ĐỀ THI HSG TỐN – HUYỆN HOẰNG HĨA NĂM HỌC 2017-2018 Câu (4,5 điểm) 1 a) Tính giá trị biểu thức M 3,5 : 4 7,5 7 b) Tìm x biết: x 3 16 c) Tìm x, y biết rằng: x 5 2012 3 y 4 2014 0 Câu (4,5 điểm) a) Tìm đa thức M biết rằng: M 5x xy x x y x2 y b) Tìm giá trị lớn biểu thức: B x y2 x y y z c) Tìm x, y, z biết: ; x y z 49 Câu 3.(5,0 điểm) a) Tìm hai số hữu tỷ a b biết: a b a b a : b b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 2012 x 2013 x c) Chứng minh không tồn số tự nhiên n để n2 2002 số phương Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông A: ABD, ACE cho AB AD, AE AC Kẻ AH vng góc với BC , DM vng góc với AH , EN vng góc với AH a) Chứng minh : DM AH b) Chứng minh MN qua trung điểm DE Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác cho MA : MB : MC 3: 4:5 Tính số đo góc AMB ĐÁP ÁN Câu 1 7 25 22 15 a) M 3,5 : 4 7,5 : 7 35 43 15 35 42 15 69 M : 1 42 43 86 2 x x 3,5 b) x 3 16 xx 4 x 0,5 x 52012 2012 2014 x y 0 c) Ta có: 2014 y x 5 Mà 2012 3 y 4 2014 x 5 2012 3 y 2014 0 x 2012 x 2 2014 y y 1 Câu a) M x xy x xy y M x xy y x xy M x xy y x xy x 11xy y x2 y x2 y 1 b) B 1 2 x y 2 x y 2 x y2 B lớn x y lớn x x y x y nhỏ 2, x y Ta có: y Khi B lớn 1 2 x y y z x y y z c) ; ; 10 15 15 12 x y z x yz 49 7 10 15 12 10 15 12 x 70; y 105; z 84 Câu a) Từ a b a b a b 2a 2b a 3b a 3b Mặt khác: a b a : b 3b b 3b : b 4b 3 b 9 a 3 4 b) Sử dụng A B A B Dấu “ " xảy A, B dấu (*) Ta có: M 2012 x 2013 x 2012 x x 2013 2012 x x 2013 1 Vậy MinM 2012 x 2013 c) Nhận xét Nếu số phương chia hết cho a (a số ngun tố) chia hết cho a Giả sử : A n2 2002 số phương Xét trường hợp 1: n số chẵn n 2k n2 4k A n2 2002 4k 2002 Ta có: 4k chia hết cho 2, 2002 chia hết cho A chia hết cho A chia hết cho Do 4k chia hết cho 4, 2002 khơng chia hết cho A không chia hết cho (loại) Xét trường hợp 2: n số lẻ n 2k A số phương lẻ, có dạng 2b 1 4b2 4b 1chia cho dư Mà A 2k 1 2002 4k 4k 2003 chia cho dư (loại) Vậy không tồn số tự nhiên n để n2 2002 số phương Câu N I E D M 13 A B H C a) Xét MAD HBA có: AMD BHA 900 ( gt ) 1 ; AD AB( gt )(2) D1 A1 900 D1 A2 (3) A1 A2 900 Từ (1), (2), (3) suy MAD HBA(ch gn) DM AH (4) b) Chứng minh tương tự câu a EN AH (5) Gọi giao điểm MN DE I Chứng minh được: MID NIE (cgv gn) ID IE I trung điểm DE MN qua trung điểm I DE Câu A N M C B Do MA : MB : MC 3: 4:5 Đặt MA MB MC a MA 3a, MB 4a, MC 5a Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác AMN AM AN MN 3a AMN 600 Xét ABN ACM có: AB AC ( gt )(1); AN AM 3a(2) A1 A2 600 A1 A3 (3) A2 A3 600 Từ (1), (2), (3) ABN ACM (c.g.c) BN CN 5a Xét BMN có BN 5a 25a 2 BM MN 4a 3a 25a 2 BN BM MN BMN vuông M (định lý Pytago đảo) NMB 900 AMB AMN NMB 900 600 1500 ...ĐÁP ÁN Câu 1 7 25 22 15 a) M 3,5 : 4 7, 5 : 7 35 43 15 35 42 15 69 M : 1 42 43... 1 2 x y y z x y y z c) ; ; 10 15 15 12 x y z x yz 49 7 10 15 12 10 15 12 x 70 ; y 105; z 84 Câu a) Từ a b a b a b 2a 2b a 3b