Trong quá trình dạy học môn toán ở trường THCS, việc giải các bài tập là một phương tiện rất có hiệu quả để học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Rèn luyện các thao tác trí tuệ cho học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng trong dạy học giải toán. Chúng ta biết rằng, không phải bài toán nào cũng được giải một cách dễ dàng, có những bài toán việc giải nó đôi khi gặp rất nhiều khó khăn. Trong những trường hợp này chúng ta có thể xét trường hợp đặc biệt của bài toán có khi lại dễ giải hơn. Việc giải bài toán ở trường hợp đặc biệt có thể giúp chúng ta tìm ra lời giải cho bài toán ban đầu. Ngược lại, từ một vài trường hợp cụ thể khái quát để mở rộng kết quả bài toán. Kết quả khái quát luôn có giá trị rộng hơn vì sự mở rộng phạm vi của nó. Như vậy, khái quát hóa và đặc biệt hóa là một trong những phương pháp suy nghĩ giúp ta tìm ra lời giải bài toán thông qua các hoạt động trí tuệ: mò mẫm, dự đoán, đào sâu, mở rộng, hệ thống hóa kiến thức và góp phần quan trọng trong việc hình thành, rèn luyện các thao tác trí tuệ cho học sinh. Đặc biệt hoá và khái quát hóa là hai thao tác trí tuệ thường gặp trong môn Toán và có tác dụng lớn trong giải toán. Thực tiễn cho thấy hiện nay, một bộ phận học sinh thường tiếp thu kiến thức một cách bị động, phát hiện, vận dụng kiến thức một cách dập khuân, máy móc, không linh hoạt và còn lúng túng khi giải quyết một vấn đề đã học nhưng được biến đổi dưới dạng khác hoặc đứng trước vấn đề mới. Nguyên nhân của tình trạng này một phần là do cách học của các em chưa phù hợp, nhưng một nguyên nhân khác là trong quá trình dạy có một số giáo viên toán ở trường THCS chưa quan tâm đúng mức đến nhiệm vụ, nhằm rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và khái quát hóa cho học sinh. Đối với cấp THCS các bài toán trong chương “Tứ giác”ở lớp 8 THCS có nhiều cơ hội rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và khái quát hóa cho học sinh. Hiện nay, các nhà giáo dục đang rất quan tâm nghiên cứu và đã có những đề tài nghiên cứu về rèn luyện một số thao tác trí tuệ cho học sinh, nhưng chưa có đề nào trùng lặp với đề tài này. Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: Rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và khái quát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán chương “Tứ giác”ở lớp 8 THCS.
Trang 1Đặc biệt hoá và khái quát hóa là hai thao tác trí tuệ thường gặp trong mônToán và có tác dụng lớn trong giải toán.
Trong quá trình dạy có một số giáo viên toán ở trường THCS chưa quan tâmđúng mức đến nhiệm vụ, nhằm rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và khái quáthóa cho học sinh
Đối với cấp THCS các bài toán trong chương “Tứ giác”ở lớp 8 THCS cónhiều cơ hội rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và khái quát hóa cho họcsinh
Hiện nay, các nhà giáo dục đang rất quan tâm nghiên cứu và đã có những đềtài nghiên cứu về rèn luyện một số thao tác trí tuệ cho học sinh, nhưng chưa có đềnào trùng lặp với đề tài này
Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: Rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hoá vàkhái quát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán chương “Tứ giác”ở lớp 8 THCS
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
+ Mục đích nghiên cứu là khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rènluyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái quát hóa; đề xuất quy trình rèn luyệnthao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán trongchương “Từ giác”ở lớp 8 THCS
+ Nhiệm vụ nghiên cứu là trả lời các câu hỏi khoa học sau đây:
- Cơ sở lí luận và thực tiễn của việc rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và kháiquát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán là gì?
- Rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và khái quát hóa cho học sinh trong dạyhọc giải toán trong chương “Tứ giác”ở lớp 8 THCS theo hệ thống bài tập nào? quytrình rèn luyện thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học sinh trong dạy họcgiải toán trong chương “Từ giác”ở lớp 8 THCS được thực hiện như thế nào?
Trang 2- Hệ thống bài tập đã đề xuất và quy trình rèn luyện thao tác đặc biệt hóa và kháiquát hóa cho học sinh có tính khả thi và hiệu quả hay không?
