụ răng thẳng chúng tiếp xúc vị trí điểm ăn khớp (hình 23.17).Khảo sát trường hợp sau đây: 1- Bánh chủ động bánh bị động làm vật liệu 2- Bánh chủ động thép bánh bị động gang Bài giải: Ở ta xét thời điểm định Tại thời điểm xem tải trọng tĩnh định Ta I O1 thừa nhận rằng, vật liệu đồng đẳng A hướng, Không kể đến độ khác biệt lớp bề mặt α Một cách gần ta sử dụng công thức (23-39) K để tính áp suất lớn vùng tiếp xúc, nghĩa α xem tiếp xúc dài vô hạn Thừa nhận hệ số II B Poatxông thép gang (µ=0,28) O2 Do số đàn hồi η vật liệu : E + E2 µ = 1− µ2 ⋅ = 1,84 E1E E0 Hình 23.17:Hai bánh răng thẳng ăn E0 gọi mô đun đàn hồi thu gọn: khớp với 2E E ( E0 = ) E1 + E ) Với thép ta có E = ⋅ 10 N cm với gang ta có E = 1,5 ⋅ 10 N cm Vậy E = 1,7 ⋅ 10 N cm Khi bánh làm vật liệu ta có E=E0 Gọi ρ1 ρ2 bán kính cong dạng điểm ăn khớp Khi tổng độ cong bánh là: 1 ∑k = ρ + ρ = ρ ρ0 gọi bán kính cong thu gọn, ta có: q ⋅ E0 qE P0 = ⋅ = 0,416 ⋅ 1,84 ρ ρ0 Từ hình vẽ 23.30, ta dễ dàng tìm thấy: d d ρ1 = sin α ρ = sin α P 2 K α Trong đo: d1 d2 đường kính đường tròn ăn Pn khớp bánh răng; α góc ăn khớp (hình 23.18) Cường độ tải trọng phân bố là: P P q= n = Hình 23.18:Góc ăn l l cos α khớp Trong : l-chiều dài Pn-lực theo phương pháp tuyến với bề mặt P- lực vòng Vậy áp lực cực đại diện tích tiếp xúc là: P0 = 0,832 ⋅ E0 ⎛ 1 ⎜⎜ + sin 2α ⎝ d d 268 ⎞ P ⎟⎟ ⋅ ⎠ l r=300mm φ900mm Ví dụ 9: Tính áp lực lớn kích thước diện tích bánh xe đường ray toa xe chở hàng có bốn cụm bánh (hình 23.19) Trọng lượng toa tàu Q=60t ; bán kính đầu đường ray r=300mm Đường kính bánh xe D=900mm Bài giải: Ở ta xem tiếp xúc hai mặt trụ có trục vuông góc với nhau.Vậy diện tích tiếp xúc đường enlip với bán trục a b Tải trọng bánh xe truyền xuống đường ray là: Q P= = 75000 N 4× Hình 23.19: Bánh xe Các độ cong bánh xe : đường ray tiếp xúc với k 11 = = 0,0222 cm ; k 22 = D Các độ cong đường ray : 1 k 21 = = = 0,0333 cm ; k 22 = r 30 Các mặt cong k11 k22 vuông góc với nhau, cos 2ω = −1 Vậy ta tính hệ số : 0,2000 − 0,1894 (1,168 − 1,141) = 1,150 n a = 1,141 + 0,2207 − 0,1894 n b = 0,8837 − 0,3387(0,8837 − 0,8660) = 0,8777 n P = 0,9919 − 0,3387(0,9919 − 09890 ) = 0,9909 Tổng độ cong bề mặt tiếp xúc: ∑ k = D + r = 0,0555 cm Lấy E=2⋅107N/cm2 µ=0,30, ta có: − µ2 η=2 = 0,91 ⋅ 10 −7 cm N E Khi kích thước diện tích tiếp xúc là: a = 1,150 ⋅ 3 0,91 ⋅ 10 −7 ⋅ ⋅ 75000 = 1,150 ⋅ 0,569 = 0,65cm 0,0555 0,91 ⋅ 10 −7 ⋅ ⋅ 75000 = 0,8777 ⋅ 0,569 = 0,5cm b = 0,8777 ⋅ 0,0555 Áp suất lớn vùng diện tích tiếp xúc là: 3 ⎛ 0,0555 ⎞ P0 = 0,9909 ⋅ ⎜⎜ ⎟ ⋅ 75000 ≈ 110000 N cm −7 ⎟ π ⎝ 0,91 ⋅ 10 ⎠ Để kiểm tra lại ta sử dụng công thức (23-27) để tính : 75000 P0 = ⋅ ≈ 110000 N cm 2 π ⋅ 0,65 ⋅ 0,50 269 Hai cách tính cho ta kết CÂU HỎI TỰ HỌC 23.1 Quan hệ hình học hai bề mặt vật thể tiếp xúc ? 23.2 Chứng minh diện tích hai vật thể tiếp xúc coi enlip 23.3 Bài toán hai hình trụ tròn tiếp xúc ? 23.4 Các biểu thức đại lượng a, b toán tiếp xúc ? 23.5 Các biểu thưc áp lực lớn P0 độ dịch gần δ ? 23.6 Bài toán tiếp xúc hình trụ với mặt phẳng ? 23.7 Bài toán hai hình trụ tiếp xúc có hai trục vuông góc với ? 23.8 Bài toán hai hình trụ tiếp xúc có hai trục song song với ? 23.9 Khi tính ổ bi cần ý yếu tố cho loại ? - - - - - - 270 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Y Tô Sức bền vật liệu (tập 1, 2) Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà nội,1964 Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vuợng Sức bền vật liệu (tập 1, 2, 3) Nhà xuất Giáo dục, 1997 Lê Ngọc Hồng Sức bền vật liệu Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà nội, 2000 Phan kì Phùng, Đặng Việt Cương Lí thuyết dẻo từ biến Nhà xuất Giáo dục, 1997 5.L.M KacHarop (Người dịch: Lê Minh Khanh Ngô Thành Phong) Cơ sở lí thuyết dẻo Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệpHà nội, 1987 Vũ Đình Cự Vật lí chất rắn Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà nội, 1997 Nguyễn Văn Vượng Lí thuyết đàn hồi ứng dụng Nhà xuất Giáo dục,1999 Nguyễn Xuân Lựu Lí thuyết đàn hồi Nhà xuất giao thông vận tải, 2002 Lê Công Trung Đàn hồi ứng dụng Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà nội, 1999 10.X.P.Timosenko, X.Voinopski-Krige Các Người dịch: Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Nghuyễn Khải, Đoàn Hữu Quang Tấm vỏ Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà nội, 1971 11.N.I BeĐukhop (Người dịch: Phan Ngọc Châu) Cơ sở lí thuyết đàn hồi Lí thuyết từ biến Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà nội, 1978 12 Đào Huy Bích Lí thuyết trình đàn dẻo Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nộ, 1999 - - 272 273 [...]