PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN Câu (2,0 điểm) a) Tìm x biết 3x x 1 2016 3x 20170 Tìm số nguyên dương x để B 115 x b) Cho B 1 1 3 1 1 x Câu (2,0 điểm) a) Cho x, y, z số thực thỏa mãn y z 1 x z x y x y z x yz Tính giá trị biểu thức A 2016.x y 2017 z 2017 b) Cho x, y, z số thực thỏa mãn: x y 5z x y Tìm giá trị lớn 3x z Câu (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M 2016 x 2016 có giá trị nhỏ 3x b) Cho đa thức f ( x) 2016.x4 32 25k 2 x2 k 100 (với k số thực dương cho trước) Biết đa thức f ( x) có ba nghiệm phân biệt a, b, c với a b c Tính hiệu a c Câu (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M trung điểm đoạn thẳng BC Vẽ góc CBx cho CBx 450 , tia Bx lấy điểm A cho độ dài đoạn thẳng BM BA tỉ lệ với Lấy điểm D thuộc đoạn thẳng BM Gọi H I hình chiếu B C đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) DN vng góc với AC b) BH CI có giá trị khơng đổi D di chuyển đoạn thẳng BM c) Tia phân giác góc HIC ln qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) a) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p p số nguyên tố b) Trong bảng ô vng gồm có vng, người ta viết vào ô vuông chir số 1;0; 1 Chứng minh tổng số theo cột, hàng, đường chéo phải có hai tổng số ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN TAM DƯƠNG 2016-2017 Câu a) 3x x 1 2016 3x 20170 3x x 3x 1(*) Điều kiện để x thỏa mãn toán 3x x Khi x 1 1 x nên (*) trở thành 3x x 3x 3x x (điều kiện x 0) Nếu x ta có 3x x nên x (thỏa mãn) Nếu x ta có 3x x nên x (thỏa mãn) 3 Vậy x ; 2 4 b) 2.3 3.4 4.5 x x 1 B 1 2 3 x x 1 1 x( x 3) ( x 1) 2 2 x( x 3) 115 x( x 3) 460 Từ B = 115 Mà x số nguyên dương nên x x+3 ước dương 460 nên x 20 Vậy x=20 Câu a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y z 1 x z x y 2 x y z x yz 0,5 x 0,5 y 0,5 z 2 x y z 5 x ; y ;z 6 x y z 0,5 Khi ta có 2016.x y 2017 z 2017 2016 1008 Khi ta có 2016 1008 Vậy với x, y, z số thực thỏa mãn y z 1 x z x y x y z x yz Thì giá trị biểu thức 2016.x y 2017 z 2017 1008 b) Ta có: x 2y x 2y ,3 y z 1 Nếu x y x 15, y 10, z 6 Khi 3x 2z 45 12 33 Nếu x y 5 x 15; y 10; z Khi 3x 2z 45 12 33 Vậy giá trị lớn 3x z 33 Câu 2016 x 2016 672 3x 2016 1344 3360 672 3x 3x 3x 3360 M nhỏ lớn 3x 3360 * Xét 3x (1) 3x 3360 * Xét 3x 0 3x 3360 lớn 3x nhỏ Mà x nguyên, 3x dương 3x chia dư 3x 2 nên 3x x 3360 3360 Khi 1680(2) 3x 3.0 3360 So sánh (1) (2) có giá trị lớn 1680 3x a) M Vậy M 1008 x b) Ta thấy đa thức f ( x) có nghiệm x a (a khác 0) x a nghiệm f ( x) nên f ( x) có 2m nghiệm Mà đa thức f ( x) có ba nghiệm phân biệt nên ba nghiệm Thay x vào đa thức cho ta được: k 100 nên k 10 (vì k dương) Với k 10 ta có f ( x) 2016 x4 8064 x2 2016 x2 ( x2 4) Từ f ( x) có nghiệm phân biệt a 2; b 0; c nên a c 4 Câu B H D M I N A C a) Từ M kẻ tia My vng góc với BC cắt tia Bx A’ Tam giác BMA’ vuông cân M nên MB : BA ' 1: Suy A A ' nên AM vng góc với BC Tam giác ADC có AM CI đường cao nên N trực tâm tam giác ADC Suy DN vng góc với AC b) Ta có AMB AMC (c.g.c) nên AB = AC góc ACB 450 Tam giác ABC vng cân A có BAH ACI 900 CAH H, I hình chiếu B C AD nên H=I=90 Suy AIC BHA (c.h g.n) BH AI BH CI BH AH AB2 (không đổi) c) BHM AIM HM MI BMH BMI 900 HMI vuông cân HMI 450 Mà HIC 900 HIM MIC 450 IM tia phân giác HIC Vậy tia phân giác HIC qua điểm M cố định Câu a) Với p p p2 không số nguyên tố Với p p p2 17 số nguyên tố Vơi p p số nguyên tố nên p lẻ nên p 22k 1 2(mod 3) Và p2 1(mod 3) nên p p Mà p p nên p p hợp số Vậy với p p p hợp số Vậy với p p p số nguyên tố b) Ta có cột, hàng đường chéo nên có 12 tổng Mỗi ô vuông nhận số 1;0 – nên tổng nhận giá trị từ - đến Ta có 11 số nguyên từ - đến – 5; - ; ….;0;1;….5 Vậy theo nguyên lý Dirichle phải có hai tổng (đpcm) ...ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN TAM DƯƠNG 2016- 20 17 Câu a) 3x x 1 2016 3x 20 170 3x x 3x 1(*) Điều kiện để x thỏa mãn toán 3x x Khi x 1 1 ... có 2016. x y 20 17 z 20 17 2016 1008 Khi ta có 2016 1008 Vậy với x, y, z số thực thỏa mãn y z 1 x z x y x y z x yz Thì giá trị biểu thức 2016. x y 20 17 z 20 17. .. Câu 2016 x 2016 672 3x 2016 1344 3360 672 3x 3x 3x 3360 M nhỏ lớn 3x 3360 * Xét 3x (1) 3x 3360 * Xét 3x 0 3x 3360 lớn 3x nhỏ Mà x nguyên, 3x dương