Một số phương pháp giúp học sinh phát triển năng lực tự học thông qua việc giải toán

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng cải cách giáo dục Việc học sinh tự học coi cốt lõi hoạt động học tập, có khả tự học người học biết cách tự học hiệu Tự học có ý nghĩa vai trò quan trọng việc nâng cao chất lượng dạy học nay, việc quản lý hoạt động tự học học sinh vấn đề mà nhiều nhà giáo dục quan tâm Tầm quan trọng việc tự học Nghị Hội nghị TW8 khóa XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo rõ: “Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực” Tự học nhằm thực thành công việc chuyển từ phương pháp dạy học theo lối "truyền thụ chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành lực phẩm chất người lao động Qua thực tế nghiên cứu cho thấy em học sinh phổ thông cần dành nhiều thời gian để tự học, tự nghiên cứu nhằm nâng cao kiến thức lại gặp nhiều khó khăn việc lựa chọn, phân loại sách để học nghiên cứu trước nguồn tài liệu phong phú Nhiều học sinh phải tự học để đạt hiệu học tập cao Vì tăng cường lực tự học cho học sinh yếu tố quan trọng góp phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục Bản thân tơi giáo viên dạy tốn nên tơi chọn đề tài “Một số phương pháp giúp học sinh phát triển lực tự học thông qua việc giải toán” 1.2 Điểm kết nghiên cứu Xây dựng nghiên cứu phương pháp tự học đề tài khơng mới, có nhiều thầy giáo nhà nghiên cứu viết đề tài Điểm đề tài giúp học sinh có cách nhìn tổng thể, bao quát việc tự học, chiếm lĩnh tri thức Từ học sinh khơng có cảm giác sợ sệt, chán nản mơn tốn, khơi gợi tình u học sinh mơn học, đồng thời đem đến cho em cách nhìn mới, cách tư mơn tốn Thơng qua nhiều hình thức khác nhau, học sinh rèn luyện phương pháp học tập chung phương pháp học tập môn Được chuyển giao nhiệm vụ học tập rỏ ràng phù hợp với khả học sinh, với hình thức giao nhiệm vụ sinh động, kích thích hứng thú nhận thức học sinh; đảm bảo cho tất học sinh tiếp nhận sẵn sàng thực nhiệm vụ Giáo viên tìm hướng giảng dạy tốt phù hợp cho đối tượng học sinh, rèn luyện kĩ giải toán bao qt tồn chương trình cấp học tìm cho phương pháp dạy học tốt hơn, hiệu 1.3 Phạm vi nghiên cứu Với tính khả thi đạt đề tài qua trình áp dụng số tiết học học sinh lớp năm học, năm học tới thực phổ biến mơn tốn lớp thuộc trung học sở NỘI DUNG II.1 Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: Việc hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu học, tìm cách giải tốn có thực trình giảng dạy nhiên chưa mang tính thường xuyên, chưa trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập sáng tạo tư giải toán Học sinh khơng khuyến khích tự học, chưa học cách học học sinh có học lực trung bình yếu Cơng tác hướng dẫn quản lí hoạt động tự học học sinh hạn chế định Một phận giáo viên chưa hướng dẫn học sinh lập thời gian biểu cho việc tự học Một phận học sinh chưa có kế hoạch tự học rõ ràng mà mang tính cảm hứng em có thời gian rảnh rỗi Việc kiểm tra vấn đề tự học chủ yếu người thân gia đình học sinh bố mẹ, anh chị theo dõi, kiểm tra Điều