PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 MƠN THI: TỐN Câu (4,0 điểm) 1 a) Tính giá trị biểu thức A 3,5 : 4 7,5 7 2.84 4.69 b) Rút gọn biểu thức B 7 27.40.94 c) Tìm đa thức M biết rằng: M 5x xy x xy y Tính giá trị M x, y thỏa mãn x 5 y Câu (4,0 điểm) Tìm x biết: 15 a) x x 12 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 x 1 x 1 99 c) Tìm x, y nguyên biết xy x y Câu (6,0 điểm) a) Tìm hai số nguyên dương x y biết tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ với 35;210;12 x y z t b) Cho y z t z t x t x y x y z x y y z z t t x Chứng minh biểu thức P có giá tri nguyên z t t x x y y z c) Cho a, b, c, d thỏa mãn a3 b3 c3 8d Chứng minh a b c d chia 2018 2020 hết cho Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME MA Chứng minh rằng: a) AC EB AC / / BE b) Gọi I điểm AC; K điểm EB cho AI EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC Biết HBE 500 , MEB 250 Tính HEM BME Câu (1,0 điểm) 15 24 2499 Cho B Chứng tỏ B số nguyên 16 25 2500 ĐÁP ÁN Câu 1 7 25 15 15 a ) A 3,5 : 4 7,5 : 7 7 3 2 35 85 15 35 42 15 49 15 157 : 42 85 17 34 3 9 2.84.27 4.69 2. 2 213.36 211.39 b) B 7 27.40.94 27.27.37 27.23.5. 32 4 214.37 210.38.5 211.36. 22 33 3.5 10 2 c) M x xy x xy y M x xy y x xy M x xy y x xy x 11xy y x 52018 2018 2020 x y 0 Ta có: 2020 y Mà x 5 2018 3 y 4 2020 x 5 2018 3 y 4 2020 x 2018 x , thay vào ta được: 2020 y y 4 25 110 16 1159 5 M 11 . 2 3 36 2 Câu 15 6 a) x x x x 12 5 13 49 13 130 6 5 x x x 14 20 14 343 5 4 0 b) 1 1 49 1.3 3.5 5.7 x 1 x 1 99 1 1 1 1 49 1 2 3 5 x x 99 1 49 98 1 1 1 x 99 x 99 x 99 x 99 x 49 c) xy x y xy x y y 1 x 1 Học sinh xét trường hợp tìm x; y 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2 Vậy x; y 1;3; 3;1; 2;0 ; 0; 2 Câu a) Do tổng, hiệu tích x y tỉ lệ nghịch với 35,210,12 Ta có: x y .35 x y .210 12.xy Từ x y .35 x y .210 x y x y x y x y 2x 2y 210 35 210 35 245 175 x y 7y thay vào đẳng thức x y .35 12 xy ta x 5 y y y y 5 y 0;5 mà y y Với y x x y z t y z t z t x t x y x y z y z t z t x t x y x y z x y z t b) y z t zt x tx y x y z 1 1 1 1 x y z t x y z t z t x y t x y z x y z t x y z t Nếu x y z t P 4 Nếu x y z t x y z t P Vậy P nguyên c) Ta có: a3 b3 c3 8d a3 b3 c3 d 3c3 15d Mà 3c3 15d 3 nên a3 b3 c3 d 3 (1) Dư phép chia a cho 0; 1 suy dư phép chia a cho 0; 1 hay a a3 mod3 Tương tự ta có: b b3 mod3 , c c3 (mod3), d d (mod3) a b c d a3 b3 c3 d (mod3) (2) Từ (1) (2) suy a b c d chia hết cho Câu A I M H C B K E a) Xét AMC EMB có: AM EM ( gt ); AMC EMB (đối đỉnh); BM MC ( gt ) AMC EMB(c.g.c) AC EB (hai cạnh tương ứng) Vì AMC EMB MAC MEB mà góc vị trí so le nên AC / / BE b) Xét AMI EMK có: AM EM ( gt ); MAI MEK AMC EMB ; AI EK ( gt ) Nên AMI EMK (c.g.c) AMI EMK Mà AMI IME 1800 (tính chất hai góc kề bù) EMK IME 1800 Ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Trong tam giác vuông BHE H 900 có HBE 500 HBE 900 HBE 900 500 400 HEM HEB MEB 400 250 150 BME góc ngồi đỉnh M HEM BME HEM MHE 150 900 1050 Câu 15 24 2499 Ta có: B 16 25 2500 15 24 2499 B 49 1 16 25 2500 1 1 B 49 49 M 50 2 1 1 Trong M 50 2 1 Áp dụng tính chất 2 n 1 n n n 1 n Ta có: 1 1 1 1 2 502 2.1 3.2 4.3 5.4 50.49 2 1 1 1 1 1 M 1 2 3 4 49 50 50 Ta lại có: 1 1 1 1 1 1 M 2.3 3.4 4.5 5.6 50.51 3 4 50 51 1 49 M 0 51 101 Từ suy M B 49 M số nguyên ... Câu 1 7 25 15 15 a ) A 3,5 : 4 7, 5 : 7 7 3 2 35 85 15 35 42 15 49 15 1 57 : 42 85 17 34 3 9 2.84. 27 4.69 2. ... 42 85 17 34 3 9 2.84. 27 4.69 2. 2 213.36 211.39 b) B 7 27. 40.94 27. 27. 37 27. 23.5. 32 4 214. 37 210.38.5 211.36. 22 33 3.5 10 2 c) M x xy ... x 11xy y x 5 2018 2018 2020 x y 0 Ta có: 2020 y Mà x 5 2018 3 y 4 2020 x 5 2018 3 y 4 2020 x 2018 x ,