042 đề HSG toán 7 trường hiền quan 2015 2016

TRƯỜNG THCS HIỀN QUAN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC : 2015-2016 Mơn thi: Tốn Câu Tìm số x, y, z biết: a)  x  1  8 b)  x  5x  c) x  x  d )12 x  15 y  20 z x  y  z  48 Câu a) Tìm số dư chia 22011 cho 31 b) Với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho Chứng minh rằng: 4a  a  b chia hết cho c) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  y  74 Câu a  b2 a a b  a) Cho tỉ lệ thức  Chứng minh ta có tỉ lệ thức b  c2 c b c b) Trên bảng có ghi số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau: lấy hai số thay vào hiệu chúng, làm đến số bảng dừng lại Hỏi làm để bảng lại số khơng ? Giải thích ? Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABE ACF vuông cân A Từ E F kẻ đường vng góc EK FN với đường thẳng HA a) Chứng minh rằng: EK  FN b) Gọi I giao điểm EF với đường thẳng HA Tìm điều kiện tam giác ABC để EF  AI Câu a) Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a  b  c  d  Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ bốn số a, b, c, d Hỏi S đạt giá trị lớn b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC  600 Chứng minh BC  AB2  AC  AB AC ĐÁP ÁN Câu a)  x  1  8  x   2  x  1 b)  x  5x  Điều kiện x  9  x  x  12 x  12 x 1    (tm) 9  x   x  x  x  x  x  0.DK : x  x   x x     (tm) x  x y z x y z x  y  z 48 d )12 x  15 y  20 z         4 5 12 12  x  20; y  16; z  12 c)   Câu a) Ta có: 25  32  1 mod31   25  402  1 mod31  22011   mod31 Vậy số dư chia 22011 cho 31 b) Vì a nguyên dương nên ta có 4a  1 mod3  4a    mod3 Mà 4a    mod   4a  Khi ta có 4a  a  b  4a   a   b  2007  2010 Vậy với a, b số nguyên dương cho a  b  2007 chia hết cho 4a  a  b chia hết cho 74 c) Từ x  y  74  x  74  x  mà x nguyên  x 0;1;4;9  x   y  10(ktm) 2 Mặt khác ta có x   75  x  y   2 x   y    x, y    3,2  ;  3, 2  ;  3;2  ,  3, 2  Câu a a b a  a   b  a b2 a  b2 a) Ta có:            c b c c c c b c b  c2 a  b2 a a b  Vậy có tỉ lệ thức  ta có tỉ lệ thức b c b  c2 c b) Gọi S tổng tất số ghi bảng 2 2008.2009  1004.2009 số chẵn Khi lấy hai số a, b thay vào hiệu hai số tổng S bớt  a  b    a  b   2b số chẵn Nên tổng phải số chẵn Vậy bảng khơng thể lại số Câu Ta có S      2008  N F I E K A B H C a) Chứng minh KAF  HBA(ch  gn)  EK  AH Chứng minh NFI  HCA(ch  gn)  FN  AH Suy EK  FN b) Chứng minh KEI  NFI (c.g.c)  EI  FI  EF EF ( gt )  AI  EI  FI  IEA  IAE IAF  IFA Mà AI   EAF  900  BAC  900 Vậy EF  AI tam giác ABC vuông A Câu a) Giả sử a  b  c  d  Ta có: S  a  b  b  c  c  d  a  c  a  d  b  d  S  a bbccd  a c a d bd  S  3a  b   c  3d  Mà c  3d   S  3a  b Mặt khác a  b  c  d   a  Suy S  3a  b  2a  a  b  2.1   c  3d  a   Dấu xảy a  b  c  d    b  c  d  a   Vậy S lớn bốn số a, b, c, d có số số b) A H B C Kẻ BH  AC Vì BAC  600  ABH  300  AH  AB Áp dụng định lý Pytago ta có: AB2  AH  BH BC  BH  HC  BC  AB  AH  AC  AC AH  AH  BC  AB  AC  AH AC Từ (1)    dfcm (2) (1)