kiện tự học em chưa nhà trường gia đình ý quan tâm tạo điều kiện để em tự học có hiệu cao Kết khảo sát chất lượng đầu năm lớp dạy TSHS 31 TB trở lên TS Tỉ lệ % 15 48.4 Dưới trung bình TS Tỉ lệ % 16 51.6 II.2 Giải pháp II.2.1 Bồi dưỡng lực giải toán theo bước Chi II.2.1.1 Bước 1- Tìm hiểu đề tốn: Để giải tốn, trước hết phải tìm hiểu đề ham thích giải tốn Để hiểu rõ đề toán, trước hết phải đọc kĩ đề toán cho thấy tồn tốn rõ ràng, sáng sủa tốt, tránh vội vã vào chi tiết Bắt đầu sâu nghiên cứu đề tốn; trước hết phân tích tốn, tách yếu tố tốn, xem xét yếu tố nhiều lần, nhiều mặt Nếu tốn chứng minh yếu tố giả thiết kết luận Nếu tốn tìm tòi yếu tố ẩn (cái cần tìm, chưa biết), dự kiện (những biết) điều kiện (mối liên quan cần tìm cho) tốn Có tốn liên quan tới hình vẽ, phải vẽ hình Có tốn lại cần đưa vào kí hiệu Điều có ý nghĩa giúp ta hiểu tốn 2.2.1.1.1 Các tốn hình học có hình vẽ: Đối với tốn hình học Nói chung phải vẽ hình Hình vẽ làm lên yếu tố chi tiết mối liên hệ chi tiết cho đề Vì thế, thường sau vẽ hình đúng, đề tốn hiểu rõ ràng, cụ thể Khi vẽ hình cần ý: Hình vẽ phải mang tính tổng qt, khơng nên vẽ hình trường hợp đặc biệt dễ gây nên ngộ nhận Chẳng hạn, đoạn thẳng, không nên vẽ Đối với đường thẳng, khơng nên vẽ vng góc với nhau, tam giác không nên vẽ cân hay vuông tốn khơng đòi hỏi Hình vẽ phải rõ ràng, xác, dễ nhìn thấy quan hệ (song song, cắt nhau, vng góc ) tính chất (đường trung trực, phân giác, tam gíac cân, tam giác vng ) mà tốn cho Có trường hợp phải khéo léo lựa chọn trình tự vẽ phần tử hình Ngồi ra, để làm bật vai trò khác đường, hình, hình vẽ vẽ nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt, dùng màu khác Đối với tốn khơng phải hình học, ta dùng biểu diễn hình học để diễn tả đề tốn, chẳn hạn sơ đồ đoạn thẳng Cảm nhận trực giác biểu diễn hình học giúp ta đẽ nắm bắt nội dung đề tốn Pơlya nêu: “ Tìm biểu diễn hình học rõ ràng, sáng sủa cho tốn khơng phải tốn hình cho phép tiến bước rõ rệt tới cách giải” 2.2.1.1.2 Sử dụng kí hiệu giải toán: Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trường hợp phải chọn kí hiệu đưa kí hiệu vào cách thích hợp Dùng kí hiệu tốn học ghi lại đối tượng mối liên quan chúng toán cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát Cách kí hiệu thích hợp nhanh chóng giúp ta hiểu đề tốn “Thời gian dành để chọn kí hiệu trả công hậu thời gian tiết kiệm nhiều, tránh khỏi dự lẫn lộn” (Pôlya) Khi chọn kí hiệu cần ý: Một kí hiệu phải có nội dung dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hiểu nước đơi Thứ tự kí hiệu quan hệ chúng phải giúp ta liên tưởng đến thứ tự quan hệ đaị lượng tương ứng Khơng dùng kí hiệu để hai đối tượng khác Các kí hiệu loại để đối tượng loại Chẳng hạn, với tam giác ABC: Trong A, B, C đỉnh; a, b, c độ dài cạnh tương ứng đối diện với qua đỉnh A, B, C; II.2.1.2 Bước - Xây dựng chương trình giải: Tìm tòi lời giải bước quan trọng hoạt động giải tốn Nó định thành công hay không thành công, đến thành công nhanh hay chậm việc giải toán Điều bước biết định hướng để tìm đường Khơng