PHỊNG GD & ĐT SƠNG LƠ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MƠN : TỐN Câu (2,5 điểm) a) Tìm x biết: 1 : 2015 x 2016 2015 3n có giá trị số nguyên n 1 c) Tính giá trị biểu thức N xy z x3 y z x 2014 y 2015 z 2016 x 1; y 1; z 1 Câu (2,0 điểm) 2bz 3cy 3cx ay ay 2bx a) Cho dãy tỉ số Chứng minh : a 2b 3c x y z a 2b 3c b) Tìm tất số tự nhiên m, n cho: 2m 2015 n 2016 n 2016 Câu (1,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 2015 x 2016 x 2017 b) Cho bốn số nguyên dương khác thỏa mãn tổng hai số chia hết cho tổng ba số chia hết cho Tính giá trị nhỏ tổng bốn số Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, BH vng góc với AC H Trên cạnh BC lấy điểm M (khác B C) Gọi D, E, F chân đường vng góc hạ từ M đến AB, AC, BH a) Chứng minh DBM FMB b) Chứng minh M chạy cạnh BC tổng MD ME có giá trị không đổi c) Trên tia đối tia CA lấy điểm K cho CK EH Chứng minh BC qua trung điểm DK Câu (1,0 điểm) Có sáu túi chứa 18,19,21,23,25 34 bóng Một túi chứa bóng đỏ túi chứa bóng xanh Bạn Tốn lấy ba túi, bạn Học lấy túi Túi lại chứa bóng đỏ Biết lúc bạn Tốn có số bóng xanh gấp đơi số bóng xanh học Học Tìm số bóng đỏ túi lại b) Tìm giá trị nguyên n để phân số M ĐÁP ÁN Câu 1 1 1 a) : 2015 x x 2016 2015 2016.2015 2015 1 x : 2016 2015 2016.2015 Vậy x 2016 3n b) M có giá trị số nguyên 3n (n 1) n 1 3 n 1 n 1 n 1 n 1 U (2) 1; 2 n 0;2; 1;3 M nguyên c) Ta có: N xyz yz x2 y z yz x3 y3 z yz x 2014 y 2014 z 2014 yz Thay y 1; z 1ta được: N xyz x y z x3 y z x 2014 y 2014 z 2014 xyz xyz xyz xyz Thay xyz 1 ta được: N Vậy N Câu 2bz 3cy 3cx az ay 2bx 2a ) a 2b 3c 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx a2 4b 9c 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 0 a 4b 9c z y x z 2bz 3cy (1) 3cx az (2) 3c 2b a 3c x y z Từ (1) (2) suy a 2b 3c b) Nhận xét: Với x x x x Với x x x Do x x ln số chẵn x Áp dụng nhận xét n 2016 n 2016 số chẵn với n 2016 2014 Suy 2m 2015 số chẵn 2m lẻ m Khi n 2016 n 2016 2016 Nếu n 2016, ta có: n 2016 n 2016 2016 2016 (loại) Nếu n 2016, ta có: n 2016 2016 n 2016 1008 n 3024 (thỏa mãn) Vậy m, n 0,3024 Câu a) P x 2015 2016 x x 2017 x 2015 2017 x x 2016 Ta có: x 2015 2017 x x 2015 2017 x Dấu " " xảy 2015 x 2017 (1) Lại có x 2016 Dấu " " xảy x 2016 (2) Từ (1) (2) ta có P x 2016 b) Nhận xét: Bốn số phải số dư chia cho Để có tổng nhỏ nhất, hai số dư Từ ta có số 1,7,13,19 Tổng chúng 13 19 40 Câu A H E D F B Q M I C K a) Chứng minh DBM FMB(ch gn) b) Theo câu a ta có: DBM FMB(ch gn) MD BF (2 cạnh tương ứng) (1) Chứng minh: MFH HEM ME FH (2 cạnh tương ứng ) (2) Từ (1) (2) suy MD ME BF FH BH BH không đổi MD ME không đổi ( dfcm) c) Vẽ DP BC P, KQ BC Q, gọi I ;là giao điểm DK BC +) Chứng minh: BD FM EH CK +)Chứng minh BDP CKQ(ch gn) DP KQ (cạnh tương ứng) +)Chứng minh IDP IKQ DPI KQI ( g.c.g ) ID IK (dfcm) Câu Tổng số bóng túi: 18 19 21 23 25 34 140 Vì số bóng Tốn gấp hai lần số bóng Học nên tổng số bón hai bạn bội Ta có : 140 chia 46 dư Do số bóng đỏ số chia dư Trong sáu số cho có 23 chia dư 2, số bóng đỏ 23 ĐÁP ÁN Câu Câu Câu Câu a) Chứng minh được: DBM FMB(ch gn) b) Theo câu a ta có: DBM FMB MD BF (2 cạnh tương ứng) (1) Chứng minh MFH HEM ME FH (2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy MD ME BF FH BH BH không đổi MD ME không đổi (đpcm) c) Vẽ DP BC P, KQ BC Q, gọi I giao điểm DK BC Chứng minh BD FM EH CK Chứng minh BDP CKQ ch gn DP KQ (cạnh tương ứng) Chứng minh IDP IKQ DPI KQI ( g.c.g ) ID IK (dfcm) Bài Tổng số bóng túi : 18 19 21 23 25 34 140 ĐÁP ÁN