040 đề HSG toán 7 huyện triệu sơn 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC: 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 1      a) A  1  1  1   1    1.3  2.4  3.5   2015.2017  b) B  x  3x  với x   2015  2 c) C  x  y  13x y  x  y   15  y x  x y     , biết x  y  2016   Câu (4,0 điểm) 1  Tìm x, y biết:  x    y  12  6  3x  y z  x y  3z Tìm x, y, z biết x  y  z  18   Câu (5,0 điểm) Tìm số nguyên x, y biết x  xy  y   Cho đa thức f  x   x10  101x9  101x8  101x7   101x  101 Tính f 100  Chứng minh từ số nguyên dương tùy ý không lớn 20, chọn ba số x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Câu (5,0 điểm) Cho ABC có B  C  600 , phân giác AD Trên AD lấy điểm O, tia đối tia AC lấy điểm M cho ABM  ABO Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho ACN  ACO Chứng minh a) AM  AN b) MON tam giác Cho tam giác ABC vuông A, điểm M nằm B C Gọi D, E thứ tự hình chiếu M AC, AB Tìm vị trí M để DE có độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm) a b2 Cho x  y  1, x  0, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   ( a b x y số dương cho) ĐÁP ÁN Câu 1      a ) A  1  1  1   .1    1.3  2.4  3.5   2015.2017  2 2 3 3 4 4  2016 2016           1 3 2 4 3 5  2015 2017  2 2 3 3 4 4  2016 2016  2016          1 3 2 4 3 5  2015 2017  2017  x   b) Vì x     x  2 1 1 Với x   B  2.     2 2  1  1 Với x    B  2.    3.      2  2 1 Vậy B  x  B  x   2  2015  c)C  x  y  13x y  x  y   15  y x  x y      2016    x  y   13x3 y  x  y   15 xy  x  y    1( x  y  0) Câu 2 1 1   1.Vì  x    0x; y  12  0y , đó:  x    y  12  x, y 6 6   2 2 1 1   Theo đề  x    y  12    x    y  12  6 6   1 Khi ta có: x   y  12   x  ; y  4 12 3x  y z  x y  3z   2.Ta có : 4  3x  y  3 z  x   y  3z  12 x  y  z  12 x  y  z    0 Suy 16 29 x y  3x  y   x  y    x y z      2z  4x   2z  4x  x  z  Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x  y  z 18       x  4; y  6; z  23 Câu 1) Ta có : x  xy  y    x  xy  y    x  xy  y    x 1  y   1  y     x  11  y   Lập bảng: -1 2x  1  2y -5 x y -2 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 2) Ta có: f  x   x10  101x9  101x8  101x7   101x  101 -5 -1 -2 Thỏa mãn  x10  100 x9  x9  100 x8  x8  100 x  x   101x  101  x9  x  100   x8  x  100   x  x  100   x  x  100    x  x  100    x  101  f 100   3) Giả sử số nguyên dương tùy ý cho a1, a2 , a3 , , a8 với  a1  a2   a8  20 Nhận thấy với ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c b  c  a a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Từ đó, ta thấy số a1, a2 , a3 , , a8 không chọn số độ dài ba cạnh tam giác thì: a6  a7  a8    a5  a6  a7    a4  a5  a6    a3  a4  a5    a2  a3  a4    13 a1  a2  a3  13   21 (trái với giả thiết) Vậy điều giả sử sai.Do đó, số nguyên cho chọn số x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Câu N M A B D C a) ABC có B  C  600 nên A  1200 Do AD tia phân giác nên A1  A2  600 , ta lại có A3  A4  1800  A  600 ABM  ABD( g.c.g )  AM  AO(1) Suy A1  A2  A3  A4   600    ACN  ACO( g.c.g )  AN  AO(2) Từ (1) (2) suy AM  AN b) AOM  ON (c.g.c)  OM  ON (3) AOM  AMN (c.g.c)  OM  NM (4) Từ (3) (4) suy OM  ON  NM  MON tam giác A D E C B H M DE  AM  AH (AH đường cao ABC ) Vậy DE nhỏ AM nhỏ  M trùng với H Câu Ta có: 2 a b a b a  x  y  b  x  y  a2 y b2 x 2 P      a  b  x y x y x y x y  a y b2 x  2   a b y   x a2 y b2 x Các số dương có tích khơng đổi nên tổng chúng nhỏ y x a y b2 x a   a y  b2 x  ay  bx  a 1  x   bx  x  x y ab b Suy y  ab a b Vậy giá trị nhỏ biểu thức P   a  b  x  ;y  ab ab