có thuật tốn tổng quát để giải toán cả, sau lời khuyên người có kinh nghiệm giải toán 2.2.1.2.1.Sử dụng toán giải Việc tìm đường việc giải toán nhiều thuận lợi ta nhớ lại tìm đường đến cách giải toán tương tự gần giống với toán cần giải Thực tế cho thấy người đề khó mà đặt tốn hồn tồn mới, khơng giống hay liên quan chút với tốn có Mặt khác có nhiều tốn liên quan đến toán phải giải Cần phải chọn lựa hay số mà thực có lợi: Hãy xét cho kĩ chưa biết thường nghĩ tới toán quen thuộc chưa biết hay chưa biết tương tự Nhớ lại toán giải gần giống với toán xét Cần phải lợi dụng toán giải phương pháp giải, kết quả, kinh nghiệm 2.2.1.2.2.Biến đổi toán Để đến cách giải toán cần phải huy động tổ chức kiến thức học từ trước Cần phải nhớ lại vận dụng hàng loạt yếu tố cần thiết cho việc giải toán Việc biến đổi toán tạo liên hệ mới, khả gợi lại trí nhớ liên quan đến toán xét Chẳng hạn, phải chứng minh a3- a chia hết cho với số nguyên a Ta thử biến đổi toán cách phân tích biểu thức thành nhân tử: a3 - a = a(a2 - 1) = a(a - 1)(a + 1) Đến đây, kí hiệu ta nhớ lại a-1, a a+1 số nguyên liên tiếp Với ba số nguyên liên tiếp ta lại nhớ lại rằng: số nguyên liên tiếp có số chẵn, (tức chia hết cho 2) số chia hết cho Từ việc chứng minh khơng khó 2.2.1.2.3.Phân tích tốn thành toán đơn giản Một toán, đặc biệt tốn khó thường tạo từ kết hợp toán đơn giản Người giải tốn có kinh nghiệm thường phải biết phân tích toán xét thành toán nhỏ để giải, sau lại kết hợp chúng để có lời giải tốn ban đầu Ví dụ, để giải toán: Chứng minh p - chia hết cho 240 với p số nguyên tố lớn Từ nhận xét 240 = 3.5.16, với ba thừa số đơi ngun tố nhau, ta đưa tốn tốn đơn giản hơn: Chứng minh p4 - chia hết cho 3, Chứng minh p4 - chia hết cho Chứng minh p4 - chia hết cho 16 với p số nguyên tố lớn 2.2.1.2.4.Mò mẫm, dự đốn cách thử số trường hợp xảy Trường hợp đặc biệt, trường hợp tổng quát Hãy xem số trường hợp riêng, kết đơi đơn giản, gợi ý quý báu để đến lời giải toán Chẳng hạn, cho toán: “Qua điểm M cạnh BC tam giác ABC, dựng đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích nhau” Trước hết ta xét số trường hợp đặc biệt: Nếu M trung điểm BC đường thẳng cần dựng trung tuyến AM Nếu M trùng với B C đường thẳng phải dựng trung tuyến BI Trong trường hợp tổng quát, ta đưa toán hai trường hợp đặc biệt xem tìm lời giải Chẳng hạn đưa trường hợp thứ hai: Giả sử BM < CM Ta phải dựng tam giác có đỉnh M có diện tích diện tích tam giác ABC cách kẻ BD//AM SMCD = SABC Khi trung tuyến MI tam giác MCD đường thẳng cần dựng 2.2.1.2.5.Một số gợi ý xây dựng chương trình giải Xét kĩ chưa biết (ẩn số) thử nhớ lại tốn quen thuộc có ẩn số hay có ẩn số tương tự Bạn gặp toán lần chưa ? Hay gặp tốn dạng khác ? Bạn có biết tốn có liên quan khơng ? Một định lí dùng khơng ? Đây tốn liên quan mà bạn có lần giải Có thể sử dụng khơng ? Có thể sử dụng kết khơng ? Hay sử dụng phương pháp ? có cần phải đưa thêm số yếu tố phụ sử dụng khơng ? Có thể phát biểu tốn cách khác không ? Một cách khác nữa? Quay định nghĩa Nếu bạn chưa giải toán đề ra, thử