048 đề HSG toán 7 huyện yên lập 2017 2018

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 MƠN : TỐN Câu (1,5 điểm) 2 1    0,25   0,4   11  : 2014  1) M    7  1,4    0,875  0,7  2015 11   2 2) Tìm x, biết x  x   x  Câu (2,5 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện : a bc bca c a b   c a b  b  a  c  Hãy tính giá trị biểu thức B  1  1  1    a  c  b  2) Ba lớp A,7 B,7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp với tỉ lệ 5: : sau chia theo tỉ lệ : 5: nên có lớp nhận nhiều gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x   x  2013 với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x  y  z  xyz Câu (3,0 điểm) Cho xAy  600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H , kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh: a) K trung điểm AC b) KMC tam giác c) Cho BK  2cm, tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) a b c Cho ba số dương  a  b  c  Chứng minh rằng:   2 bc  ac  ab  ĐÁP ÁN Câu 2 1   0,4    0,25   11   : 2014 1) M    7  1,4    0,875  0,7  2015 11    1 1  1  1  2 2 2            2014  11  2014 11    :   :   7 7 7  2015   1   1   2015           11        11 10        2  2014    : 0  7  2015 2) Vì x  x   nên 1  x2  x   x   x   +Nếu x  *  x    x  +Nếu x   x   2  x  1 Câu 1) +Nếu a  b  c  , theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c b c a c  a b a b c b c a c  a b    1 c a b abc abc bca c  a b ab bc ca Mà 1  1  1     2 c a b c a b  b  a  c   b  a  c  a  b  c  Vậy B  1  1  1        8 a c b a c b         +Nếu a  b  c  , theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c b c a c  a b a b c b c a c  a b    0 c a b abc abc bca c  a b ab bc ca Mà 1  1 11   1 c a b c a b  b  a  c   b  a   c  a   b  c  Vậy B  1  1  1          1  a  c  b   a   c   b  2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x  x  * Số gói tăm dự định chia cho lớp A,7 B,7C lúc đầu a, b, c a b c abc x 5x 6x 7x Ta có:      a  ;b  ; c  (1) 18 18 18 18 18 Số gói tăm sau chia cho lớp a ', b ', c ' , ta có: a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 4x 5x 6x      a '  ;b '  ; c '  (2) 15 15 15 15 15 So sánh 1   ta có: a  a '; b  b '; c  c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu 6x x    x  360(tm) 15 18 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Vậy c ' c   Câu 1) Ta có: A  x   x  2013  x   2013  x  x   2013  x  2015 Dấu "  " xảy  x   2013  x    1  x  2013 Vậy MaxA  2015 x  1 2) Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử  x  y  z 1 1 1        x2   x  yz yx zx x x x x Thay vào đầu ta có:  y  z  yz  y  yz   z  Theo   y 1  z   1  z      y  1 z  1  Th1: y    y  z    z  Th2 : y    y  z    z  Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn 1,2,3 ; 1,3,2  Câu z x B t C K A H M  y  a) ABC cân B CAB  ACB  MAC BK đường cao  BK đường trung tuyến  K trung điểm AC b) ABH  BAK ( cạnh huyền – góc nhọn)  BH  AK (hai cạnh tương ứng) mà AK  1 AC  BH  AC 2 Ta có: BH  CM (tính chất đoạn chắn) mà CK  BH  AC  CM  CK  MKC tam giác cân (1) Mặt khác: MCB  900 ACB  300  MCK  600 (2) Từ (1) (2)  MKC tam giác c) Vì ABK vng K mà KAB  300  AB  2BK  2.2  4cm Vì ABK vng K nên theo pytago ta có: AK  AB2  BK  16   12 AC  KC  AK  12 KCM  KC  KM  12 Theo phần b, AB  BC  4, AH  BK  2, HM  BC ( HBCM hình chữ nhật)  AM  AH  HM  Mà KC  Câu Vì  a  b  c  1nên:  a  1 b  1   ab   a  b  Tương tự: Do đó: Mà : a a  bc  b  c (2); 1 c c    ab  a  b ab  a  b 1 b b  (3) ac  a  c a b c a b c      bc  ac  ab  b  c a  c a  b (4) 2 a  b  c a b c 2a 2b 2c        2(5) bc ac ab abc abc abc a bc Từ (4) (5) suy : a b c   2 bc  ac  ab  (dfcm)