UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Mơn TỐN Bài (4 điểm) a) So sánh hai số : 5 2 39 91 b) Chứng minh : Số A 11n2 122n1 chia hết cho 133, với n Bài (4 điểm) a) Tìm tất cặp số x; y thỏa mãn x y 2012 x 3 2013 0 b) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: n aaa Bài (4 điểm) Ba lớp trường K có tất 147 học sinh Nếu đưa số học sinh 1 lớp A1 , số học sinh lớp A2 số học sinh lớp A3 thi học sinh giỏi cấp huyện số học sinh lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có A 3B 6C a) Tính số đo góc ABC b) Kẻ AD BC D BC Chứng minh : AD BD CD Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M , tia đối tia CA lấy điểm N cho AM AN AB a) Chứng minh rằng: BM CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN c) Đường trung trực MN tia phân giác BAC cắt K Chứng minh KC AC ĐÁP ÁN Bài a) Ta có: 5 39 539 53 12513 ; 2 13 91 291 27 12813 13 Ta thấy : 12513 12813 12513 12813 5 2 39 91 b) Ta có: A 11n 122 n1 112.11n 12.122 121.11n 12.144n n 133 12 11n 12.144n 133.11n 12.11n 12.144n 133.11n 12.144n 11n Ta thấy : 133.11n 133 144 n 11n 144 11 133 12.144n 11n 133 Do suy 133.11n 12.144n 11n chia hết cho 133 Vậy: số A 11n2 122n1 chia hết cho 133, với n Bài a) Ta có 2012 số tự nhiên chẵn x y Và x x Do đó, từ x y 2012 2013 2012 0 0 x 3 2013 suy ra: x y 2012 0& x 3 2 x y x x y 13 n n 1 aaa a.111 a.3.37 Do đó, từ n aaa n n 1 2.3.37a b) Ta có: n n n 1 chia hết cho số nguyên tố 37 n n 1chia hết cho 37 (1) n n 1 Mặt khác: aaa 999 n n 1 1998 n 45 Từ (1) (2) n 37 n 37 (2) 2013 0 37.38 703(ktm) 36.37 666(tm) Với n 37 aaa Vậy n 36 a Bài Goi tổng số học sinh A1,7 A2 ,7 A3 a, b, c a, b, c * Với n 37 aaa 1 Theo ta có: a a b b c c(*) a b c 147 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c Từ (*) 18 16 15 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c abc 147 a 54, b 48, c 45 18 16 15 18 16 15 49 Vậy tổng số học sinh A1,7 A2 ,7 A3 54;48;45 Bài A B D C A B C A B C 1800 a) Từ A 3B 6C 200 6 1 A 1200 , B 400 , C 200 Vậy A 1200 , B 400 , C 200 b) Trong ACD có: ADC 900 , C 200 A2 700 A1 500 Xét ABD có B 400 C 200 AB AC AB AC * Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vng ADB, ADC có: AB2 AD2 BD2 AC AD2 CD2 Do đó, từ (*) AD2 BD2 AD2 CD2 BD2 CD2 BD CD Từ (1) (2) AD BD CD Bài A M I B C E K N a) Theo giả thiết, ta có: 2AB AB AB AB AM BM AM AN AM AC CN , ABC cân A AB AC Do đó, từ AM AN AB BM CN b) Qua M kẻ ME / / AC E BC ABC cân A BME cân M EM BM CN MEI NCI ( g.c.g ) IM IN Vậy BC qua trung điểm MN c) K thuộc đường trung trực MN KM KN (1) ABK ACK (c.g.c) KB KC (2); ABK ACK (*) (2) Kết chứng minh câu a: BM CN (3) Từ 1 , , 3 BMK CNK (c c c) ABK NCK (**) Từ (*) (**) ACK NCK 1800 900 KC AN ... (1) (2) n 37 n 37 (2) 2013 0 37. 38 70 3(ktm) 36. 37 666(tm) Với n 37 aaa Vậy n 36 a Bài Goi tổng số học sinh A1 ,7 A2 ,7 A3 a, b, c a, b, c * Với n 37 aaa 1 Theo... n 1 aaa a.111 a.3. 37 Do đó, từ n aaa n n 1 2.3.37a b) Ta có: n n n 1 chia hết cho số nguyên tố 37 n n 1chia hết cho 37 (1) n n 1 Mặt khác:... b b c c(*) a b c 1 47 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c Từ (*) 18 16 15 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c abc 1 47 a 54, b 48, c