Đề đa HSG toán 7 huyện tam dương 2016 2017

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay! ĐỀ CHÍNH THỨC Câu1 (2,0 điểm) 2016 a) Tìm x biết: 3x − + x + (−1) = x + 2017 b) Cho B = 1+ 1 1 (1 + 2) + (1 + + 3) + (1 + + + 4) + + (1 + + + + x) x Tìm số nguyên dương x để B = 115 Câu (2,0 điểm) a) Cho x, y, z số thực thỏa mãn y + z +1 x + z + x + y − = = = x y z x+ y+z Tính giá trị biểu thức: A = 2016.x + y2017 + z2017 b) Cho x, y, z số thực thỏa mãn: 2x = 3y = 5z x − y = Tìm giá trị lớn 3x – 2z Câu (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M = 2016 x − 2016 có giá trị nhỏ 3x + b) Cho đa thức f(x) = 2016.x – 32(25.k + 2).x2 + k2 – 100 (với k số thực dương cho trước) Biết đa thức f(x) có ba nghiệm phân biệt a, b, c (với a < b < c) Tính hiệu a – c Câu (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M trung điểm đoạn thẳng BC Vẽ góc CBx · cho CBx = 450 , tia Bx lấy điểm A cho độ dài đoạn thẳng BM BA tỉ lệ với Lấy điểm D thuộc đoạn thẳng BM Gọi H I hình chiếu B C đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) DN vuông góc với AC b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi D di chuyển đoạn thẳng BM c) Tia phân giác góc HIC qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) a) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p + p số nguyên tố b) Trong bảng ô vuông gồm có 5x5 ô vuông, người ta viết vào ô vuông số 1; -1 Chứng minh tổng số theo cột, hàng, đường chéo phải có hai tổng số Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: SBD: Phòng thi http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 -2017 MÔN: TOÁN Lưu ý: Sau gợi ý cách giải dự kiến cho điểm tương ứng, thí sinh giải cách khác đúng, giám khảo dựa gợi ý cho điểm hướng dẫn chấm để thống cách cho điểm Câu học sinh không vẽ hình (hoặc vẽ hình sai) không cho điểm Tổ chấm thống chia điểm đến mức nhỏ hướng dẫn đảm bảo nguyên tắc: điểm câu làm tròn đến 0,25; điểm toàn tổng điểm câu không làm tròn Câu Nội dung cần đạt x − + x + (−1) a) 2016 = x + 2017 Điểm x − + x + = 3x + (*) Điều kiện để x thỏa mãn toán 3x + ≥ ⇔ x ≥ −1 ⇒ 2x + ≥ nên (*) trở thành 3x − + x + = 3x + ⇔ 3x − = x (điều kiện x ≥ ) Nếu x ≥ ta có 3x – = x nên x = (thỏa mãn) Nếu ≤ x ≤ ta có - 3x = x nên x = (thỏa mãn) 3 3 Vậy x ∈  ;  2 4 2.3 3.4 4.5 x( x + 1)  b) B = 1+  ÷+  ÷ +  ÷+ +  ÷= 2  3  4  x  x +1 = 1+ + + + = ( + + + + ( x + 1) ) = 2 2 x( x + 3)  =  ÷ 2   x( x + 3)  Từ B = 115  ÷ = 115 ⇔ x( x + 3) = 460 2  Khi x ≥ (2đ) −1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Mà x số nguyên dương nên x x + ước dương 460 nên x = 0,25 20 (2đ) Vậy x = 20 a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: y + z +1 x + z + x + y − 0,25 = y = = x + y + z =2 x z 0,5 − x + 0,5 − y + 0,5 − z − = = ⇒ x+y+z = 0,5 ⇒ =2 x y z 5 ⇒x= ;y= ;z=2 6 Khi ta có 2016.x + y2017 + z2017 = 2016 +0 = 1008 Vậy với x,y,z số thực thỏa mãn http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 0,25 y + z +1 x + z + x + y − = = = x y z x+ y+z giá