Giáo trình sức bền vật liệu tập 2 phan 1 lê quang minh, nguyễn văn lượng

Giáo trình Sức bền vật liệu gồm 2 tập (Tập 1 Tập 2). Tập 2 giáo trình sau đây gồm nội dung chương 14 đến chương 25. Phần 1 tập 2 sau đây gồm nội dung chương 14 đến chương 16, trình bày các nội dung: Dây mềm, tính chuyển vị theo phương pháp năng lượng, giải bài toán siêu tĩnh bằng phương pháp lực, ma trận chuyển, phương pháp phần tử hữu hạn.

SUC BEN VAT LIED

|

=

BM NHA XUAT BAN GIAO DUC

LE QUANG MINH — NGUYEN VAN VUGNG

SUC BEN VAT LIEU

TAP HAI

(Tai ban lan thit nhat)

NHA XUAT BAN GIAO DUC

Bán quyền thuộc HEVOBCO Nhà xuất bản Giáo dục,

11 — 2007/CXB/161 2219/GD Mã số : 7B640ØT7— DAI

Chương 14

DÂY MỀM

§14-1 KHAI NIEM

Trong việc truyền tải điên cần phải dùng dây dẫn điện treo trên các cột Gần đây, trong các cơng trình lớn như cầu treo, cáp truyền qua thung lũng, dây vận tải ở các mỏ, kết cấu mái của những nhà lớn như cung thể thao, bể bơi v.v đều sử dụng dây Vì vậy, chúng ta để

cập đến việc tính tốn độ bền của dây

Đặc điểm của dây là khơng chịu được mơmen uốn và mơmen xoắn, do đĩ ta gọi là dây

mềm Dây tuyệt đối mềm là dây hồn tồn khơng chịu được xoắn và uốn Nếu dây cĩ một

ít khả nang nào chống xoắn và uốn thì ta gọi là dây cứng Tất nhiên cĩ thể căn cứ vào khả năng chống tốn và xốn để phân biệt loại dây nhưng là một kết cấu dây thì ta xem các kha

nang nay là khơng cĩ Mơmen uốn và mơmen xộn trên mọi mặt cắt ngang của dây là bằng khơng

Dây thường được treo vào hai mĩc cố định Hai mĩc này cịn được gọi là hai gối cố định Chúng tạo nên các sức căng kéo dây Ta cĩ thể gặp các trường hợp sau đây :

I Hai mĩc cố định đồng mức, nghĩa là hai mĩc cùng nằm trên mặt phẳng ngang (h.14-la)

2 Hai mĩc cố định khơng đồng mức, khi chúng nằm trên các mặt phẳng ngang khác

nhan (h.4—Tb)

Tà chọn hệ trục tọa độ như hình vé h, 14-1

Gốc tọa độ O trùng với A Ox là giao tuyến

Bx

của mật phẳng thắng đứng đi qua AB với mặt CỐ 7

phẳng ngang di qua A Khoảng cách giữa hai a) | Ị

kí hiệu là / Gĩc tạo bởi đường AB với trục Ơx A 5 -

Trong bài tốn cĩ mĩc đồng mức, độ võng lớn /

nhất của đây thường được kí hiệu là f và được gọi Y

là "mũi tên” Căn cứ vào t¡ lệ giữa f và / ta chia ra nh 14-d

hat loại bài tốn Hình 14-

I 1 10° 20 Meee ok an , ~ 4s f ol |

2 Bài tốn cĩ độ võng bé, nghĩa là khi TT0720

Dây cĩ độ võng nhỏ cịn được gọi là ‘a, thoải Loại đây mềm và thối được dùng nhiều nhất vì vậy sau đây ta chỉ đề cập đến loại này