giải tốn có liên quan mà dễ khơng ? Một tốn tổng quát ? Một trường hợp riêng ? Một tốn tương tự ? Bạn giải phần tốn khơng ? Hãy giữ lại phần điều kiện, bỏ qua phần Khi đó, ẩn số xác định đến chừng mực đó, biến đổi ? Bạn từ kiện rút yếu tố có ích khơng ? Bạn nghĩ dự kiện khác giúp bạn xác định ẩn khơng ? Có thể thay đổi ẩn số, hay kiện hay hai cần thiết, cho ẩn kiện gần Bạn sử dụng kiện chưa ? Đã sử dụng toàn điều kiện chưa ? Đã để ý hết khái niệm chủ yếu toán chưa ? 2.2.1.3.Bước - Thực chương trình giải Sau tìm cách giải tiến hành thực chương trình giải Việc tiến hành thực công việc chủ yếu, kết đánh giá hoạt động giải tốn Khi tìm thấy cách giải việc thực giải khơng có khó khăn nữa, tính chất cơng việc có khác Khi tìm kiếm lời giải tự mò mẫm, dự đốn khơng ngại mà khơng dùng cách lập luận tạm thời Nhưng thực giải phải thay đổi quan niệm thừa nhận lí lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại chi tiết Một điều quan trọng việc trình bày lời giải trình tự chi tiết, tốn phức tạp Phải trình bày cho tường minh liên hệ chi tiết, liên hệ chi tiết đoạn lời giải tồn lời giải Trình tự mà ta trình bày lời giải khác với trình tự mà ta theo để tìm kiếm lời giải Trình tự trình bày chi tiết lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa 2.2.1.4.Bước - Kiểm tra nghiên cứu lời giải Đây bước cần thiết bổ ích mà thực tế người giải tốn thực Trong thực chương trình giải, ta mắc phải thiếu sót, lầm lẫn chỗ Việc kiểm tra lại lời giải giúp sửa chữa sai sót đáng tiết Mỗi sai lầm cho ta kinh nghiệm q báu giải tốn Mặc khác việc nhìn nhận, xem xét, phân tích lại đường phương pháp tiến hành giúp ta tìm thấy cách giải khác tốt phát kiện bổ ích giúp ta khai thác sáng tạo toán Khai thác toán sau giải thường tiến hành theo hướng: Thay đổi phần tất giả thiết kết luận Phải kiên nhẫn chịu khó nghiên cứu lời giải tìm để hồn thiện cách giải giúp ta hiểu cách giải sâu sắc Chính điều làm phong phú thêm kinh nghiệm giải tốn, củng cố phát triển lực giải toán Trong thực tế giải tốn khơng q phức tạp người ta thường ghép bước bước thành bước phân tích tìm lời giải 2.2.2.Một số phương pháp rèn kĩ suy luận giải toán 2.2.2.1.Phương pháp phân tích tổng hợp Theo mơn tâm lí học, việc phân tích tổng hợp hai thao tác tư Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh cần coi trọng việc rèn luyện cho học sinh lực phân tích tổng hợp Phân tích dùng trí óc để chia tách toàn thể phần, tách thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm tồn thể Ngược lại, tổng hợp dùng trí óc hợp lại phần toàn thể, hợp lại thuộc tính hay khía cạnh khác nằm toàn thể Tuy thao tác trái ngược phân tích tổng hợp liên hệ chặt chẽ với nhau, hai mặt q trình thống Trong hoạt động giải tốn, trước tiên phải nhìn nhận bao qt đề tốn cách tổng hợp, xem tốn thuộc loại gì, phân tích tốn thành cho phải tìm, tìm mối liên hệ chúng Việc giải tốn đòi hỏi học sinh phải biết phân tích toán thành nhiều toán khác đơn giản hơn, chia trường hợp khác nhau, giải chúng tổng hợp lại Để tìm kiếm lời giải cho tốn, ta có phương