057 đề HSG toán 7 trường thanh văn 2017 2018

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH VĂN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học 2017-2018 Câu (5 điểm) 1) Cho c  ab Chứng minh rằng: a2  c2 a a)  b  c2 b b2  a b  a b)  a  c2 a 213 2) Ba phân số có tổng , tử chúng tỉ lệ với 3;4;5 , mẫu 70 chúng tỉ lệ với 5;1;2 Tìm ba phân số Câu (6 điểm) Cho đa thức: f  x   x17  2000 x16  2000 x15  2000 x14   2000 x  Tính giá trị đa thức x  1999 Chứng minh m n số tự nhiên số: A   5m  n  1 3m  n   số chẵn Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên x đê phân số 7x  có giá trị lớn 2x  Câu (7 điểm) Cho tam giác ABC cân A, B  500 Gọi K điểm tam giác cho KBC  100 , KCB  300 a) Chứng minh BA  BK b) Tính số đo BAK Cho xAy  600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh: a) K trung điểm AC b) KMC tam giác c) Cho BK  2cm Tính cạnh AKM ĐÁP ÁN Câu 1 a) Từ c  ab a c a c a  c a  ab a  a  b  a     2    c b c b c  b ab  b b  a  b  b a2  c2 a b2  c b b) Theo câu a ta có:   2 c  b2 b a c a 2 2 2 b c b b c b b a ba   2      2  2 a c a a c a a c a 213 70 12 15 Và a : b : c  : :  : 40 : 25  a  ; b  ; c  35 14 Câu f  x   x17  1999 x16  x16  1995 x15  x15  1999 x14  x14   1999 x  x  Gọi phân số phải tìm : a, b, c , ta có: a  b  c  f 1999   199917  199917  199916  199916  199915  199915   19992  1999   1999   1998 Ta xét hiệu  5m  n  1   3m  n  4   2m  2n  Với m, n 2m  2n  số lẻ Do hai số 5m  n  1và 3m  n  phải có số chẵn Suy tích chúng số chẵn Vậy A số chẵn Câu x   x  8  x  3      Đặt A  x   x  3  x  3 2 2x  3 Đặt B  A lớn B lớn  x  3 …… GTLN A   x  Câu A I K B C a) Vẽ tia phân giác ABK cắt CK I , ta có: IBC cân nên IB  IC   BIA  CIA(c.c.c)  BIA  CIA  1200 , BIA  BIK ( gcg )  BA  BK b) Từ phần a ta tính BAK  700 2) x z B K A y M H   a) ABC cân B CAB  ACB  MAC BK đường cao nên BK đường trung tuyến  K trung điểm AC b) ABH  BAK (cạnh huyền –góc nhọn)  BH  AK mà 1 AK  AC  BH  AC 2 Ta có: BH  CM (tính chất đoạn chắn) mà CK  BH  AC  CM  CK  MKC tam giác cân (1) (2) Mặt khác: MCB  900 ACB  300  MCK  600 Từ (1) (2)  MKC tam giác c) Vì ABK vng K mà KAB  300  AB  2BK  2.2  4cm Vì ABK vng K nên theo Pytago ta có: AK  AB2  BK  16   12 Mà KC  AC  KC  AC  12 Mà KC  AC  KC  AK  12 Theo phần b) AB  BC  4; AH  BK  2; HM  BC (HBCM hình chữ nhật)  AM  AH  HM 