1 Bài tốn cĩ độ võng lớn, nghĩa là khi n >—

§14-2 NHUNG CONG THUC TONG QUAT

1 Tinh chat cua thanh phan ngang cua luc cing

Xét một đoạn đây vô cùng bé có chiều dài

" Goi Ty va Ty 1a cae sifc cang trén cdc mat

cat M va N Ngoai lực ở đây là một lực phân bố

q Vì ds là vô cùng bé nên hình chiếu của ds lên

trục Ox là dx cũng là vô cùng bé và ta xem như

q phân bố đều trên dx, và quan hệ giữa ds và dx

có thê viết :

dscosa = dx

Vì trên các mặt cắt MN mômen uốn bằng 0

nên điều kiện cân bằng của đoạn dây ds chỉ còn

hai phương trình hình chiếu

—-Ty, sina + Ty sin(o + da) — qdx= 0 (2)

Hinh 14-2

Goi H 1a thành phần hình chiếu của T theo phương ngang, ta có :

Tycosa = Hy, Ty cos(a + da) = Hy

Hy HN

Hay Tụ cosa N cos(a + da) (

Từ phương trình (1) ta có thể viết :

Hy = Hy = H

và phát biểu như sau :

Trong moi trường hợp, thành phần ngàng của hức căng trên những mặt cắt khác nha

ca dây là bằng nhan

2 Phương trình vi phân của đường cong

Tinh Ty, va Ty theo H và thay vào phương trình (2) ta được :

H[tg(œ + dœ)—tgœ| = q.dx

nhưng ‹ [tg(œ + đx)—tgơ] = d(tgœ) = d(y)

Vậy ta có thể viết lại biểu thức trên như sau :

dˆy

dx

Phương trình vi phân đó là đúng với mọi trường hợp, q có thể là một hàm số bất kì nào

đó theo x.

§14~3 BAI TOAN CO MOC DONG MUC (DAY THOAD

Trước hết ta hãy xét trường hợp dây chịu tác dụng của lực bản thân Gọi p là trọng

lượng riêng của dây vậy trọng lượng của ds là pds Trọng lượng đó phân bố đều trên dx nên

ta CÓ :

4 "ax ~ cosa

qua công thức (14—3) ta có những nhận xét quan trọng sau day :

— cosơ là thay đổi dọc theo đường cong của dây Như vậy q không phải lực phân bố đều

— Trong trường hợp móc đồng mức, trị số lớn nhất của œ là ở tại hai đầu mút của dây

Tại đó ta có thể tính eosœ theo tgœ như sau :

cosa = |

yi + tgˆœ

Có thé xem tga = , va nhu vay :

l

cosa =

2

f

HỆ,

Ví dụ với 7T“10 thì [z] = 0,01 thay vào trên ta thay cosa ~ Í Trong trường hợp này ta có thể xem q như phân bố đều

1 Phương trình đường cong của dây

Phương trình vị phân của đường cong là :

<= =q= C =

dx

Ở đây q là một hằng số được chọn dấu tùy ý sao cho phù hợp với hệ trục tọa độ đã chọn

và quy ước dấu cua tai trong

Tích phân phương trình đó hai lần ta được :

H.y = qx +C;

2

Hy = Tt Cx + Cy

Nhu vay dang đường cong là hình parabòn Các hằng số tích phân được xác định từ các

điều kiện biên như sau :

Khi x = Ô thì y= 0

| Khix = 5 thì y'=0

(vì tính chất đối xứng cực đại của Parabôn phải ở giữa)

tà,

Thay vào trên ta tìm thấy :

Phương trình của đường cong sơ bộ có A ——® x

YT HZ 2

Thay trị số x = 3 vào fa tính được: - Hình 14-3

2 q/

Ymx =Ÿ=—N

Để f có trị số dương thì q phải là âm Điều đó hoàn toàn phù hợp với quy ước dấu của q

mà chúng ta đã chọn (q âm có chiều đi xuống) Vậy độ võng lớn nhất là :

2

qi

Phương trình của đường cong sẽ là :

] qx?