pháp suy nghĩ theo hai hướng ngược phân tích tổng hợp Có thể nói phân tích từ chưa biết, phải tìm đến cho, biết Ngược lại, phương pháp tổng hợp từ biết, phải tìm, chưa biết Người ta thường kết hợp hai phương pháp giải toán: Dùng phương pháp phân tích để tìm lời giải, sau trình bày lời giải theo phương pháp tổng hợp Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x2 – x + > 0, với x Bằng phương pháp phân tích ta trình bày sau: 2 x2 – x + >0 ⇐ x2 - x + >0 ⇐ x2 -2 x + 3 + >0 ⇐ (x - )2 + > 0, 4 điều với x Bằng phương pháp tổng hợp ta trình bày lời giải sau: Ta có: (x - ) + >0, ∀ x Từ suy ra: x2 - x + + >0 4 Hay: x2 - x + >0 Do đó: x2 – x + >0 2.2.2.2.Phương pháp quy nạp Nếu khẳng định số trường hợp riêng ta rút kết luận chung cho tất trường hợp Suy luận gọi quy nạp Người ta chia quy nạp thành hai loại: quy nạp hồn tồn quy nạp khơng hoàn toàn Quy nạp quy nạp mà kết luận chung khẳng định cho tất trường hợp xét (số trường hợp hữu hạn) Quy nạp quy nạp mà kết luận chung khẳng định từ số trường hợp cụ thể Do kết luận khơng xác sai lầm Vì kết luận trường hợp xem dự đoán, giả thuyết Tuy nhiên, kết luận thể có ý nghĩa to lớn phát triển toán học qua việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ giả thuyết Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a3 - a 3, với ∀ a∈ Z Với a = 3k (k ∈ Z); Ta có: a3 - a = 3(9k3- k) 3 Với a = 3k + (k ∈ Z); Ta có: a3 - a = 3(9k3 + 9k2 + 2k) 3 Với a = 3k + (k ∈ Z); Ta có: a3 - a = 3(9k3 + 18k2 + 4k + 2) 3 Kết luận: a3 -a  3, với ∀ a∈ Z 2.2.2.3 Phương pháp tương tự Từ hai đối tượng giống số dấu hiệu ta rút kết luận hai đối tượng giống dấu hiệu khác suy luận gọi tương tự Chẳng hạn, hai đối tượng X, Y có tính chất a, X có tính chất b ta kết luận Y có tính chất b Như vậy, quy nạp khơng hoàn toàn, kết luận suy luận tương tự dự đốn, giả thuyết góp phần thúc đẩy toán học phát triển Trong giải toán, phương pháp giúp ta liên hệ toán cần giải với tốn giải giúp ta nhanh chóng tìm lời giải Ví dụ 3: Tương tự tốn chia tam giác thành hai tam giác có diện tích (Kẻ đường trung tuyến) Ta giải toán chia tam giác thành ba tam giác có diện tích 10 2.2.2.4.Phương pháp đặc biệt hoá Đặc biệt hoá suy luận chuyển từ việc khảo sát tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ nằm tập hợp ban đầu Đặc biệt hố có tác dụng kiểm tra kết lời giải trường hợp riêng Nói chung sử dụng phương pháp đặc biệt hoá giải tốn giúp ta tìm thấy cách giải phương hướng giải Ví dụ 4: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M nằm tam giác cho trước (M nằm cạnh tam giác) đến ba cạnh tam giác không đổi Ta xét số trường hợp đặc biệt: (a) (b) (c) (a) M trùng đỉnh tam giác, tổng khoảng cách từ M đến cạnh tam giác chiều cao tam giác (b) M nằm cạnh tam giác, cách kẻ đường phụ ta chứng minh tổng khoảng cách từ M đến cạnh tam giác chiều cao tam giác (c) Từ trường hợp đặc biệt việc tìm lời giải định hướng rõ rệt: Tổng khoảng cách từ M đến cạnh tam giác chiều cao tam giác (không đổi) 2.2.2.5.Phương pháp tổng quát hoá Tổng quát hoá suy luận chuyển từ việc