trị biểu thức 2016.x + y2017 + z2017 1008 b) Ta có x 2y x − 2y = = , 3y = 5z −1 Nếu x-2y = ⇒ x= -15, y = -10, z = -6 Khi 3x - 2z = -45 + 12 = -33 Nếu x-2y = -5 ⇒ x= 15, y = 10, z = Khi 3x - 2z = 45 - 12 = 33 Vậy giá trị lớn 3x – 2z 33 2016 x − 2016 672(3 x + 2) − 2016 − 1344 3360 = = 672 − 3x + 3x + 3x + 3360 M nhỏ ⇔ lớn 3x + 3360 < (1) • Xét 3x + < 3x + B 3360 H >0 • Xét 3x + > 3x + D 3360 lớn 3x+2 nhỏ 3x + Mà x nguyên, 3x+2 dương 3x+2 I chia dư nên 3x+2 = nên x = 3360 3360 N = 1680 Khi đó: = (2) 3x + 3.0 + A 3360 So sánh (1) (2) có giá trị lớn 1680 3x + Vậy M = −1008 ⇔ x = 0,25 a) M = (2đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 M b) Ta thấy đa thức f(x) có nghiệm x = a ( a khác 0) x = -a nghiệm f(x), nên đa thức f(x) có 2m nghiệm Mà đa thức f(x) có ba nghiệm phân biệt nên ba nghiệm Thay x = vào đa thức cho ta được: k2 – 100 = nên k = 10 (vì k dương) Với k = 10 ta có f(x) = 2016.x4 – 8064 x2 = 2016x2 (x2 – 4) Từ f(x) có nghiệm phân biệt a = -2; b = c = nên a – c = - 4 a) Từ M kẻ tia My vuông góc với BC cắt tia Bx A’ (2,5) Tam giác BMA’ vuông cân M nên MB: BA’ = 1: Suy A ≡ A ' nên AM vuông góc với BC Tam giác ADC có AM CI đường cao nên N trực tâm tam giác ADC Suy DN vuông góc với AC b) Ta có ∆AMB = ∆AMC (c- g- c) nên AB = AC góc ACB = 450 Tam giác ABC vuông cân A có ∠BAH = ∠ACI = 900 − ∠CAH H, I hình chiếu B C AD nên H = I = 900 Suy ∆AIC = ∆BHA (c.h – g.n) ⇒ BH = AI BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (không đổi) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 C 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,25 0,25 0,25 c) ∆BHM = ∆AIM ⇒ HM = MI ∠BMH = ∠IMA mà ∠ IMA + ∠BMI = 900 ⇒ ∠BMH + ∠BMI = 900 ⇒ ∆HMI vuông cân ⇒ ∠HIM = 450 mà : ∠HIC = 900 ⇒∠HIM =∠MIC= 450 ⇒ IM tia phân giác ∠HIC Vậy tia phân giác ∠HIC qua điểm cố định M Với p = p + p = 4+4 = không số nguyên tố Với p = p + p = 8+9 = 17 số nguyên tố Với p > p số nguyên tố nên p lẻ nên p = 22 k +1 ≡ 2(mod 3) p ≡ 1(mod 3) nên p + p M3 Mà p + p > nên p + p hợp số Vậy với p = p + p số nguyên tố (1,5) Ta có cột, hàng đường chéo nên có 12 tổng Mỗi ô vuông số 1; -1 nên tổng nhận giá trị từ -5 đến Ta có 11 số nguyên từ -5 đến -5; -4; …; 0; 1; …;5 Vậy theo nguyên lí Dirichle phải có hai tổng số (đpcm) 0,5 0,5 Chú ý: - Học sinh giải theo cách khác, cho điểm tối đa tương ứng - Câu 4, học sinh không vẽ hình vẽ sai hình phần không chấm phần http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... có 2016. x + y20 17 + z20 17 = 2016 +0 = 1008 Vậy với x,y,z số thực thỏa mãn http://violet.vn/nguyenthienhuongvp 77 0,25 0,25 0,25 y + z +1 x + z + x + y − = = = x y z x+ y+z giá trị biểu thức 2016. x...PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 -20 17 MÔN: TOÁN Lưu ý: Sau gợi ý cách giải dự kiến cho điểm tương... 15, y = 10, z = Khi 3x - 2z = 45 - 12 = 33 Vậy giá trị lớn 3x – 2z 33 2016 x − 2016 672 (3 x + 2) − 2016 − 1344 3360 = = 672 − 3x + 3x + 3x + 3360 M nhỏ ⇔ lớn 3x + 3360 < (1) • Xét 3x + < 3x +