Điểm bất động của ánh xạ dạng ε - δ CO trong thang các không gian Banach

Một cách tự nhiên, ta muốn xét bài toán tương tự về mở rộng một số định lí điểm bất động của ánh xạ f tác động từ X vào X lên trường hợp f tác động từ X vào một X’X . Trong bài viết trình bày một mở rộng định lí điểm bất động của ánh xạ dạng ε - δ CO của Leader lên trường hợp ánh xạ tác động trong một thang các không gian Banach.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Bích Huy, Võ Duy Thượng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ DẠNG    CO TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH Nguyễn Bích Huy1 Võ Duy Thượng2 Mở đầu Bài tốn Cauchy tìm hàm x : 0, a   X (X không gian Banach) thoả mãn x '  t   f t , x t  , t   0, a  , x    xo , vốn ban đầu nghiên cứu với ánh xạ f tác động từ  0,a   X vào X, sau nhờ khái niệm “thang không gian Banach” mở rộng cho lớp ánh xạ f tác động từ  0,a   X vào X’ mở rộng X [1,4-6] Một cách tự nhiên, ta muốn xét tốn tương tự mở rộng số định lí điểm bất động ánh xạ f tác động từ X vào X lên trường hợp f tác động từ X vào X '  X Trong báo này, chúng tơi trình bày mở rộng định lí điểm bất động ánh xạ dạng    co Leader [2,3] lên trường hợp ánh xạ tác động thang không gian Banach Các kết Định nghĩa Một họ khơng gian Banach  X s , s  , s   a , b  gọi thang không gian Banach với cặp s , s'   a , b  mà s  s' X s'  X s , Định lí Giả sử qs :  x s  x s' tập số tự nhiên ii) qs  m , n   qs  m , k   qs  k , k   qs  k , n  PGS TS – Trường ĐHSP TP HCM ThS – Trường CĐSP Long An 32 q   0,   thoả mãn điều kiện sau: i) qs  m , n   qs'  m , n  s  s' x  X s' s : s   a , b  họ hàm Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 14 năm 2008 iii) Với   s   a , b  tồn số   số r  s', s''   s , b  , s''  s' m , n  cho với qs'  m , n       qs''  m  r , n  r    Thế lim qs  m , n   s   a , b  m ,n  Chứng minh  qs  m , n   qs  n , m   cần, ta coi qs 2 đối xứng, nghĩa qs  m , n   qs  m , n  Bằng cách xét hàm   Đặt Mms  n   max qs  i , m  n  : i  n , n  m Bước Cố định inf  M  n  : n  , s'  s, b  (1) m, 1: ta chứng minh s' m Giả sử trái lại, vế trái (1)   Ta chọn số   , số r  tương ứng với  theo điều kiện iii) định lí cho (2) s  s''  s', qs'  m , n       qs''  m  r , n  r    Vì vế trái (1)  nên ta tìm s'   s, b  , n  cho Mms'  n      qs'  j , m  n      j  n , n  m Lấy s''   s, s'  , ta có (2) qs''  j  r , m  n  r    hay qs''  i , n  m  r    j  n , n  m i  n  r , n  m  r Vậy Mms''  n  r    Điều mâu thuẫn với giả sử ta vế trái (1)  Bước 2: Cho   , ta chọn số  ,r theo điều kiện (ii) định lí để có (2) Áp dụng (1) với m= r , ta tìm s'  s no  cho Mrs'  no   min ,  (3)  2 Lấy m  no , ta chứng minh qs  m , no  r    Thật vậy, ta chọn k  cho no  m  kr  no  r (4) Từ định nghĩa Mrs'  no  (3), (4) ta có qs'  m  kr , no  r   Mrs'  no    Tiếp theo, ta sử dụng điều kiện ii) định lí q s '  m  kr , n o   q s '  m  kr , n o  r   q s'  n o  r , n o  r   q s '  n o  r , n o          2 33 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Bích Huy, Võ Duy Thượng Từ (2), ta có qs''  m  kr  r , no  r    với s''   s , s'  Lại áp dụng điều kiện ii) i) ta q s ''  m  kr  r , n o   q s ''  m  kr  r , n o  r   q s ''  n o  r , n o  r   q s ''  n o  r , n o  <   q s '  n o  r , n o  r   q s'  n o  r , n o          2 vậy, lại áp dụng (2) để có qs'''  n  kr  2r , no  r    với s'''   s, s''  Lặp lại số lần cần thiết lý luận trên, ta có qs  m , no  r    m  no (5) Bây giờ, với m  no , n  no , áp dụng (5), ta có qs  m , n   qs  m , no  r   qs  no  r , no  r   qs  no  r , n   3 Định lí chứng minh Định lí Cho thang không gian Banach  X ,  , s a,b s s ánh xạ U : X s'  X s liên tục với cặp s , s'   a , b  mà s  s' thoả mãn điều kiện (A) sau (A) Với   , s   a , b  tồn số      , s   , r  r   , s   * cho s  s''  s ' ta có x , y  Xs' , x  y s'      U r  x   U r  y  s''  Khi U có X s , s   a , b  điểm bất động suy x s Dãy lặp U n  x  với x  Xb hội tụ x s Chứng minh Với x , y  Xb ta định nghĩa hàm qs :    0,   qs  m, n  U m  x   U n  x  Do định nghĩa thang khơng gian Banach, ta có s qs  m , n   qs'  m , n  s  s' Dễ thấy điều kiện ii) định lí thoả mãn Ta kiểm tra qs thoả điều kiện iii) Với   s   a , b  ta chọn  ,r theo điều kiện (A) Với s"  s' qs'  m , n   U m  x   U n  y  s'     , ta có U r U m  x    U r U n  y     hay qs"  m  r , n  r    Vậy hàm qs thoả tất s" điều kiện định lí nên ta có lim qs  m , n   Do U n  x   m ,n  34 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 14 năm 2008 U  y   n  n dãy Cauchy tương đương X s Đặt x s  lim U n  x  X s , ta chứng minh xs  U  xs  Lấy s  s U liên tục từ X s vào X s nên   Mặt khác lim U U  x    lim U  x   x  X liên tục ta có lim U U  x    x lim U U n  x   U  xs  X s n  n n  Xs n1 n  s X s nên phép nhúng s X s Vậy U  xs   xs n s n  Để chứng minh ta giả sử có x  X s thoả x  U x Chọn    hai dãy Cauchy tương đương s  s , ta có U n  x  , U n x  x  U n x , xs  U n  xs  n  X s Mà nên từ ta có x  xs Định lí chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K.Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag [2] Le Hoan Hoa, K.Schmitt (1994), Fixed point theorems of Krasnoselskii type in locally convex space and applications to integral equation Results in Mathematics, 25, 291-313 [3] S.Leader (1982), Two convergence principles with applications to fixed points in metric space, Nonlinear Analysis, 6513-538 [4] L.Nirenberg (1986), Bài giảng giải tích hàm phi tuyến, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp [5] T.Nishida (1977), A note on Nirenberg’s theorem as an abstract form of a nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem in a scale of Banach spaces, J Diff Geom,12, 629-633 [6] L.Ovcyanikov (1971), Bài tốn Cauchy phi tuyến thang khơng gian Banach DAN SSSR, 200, 789-792 Tóm tắt Trong báo chứng minh tồn điểm bất động lớp ánh xạ dạng    co thang không gian Banach Abstract Fixed points a class of    contractive operators in a scale of Banach spaces In the present paper we prove the existence of fixed points for a class of    constractive operators in a scale of Banach spaces 35 ... tắt Trong báo chứng minh tồn điểm bất động lớp ánh xạ dạng    co thang không gian Banach Abstract Fixed points a class of    contractive operators in a scale of Banach spaces In the present... Cauchy-Kowalewski theorem in a scale of Banach spaces, J Diff Geom,12, 62 9-6 33 [6] L.Ovcyanikov (1971), Bài toán Cauchy phi tuyến thang khơng gian Banach DAN SSSR, 200, 78 9-7 92 Tóm tắt Trong. .. r , no  r   qs  no  r , n   3 Định lí chứng minh Định lí Cho thang không gian Banach  X ,  , s a,b s s ánh xạ U : X s'  X s liên tục với cặp s , s'   a , b  mà s  s' thoả mãn