khảo sát tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng lớn chứa tập hợp ban đầu Tổng qt hố có ý nghĩa lớn tốn học lĩnh vực khoa học khác Trong giải tốn, việc tổng qt hố cho ta tốn rộng hơn, có tính khái qt có lại giúp ta dễ dàng tìm lời giải 11 Ví dụ 5: Từ ví dụ ta tổng quát thành toán: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M nằm đa giác giác cho trước (M nằm cạnh đa giác) đến tất cạnh đa giác ln khơng đổi Việc tìm lời giải cho ví dụ tương tự ví dụ cách xét trường hợp đặc biệt 2.2.3.Một số tốn minh họa f(x) - f(x-1) = x2 Bài 1.Tìm đa thức bậc ba cho: a) Từ kết tính tổng: T= 12 + 22 + + n2 Bước Phân tích, tìm cách giải: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh a) Đa thức cần tìm có bậc nên có f(x) = ax + bx2 + cx +d dạng nào? a, b, c, d Như toán yêu cầu ta phải tìm f(x) - f(x-1) ? =(ax3+bx2 +cx+d)-[a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1) Theo điều kiện tốn ta có điều ? +d] = x2 Để tìm đa thức f(x) ta sử dụng Phương pháp hệ số bất định phương pháp ? 3ax2 + (2b - 3a) x + (a-b+c) = x2 Khai triển rút gọn vế trái ta có: 3a=1; 2b-3a=0; a-b+c=0 Từ ta có đẳng thức ? 3 x + x +d (d tuỳ ý) Suy ra: a= ; b= ; c= Vậy f(x)= x3 + b) Với đa thức tìm đặc biệt Cho x nhận giá trị 1, 2, 3…n tính chất x2=f(x) - f(x-1), ta cho x lần thay vào T ta được: lượt nhận giá trị 1, 2, 3…n thay vào T điều ? T= 12 + 22 + + n2 = f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+…+f(n)-f(n-1) =f(n)-f(0) = n3 + = Bước Trình bày lời giải: 12 n + n n ( n + 1)(2n + 1) Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Cho học sinh trình a) Đa thức cần tìm có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx +d bày lời giải Theo ta có: f(x)-f(x-1)=(ax3+bx2+cx+d)-[a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d] x2 ⇔ 3ax2 + (2b - 3a) x + (a-b+c) = x2 Do 3a=1 ⇔ 2b-3a=0 a-b+c=0 b) T=f(x)= 12 + 2x2 3++ +xn2 + Vậy a= b= c= x +d (d tuỳ ý) = f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+…+f(n)-f(n-1) =f(n)-f(0) = n3 + n ( n + 1)(2n + 1) n + n = 6 Bước Khai thác toán: Hoạt động giáo viên Bằng phương pháp tương Bài 1.1 Hoạt động học sinh tự ta sáng tạo a)Tìm đa thức bậc bốn cho: f(x) - f(x-1) = x3 toán từ tốn b)Từ kết tính tổng: T= 13 + 23 + + n3 cho hay không ? Bài 1.2 a)Tìm đa thức bậc năm cho: f(x) - f(x-1) = x4 b)Từ kết tính tổng: T= 14 + 24 + + n4 Bài 1.3 a)Tìm đa thức bậc sáu cho: f(x) - f(x-1) = x5 b)Từ kết tính tổng: T= 15 + 25 + + n5 13 = Bài tốn (Bài tập trang 134-SGK hình học lớp 9-NXB Giáo dục 2005) Cho ∆ABC cạnh a, gọi O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC theo thứ tự lấy M, N cho ∠ MON = 600 2.1 Chứng minh BM.CN = a ; 2.2 Gọi I giao điểm BN OM Chứng minh BM.IN = BI.MN; 2.3 C/ minh MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định A Bước Phân tích, tìm cách giải câu 2.1 N M I B O C Ở câu 2.1 dạng tốn chứng minh hệ thức, việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải toán quan trọng nhằm phát triển tư hình học học sinh Chúng ta dùng phương pháp phân tích lên để tìm lời giải