... phươg trình vi phân của mô men uốn bằng cách đạo hàm hai lần liên tiếp phương trình (1 1- 1): d 2 y(z ) d 2 M(z ) d 2 M * = + P ⋅ (a) dz 2 dz 2 dz 2 Trong chương uốn, ta đã có: d2y M(z ) d 2M* (b) = − và = q(z ) EJ x dz 2 dz 2 23 Thay (b) vào (a), ta được: d 2 M(z ) P = q(z ) − M(z ) (1 1- 4) 2 EJ x dz P Ta đặt 2 = EJ Và phương trình (1 1- 4) có thể được viết lại: d 2 M(z ) + α 2 M(z ) = q(z ) (1 1- 5) 2 dz... đến (1 0 -20 ) và đưa nó vào (1 0 -23 ), cuối cùng ta có : M 2th ⋅ ϕ ϕ′′ = EGJ P J y ϕ′ = hay Nếu đặt: ϕ′′ + M 2th ⋅ϕ=0 EGJ P J y M 2th k = EGJ P J y 2 (1 0 -21 ) (1 0 -22 ) (1 0 -23 ) (1 0 -24 ) (1 0 -25 ) (1 0 -26 ) thì phương trình (1 0 -25 ) sẽ là: ϕ′′ + k 2 ⋅ ϕ = 0 (1 0 -27 ) Như đã biết, nghiệm của (1 0 -27 ) sẽ là: ϕ = C1 sin kz + C 2 cos kz (1 0 -28 ) Các hằng số C1 và C2 được xác định nhờ các điều kiện biên: Khi z=0 → ϕ=0 (a)... ∆M(z−a) thì Hình 11 .2: Sơ đồ xác định tính được Mi+1 Việc xác định ∆M(z−a) là nội lực quan trọng Hãy viết cho đoạn thứ i và i+1: 2 M ′i′(z ) + α M i (z ) = q i (c) 2 M ′i′+1 (z ) + α M i +1 (z ) = q i +1 (d) Thay biểu thức (1 1- 6) và đạo hàm cấp 2 của nó vào (d), ta được: 24 [M ′i′(z ) + ∆M ′′(z − a )] + α 2 [M i (z ) + ∆M(z − a )] = q i+1 (e) Lấy (e) trừ cho (c), ta có: (f) ∆M ′′(z − a ) + α 2 ∆M(z... Theo (1 1- 4), thì α 2 = của dầm a); f- độ võng lớn nhất của dầm b) Như đã biết: 27 y" (z) = − M (z) EJ Vậy từ (a) và (b) ta viết được: M * (z) = − EJ x ⋅ y*" = EJ x 2 πz 2 f * sin = EJ x 2 ⋅ y * ( z) l l2 l (chỉ có lực ngang) 2 πz 2 = EJ x 2 y(z) M (z) = − EJ x ⋅ Y" = EJ x 2 f sin l l l (có lực ngang và lực dọc) Thay chúng vào công thức (1 1- 1), ta có: 2 2 EJ x 2 y(z) = EJ x 2 y * (z) + P ⋅ y(z) l... ⎜⎜ 2 ⎟ (b) σ z min = − + 2 αl ⎟ F α Wx ⎜ ⎟ ⎜ cos 2 ⎠ ⎝ 6- Các nhận xét: 26 P , kết hợp (a) và (b), ta thấy nội lực không tỉ lệ bậc EJ x nhất với ngoại lực Do đó, ứng suất cũng không tỉ lệ bậc nhất với ngoại lực αl - Khi cos = 0 thì Mmax và khi sinαz sẽ tiến đến vô cùng, lúc này ta có: 2 π αl = (2 k + 1) (k=0,1 ,2 ) 2 2 Kết hợp với (1 1- 4), ta có: 2 ( P 2k + 1) π 2 2 =α = EJ x l2 Vậy: 2 2 π EJ x P = (2 k... b − ⎡ trung hoà bằng phương pháp 1 2 (r2 − r ) ⎥ r2 b2 + ⎢ chính xác h ⎥ dr ∫r1 ⎢⎢ r ⎥ ⎦⎥ ⎣⎢ b 2 + b1 h ro = ⋅ r 2 r2 2 ⎛ b1 − b 2 b1 − b 2 ⎞ dr ∫r1 ⎜⎝ b 2 + h ⋅ r2 ⎟⎠ r − r∫1 h dr Sau khi tích phân và rút gọn ta có: (1 2- 7) ro = h (1 2- 8) ⎛ r2 r2 ⎞ 2 ⎜ ln − 1⎟⎟ ⎝ h r1 ⎠ 3 Mặt cắt ngang là hình chữ nhật Trong công thức (1 2- 7), ta cho b2 = b1 =b h ro = Ta có: (1 2- 9) r2 ln r1 4 Mặt cắt ngang hình tròn Ta... 25 = − 20 000 Ncm C A e B Bán kính cong của lớp trung hòa được tính theo (1 2- 9): ) 3c m r1 ( r2 Ta có: P 35 25 cm Hình 12. 