PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2017 Câu (4,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức b) Tính giá trị biểu thức B x2 3x với x c) Tìm số x, y, z biết rằng: x y y z ; x y z 110 Câu (4,5 điểm) a) Tìm tập hợp số nguyên x, biết rằng: 5 31 1 : x : 3,2 4,5.1 : 21 18 45 2 1 1 x x 11x b) Tìm x, biết: x x x 12 20 110 c) Tính giá trị biểu thức C x5 y3 2015 x, y thỏa mãn: x y 2 20 Câu (3,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1: : b) Tìm tất số tự nhiên a, b cho: 2a 37 b 45 b 45 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC a) Chứng minh : ADC ABE b) Chứng minh rằng: DIB 600 c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d) Chứng minh IA phân giác DIE Câu (1,5 điểm) Cho 20 số nguyên khác 0: a1, a2 , a3 , , a20 có tính chất sau: * a1 số dương *Tổng ba số viết liền số dương *Tổng 20 số số âm Chứng minh rằng: a1.a14 a14 a12 a1.a12 ĐÁP ÁN Câu 4 3 a) A : : 5 5 4 3 : 0: 7 5 1 b) Vì x x 2 1 1 Với x A 2. 2 2 1 1 Với x A 2. 3. 2 2 1 Vậy A với x A với x 2 x y x y y z y z x y z c) Từ ; 14 14 35 14 35 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x yz 110 2 14 35 14 35 55 x 2.6 12; y 2.14 28; z 2.35 70 Vậy x 12, y 28, z 70 Câu 5 41 18 a)Ta có: : 5 Lại có: 18 41 31 16 76 43 38 2 43 2 2 : 3,2 4,5.1 : 21 : 1 45 16 45 43 43 2 Do 5 x mà x x 4; 3; 2; 1 b) Nhận xét: Vế trái đẳng thức nên vế phải 11x x Với x ta có: 1 1 x x x x x 11x 12 20 110 1 1 x x x x x 11x 12 20 110 10 x (tm) 11 11 10 11 20 20 c) Do x 0; y x y với x, y Vậy x x 20 x 1 Kết hợp x y 20 y 2 y Giá trị biểu thức C x5 y3 2015 x 1, y 2 là: C 2.15 5. 2 2015 2057 Vậy C 2057 Câu a) Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng quát, giả sử a b c , ta có: a b c 27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội Do a b c a b c 18 a b c 27 a b c abc Theo đề ta có: Như a b c chia hết cho 6, nên a b c 18 Từ suy a 3, b 6, c Do số phải tìm bội 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn Vậy hai số cần tìm 396,936 b) Nhận xét : với x x x x Với x x x Do x x ln số chẵn với b Suy 2a 37 số chẵn 2a lẻ a Khi b 45 b 45 38 Nếu b 45 , ta có: b 45 b 45 38 38(ktm) Nếu b 45 , ta có: b 45 38 b 64(tm) Vậy a, b 0;64 Câu E A D N J K I M B C a) Ta có: AD AB, DAC BAE AC AE ADC ABE (c.g.c) b) Từ ADC ABE ABE ADC mà BKI AKD (đối đỉnh) Khi xét BIK DAK suy BIK DAK 600 (dfcm) c) Từ ADC ABE CM EN , ACM AEN ACM AEN (c.g.c) AM AN CAM EAN MAN CAE 600 Do AMN d) Trên tia ID lấy điểm J cho IJ IB BIJ BJ BI JBI DBA 600 IBA JBD, kết hợp BA BD IBA JBD(c.g.c) AIB DJB 1200 mà BID 600 DIA 600 Từ suy IA phân giác DIE Câu Ta có: a1 a2 a3 a4 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 a1 0, a2 a3 a4 0; ; a11 a12 a13 0; a15 a16 a17 0; a18 a19 a20 a14 Cũng vậy: a1 a2 a3 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 a13 a14 Mặt khác, a12 a13 a14 a12 Từ điều kiện a1 0; a12 0; a14 a1.a14 a14.a12 a1a12 (dfcm) ... x 2.6 12; y 2.14 28; z 2.35 70 Vậy x 12, y 28, z 70 Câu 5 41 18 a)Ta có: : 5 Lại có: 18 41 31 16 76 43 38 2 43 2 2 : 3,2 4,5.1... 2.15 5. 2 2015 20 57 Vậy C 20 57 Câu a) Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng quát, giả sử a b c , ta có: a b c 27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên... 27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội Do a b c a b c 18 a b c 27 a b c abc Theo đề ta có: Như a b c chia hết cho 6, nên a b c 18 Từ suy a 3, b 6,