toán Với sơ đồ sau: a2 BM.CN = ⇑ a a BM.CN = 2 ⇑ BM.CN = BO.CO ⇑ BM CO = BO CN Bước Trình bày lời giải câu 2.1 ˆ = 1800 ˆ +M ˆ +O Ta có ∆BMO: B ∠ BMO+ ∠ MON+ ∠ NOC = 1800 ( ∠ BOC = 1800) ⇒ ∠ BMO = ∠ CON; ˆ = 60 (vì ∆ABCđều) ˆ =C Mà B ⇒ ∆BMO đồng dạng ∆CON (g.g), BM CO = Suy Hay BM.CN = BO.CO BO CN BC a = Mà BO = CO = 2 a2 Do BM.CN = (đpcm) 14 ⇑ ∆BMO đồng dạng ∆CON ⇑ ˆ = 60 (GT) ˆ =C B ∠ BMO = ∠ CON ⇑ ∠ B+ ∠ BMO+ ∠ BOM = ∠ BMO+ ∠ MON+ ∠ C (= 1800) Phân tích, tìm lời giải câu 2.2 Cũng tương tự câu 2.2, giáo viên giúp học sinh phát triển tư lơgic, thao tác tư phân tích, tổng hợp, đặc biệt tư phân tích lênmột thao tác tư đặc trưng mơn hình học Với phân tích học sinh thấy sử dụng tính chất đường phân giác tam giác BMN Nghĩa học sinh cần MI tia phân giác ∠ BMN Trình bày lời giải câu 2.2 Theo câu 2.1, ∆BMO đồng dạng ∆CON Suy BM MO BM MO = hay = CO ON BO ON Mà ∠ B = ∠ MON (=600) ⇒ ∆BMO đồng dạng ∆OMN (c.g.c) Từ suy góc BMO = ∠ OMN Do MO tia phân giác ∠ BMN Hay MI tia phân giác ∠ BMN Xét ∆BMN có MI tia phân giác ∠ BMN, áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ta có MB IB = MN IN hay BM.IN = BI MN (đpcm) Phân tích, tìm lời giải câu 2.2 Đây dạng tốn liên quan tính bất biến (cố định) tính thay đổi: Ứng với điểm M, N ta có vị trí đoạn thẳng MN thay đổi theo (chuyển 15 động) lại tiếp xúc với đường tròn cố định (bất biến) Vậy trước tìm lời giải tốn giáo viên cần cho học sinh yếu tố cố định, yếu tố thay đổi A M H N K I B O C Trình bày lời giải câu 2.2 Từ O kẻ OH, OK theo tứ tự vng góc với AB MN Do O, AB cố định nên OH cố định Vậy đường tròn (O;OH) đường tròn cố định Vì MO tia phân giác ∠ BMN nên OK = OH (t/c đường phân giác) Suy ra: K ∈ (O;OH) (1) Mặt khác: OK ⊥ MN (cách dựng) (2) Từ (1) (2) suy MN tiếp tuyến đường tròn (O;OH) Vậy MN ln tiếp xúc với đường tròn (O;OH) cố định Bước Khai thác toán: Ở câu 2.1 toán ta thấy tích BM.CN khơng đổi, sử dụng BĐT Cơsi ta có thêm câu hỏi sau: 2.4 Tìm vị trí M, N AB, AC để BM + CN đạt giá trị nhỏ Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm BM, CN, Ta có BM + CN ≥ BM.CN Dấu "=" xảy ⇔ BM = CN 16 Theo câu 2.1, ta có: BM.CN = a2 a2 Do BM + CN ≥ = a (không đổi) Vậy GTNN BM+CN = a ⇔ BM = CN = a ⇔ M, N theo thứ tự trung điểm AB AC Tiếp tục suy nghĩ, tam giác ABC tam giác cân tốn không ? giả thiết ? từ ta có tốn sau: 2.5 Cho tam giác ABC cân A, O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC theo thứ tự lấy điểm M, N cho ∠ BMO = ∠ CON A Chứng minh rằng: BC a) BM.CN = ; b) BN ∩ MO = { I} , Chứng minh N M cá BI.MN = IN.BM; c h c) KhiKẾT M, NLUẬN thay đổi AB, AC MN ln c C B O tiếp xúc đường tròn h 3.1.với Ý nghĩa đề tài:cố định ứ 2.2.4 Kết quả: n Kết so sánh số liệu với thời điểm bắt đầu nghiên cứu g thực m học sinh lớp trường dạy in h TSHS TB trở lên Dưới trung bình Chi chúh TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % o 31 27 87.1 12.9 n Kết cho thấy việc vận dụng phương pháp tự học vào giảngto dạy toán giúp học sinh có kết cao học tập n tư giải Thông qua phương pháp tự học, học sinh xác định hướng