3 Giả thuyết khoa học
Nếu khai thác và thiết kế được hệ thống bài tập đã đề xuất trong luận văn về rènluyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hoá - khái quát hóa và đề xuất được quy trình rènluyện thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học sinh thì vừa góp phần nâng caochất lượng dạy học chương “Tứ giác”ở lớp 8, vừa tăng cường rèn luyện hai thao táctrí tuệ này cho học sinh
4 Phạm vi nghiên cứu
Tập trung vào hai thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và khái quát hóa trong môn toán,
thông qua dạy học chương “Tứ giác”ở lớp 8 THCS
5 Các phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liênquan đến đề tài
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát thực trạng dạy học chương “Tứ giác”ởlớp 8 ở một số trường THCS tỉnh Phú Thọ
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: tiến hành thực nghiệm sư phạm một số tiết dạydựa trên những tình huống dạy học đã để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của hệthống bài tập và quy trình rèn luyện thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa cho họcsinh đã được đề xuất
6 Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn có ba chương:
Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn của rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hoá vàkhái quát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán
Chương 2 Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện các thao tác
trí tuệ đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán trong
chương “Tứ giác” ở lớp 8 THCS
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm
Trang 3về tri thức và kỹ năng toán học Đồng thời, mục đích phát triển trí tuệ gắn liền vớimục đích phát triển nhân cách và phẩm chất cho học sinh nói chung và cho học sinhtrung học cơ sở nói riêng.
Chính vì vậy, việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ khái quát hóa, đặc biệt hóa
có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc hình thành tư duy cho học sinh và cũng làmột trong những mục tiêu quan trọng của dạy học toán
Trong “Tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học”, tác giả Nguyễn
Bá Kim khẳng định: “Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hóa tài liệutoán học là thành phần cơ bản của năng lực toán học Do đó, năng lực này cần đượcđặc biệt chú ý trong dạy học toán” và “những hoạt động sau đây cần chú ý khi tậpluyện hoạt động khái quát hóa: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa
Các bài tập toán học ở nhà trường phổ thông có thể chia làm hai loại: loại cóthuật toán để giải và loại chưa có thuật toán để giải Bài tập chương “Tứ giác” thuộc
về dạng bài tập chưa có thuật toán để giải Để tìm cách giải dạng toán này ta có thểhướng dẫn học sinh tìm tòi, phát hiện nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biếnđổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương
tự nhưng đơn giản hơn, mò mẫm dự đoán thử xét một vài trường hợp riêng, một bài
Trang 4toán tổng quát hơn hay một bài toán đặc biệt nào đó liên quan Những thao tác trí tuệ
đó giúp học sinh tìm ra lời giải của bài toán, đồng thời rèn luyện được khả năng tưduy và thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái quát hóa Sau đây, hai hoạt động trí tuệđặc biệt hóa và khái quát hóa sẽ được trình bày cụ thể hơn
1.2.2 Đặc biệt hóa
Theo Pôlya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng
đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”
Những cơ hội có thể khai thác hiệu quả thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và kháiquát trong giải toán để rèn luyện và phát triển cho học sinh:
+ Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa
để có cơ hội tìm ra lời giải bài toán
+ Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa
để tìm điểm cố định của bài toán hoặc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của đoạn thẳnghoặc nhiều đoạn thẳng
+ Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa
để dự đoán quỹ tích hoặc kiểm nghiệm dự đoán
+ Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa
để phát hiện ra những tính chất mới hoặc bài toán mới
Trong chương 2 của luận văn, Chúng tôi sẽ trình bày rõ hơn về những cơ hộinày, thông qua hệ thống những bài toán cụ thể trong chương “Tứ giác” ở lớp 8THCS
1.2.3 Khái quát hóa
Theo Pôlya (1975): “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợpđối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một đối tượng lớn hơn, bao gồm cả tập hợp banđầu”
Trong “Phương pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, VũDương Thụy (1992) có nêu rõ hơn: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đốitượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặcđiểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” Chẳng hạn, chúng ta khái quáthóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tam giác sang nghiên cứu tứ giác, rồi đa giác bất
kì với số cạnh bất kì, từ hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệthức lượng trong tam giác thường Chúng ta có thể chuyển từ việc nghiên cứu bất
Trang 5đẳng thức cho hai số sang bất đẳng thức cho n số tùy ý Trong các ví dụ này chothấy chúng ta thường khái quát hóa bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng,sang xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó.
