Đề đa HSG toán 7 huyện triệu sơn 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Đề thức Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày 12 tháng năm 2016 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Số báo danh Năm học 2015 - 2016 Câu 1: (5,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 1     a A = 1 + 1 + 1 +  1 + 2 1.3  2.4  3.5   b B = 2x2 – 3x + với x = (   2015.2017  )  2015  c C = x − y + 13x y ( x − y ) + 15 y x − x y +   , biết x – y =  2016  Câu 2: (4,0 điểm) 1  Tìm x, y biết:  x −  + y + 12 ≤ 6  3x − y z − x y − 3z = = Tìm x, y, z biết: x + y + z = 18 Câu 3: (5,0 điểm) Tìm số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – = Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101 Tính f(100) Chứng minh từ số nguyên dương tùy ý không lớn 20, chọn ba số x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Câu 4: (5,0 điểm) Cho ∆ ABC có B + C = 600, phân giác AD Trên AD lấy điểm O, tia đối tia AC lấy điểm M cho ABM = ABO Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho ACN = ACO Chứng minh rằng: a AM = AN b ∆ MON tam giác Cho tam giác ABC vuông A, điểm M nằm B C Gọi D, E thứ tự hình chiếu M AC, AB Tìm vị trí M để DE có độ dài nhỏ Câu 5: (1,0 điểm) Cho x + y = 1, x > 0, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 b2 + (a b x y số dương cho) Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Hướng dẫn chấm Môn: Toán Ngày 12 tháng năm 2016 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu) Năm học 2015 - 2016 Câu Điểm Nội dung 1     a A = 1 + 1 + 1 +  1 + 1    1.3  2.4  3.5   2015.2017   2  3  4   2016 2016  =            2015 2017   2  3  4   2016 2016  2016 =      =      2015 2017  2017 0,75 0,75 1 nên x = x = 2 1 Với x = B = 2.( )2 – + = 2 1 Với x = - B = 2.(- )2 – 3.(- ) + = 2 1 Vậy B = với x = B = với x = - 2 (5,0đ) b Vì x = ( ) 0,5 0,75 0,75  2015  c C = x − y + 13x y ( x − y ) + 15 y x − x y +    2016  = 2( x − y ) + 13 x y ( x − y ) − 15 xy ( x − y ) + = (vì x – y = 0) 2 1,5 1  Vì  x −  ≥ với ∀ x; y + 12 ≥ với ∀ y, đó: 6  0,5 1   x −  + y + 12 ≥ với ∀ x, y 6  0,25 Theo đề 1   x −  + y + 12 ≤ 6  Từ suy ra: 0,5 2 (4,0đ) 1   x −  + y + 12 = 6  Khi x − = y + 12 =  x= y = −4 12 Vậy x = y = −4 12 0,75 3x − y z − x y − 3z = = 4( 3x − y ) 3( z − x ) 2( y − z ) 12 x − y + z − 12 x + y − z = = = =0 Suy ra: 16 29 3x − y x y = ⇒ 3x = y ⇒ = Do đó: (1) 2z − 4x x z = ⇒ 2z = 4x ⇒ = (2) x y z Từ (1) (2) suy = = Ta có: 0,5 0,25 0,25 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x + y + z 18 = = = = = 2 2+3+ 0,5 Suy ra: x = 4; y = 6; z = 0,25 Ta có: x – 2xy + y – =  2x – 4xy + 2y – =  2x – 4xy + 2y – =  2x(1 – 2y) – (1 – 2y) =  (2x – 1)(1 – 2y) = Lập bảng : 2x – 1 -1 – 2y -5 x y -2 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy ( x; y ) ∈ { (1;−2) , ( 3;0) , ( 0;3) , ( − 2;1)} (5,0đ) 10 0,75 -5 -1 1,0 -2 Thỏa mãn 0,25 Ta có: f(x) = x – 101x + 101x – 101x + … – 101x + 101 = x 10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 + … – 101x + 101 = x 9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100) + … + x(x – 100) – (x – 101) Suy f(100) = Giả sử số nguyên dương tùy ý cho a 1, a2, a3, …, a8 với ≤ a1 ≤ a2 ≤ … ≤ a8 ≤ 20 Nhận thấy với ba số dương a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c b + c > a a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Từ đó, ta thấy số a1, a2, a3, …, a8 không chọn số độ dài ba cạnh tam giác thì: a6 ≥ a7 + a8 ≥ + = a5 ≥ a6 + a7 ≥ + = a4 ≥ a5 + a6 ≥ + = a3 ≥ a4 + a5 ≥ + = a2 ≥ a3 + a4 ≥ + = 13 a1 ≥ a2 + a3 ≥ 13 + = 21 (trái với giả thiết) Vậy điều giả sử sai Do đó, số nguyên cho chọn ba số x, y, z độ dài ba cạnh tam giác 0,75 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 a 0,5 0,75 ∆ ABM = ∆ ABD (g.c.g)  AM = AO (1) ∆ ACN = ∆ ACO (g.c.g)  AN = AO (2) Từ (1) (2) suy AM = AN b ∆ AOM = ∆ AON (c.g.c)  OM = ON (3) ∆ AOM = ∆ AMN (c.g.c)  OM = NM (4) Từ (3) (4) suy OM = ON = NM Do ∆ MON tam giác (5,0đ) Hướng dẫn: DE = AM ≥ AH (AH đường cao ∆ ABC) Vậy DE nhỏ  AM nhỏ  M trùng với H a b a b a ( x + y ) b ( x + y ) a2 y b2 x 2 + = + =a + +b + Ta có: P = + = x y x y x y x y  a2 y b2 x   + a + +b =  + y   x b2 x a2 y Các số dương có tích không đổi nên tổng chúng nhỏ y x (1,0đ) a2 y b2 x a = ⇔ a y = b x ⇔ ay = bx ⇔ a (1 − x ) = bx ⇔ x = x y a+b b Suy y = a+b a b Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = ( a + b ) x = y = a+b a+b 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà không vẽ hình không chấm điểm hình ... 3.5   2015. 20 17   2  3  4   2016 2016  =            2015 20 17   2  3  4   2016 2016  2016 =      =      2015 20 17  20 17 0 ,75 0 ,75 1 nên... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Hướng dẫn chấm Môn: Toán Ngày 12 tháng năm 2016 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu) Năm học 2015 - 2016 Câu Điểm Nội dung... 1 Vậy B = với x = B = với x = - 2 (5,0đ) b Vì x = ( ) 0,5 0 ,75 0 ,75  2015  c C = x − y + 13x y ( x − y ) + 15 y x − x y +    2016  = 2( x − y ) + 13 x y ( x − y ) − 15 xy ( x − y ) + =