PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 104.81 16.152 44.675 Câu (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn x y z x2 y 3z 100 Câu (2,0 điểm) Cho số x, y thỏa mãn x y 1 2018 0 Tính giá trị biểu thức M 11x y xy Câu (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d Tính giá trị biểu thức M ab bc cd d a cd d a ab bc Câu (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai f x ax bx c ( x ẩn, a, b, c : hệ số) Biết : f 0 2018, f 1 2019, f 1 2017 Tính f 2019 Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức Q 27 x (với x ) 12 x Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a3 3a 5b a 5c Câu (2,0 điểm) Cho góc xOy 600 Tia Oz phân giác xOy Từ điểm B tia Ox kẻ BH , BK vng góc với Oy, Oz H K Qua B kẻ đường song song với Oy cắt Oz M Chứng minh BH MK Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M nằm bên tam giác cho MA 2cm, MB 3cm, AMC 1350 Tính MC Câu 10 (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1;2;3; ;200, ta lấy k số cho số vừa lấy ln tìm số mà số bội số Tìm giá trị nhỏ k ĐÁP ÁN Câu 104.81 16.152 24.54.34 24.32.52 A 44.675 28.33.52 24.32.52. 52.32 1 225 224 14 28.33.52 3 Câu Từ x y z x y z 2 x 2 y 3z 2 x y 3z 100 4 16 25 18 32 75 25 25 x y x 36 z 10 Suy y 64 (Vì x, y, z dấu) x z 100 y 8 z 10 Vậy x; y; z 6;8;10 ; 6; 8; 10 Câu Vì x 0; y 1 2018 với x, y nên: x y 1 Mà theo đề x y 1 x 2; y 2014 2014 , suy x y 1 M 24 Câu Từ 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d ( x, y) 2014 0 Suy 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 1 1 a b c d abcd abcd abcd abcd (*) a d c d Nếu a b c d a b c d ; b c a d M ab bc cd d a 4 cd d a ab bc Nếu a b c d từ * a b c d M ab bc cd d a 4 cd d a ab bc Câu Xét x : f 2018 c 2018 Xét x 1: f 1 2019 a b c 2018 a b 1(1) Xét x 1: f 1 2017 a b c 2017 a b 1 (2) Cộng (1) (2) vế theo vế a b Từ tìm f x x 2018 Suy f 2019 1 Câu Ta có: Q 27 x 3 2 , suy Q lớn lớn 12 x 12 x 12 x *Nếu x 12 12 x 0 12 x *Nếu x 12 12 x 0 12 x Từ trường hợp suy lớn 12 x 12 x có tử mẫu số nguyên dương, tử không đổi nên phân số 12 x có giá trị lớn mẫu số nguyên dương nhỏ Vì phân số Hay 12 x x 11 Suy A có giá trị lớn x 11 Câu Do a 5b a3 3a a 5c Vậy 5b 5c b c 5b 5c Hay a3 3a 5 a 3 a a 3 a Mà a a 3 a 3 a 3 a U (5) Hay a 1; 5 , a a 3 Từ (1) (2) suy a a Từ tính 5b 23 3.22 25 52 b Và 5c a c Vậy a 2, b 2, c Câu x z B M K O H y Chứng minh tam giác BOM cân B BOM BMO 300 BK đường cao tam giác cân BMO nên K trung điểm OM KM KO (1) Chứng minh BKO OHB ch gn BH OK (2) Từ (1) (2) suy BH MK (dfcm) Câu D A M C B Dựng tam giác ADM vuông cân A, (D, B khác phía AM ) Chứng minh ABM ACD(c.g.c) vì: AD AM (AMD vng cân A) MAB CAD( phụ với CAM ) ; AB AC ( gt ) Suy CD BM 3cm Tính MD2 AD2 AM Chỉ tam giác DMC vuông M Suy MC CD2 MD2 CD 1(cm) Câu 10 Xét 100 số 101;102;103; ;200 Trong 100 số rõ ràng khơng có số bội số (vì 101.2 200) Do k 101 (1) Xét 101 số lấy từ 200 số cho: a1 a2 a3 a101 200 Ta viết 101 số vừa lấy dạng: a1 2n1.b1 a2 2n2 b2 a3 2n3.b3 a101 n101.b101 Với ni số tự nhiên, bi số lẻ i 1;101 Suy bi phần tử tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: 1;3;5; ;199 Vì có 101 số bi mà có 100 giá trị nên tồn số bi b j Suy hai số 2ni bi a j j b j có số bội số lại n Như lấy 101 số 200 số cho ln có số mà số bội số (2) Từ (1) (2) suy giá trị nhỏ k 101 ... cd d a ab bc Câu Xét x : f 2018 c 2018 Xét x 1: f 1 2019 a b c 2018 a b 1(1) Xét x 1: f 1 20 17 a b c 20 17 a b 1 (2) Cộng (1) (2) vế theo... x; y; z 6;8;10 ; 6; 8; 10 Câu Vì x 0; y 1 2018 với x, y nên: x y 1 Mà theo đề x y 1 x 2; y 2014 2014 , suy x y 1... 24.54.34 24.32.52 A 44. 675 28.33.52 24.32.52. 52.32 1 225 224 14 28.33.52 3 Câu Từ x y z x y z 2 x 2 y 3z 2 x y 3z 100 4 16 25 18 32 75 25 25 x