Bài giảng sức bền vật liệu (đh xây dựng) chương 5 thanh chịu xoắn thuần túy

®¹i häc SỨC BỀN VẬT LIỆU Trần Minh Tú Đại học xây dựng July 2010 tpnt2002@yahoo.com Chương THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY NỘI DUNG 5.1 Khái niệm chung 5.2 Ứng suất mặt cắt ngang 5.3 Biến dạng tròn chịu xoắn 5.4 Điều kiện bền 5.5 Điều kiện cứng 5.6 Thế biến dạng đàn hồi 3(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ chịu xoắn 4(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ chịu xoắn 5(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.1 Khái niệm chung (1) Định nghĩa Thanh chịu xoắn túy mà mặt cắt ngang có thành phần ứng lực mô men xoắn Mz nằm mặt phẳng vuông góc với trục Ví dụ: Các trục truyền động, kết cấu không gian,… Ngoại lực gây xoắn: mô men tập trung, mô men phân bố, ngẫu lực mặt cắt ngang 6(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.1 Khái niệm chung (2) Ví dụ chịu xoắn A F B Q1 x C Q2 z T t T t y 7(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.1 Khái niệm chung (3) Biểu đồ mô men xoắn nội lực ƒ Qui ước dấu Mz Nhìn từ bên vào mặt cắt ngang, Mz có chiều thuận chiều kim đồng hồ mang dấu dương ngược lại ƒ ƒ Xác định mô men xoắn nội lực mặt cắt ngang – PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT Mz nội lực mặt cắt ngang tổng mô men quay trục ngoại lực bên mặt cắt Ví dụ 8(34) July 2010 Mz > ∑M z =0 Mz = Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.2 Ứng suất mặt cắt ngang (1) Thí nghiệm Vạch bề mặt - Hệ đường thẳng // trục - Hệ đường tròn vuông góc với trục - Các bán kính QUAN SÁT - Các đường // trục => nghiêng góc γ so với phương ban đầu - Các đường tròn vuông góc với trục => vuông góc, khoảng cách đường tròn kề không đổi - Các bk bề mặt thẳng có độ dài không đổi 9(34) July 2010 γ Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.2 Ứng suất mặt cắt ngang (2) GIẢ THIẾT Gt1 – Gt mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt ngang trước biến dạng phẳng vuông góc với trục sau biến dạng phẳng vuông góc với trục Khoảng cách mặt cắt ngang không đổi Gt2 – Gt bán kính: Các bán kính trước sau biến dạng thẳng có độ dài không đổi Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke 10(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Bài tập - Ví dụ 5.1 3M đồ mô men xoắn Đoạn CD ( ≤ z1 ≤ a ) M CD z B C 2a = 3M D Biểu 2D M D a M CD z Đoạn BC ( ≤ z2 ≤ 2a ) 3M D z1 M zBC = M BC z 3M M C z2 D M D a 15 10 20(34) July 2010 Mz kNm Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 5.1 3M τ CD τ BC = B M zCD 15 × 102 = = = 7,5(kN / cm ) 3 0, D 0, × 10 M zBC 0, ( D ) C 2a 10 × 102 = = 0,625(kN / cm ) 0, × 20 D Trị số ứng suất tiếp lớn 2D M D a 15 10 Góc xoắn D ϕ D = ϕ BC + ϕ CD Mz kNm M zCD × a M zBC × 2a ϕD = + CD GI p GI pBC 15 × 102 × 102 10 × 102 × × 102 ϕD = + = 0,02(rad ) 4 × 10 × 0,1 × 10 × 10 × 0,1 × 20 21(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering (*)Phân tích trạng thái ứng suất • Các phân tố với mặt song song vuông góc với trục chịu trượt