1.3 Khảo sát thực tiễn việc rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và khái
quát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán ở trường trung học cơ sở
Ở trung học cơ sở chương trình hình học có Sách giáo khoa riêng, được thểhiện theo hệ thống lôgic chặt chẽ, được diễn đạt theo con đường suy diễn là chủ yếu,trong đó các quy tắc suy luận được sử dụng ẩn tàng Vì thế, một trong những yêu cầuquan trọng của việc dạy học hình học là dạy cho học sinh biết suy luận
Do đó, những khó khăn trong dạy học ở bậc trung học cơ sở nói chung,chương “Tứ giác” nói riêng bắt nguồn từ những thay đổi đó Bản chất của nhữngkhó khăn là do giai đoạn chuyển giao tư duy trong tâm lí lứa tuổi Khi học sinh từbậc tiểu học lên bậc trung học cơ sở, tư duy học sinh có bước tiến cơ bản, chuyển từ
tư duy cơ bản sang giai đoạn tư duy hình thức Đó là sự nhảy vọt về chất lượng lànguồn gốc của những khó khăn trong dạy học hình học ở trung học cơ sở nói chung,chương “Tứ giác” hình học 8 nói riêng
1.3.1 Chương “Tứ giác” trong chương trình Hình học Toán 8 ở trung học cơ sở
Ở lớp 8 các em biết thêm một số loại tứ giác khác: hình thang cân, hìnhthang vuông, hình thoi; biết được tính chất của các loại tứ giác, biết được dấu hiệunhận biết một tứ giác nào đó và các khái niệm - bài tập về đường trung bình của tamgiác, của hình thang; đối xứng tâm và đối xứng trục
Tứ giác là loại hình cơ bản, rất hay gặp và các dạng bài tập trong chương tứgiác ẩn chứa nhiều hoạt động giúp giáo viên có thể rèn luyện thao tác trí tuệ nóichung, thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học sinh nói riêng
1.3.2 Một số thực trạng về việc rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và khái quát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán cho học sinh trung học cơ sở ở
Hạ Hòa phú thọ
Ngoài việc dự giờ, phỏng vấn một số đồng nghiệp và học sinh trong một sốtrường trung học cơ sở thuộc huyện Hạ Hòa, chúng tôi còn thiết kế và sử dụng phiếuhỏi (mẫu phiếu xin xem ở phụ lục 1) cho thấy việc rèn luyện thao tác trí tuệ trongchương “Tứ giác” của chương trình hình học 8 còn hạn chế Học sinh còn gặp rất
Trang 6nhiều khó khăn trong các thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái quát hóa, nhiều emkhông biết đặc biệt hóa, khái quát hóa là gì và để làm gì?!
Cụ thể, qua khảo sát 20 giáo viên và 150 em học sinh bằng phiếu kết quảhoạt động trí tuệ khái quát hóa - đặc biệt hóa được rèn luyện như sau:
Kết quả khảo sát giáo viên cho ta thấy trong giảng dạy đa số giáo viên(18/20) cho rằng việc rèn luyện tao tác trí tuệ đặc biệt hóa - khái quát hóa cho họcsinh là rất quan trọng Tuy nhiên, thực tế cho thấy giáo viên còn chưa quan tâm đúngmức tới hoạt động rèn luyện hoạt động khái quát hóa - đặc biết hóa cho học sinh,quan tâm thường xuyên rất ít chỉ chiếm 4/20 ( chiếm 20%) trong tổng số giáo viênđược hỏi
Tóm lại qua khảo sát, hầu hết các thầy cô đều đánh giá cao tầm quan trọng
và ý nghĩa của việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh, tuy nhiên trên thực
tế các thầy cô còn chưa chú ý đến việc rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hóa vàkhái quát hóa cho học sinh
Kết quả khảo sát 150 học sinh cho ta thấy trong học tập đa số các em họcsinh (123/150) cho rằng việc rèn luyện tao tác trí tuệ đặc biệt hóa - khái quát hóa làrất quan trọng Tuy nhiên, thực tế các em còn chưa quan tâm hoặc không quan tâmtới hoạt động rèn luyện hoạt động khái quát hóa - đặc biết hóa, quan tâm thườngxuyên rất ít chỉ chiếm 24/150 ( chiếm 16%) trong tổng số các em được hỏi
- Trong dạy học hình học nói chung, chương “Tứ giác” ở lớp 8 trung học cơ
