093 đề HSG toán 7 huyện triệu sơn 2017 2018

Chứng minh rằng BMO CNO.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRIỆU SƠN

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 7

Năm học 2017-2018 Môn: Toán Câu 1 (4,0 điểm)

1) Thực hiện phép tính :

7

7 2

A

     

     

     



 2) Cho 16 25 9

x  y  z

và 2x3 1 15.Tính B  x y z

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Tìm ,x y biết:   3

10

x xy  và   3

50

y x y  

2) Tìm x biết:   1

2

x x 

Câu 3 (5,0 điểm)

1) Tìm số tự nhiên n để phân số 7 8

2 3

n n



 có giá trị lớn nhất

2) Cho đa thức   3 2

p x ax bx cxdvới a b c d là các hệ số nguyên Biết , , , rằng, p x  5với mọi x nguyên Chứng minh rằng a b c d đều chia hết cho 5 , , , 3) Gọi a b c là độ dài các cạnh của một tam giác Chứng minh rằng: , ,

2

b cc a a b 

Câu 4 (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác , ) B C Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho , CEBD.Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt

AB tại M Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC tại N, MN cắt BC

tại I

1) Chứng minh : DM EN

2) Chứng minh: IM IN BC, MN

3) Gọi O là giao của đường phân giác A và đường thẳng vuông góc với MN tại I

Chứng minh rằng BMO CNO

Câu 5 (2,0 điểm) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn:

100 100 101 101 102 102

a b a b a b Hãy tính giá trị của biểu thức:Pa2014 b2015

ĐÁP ÁN Câu 1

7

2 12

1)

2 5 512 2 5 2 2 2 5 2 2

2 2 3 1

2

2 5 2

A





2) Ta có: 2x3 1 15x3   8 x 2

Suy ra

25

9

25

y

y

z

z







Vậy B    x y z 2 5741 100

Câu 2

1) Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được:

x x y y xy     x y x y   xy   

Suy ra 3

5

x  y

Thay 3

5

x y vào hai đẳng thức đã cho ta được 1; 1

2 10

x y  

5

x  y vào hai đẳng thức đã cho ta được 1; 1

2 10

x  y

2) Từ   1

2

x x 

  suy ra : x3và

1 2

x cùng dấu

Dễ thấy 3 1

2

x  x nên ta có:

*)x3và 1

2

x cùng dương     x 3 0 x 3

*)x3và 1

2

x cùng âm 1 0 1

     

Vậy x3hoặc 1

2

x 

Câu 3

1) Ta có:  

2 7 8 7 2 3 5

2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3

n

Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

 5 

2 2n3 lớn nhất

Từ đó suy ra n2

Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi n2

2) Vì p x  5với mọi x nguyên nên p 0 d 5

   

     

Từ (1) và (2) suy ra 2bd 5và 2ac 5

Vì 2bd 5, mà  2,5 1nên bd 5b 5

 2 8 4 2 5

p  a b cd mà d 5,b 5mà 8a2 5c

Kết hợp với 2ac 56 5a a 5vì  6,5 1 Từ đó suy ra c 5

Vậy a b c d đều chia hết cho 5 , , ,

3) Vì a b cnên a 1 a a a (1)

b c b c b c a



Tương tự ta có:





Từ (1) (2), (3) suy ra : a b c 2a 2b 2c 2

b c c a a b a b c

Câu 4

1) Tam giác ABC cân tại A nên ABC ACB; NCE ACB(đối đỉnh)

Do đó: MDB NEC g c g( )DM EN

2) Ta có: MDI  NEI c g c( )MI NI

Vì BDCE nên BCDE

Lại có : DI MN IE, IN nên DEDI IEMINI MN

Suy ra BCMN

3) Ta chứng minh được:

( ) ,

ABO ACO c g c OC OB ABO ACO

O

I

N

M

A

( )

MIO NIO c g c OM ON

Ta lại có: BM CN BMO CNO c c c( )

MBO NCO

  , mà MBO ACOsuy ra NCO ACO,mà đây là hai góc kể bù nên

CO AN

Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc AC

tại C nên O cố định

Câu 5

Ta có đẳng thức : 102 102  101 101    100 100

a b  a b ab ab a b với mọi a b , Kết hợp với : a100 b100 a101b101 a102 b102

Suy ra : 1ababa1b 1 0

 



Do đó: 2014 2014 2004 2005

Pa b   