Céng thttc (14-4) cé mot ý nghĩa quan trọng : khi biết được f thì có thể tính được H và ngược lại Bài toán dây là bài toán siêu ũnh vì phải xác định được bốn thành phần phản lực

ở các gối đỡ Cũng vì vậy ta phải xác định được một thành phần phản lực từ điều kiện biến đạng của dây Các phép toán về sau cho phép ta xác định phương trình này nhưng ở đây biểu thức (14—4) cho ta thấy hoặc có thể chọn f làm ẩn số hay chọn H làm ẩn số đều được

Nhiều sách đã chọn f làm ẩn số nhưng ở đây chúng ta sẽ chọn H làm ẩn số

2 Sức căng cực dai

Ta nói sức căng bé nhất là sức căng trên mặt cắt ở giữa khẩu độ Thực vậy vì tại đó

T=H O một mặt cắt bất kì ta luôn có :

Ở mặt cắt ở giữa nhịp œ = Ö nên Tsinœ = 0

Sức căng lớn nhất khi sinœ có trị số lớn nhất Các vị trí đó là ở hai móc Nghĩa là khi x=Ovax=/

Ta có thể sử dụng các phương trình mômen đối với các điểm A và B để tìm thấy các thành phân thẳng đứng của sức căng tại A và B (không dùng phương trình hình chiếu vì T

chưa được xác định)

2Mpg= Yal-a5 =

2

Ma = Yp~q= =0

Ỉ Vậy (a có : YA=Yg=

Từ đó ta có Ta, là :

Hay

Điều kiên bền của dây là :

F

F là diện tích mặt cắt ngang của dây

H

(14-7)

(14-8)

Muốn thực hiện được phép tính kiểm tra này thì ta phải xác định được H

3 Dầm tĩnh định tương ứng

Nhằm rút gọn cách tính toán và

suy luận chúng ta hình dung một

đầm tính định được đặt trên hai gối

tựa cố định có chiều dài bằng khẩu

độ í và chịu lực phân bố đều giống

như dây (h.14—4b)

Trên hình (14—-4a) biểu diễn

hình dây treo trên hai móc đồng

mức À-B với các sức căng TẠ, Tạ

- và các thành phan Ha, Hg cing voi

các thành phần thắng đứng Y„, Y§

Ta nhân thấy dảm tính định

tương ứng chỉ có các phản lực Y„ và

Yạ Các thành phần phản lực này

của dây và dầm là bằng nhau Trên

đầm không có các thành phần phản

lực HẠ và Hạ

Bay giờ ta hãy tính sức căng

trên một mặt cắt C nào đó có hoành

dé x =a cia day

Viết phương trình tổng mômen

Hình 14-4

Hình 14-5

đối với C của tất cả các lực đặt trên đoạn dây ÁC, Ta có :

2

Tổng mômen đó phải bằng 0 vì dây không chịu được uốn

Ta tính mômen uốn trên đâm tương ứng Ta có :

2

Đem (b) thay vào (a) ta có :

yc.HẠ =M@x)

Ta có thể viết một cách tổng quát cho bất cứ mặt cất nào

Ta có kết luận :

Độ vống của dây là bằng mômen nối trên lâm tương ứng chia cho H

Xót trường hợp trên dáy có thêm một lực tập rung

Giả sử ngoài trọng lượng bản thân q trên dây có thêm một lực tập trung đặt tại mặt cắt

C có hoành độ x = a Như vậy trên dầm tương ứng ta cũng có lực P tương tư

Dùng các phương trình mômen đối với các điểm A và B ta sẽ tìm thấy (ở đây không dùng phương trình hình chiếu vì T là ẩn)

Y,= qi + PΠ- a)