sở nói riêng có nhiều cơ hội để rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái quát hóacho học sinh
- Qua khảo sát thực tiễn cho thấy hầu hết các thầy cô đều đánh giá cao tầmquan trọng và ý nghĩa của việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh Nhưngtrên thực tế các thầy cô còn chưa chú ý đến việc rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc biệthóa và khái quát hóa cho học sinh
Trang 7Từ việc tham khảo và kế thừa các kết quả nghiên cứu của các công trình đã
có, ở chương này đã trình bày những vấn đề cơ bản về hoạt động trí tuệ và rèn luyệnhoạt động trí tuệ nói chung, hoạt động đặc biệt hóa - khái quát hóa nói riêng cho họcsinh trong dạy học môn toán Từ đó, hình thành ý tưởng và tạo điều kiện để nghiêncứu rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hóa - khái quát hóa cho học sinh trong giải toánchương “Tứ giác” ở lớp 8 trung học cơ sở
Ở chương sau, là hệ thống các bài toán hình học được xây dựng, khai thác và thiết kế nhằm rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái quát hóa; đề xuất quy trình rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán trong chương “tứ giác” ở lớp 8 trung học cơ sở
Trang 8Chương 2 KHAI THÁC VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN NHẰM RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TRÍ TUỆ ĐẶC BIỆT HÓA VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN TRONG CHƯƠNG “TỨ
GIÁC” Ở LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ 2.1 Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa để có cơ hội tìm ra lời giải bài toán
Để tìm ra cách giải bài toán trong trường hợp tổng quát theo Polya (1976)[12]: “Nếu bạn chưa giải được bài toán trong trường hợp tổng quát, bạn hãy giải bàitoán trong trường hợp đặc biệt để có thể nảy ra ý giải bài toán tổng quát”
Đặc biệt hóa có thể giúp chúng ta có cơ hội tìm ra lời giải bài toán Với
những bài toán cơ bản, ta có thể tìm ra được lời giải với các thao tác trí tuệ như thaotác phân tích - tổng hợp, tương tự hóa hoặc so sánh Tuy nhiên, với các bài toánkhó, hay với các bài toán để tìm được lời giải hay và độc đáo ta cần sử dụng thaotác đặc biệt hóa Chẳng hạn ta xét các bài toán sau:
Bài toán 2.1.1: Cho ABC cân Từ D là điểm bất kỳ nằm giữa B và C kẻ DH AC
(H AC) Chứng tỏ rằng A 2HDC .
Bài toán 2.1.2: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M bất kì bên trong tam
giác đều, kể cả khi M ở trên cạnh của tam giác, đến ba cạnh của tam đều luôn luôn không đổi.
Bài toán 2.1.3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Điểm M thuộc cạnh BC Gọi E và
F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB ,AC.Chứng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì
a) Chu vi của tứ giác MEAF không đổi.
b) Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn đi qua điểm K cố định.
c) Tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC.
Bài toán 2.1.4: Cho tam giác đều ABC và điểm M nằm trong tam giác Gọi A’,
B’,C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA, AB Chứng minh rằng: a) MA’+MB’+MC’ không đổi.
b) AC’+BA’+CB’ không đổi.
Bài toán 2.1.5: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60 0 Trên các cạnh AD và CD, lấy các điểm M, N sao cho AM+CN=AD.
Trang 9a) Tam giác BMN là tam giác gì? vì sao?
b) Gọi P là điểm đối xứng với N qua BC Chứng minh MP song song với CD.
Bài toán 2.1.6: Cho đoạn thẳng AB Lấy M bất kỳ trên đoạn AB cùng phía với đoạn
thẳng AB Vẽ hai hình vuông AMCD MBEG Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hai hình vuông AMCD và MBEG Tìm tập hợp trung điểm của OO’ khi M di động trên AB.