6: Tính ứng suất pháp của một thanh cong h 8 = = 7 ,28 cm r2 8+4 ln ln 8−4 r1 e=ρ−ro=8−7 ,28 =0,72cm ro = Ứng suất được tính theo công thức (1 2- 6): σ Bz = Nz M x yB + ⋅ F F ⋅ e rB 800 − 20 000 (8 + 4) − 7 ,28 + × = − 422 N / cm 2 8 ⋅ 3 8 ⋅ 3 ⋅ 0, 72 8+4 800 − 20 00 (8 − 4) − 7 ,28 và σ (zA... − a ) = q i +1 − q i = ∆q a Vì lẽ α và ∆qa (bước nhảy lực phân bố tại z=a) là các hằng số, nên nghiệm của phương trình (f) sẽ là: ∆q a (g) ∆M (z − a ) = A cos α(z − a ) + B sin α(z − a ) + α A và B là những hằng số tích phân được xác định theo điều kiện biên của bài toán: ∆ M z =a = ∆M a ⎫⎪ 1) (h) ⎬ 2) ∆Q z =a = ∆Q a ⎪⎭ Đạo hàm (g), ta có: ∆Q(z − a ) = − Aα ⋅ sin α(z − a ) + Bα ⋅ cos α(z − a ) (i) Thay... Thay (h) vào (g), ta được: ∆q ∆Q a A = ∆M a − 2a ; B = α α Khi đã xác định được các hằng số A và B thì thay (h) vào (1 1- 6), ta được biểu thức tổng quát về mô men ở đoạn thứ i+1: ∆Q a M i +1 (z ) = M i (z ) + ∆M a cos α (z − a ) + ⋅ snα (z − a ) + α ∆q a [1 − cos α(z − a )] (1 1- 7) 2 Từ (1 1- 7), ta viết được mô men của đoạn thứ nhất, khi đó Mi=0, a=0 sẽ là: Q q M 1 (z ) = M 0 cos αz + 0 ⋅ sin αz + 02 (1 ... hai lần (1 1- 4) rồi nhân cả − EJ x ⋅ y*" (z) hai vế cho EJX , ta được: − EJ x y" (z) = P 1− Pth M * (z) (1 1- 1 2) hay: M (z) = P 1− Pth Trong đó: M*(z) là biểu thức mô men do lực ngang gây ra (xác định bằng phương pháp mặt cắt khi xác định nội lực) Đạo hàm (1 1- 1 2) , ta được công thức gần đúng để tính Q * (z) lực cắt Q(z): (1 1-1 3) Q( z ) = P 1− Pth * Trong đó: Q (z) là lực cắt do các lực ngang gây ra và ... mỏng hở 22 .7.1 Khái niệm Bimomen 22 .7 .2 Trường hợp chịu lực tổng quát thành mỏng 22 4 22 4 22 5 22 5 22 6 22 7 23 2 23 6 24 0 24 2 24 7 24 7 24 8 Chương 23 : Bài toán tiếp xúc 23 .1 Bài toán tiếp xúc Hezt 23 .1.1... : M 2th ⋅ ϕ ϕ′′ = EGJ P J y ϕ′ = hay Nếu đặt: ϕ′′ + M 2th ⋅ϕ=0 EGJ P J y M 2th k = EGJ P J y (1 0 -21 ) (1 0 -22 ) (1 0 -23 ) (1 0 -24 ) (1 0 -25 ) (1 0 -26 ) phương trình (1 0 -25 ) là: ϕ′′ + k ⋅ ϕ = (1 0 -27 ) Như... +1 (z ) = q i +1 (d) Thay biểu thức (1 1- 6) đạo hàm cấp vào (d), ta được: 24 [M ′i′(z ) + ∆M ′′(z − a )] + α [M i (z ) + ∆M(z − a )] = q i+1 (e) Lấy (e) trừ cho (c), ta có: (f) ∆M ′′(z − a ) +