túy ứng suất pháp ứng suất tiếp đồng thời hai tồn mặt • Phân tố a chịu trượt túy • Xét phân tố nghiêng góc 450 so với trục, F = 2(τ max A0 )cos 45 = τ max A0 σ 45o = F τ max A0 = = τ max A A0 • Phân tố chịu ứng suất kéo hai mặt chịu ứng suất nén hai mặt 22(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering (**)Phân tích trạng thái ứng suất • Vật liệu dẻo, độ bền trượt thường bị phá hủy cắt Vật liệu dòn chịu kéo chịu cắt • Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dẻo bi phá hủy mặt cắt có ứng suất tiếp lớn – mặt cắt ngang • Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dòn bị phá hủy theo phương có biến dạng kéo lớn – phương xiên góc 450 so với trục 23(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.4 Điều kiện bền - Điều kiện cứng Điều kiện bền max τ max Mz = max ≤ [τ ] Wp τ - dùng thực nghiệm tìm τ [τ ] = n [τ ] σ] [ = - dùng thuyết bền [τ ] σ] [ = - dùng thuyết bền Điều kiện cứng θ max ⎛ Mz =⎜ ⎜ GI ⎝ p ⎞ ⎟⎟ ≤ [θ ] ⎠ max ( rad / m ) Nếu [θ] cho độ/m => đổi rad/m 24(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.4 Điều kiện bền - Điều kiện cứng Ba toán bản: a) Bài toán 1: Kiểm tra điều kiện bền (hoặc điều kiện cứng) Mz τ max = ≤ [τ ] Wp b) Bài toán 2: Chọn kích thước theo điều kiện bền (hoặc điều kiện cứng) Wp ≥ c) Mz [τ ] Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép tải trọng tác dụng (là giá trị lớn tải trọng đặt lên hệ mà đảm bảo điều kiện bền điều kiện cứng) M z ≤ Wp [τ ] 25(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.5 Bài toán siêu tĩnh Bài toán siêu tĩnh ƒ Là toán mà dùng phương trình cân tĩnh học ta xác định hết phản lực, thành phần nội lực ƒ Phương pháp giải: Viết thêm phương trình bổ sung – phương trình biểu diễn điều kiện biến dạng ƒ Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực B a 26(34) July 2010 d A 2d M D 2a Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.5 Bài toán siêu tĩnh ϕ AD = ϕ AB + ϕ BD M zAB a M zBD 2a = + AB GI p GI pBD MD − M )a ( M D 2a + ϕ AD = 4 G × 0,1 × ( 2d ) G × 0,1 × d MD = M; 33 27(34) July 2010 32 MA = M 33 MA B a d A MD M 2d ™ Giả sử phản lực ngàm MA, MD có chiều hình vẽ (1) ™ Ta có: MA + MD = M ™ Điều kiện biến dạng ϕAD = (2) D 2a CD M M BD z AB z = MD = MD − M Mz MD D z M/33 =0 Mz 32M/33 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.6 Thế biến dạng đàn hồi TNBD đàn hồi riêng ứng suất tiếp: u = 12 Gγ = 12 τ γ = τ2 2G TNBD đàn hồi chịu xoắn: τ2 L M z2 U = ∫ u dV = ∫ dV = ∫ dz 2G 2GI p Khi Mz = const GI p M z2 L U= 2GI p 28(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.7 Xoắn tiết diện chữ nhật (1) • Khi biến dạng, giả thiết mặt cắt ngang phẳng không đúng: bị vặn, xoắn • Bài toán xoắn tiết diện chữ nhật: giải theo LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI • Ở tâm góc ứng suất tiếp 0, phía ứng suất hướng theo chu tuyến Biểu đồ ứng suất tiếp dọc theo chu tuyến hình vẽ Ứng suất tiếp lớn điểm cạnh dài τ max τmax τ1 Mz Mz = = Wx α ab τ = γτ max 29(34) July 2010 b a • Góc xoắn Mz Mz θ= = GI x