1 Pa - ‘ P B Ta

q

Yp= > + T mạ

Các trị số đó đúng bằng các phản

Như vậy nếu tính cho một mặt cắt ị

bất kì trên dây ta cũng có phương trình : a DD,

Điều đặc biệt mà chúng ta cần chú

ý là biểu thức đó không phụ thuộc vào Hình 14-6

hình dáng ban đầu của dây Sau khi

dây chịu tải trọng P, hình dáng của dây

có thể khác với hình dáng ban đầu Py, Pp Ps

nhưng quan hệ trên là không thay đổi f1

Như vậy, có nghĩa là, nếu biết H và

M(x) thì biểu thức (14-9) lại chính là

phương trình đường cong của dây

Vừa rồi chúng ta lấy một lực P làm 8)

ví dụ Nếu như ta thêm một hệ lực tập y

trung hay một hệ lực phân bố thì tính

B

ất đó không th i 1a là 4

cha 6 hong thay doi Nghĩa là ta có b) R 2

thé 4p dung biéu thiic (14—9) cho mdt Ti

hệ lực bất kì (hình 14-7) Hinh 14-7

Trén hinh vé 14-7 ta phdi xem hé luc dat trén dây như hệ lực đặt trên dâm tương ng

Tinh momen won cua dam tuong ting dem chia cho H thì có phương trình đường cong

của dây

4 Chiều dải của đây

Để tính được H ta phải để cập đến độ din của dây, do đó ta phải tính được độ dài của đây Chiều dài cha day được tính với công thức

trong đó ds là một vị phân cung cua dây, vậy : |

Đem thay (b)vào (a) ta có :

L= vax? + dy? = [, I+ (2) a

Biéu thức i là đạo hàm của đường cong y(x) Ta xét với trường hợp đây thoai, góc

xX

của các đường tiếp tuyến với trục hoành là nhỏ nên ta có :

y =tgơ

là một lượng nhỏ

Vậy ta có :

Từ biểu thttc (14-9), ta cé thé viét :

_ M(x)

J TH

_ 1 dM 1 “Tay = 96) (14-11) -

Q(+x) là lực cắt trên đầm tĩnh định tương ứng

Thay trị số y' được tính từ (14—11) vào (14—10) ta có :

_„, I nQˆ@)

2H Trong đó :

Tính D trong một số trường hợp thường gặp :

a) Khi lực phản bố đều

r1

D= ‘> (14-14) Hinh 14-8

b) Khi chỉ có một lực tập trung

Ta có hai hàm :

_—a—¬"

— pal Pd —a) LÝ Pa

Pˆ(! — a)a

D= — (14-15) |} a—_~,P

q- c) Vừa có lực phân bố vừa cô lực tập trung | | | | !

q/ Pa 2 Ị 2 1

CŒ); = ý _ x} TT Hình 14-10

Khéo léo sử dụng các kết quả (4-14) va (14-15) chiing ta chi con phải tính cho hai

tich phan :

F — _ 2

[2(3-+)°= a) ax = Pg tl! =

2

Và— Be ¬ ax |P2 ax = py

Cuối cùng ta được :

2,3 (` + P“a(l -: 2 a(Ï — a)

_q D= 12 ] Tương tự như vậy ta có thể tính cho các trường hợp khác như sau :

Khi lực P đặt ở giữa nhịp :

Khi trên dầm có hai lực đặt đối xứng _—a—¬P P——a—~|

=;

5 Tính lực căng của dây

Ta giả sử ở trạng thái đầu, dây có chiều dài Hình 14-11

là L„ và lực căng là H, Sang trạng thái thứ hai dây có chiều dài là L¡ và lực căng Hị Gia

sử đã biết L„ và H,, yêu cầu phải xác định Lạ và H

Từ công thức (14—12) ta có :

D

Al=L,-L, = l+—> -|f+ =

2H¡ 2H

Như vậy nếu ta có Ai thì sẽ tính được Hị

Chỉ có hai nguyên nhân gây nên Á!

