PHÒNG GD & ĐT THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Bài (4,0 điểm) a) Thực phép tính : P b) Tìm x thỏa mãn: x 4 20180 0,4 25 x 1 x 3 Bài (4,0 điểm) x y xy x y 2017 2018 2019 x y z b) Cho x, y, z, a, b, c thỏa mãn a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Chứng minh rằng: (với điều kiện mẫu x y z 2x y z 4x y z thức khác 0) Bài (3,0 điểm) a) Cho đa thức f ( x) ax b Tìm a, b biết f 1 f 2 a) Tìm x, y biết: b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho A 1;2 M m; m2 Tìm m để điểm phân biệt O, A, M thẳng hàng Bài (3,0 điểm) a) So sánh : 222333 333222 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q x 2017 x 2018 x 2019 Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A( góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD CE Trên tia đối tia CA lấy điểm I cho CI CA a) Chứng minh: ABD ICE AB AC AD AE b) Từ D E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB, AI theo thứ tự M , N Chứng minh MN qua trung điểm DE c) Chứng minh chu vi tam giác ABC nhỏ chu vi tam giác AMN Bài (1,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n tổng: 15 n2 S số nguyên 16 n ĐÁP ÁN Bài a) P b) x x 4 20180 0,4 25 5 x 1. x 3 x x 16(tm) x x 1 x 1 x 1 x 3 x x Bài x y xy x y a) Ta có: (1) 2017 2018 2019 Áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có: x y xy x y 1 2017 2018 2019 Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: x y x y x yx y 2x x 2017 2019 2017 2019 4036 2018 xy x (2) 2018 2018 TH1: x y Th2: x 0, y x 2018(tm) Vậy x; y 0;0 ; 2018;1 b) Từ giả thiết suy x 2y z x 2y z (1) a 2b c 4a 2b 2c 4a 4b c 9a 2x y z 2x y z (2) 2a 4b 2c 2a b c 4a 4b c 9b 4x 4y z 4x y z (3) 4a 8b 4c 8a 4b 4c 4a 4b c 9c Từ 1 , , 3 ta có: 9a 9b 9c x y z 2x y z 4x y z hay x y z 2x y z 4x y z 9a 9b 9c a b c Vậy x y z x y z 4x y z Bài a) f 1 a.1 b a b b a f 2 2a b 2a a 3a 3 a Thay a b Vậy a 1; b b) Đường thẳng OA đồ thị hàm số y ax A1;2 y ax a y x m Để O, A, M thẳng hàng M m; m2 y x m2 2m m Vì ba điểm O, A, M phân biệt nên m 0(ktm) Vậy m Bài a) Ta có: 222333 2223 ;333222 3332 111 111 2223 2.111 8.1113 8.111.1112 888.1112 3332 3.111 9.1112 Vì 888 888.1112 9.1112 2223 3332 2223 111 3332 111 222333 333222 Vậy 222333 333222 b) Q x 2017 x 2018 x 2019 Q x 2017 x 2019 x 2018 , x 2019 2019 x Q x 2017 2019 x x 2018 Mà x 2017 2019 x x 2017 2019 x Q x 2017 2019 x x 2018 Q x 2018 x 2017 2019 x 2017 x 2019 x 2018 Dấu " " xảy x 2018 x 2018 Vậy Q đạt giá trị nhỏ x 2018 Bài A M B C D E O N I a) ABC cân A suy AB AC, ABC ACB Mà AC IC gt AB IC; ACB ICE (đối đỉnh) ABD ICE Xét ABD ICE có: AB IC; ABD ICE; AB IC Suy ABD ICE (dfcm) Ta có: AB CI AB AC CI AC AI (1) Theo chứng minh ABD ICE (c.g.c) AD IE AD AE IE AE (2) Áp dụng BĐT tam giác AEI ta có: IE AE AI (3) Từ 1 , , 3 AD AE AB AC b) Gọi O giao điểm MN với DE Chứng minh BDM CEN ( g.c.g ) DM EN Chứng minh được: ODM OEN ( g.c.g ) OD OE Hay MN qua trung điểm DE c) Vì BM CN AB AC AM MN (4) Có BD CE ( gt ) BC DE MO OD MO NO OD OE MN DE MN BC (5) NO OE CABC AB AC BC CAMN AM AN MN (6) Từ (4), (5), (6) Chu vi ABC nhỏ chu vi AMN Bài S có n 1 số hạng 15 n2 1 1 1 1 S 1 1 1 1 16 n n 1 S n n (1) n 2 1 1 1 1 Mặt khác 1 n 1.2 2.3 3.4 n n 1.n 1 S n 11 n n (2) n n Từ (1) (2) ta có: n S n Vậy S khơng có giá trị ngun với số tự nhiên n ... 20 17 x 2018 x 2019 Q x 20 17 x 2019 x 2018 , x 2019 2019 x Q x 20 17 2019 x x 2018 Mà x 20 17 2019 x x 20 17 2019 x Q x 20 17 2019. .. 2019 x x 2018 Q x 2018 x 20 17 2019 x 20 17 x 2019 x 2018 Dấu " " xảy x 2018 x 2018 Vậy Q đạt giá trị nhỏ x 2018 Bài A M B C... 20 17 2018 2019 Áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có: x y xy x y 1 20 17 2018 2019 Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: x y x y x yx y 2x x 20 17 2019 20 17 2019 4036 2018 xy x