β Gab3 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5.7 Xoắn tiết diện chữ nhật (2) • Các hệ số α, β, γ phụ thuộc vào tỉ số a/b (a >>b) a/b 10 ∞ α 0,203 0,246 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 β 0,141 0,299 0,263 0,281 0,299 0.307 0,313 0,333 γ 1,000 0,795 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 • Khi tỉ số a/b lớn hệ số α, β, γ =1/3=0,333 30(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ôn tập Kéo (nén) tâm Xoắn túy Nội lực Nz Ứng suất Nz σz = A Mz Mz τ= ρ Ip Phân bố ứng suất σ z = const 31(34) July 2010 τ max Mz = Wp Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ôn tập Kéo (nén) tâm Định luật Hooke Xoắn túy τ = Gγ σ z = Eε z Biến dạng N z dz ⎛ N z L ⎞ ΔL = ∫ =⎜ ⎟ EA EA ⎝ ⎠ L n Biến dạng 32(34) July 2010 n N zi Li ΔL = ∑ ΔLi = ∑ i =1 i =1 ( EA )i M z dz ⎛ M z L ⎞ =⎜ ϕ=∫ ⎟⎟ ⎜ GI p ⎝ GI p ⎠ L n n i =1 i =1 ϕ = ∑ ϕi = ∑ M zi Li ( GI ) p i Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Câu hỏi ??? 33(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 34(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering [...]... suất • Vật liệu dẻo, độ bền trượt kém thường bị phá hủy do cắt Vật liệu dòn chịu kéo kém hơn chịu cắt • Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dẻo bi phá hủy tại mặt cắt có ứng suất tiếp lớn nhất – mặt cắt ngang • Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dòn bị phá hủy theo phương có biến dạng kéo lớn nhất – phương xiên góc 450 so với trục 23(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5. 4 Điều kiện bền -... tố với các mặt song song và vuông góc với trục chỉ chịu trượt thuần túy ứng suất pháp và ứng suất tiếp hoặc đồng thời cả hai có thể tồn tại trên các mặt • Phân tố a chỉ chịu trượt thuần túy • Xét phân tố nghiêng góc 450 so với trục, F = 2(τ max A0 )cos 45 = τ max A0 2 σ 45o = F τ max A0 2 = = τ max A A0 2 • Phân tố chịu ứng suất kéo trên hai mặt và chịu ứng suất nén trên hai mặt 22(34) July 2010 Tran... điều kiện bền (hoặc điều kiện cứng) Mz τ max = ≤ [τ ] Wp b) Bài toán 2: Chọn kích thước thanh theo điều kiện bền (hoặc điều kiện cứng) Wp ≥ c) Mz [τ ] Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép của tải trọng tác dụng (là giá trị lớn nhất của tải trọng đặt lên hệ mà thanh vẫn đảm bảo điều kiện bền hoặc điều kiện cứng) M z ≤ Wp [τ ] 25( 34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5. 5 Bài toán... Engineering Bài tập - Ví dụ 5. 1 ™ Cho trục tròn có diện tích mặt cắt ngang thay đổi chịu tác dụng của mô men xoắn ngoại lực như hình vẽ 2 3 19(34) July 2010 B C 2a D Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực Xác định trị số ứng suất tiếp lớn nhất Tính góc xoắn của mặt cắt ngang D Biết M=5kNm; a=1m; D=10cm; G=8.103 kN/cm2 2D 1 3M M D a Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Bài tập - Ví dụ 5. 1 3M đồ mô men xoắn. .. Engineering 5. 6 Thế năng biến dạng đàn hồi TNBD đàn hồi riêng do ứng suất tiếp: u = 12 Gγ 2 = 12 τ γ = τ2 2G TNBD đàn hồi của thanh chịu xoắn: τ2 L M z2 U = ∫ u dV = ∫ dV = ∫ dz 2 2G 2GI p 0 Khi Mz = const GI p M z2 L U= 2GI p 28(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5. 