017 đề HSG toán 7 huyện hoằng hóa 2018 2019

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4,0 điểm) Tính    5  5 A  1000  103  11  7   5.23  8.112  121 B  15 :     25 :       7  7  21   19  Tìm x, biết:   x   :       10   10  Bài (4,0 điểm) x 10 y Tìm x, y, z biết:  ;  x  y  z  78 y z 2 Cho b  ac, c  bd Với b, c, d  0; b  c  d ; b5  c5  d a  b3  c  a  b  c   Chứng minh: 3  b  c  d3  b  c  d  Tính giá trị biểu thức C  x15  2019 x14  2019 x13  2019 x12   2019 x  với x  2018 Bài (4,0 điểm) 2018 Tìm y nguyên, biết  y  2018  y  2019  Cho p, q số nguyên tố lớn thỏa mãn p  q  Chứng minh rằng:  p  q  12 Bài (6,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, AB  AC , trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AB AE  AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AC AD  AC 1) Chứng minh BD  CE 2) Trên tia đối tia MA lấy N cho MN  MA Chứng minh 3) ACN  180  BAC ADE  CAN AD  IE 4) Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh : 1 DI  AE Bài (2,0 điểm) Tìm số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn đồng thời ab  c, bc  4a, ac  9b Tìm số tự nhiên nhỏ a để ghép vào bên phải số 2019 số tự nhiên chia hết cho 2018 ĐÁP ÁN Bài 1 A  1000  1000  11  49  40  8.121  121     1000  1000  11.  8.0    1000  1000  11.9   99  5  5  1  5  7 B  15 :     25 :     15  25  :     10.    14  7  7  4  7  5  21   19  2.  x   :       10   10  21   x2   10 10 10 x   x  21  x2    2   10 10  x   2  x  4 Bài x 10 x y    (1) 1) y 10 y y z y z      (2) z 4 12 x y z x  y  z 78 Từ (1) (2) suy       x  60, y  54, z  72 10 12 10   12 13 a b b c 2) Từ b2  ac   (1) ; c  bd   (2) b c c d a b c abc Từ (1) (2) suy    b c d bcd 3 c a  b3  c  abc  a b   dfcm   3 3 3 3 c d b  c  d3 bcd  b 3) Ta có: 2019  2018   x  Do đó: C  x15   x  1 x14   x  1 x3   x  1 x12    x  1 x   x   2018   2017 Vậy C  2017 Bài 2018 Vì y  mà  y  2018  y  2019   y  2018   y  20119    y  2018    y  2019    y  2018   y  2018  y  2019      y  2019   y  2019   y  2018   Vậy y  2018 y  2019 Vì q nguyên tố , q  nên q có dạng 6k  6k   k   Nếu q  6k  p  q   6k  3 mà p  nên p hợp số (loại) Nếu q  6k   p  q   6k    6k  Suy p  q   6k     6k  5  12k  12 12(dfcm) Bài A E D Q I B M F C N Xét ABD ACE có: AD  AC ( gt ) AE  AB( gt ); BAD  CAE ( phụ với BAC )  ABD  AEC(c g.c)  BD  CE( cạnh tương ứng) Xét ABM NCM có: AM  MN ( gt ); BM  CM ( gt ); AMB  NMC ( đ đ)  ABM  NCM (c.g.c)  ABM  NCM (hai góc tương ứng) Do đó: ACN  ACB  BCN  ACB  ABC  1800  BAC (dfcm) +Ta có: DAE  DAC  BAE  BAC  1800  BAC  DAE  ACN Xét ADE ACN có: CN  AE (cùng AB), AC  AD( gt ); DAE  ACN (cmt )  ADE  CAN (cgc) Theo tính chất góc ngồi, ta có: AQP  QAD  QDA; APQ  PAE  PEA Mà AB  AC nên AE  AD  ADE  AED Theo chứng minh ta có: QAD  PAE Từ suy QAD  QDA  PAE  PEA Hay AQP  APQ  AP  AQ Vì ADE  CAN (cmt )  NAC  ADE (hai góc tương ứng) Xét ADP vuông A  ADE  APD  900  NAC  APD  900  AI  DE Xét ADI vng I, theo định lý pytago có: AD2  DI  AI  AI  AD2  DI Xét AIE vuông I , theo định lý Pytago ta có: AE  AI  IE  AI  AE  IE AD  IE 2 2 2 2  AD  DI  AE  IE  AD  IE  DI  AE   1(dfcm) DI  AE Bài Nhân vế ba đẳng thức ta  abc   36abc Nếu abc  kết hợp với đề ta a  b  c  Nếu abc  abc  36 Kết hợp ab   c  6 Kết hợp bc  4a  a  3 Kết hợp ac  9b suy b  2  a  3, b  Với c  ab     a  3, b  2  a  3, b  2 Với c  6  ab  6    a  3, b  2 Vậy có  a, b, c  thỏa mãn  0;0;0 ;  3;2;6 ;  3; 2;6  ;  3; 2; 6  ;  3;2; 6  Đặt a  a1a2 an (n  *, a1 , a2 , , an chữ số, a1  0) Số tự nhiên cần tìm có dạng 2019a1a2 .an Theo giả thiết, ta có: 2019a1a2 .an 2018  2019.10n  a1a2 .an 2018  2018.10n  10n  a1a2 .an 2018  10n  a1a2 .an 2018 Xét trường hợp: Với n  1, ta : 10  a1 2018  khơng tìm a1 10  10  a1  20 Với n  2, ta 100  a1a2 2018 khơng tìm a1a2 100  100  a1a2  200 Với n  , ta 1000  a1a2a3 2018 , khơng tìm a1a2 a3 1000  1000  a1a2a3  2000 Với n  4, ta 10000  a1a2a3a4 2018  10000  a1a2a3a4  5.2018 2018 Hay a1a2a3a4  90  2018  a1a2a3a4  2108 Vậy số tự nhiên a nhỏ cần tìm a  2108