2.2 Khai thác và thiết kế hệ thống bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa để tìm điểm cố định, chứng minh các đường thẳng đồng quy hoặc tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của một hay nhiều đoạn thẳng
Đặc biệt hóa có thể giúp ta giải các bài toán tìm điểm cố định, chứng minhcác đường thẳng đồng quy hoặc tìm được giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một haynhiều đoạn thẳng
Để tìm điểm cố định của bài toán, tức trong mọi trường hợp, một yếu tố nào
đó của hình luôn đi qua điểm cố định này Nói riêng chỉ cần hai trường hợp của bàitoán, ta có thể phát hiện ra điểm cố định cần tìm đó, tốt nhất ta lấy hai trường hợpđặc biệt của bài toán
Tương tự, để phát hiện ra điểm đồng quy của nhiều đường thẳng, người ta sửdụng hai đường thẳng đặc biệt của các đường thẳng đó để tìm ra điểm đồng quy
Thông thường, một đại lượng hình học hay một biểu thức đại số đạt cực trị,hay đạt giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất tại các vị trí tới hạn, tức vị trí đặc biệt củahình vẽ trong trường hợp đặc biệt, hoặc biểu thức xảy ra tại giá trị đặc biệt của biến
số Từ đó, người ta thường so sánh giá trị của một đại lượng hình học trong cáctrường hợp đặc biệt với giá trị trong các trường hợp tổng quát của nó để khẳng địnhgiá trị lớn nhất - nhỏ nhất của nó
Dưới đây, là một số bài toán mà chúng ta có thể sử dụng thao tác trí tuệ đặcbiệt hóa để tìm điểm cố định hoặc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của đoạn thẳng hoặctổng hiệu của nhiều đoạn thẳng
Bài toán 2.2.1: Cho góc vuông xOy Một hình chữ nhật OABC có chu vi bằng 2a
không đổi, còn các cạnh OA, OC thay đổi nhưng luôn nằm trên tia Ox và Oy
Chứng minh rằng đường thẳng qua B và vuông góc với AC luôn đi qua một điểm cố định.
Trang 10Bài toán 2.2.2: Cho đoạn AB và M động trên đó, trên nửa mặt phẳng bờ AB, dựng
các hình vuông AMNK, và BMPQ Chứng minh rằng: đường thẳng KQ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài toán 2.2.3: Cho hình vuông ABCD, M đương chéo AC Gọi E,F theo thứ tự là
hình chiếu của M trên AD, CD Chứng minh rằng:
a) BM EF
b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.
Bài toán 2.2.4: Cho ABC cân tại A Từ một điểm D trên đáy BC kẻ một đường
thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt AB ở E, AC ở F Vẽ các hình chữ nhật BDEF và CDFK Gọi I, J theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH, CDFK và M là trung điểm của đoạn thẳng AD.
a) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng HK là một điểm cố định không phụ thuộc vào vị trí của điểm D theo cạnh BC.
b) Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng hàng và ba đường thẳng AD, HJ , KI đồng quy c) Khi D di chuyển trên cạnh BC thì M di chuyển trên đoạn thẳng nào?
Bài toán 2.2.5: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo Điểm
E thuộc cạnh AB, gọi F là giao điểm của EO và CD Vẽ EG // AC, FH // AC (G
BC, H AD).
a) Chứng minh rằng EGFH là hình bình hành.
b) ABCD là hình gì thì chu vi hình bình hành EGFH gấp đôi AC.
Bài toán 2.2.6: Cho hình vuông ABCD Tìm M trong hình vuông có tổng khoảng
cách tới 4 đỉnh hình vuông có giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 2.2.7: Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo
thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí các điểm
E, F, G, H sao cho tứ giác EFGHJ có chu vi nhỏ nhất.
Bài toán 2.2.8: Cho đoạn hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD
Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi bé nhất.
Bài toán 2.2.9: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Điểm E di chuyển trên cạnh AD,
điểm F di chuyển trên cạnh CD sao cho DE = CF Xác định vị trí của các điểm E, F sao cho tam giác BEF có diện tích nhỏ nhất Tính diện tích nhỏ nhất đó.
Trang 11Bài toán 2.2.10: Cho hình vuông ABCD có AB = 6cm, điểm E nằm trên cạnh AB sao
cho AE = 2cm Xác định vị trí điểm F trên cạnh BC sao cho hình thang EFGH (G thuộc cạnh CD, H thuộc cạnh AD, EH // GF // BD) có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó.
Bài toán 2.2.11: Chứng minh rằng trong các tứ giác có cùng chu vi, hình vuông có
diện tích lớn nhất.