7 Xoắn thanh tiết diện chữ nhật (1) • Khi biến dạng, giả thiết mặt cắt ngang phẳng không còn đúng: bị vặn, xoắn • Bài. .. of Civil Engineering 5. 3 Biến dạng của thanh tròn (1) ™ Đã có: dϕ M z θ= = dz GI p c γ a ™ Góc xoắn (góc xoay) tương đối giữa hai mặt cắt ngang A và B ϕ AB A L M z dz M z dz =∫ =∫ GI p GI p B 0 b A ϕ O B L [ rad ] G – mô-đun đàn hồi khi trượt của vật liệu GIp – là độ cứng chống xoắn của mặt cắt ngang 17(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5. 3 Biến dạng của thanh tròn (2) ƒ Khi... 3M M C z2 D M D a 15 10 20(34) July 2010 Mz kNm Tran Minh Tu - University of Civil Engineering Ví dụ 5. 1 3M τ CD τ BC = B M zCD 15 × 102 = = = 7 ,5( kN / cm 2 ) 3 3 0, 2 D 0, 2 × 10 M zBC 0, 2 ( 2 D ) 3 C 2a 10 × 102 = = 0,6 25( kN / cm 2 ) 3 0, 2 × 20 D 2 Trị số ứng suất tiếp lớn nhất 2D M D a 15 10 3 Góc xoắn tại D ϕ D = ϕ BC + ϕ CD Mz kNm M zCD × a M zBC × 2a ϕD = + CD GI p GI pBC 15 × 102 × 102 10 ×... tĩnh Bài toán siêu tĩnh ƒ Là bài toán mà nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học thì ta không thể xác định hết các phản lực, cũng như các thành phần nội lực trong thanh ƒ Phương pháp giải: Viết thêm phương trình bổ sung – phương trình biểu diễn điều kiện biến dạng ƒ Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực B a 26(34) July 2010 d A 2d M D 2a Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5. 5 Bài. .. Điều kiện bền max τ max Mz = max ≤ [τ ] Wp τ 0 - nếu dùng thực nghiệm tìm τ [τ ] = 0 n 2 [τ ] σ] [ = - nếu dùng thuyết bền 3 [τ ] σ] [ = - nếu dùng thuyết bền 4 2 3 Điều kiện cứng θ max ⎛ Mz =⎜ ⎜ GI ⎝ p ⎞ ⎟⎟ ≤ [θ ] ⎠ max ( rad / m ) Nếu [θ] cho bằng độ/m => đổi ra rad/m 24(34) July 2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5. 4 Điều kiện bền - Điều kiện cứng 3 Ba bài toán cơ bản: a) Bài toán... Civil Engineering 5. 2 Ứng suất trên mặt cắt ngang (4) ™Tìm ứng suất tiếp tại điểm trên mặt cắt ngang cách tâm khoảng ρ với Mz nội lực đã biết - Xét hai mặt cắt ngang cách nhau vi phân chiều dài dz c ρ γ dϕ a b A 13(34) July 2010 dz τρ O B dz Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 5. 2 Ứng suất trên mặt cắt ngang (5) ƒ Trước biến dạng : ab//Oz; Ob = ρ ƒ Chịu xoắn: ab => ac ƒ dϕ - góc xoắn tương đối .. .Chương THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY NỘI DUNG 5. 1 Khái niệm chung 5. 2 Ứng suất mặt cắt ngang 5. 3 Biến dạng tròn chịu xoắn 5. 4 Điều kiện bền 5. 5 Điều kiện cứng 5. 6 Thế biến dạng... thường bị phá hủy cắt Vật liệu dòn chịu kéo chịu cắt • Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dẻo bi phá hủy mặt cắt có ứng suất tiếp lớn – mặt cắt ngang • Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dòn bị phá hủy theo... với trục chịu trượt túy ứng suất pháp ứng suất tiếp đồng thời hai tồn mặt • Phân tố a chịu trượt túy • Xét phân tố nghiêng góc 450 so với trục, F = 2(τ max A0 )cos 45 = τ max A0 σ 45o = F τ max