toán, nhiều dạng toán khả tự học nhà học sinh tăng n lên rõ g tự , 17 ta c h I n g m in h rệt Hơn nữa, đầu HKII chất lượng đạt 86% trung bình, tạo đ cho học sinh hứng thú say mê với mơn Tốn ợc KẾT LUẬN g 3.1 Ý nghĩa đề tài: óc B Để rèn luyện kỹ tự học cho học sinh, giáo viên cần phải mẫu mực = hai bước đầu Để phát huy tính sáng tạo, phát triển tư hình học củaghọc sinh óc ba học sinh giỏi giáo viên phải đặc biệt coi trọng bước thứ M Hơn tư toán học thể nhiều trình tìm cách giải O nghiên cứu sâu lời giải thơng qua hoạt động trí tuệ chủ yếu: khái quát hoá,N.đặc biệt hoá, tương tự,… Cũng theo Pơlya khẳng định: "Đặc biệt hố, khái qt hoá, tương tự nguồn gốc vĩ đại phát minh" Để có lực tự học, HS cần xác định đựợc nhiệm vụ học tập cách tự giác, chủ động; tự đặt mục tiêu học tập để đòi hỏi nỗ lực phẩn đấu thực hiện; Lập thực kế hoạch học tập nghiêm túc, nề nếp; thực cách học; Hình thành cách ghi nhớ thân; phân tích nhiệm vụ học tập để lựa chọn nguồn tài liệu đọc phù hợp; đề mục, đoạn sách giáo khoa, sách tham khảo, internet; lưu giữ thơng tin có chọn lọc ghi tóm tắt với đề cương chi tiết, đồ khái niệm, bảng, từ khoá; ghi giảng giáo viên theo ý chính; tra cứu tài liệu thư viện nhà trường theo yêu cầu nhiệm vụ học tập; Nhận điều chỉnh sai sót, hạn chế thân thực nhiệm vụ học tập thông qua lời góp ý giáo viên, bạn bè; chủ động tìm kiếm hỗ trợ cảa người khác gặp khó khăn học tập Để hình thành lực tự học cho học sinh, giáo viên cần đổi phương pháp giảng dạy, không dạy kiến thức mà tập trung dạy cách học, phương pháp học tập, phương pháp tự học Học sinh phải học thông qua hoạt động, vui chơi tăng cường học từ thực tế, từ thực tiễn, tập làm nhà khoa học nhỏ Khuyến khích khơi gợi học sinh tự tìm hiểu, tự khám phá kiến thức thơng qua phương pháp dạy học tích cực học theo dự án, nêu vấn đề, theo tình 18 3.2 Kiến nghị, đề xuất cấp quản lý giáo dục Đối với giáo viên cần có kế hoạch hướng dẫn học sinh phương pháp tự học lên lớp Tổ chuyên môn tổ chức chuyên đề đổi phương pháp dạy học theo hướng bồi dưỡng phát triển lực tự học học sinh để rút kinh nghiệm giảng dạy Nhà trường tổ chức hội giảng với tập dạy áp dụng phương pháp dạy học tích cực theo hướng tự học, tự nghiên cứu để học sinh tự học lẫn sớm làm quen với phương pháp Trong trình nghiên cứu trình bày, sáng kiến kinh nghiệm không tránh khỏi số sơ suất hạn chế, mong hội đồng khoa học nhà trường đóng góp thêm để sáng kiến áp dụng vào thực tế giảng dạy 19 ... dụng phương pháp tự học vào giảngto dạy toán giúp học sinh có kết cao học tập n tư giải Thông qua phương pháp tự học, học sinh xác định hướng toán, nhiều dạng toán khả tự học nhà học sinh tăng... lực tự học cho học sinh, giáo viên cần đổi phương pháp giảng dạy, không dạy kiến thức mà tập trung dạy cách học, phương pháp học tập, phương pháp tự học Học sinh phải học thông qua hoạt động,... lập sáng tạo tư giải tốn Học sinh khơng khuyến khích tự học, chưa học cách học học sinh có học lực trung bình yếu Cơng tác hướng dẫn quản lí hoạt động tự học học sinh hạn chế định Một phận giáo