— Do sức căng

~ Do nhiệt độ

Ta lần lượt tính các độ đãn do những nguyên nhân đó gây nên

ad) Độ dứn do sức cảng gây nên

Ta giả sử ứng suất trong dày chưa vượt quá giới hạn đàn hồi Xét một phân tố vô cùng

bé ds„ của dây ở trạng thái ban đầu Độ dãn sẽ là : |

= ds,

Trong đó E là môdun đàn hồi của vật liệu và F là diện tích mặt cất ngang Như ta

đã có từ (14-1):

COS Ơ( cosa,

Hình chiéu cia ds, va ds, lén truc x xem 1a dx Vay :

dx _ dx

Dem thay các trị số đó vào (14—20) ta có :

COs Ơi cos QM,

iT

Tính cosœ theo tgœ với chú ý tgœ = y', biểu thức (14-21) được viết lại như sau :

' '‹2.„ đX

A(ds,)y = [H\(1 + y2)-HẠ(1 + vợ) ge EF

Nhưng như chúng ta đã có :

._ QŒœ)

YH

A(dsu)y= " 4 + eo] — Hạ [ + Soe)

Vậy :

Độ dẫn do T gây nên trên toàn dây là :

AL; = [ A(ds,

Thực hiện phép tích phân ta có được :

Trong đó

D,= [Q°&)dx — D,= [Q?(x),dx

b) Độ dân do nhiệt độ gây nên

Gọi ơ là hệ số dãn dài do nhiệt độ, t„ là nhiệt độ ở trạng thái đầu và tị là nhiệt độ ở trạng thái 2 Ta có :

Virang: AL=AL;+AL,

Dem (14—22), (14-23) va (14-19) thay vao ta cé phương trình :

Đá là phương trình biến dụng ta cần tìm Trong đó HỊ là ấn số

Thực hiện các phép toán chuyển đổi cuối cùng ta có thể viết lại dưới dạng :

HỆ +|—H, + SŒL—12)L2EE „ D,EE; „ DỊ, DoH] _ ERD: _,

tee L

Chú ý các đại lượng : oe ~.l,

2

và DH, _ D,Hị có thể xem 1à 0 được TH, |

Như vậy phương trình được viết lại như sau :

HT „+ d(t —tạ).E fs -EFP: <0 (14-24)

Ví dụ 1 Một kết cấu dây cáp có khẩu độ / = I00m, ban đầu chịu tải trọng phân bố đều

do trọng lượng bản thân gây nên với q„ = 0,10 kN/m và có độ võng lớn nhất f, = Im Hai

gối đỡ nằm trên cùng mặt phẳng ngang Sau đó dây chịu thêm một tải trọng phân bố đều

dị = 0,4 kN/m (do mặt sàn gây nên) và một lực tập trung P = 10KN ở giữa nhịp (h.14— L2)

1 Tìm sức căng và độ võng của dây ở giữa nhịp dưới sự tác động của những tải trọng

thêm gây nên

2 Giả sử nhiệt độ tăng thêm +30°C hay

giam di-30°C hỏi sức căng và độ võng thay

33,

Đây là bài toán cầu cáp dây treo song song, q, 1a trong luong riêng của dây cáp, q là trọng lượng của mặt cầu đặt lên dây cáp trên mỗi mét dài P là trọng lượng của hoạt tải phân cho dây cáp

l.TínhH,

Sử dụng công thức (14-4) để xác định thành phần ngang của lực căng Ta có :

dol? _ 0,1.100

H, = 2 = —— = 125kKN

° RE 8.1

2 Tính H,

Sử dụng công thức (14-24) để tính H Trước tiên ta phải tính D, và Dị

qe!” _ (0,1)7.100

_ 2

„= [lac ), Pdx = 4 5 rp = 833 (KN)

l + Ị P“í + /“.P

Độ cứng khi kéo của dây là :

E.F = 1.10°.4.10 ° = 4.10°kKN

13