Bài toán 2.2.12: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm Trên các cạnh AB, BC,
CD, DA, lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH Tính độ dài AE sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Bài toán 2.2.13: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo Gọi M,
N, P, Q theo thứ tự là giao điểm các đường phân giác của tam giác OAB, OBC, OCD, ODA.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
b) Tứ giác ABCD là hình gì thì tứ giác MNPQ là hình vuông? Vì sao?
2.3 Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa để dự đoán quỹ tích hoặc kiểm nghiệm dự đoán
Thông thường, khi gặp bài toán quỹ tích, học sinh hay gặp phải trở ngại về tâm lý, vì khi gặp loại bài toán này các em không thể xác định được quỹ tích bằng các cách làm thông thường Với dạng bài này, ta sử dụng thao tác trí tuệ đặc biệt
hóa bài toán để có thể tìm được quỹ tích các điểm cần tìm Đặc biệt hóa có thể giúp
ta dự đoán quỹ tích hoặc kiểm nghiệm dự đoán
Bài toán 2.3.1: Cho tam giác ABC, gọi MNPQ là 4 đỉnh hình chữ nhật, P thuộc cạnh
AB, Q thuộc cạnh AC, M và N thuộc cạnh BC Tìm quỹ tích tâm O của hình chữ nhật MNPQ
Bài toán 2.3.2: Cho ABCD là hình thang vuông ở A và B, gọi O là trung điểm AB
Xét điểm M di động trên tia AD và điểm N di động trên tia BC luôn thỏa mãn AM +
BN = MN Tìm quỹ tích hình chiếu H của O trên MN.
Bài toán 2.3.3: Cho tứ giác ABCD, xét hai điểm di động: M trên tia AD và N trên
tia BC, luôn thỏa mãn AM = BN tìm quỹ tích trung điểm I của MN
Bài toán 2.3.4: Cho tứ giác ABCD có AB = CD và AB vuông góc với CD Tìm tập hợp các điểm O thoả mãn tổng diện tích hai tam giác OAB và OCD luôn bằng k cho trước.
Trang 12Bài toán 2.3.5: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm Lấy B
là một điểm bất kì thuộc tia Ox Gọi C là trung điểm của AB Khi điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C di chuyển trên đường nào?
Bài toán 2.3.6: Cho một góc vuông xOy Trên Ox ta lấy điểm A cố định sao cho OA
= a, trên tia Oy ta lấy điểm B di động Kẻ trong xOy hình vuông ABCD.
a) Tính khoảng cách từ D tới Ox.
b) Tìm tập hợp các điểm D khi B di động
Bài toán 2.3.7: Cho điểm M nằm giữa A và B Vẽ các hình vuông AMCD và BMEF
trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB.
a) Chứng minh rằng: AE = BC và AE BC.
b) Gọi H là giao của AE và BC Chứng minh rằng: D, H, F, thẳng hàng.
c) Chứng minh: DF đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên AB.
d) Gọi I, G, K, lần lượt là trung điểm của AC, AB, BE P là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại G và DF Tứ giác IMKP là hình gì? Vì sao?
e) Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn IK khi M di chuyển trên AB.
2.4 Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa để phát hiện ra những tính chất mới hoặc bài toán mới
Trong quá trình dạy và học toán, việc tìm lời giải cho các bài toán không chỉ làmục đích mà còn là cơ sở để đề xuất các bài toán mới Nếu ta biết khai thác các bài
toán vừa giải xong bằng cách đặc biệt hóa thì ta có thể thu được những bài toán thú
vị khác Đặc biệt hóa giúp ta phát hiện ra tính chất mới hoặc bài toán mới.
Bài toán 2.4.1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Ta có hai bài toán mới :
Bài toán 2.4.2: Cho tứ giác ABCD Gọi H, F là trung điểm hai đường chéo DB và
AC E, G là trung điểm hai cạnh AB và DC Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành.
Bài toán 2.4.3: Cho tam giác ABC, D là điểm nằm trong tam giác Gọi E, F, G, H
lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành (Bài toán đặc biệt biến tứ giác thành tam giác và điểm nằm trong tam giác)
Hình bình hành EFGH sẽ có dạng đặc biệt hơn nếu tứ giác ABCD thỏa mãnnhững điều kiện nào đó Dễ thấy hình bình hành EFGH trở thành hình thoi khi và chỉ